孫 濤，婁本星，馬福恒，祁 潔，周晨露

（1. 南水北調(diào)東線江蘇水源有限責(zé)任公司，江蘇 南京 210009； 2. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029）

0 引 言

泵站建筑物是常見(jiàn)的水工建筑物之一，在供水、防洪、排澇、灌溉等方面具有重要作用。目前泵站建筑物監(jiān)測(cè)系統(tǒng)日益完善，水平位移作為泵站變形監(jiān)測(cè)中一項(xiàng)重要的監(jiān)測(cè)項(xiàng)目，對(duì)于評(píng)估泵站建筑物整體運(yùn)行狀態(tài)極其重要。由于泵站地基的復(fù)雜性和工作原理的特殊性，導(dǎo)致采用傳統(tǒng)力學(xué)方法不能夠建立準(zhǔn)確的泵站變形監(jiān)控模型。

現(xiàn)階段有關(guān)于混凝土壩變形監(jiān)控模型研究較多［1］，其中統(tǒng)計(jì)模型的可解釋能力強(qiáng)，能夠直觀表示出監(jiān)測(cè)效應(yīng)量與環(huán)境量之間的非線性關(guān)系［2］，得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。自1956 年TONINI等［3］首次將大壩變形的影響因素分為水壓分量、溫度分量和時(shí)效分量，混凝土壩變形監(jiān)控統(tǒng)計(jì)模型得到了巨大的發(fā)展；吳中如等［4］基于混凝土徐變理論，推導(dǎo)了混凝土壩變形時(shí)效分量的表達(dá)式，并提出可以用周期函數(shù)模擬溫度分量；MATA等［5］提出用溫度計(jì)實(shí)測(cè)溫度表示溫度分量，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性；近年來(lái)，秦棟等［6］、SHAO 等［7］、王繼敏等［8］考慮測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)性，建立了混凝土壩的多測(cè)點(diǎn)變形統(tǒng)計(jì)模型。然而，針對(duì)泵站變形監(jiān)控模型的研究較少，大多利用混凝土壩統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行分析。例如朱松松等［9］基于混凝土壩變形統(tǒng)計(jì)模型，結(jié)合逐步回歸法識(shí)別了泵站水平位移的影響因子，建立了泵站水平位移統(tǒng)計(jì)模型。混凝土壩變形統(tǒng)計(jì)模型通常由最小二乘法求解得到，其回歸參數(shù)為定值。相比于水庫(kù)大壩，泵站建筑物體積小，容易受外部環(huán)境的影響。在多種荷載的長(zhǎng)期耦合作用下，泵站結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)損傷、老化甚至破壞，導(dǎo)致其工作性態(tài)發(fā)生改變。采用固定參數(shù)的回歸模型不能夠反映泵站結(jié)構(gòu)性態(tài)的動(dòng)態(tài)特征，因此，有必要采取動(dòng)態(tài)建模方法對(duì)泵站建筑物監(jiān)控模型進(jìn)行更新和改進(jìn)。

鑒于此，基于遺忘遞推最小二乘法，構(gòu)建了泵站建筑物水平位移的動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型；通過(guò)引入遺忘因子調(diào)整新舊監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的重要程度，增強(qiáng)了新監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型的修正能力，實(shí)現(xiàn)了對(duì)統(tǒng)計(jì)模型回歸參數(shù)的動(dòng)態(tài)求解，從而保證了模型的預(yù)測(cè)精度；最后結(jié)合南水北調(diào)工程某泵站樞紐，驗(yàn)證了所構(gòu)建的模型的有效性。

1 理論模型

1.1 遞推最小二乘法

在外部環(huán)境的影響下，泵站建筑物的工作性態(tài)處于一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，而最小二乘法在估計(jì)回歸參數(shù)時(shí)不能考慮到建筑物運(yùn)行狀態(tài)的改變。當(dāng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)增加時(shí)，原來(lái)的回歸參數(shù)可能不再適用當(dāng)前的運(yùn)行狀態(tài)；若重新建立回歸模型，需要重新求解，工作量大且不便于應(yīng)用。遞推最小二乘法（RLS）可以在上一時(shí)刻估計(jì)參數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)新數(shù)據(jù)的加入修正最小二乘法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，可避免大量的運(yùn)算，計(jì)算效率高［10］。假設(shè)k時(shí)刻下的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為:

式中:Xk表示自變量數(shù)據(jù)集；x(k)表示k時(shí)刻的自變量，即水位、溫度、時(shí)效等影響因子；Yk表示因變量數(shù)據(jù)集；y(k)表示k時(shí)刻的因變量，即泵站建筑物水平位移。

則在k-1 時(shí)刻和k時(shí)刻，根據(jù)LS 法得到的參數(shù)估計(jì)值分別為:

式中:θ?(k)為k時(shí)刻回歸參數(shù)估計(jì)值。

式中:K（k）為增益矩陣；可以利用k時(shí)刻的估計(jì)值θ?(k)預(yù)測(cè)k+1時(shí)刻的位移值，即y?(k+ 1) =xT(k+ 1)θ?(k)。

1.2 遺忘遞推最小二乘法

隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，泵站建筑物的運(yùn)行狀態(tài)在不斷地發(fā)生變化，過(guò)多的舊數(shù)據(jù)會(huì)減弱新數(shù)據(jù)對(duì)回歸參數(shù)的修正能力，此現(xiàn)象稱為數(shù)據(jù)飽和。因此，需要對(duì)遞推最小二乘法進(jìn)行修正，以增強(qiáng)新數(shù)據(jù)對(duì)回歸參數(shù)的修正能力，得到符合當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)的最佳參數(shù)。

遺忘遞推最小二乘法（FFRLS）將不同時(shí)期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行賦權(quán)，以達(dá)到數(shù)據(jù)更新的目的［11-13］。在RLS 的基礎(chǔ)上，F(xiàn)FRLS根據(jù)數(shù)據(jù)采集時(shí)間的不同，每引進(jìn)一組新數(shù)據(jù)時(shí)，就將舊數(shù)據(jù)乘以一個(gè)遺忘因子ρ（0＜ρ≤1），則任意時(shí)刻k下的數(shù)據(jù)集可以表示為:

令λ=ρ2，F(xiàn)FRLS相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)表示為:

式中:0＜λ≤1。FFRLS 方法本質(zhì)上是一種加權(quán)，將新添加的數(shù)據(jù)權(quán)重賦為1，越早的數(shù)據(jù)其權(quán)重越小，以達(dá)到遺忘舊數(shù)據(jù)的目的。因此，λ的取值越小，所建立的模型動(dòng)態(tài)更新能力越強(qiáng)，但λ的取值不宜過(guò)小，取值太小容易受到非線性噪聲的影響，通常取0.95≤λ≤1［13］，本文取λ=0.95。

FFRLS方法得到的參數(shù)估計(jì)值表示為:

1.3 基于FFRLS方法的泵站水平位移動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型

基于FFRLS 方法的泵站水平位移動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型構(gòu)建流程如圖1所示?；静襟E如下:

圖1 基于FFRLS算法的泵站水平位移動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型Fig.1 Horizontal displacement dynamic monitoring model of pump station based on FFRLS

（1）輸入實(shí)測(cè)監(jiān)測(cè)序列，包括水平位移、水位、溫度、監(jiān)測(cè)時(shí)間等資料。

（2）確定遺忘因子ρ、訓(xùn)練集長(zhǎng)度T、數(shù)據(jù)序列總長(zhǎng)度N，初始化待估參數(shù)θ?(0)和協(xié)方差矩陣P(0)。

（3）計(jì)算增益矩陣K和協(xié)方差矩陣P，更新擬合參數(shù)θ?(k)。

（4）當(dāng)k＜T時(shí)，重復(fù)步驟（3）直到k＞T。當(dāng)k＞T時(shí)，根據(jù)當(dāng)前估計(jì)參數(shù)θ?(k)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的y?(k+ 1) =xT(k+ 1)θ?(k)。

（5）重復(fù)步驟（3）和（4）直到結(jié)束。

2 泵站建筑物水平位移影響因素

在水工建筑物安全監(jiān)控領(lǐng)域中，混凝土壩的變形監(jiān)控模型發(fā)展比較完善，關(guān)于泵站建筑物安全監(jiān)控模型的相關(guān)研究較少。本文根據(jù)文獻(xiàn)［9］的研究成果，將泵站建筑物水平位移δ的影響因素劃分為3 部分:水壓分量δH、溫度分量δT和時(shí)效分量δθ。

式中，Hu表示上游水頭，Hd表示下游水頭，a1i、a2i分別為上下游水壓因子的回歸系數(shù)。

式中:t表示觀測(cè)當(dāng)天至建模時(shí)段起測(cè)日的累計(jì)天數(shù)；b1i、b2i表示溫度因子回歸系數(shù)。

（3）時(shí)效分量因子。在各種外部荷載的耦合作用下，泵站建筑物不僅會(huì)出現(xiàn)彈性位移，也會(huì)產(chǎn)生一定的趨勢(shì)性變化，即時(shí)效分量。時(shí)效分量產(chǎn)生的原因非常復(fù)雜，主要為混凝土的塑性形變、徐變、裂縫等造成的體積變形。時(shí)效分量具有多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等表達(dá)形式，本文選取多項(xiàng)式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組合作為時(shí)效分量的表達(dá)式，如式（10）所示。

式中:θ表示觀測(cè)當(dāng)天至起測(cè)日的累計(jì)天數(shù)除以100，每增加一天，θ增加0.01；c1、c2表示時(shí)效因子回歸系數(shù)。

可以將泵站建筑物水平位移δ可以表示為:

式中:d為常數(shù)項(xiàng)。

3 工程案例

以南水北調(diào)東線工程某泵站樞紐為例，該泵站樞紐由泵站、擋洪閘、進(jìn)水閘、引河等工程設(shè)施組成，主要功能為聯(lián)合調(diào)水及區(qū)域排澇。泵站設(shè)計(jì)流量150 m3/s，調(diào)水期設(shè)計(jì)揚(yáng)程6.0 m，排澇期設(shè)計(jì)揚(yáng)程6.6 m，安裝立式全調(diào)節(jié)混流泵5 臺(tái)，單機(jī)設(shè)計(jì)流量37.5 m3/s，配套電機(jī)功率3 550 kW，總裝機(jī)容量17 750 kW。如圖2 所示，泵站建筑物水平位移測(cè)點(diǎn)共4 個(gè)，均位于上游側(cè)底板位置，測(cè)點(diǎn)編號(hào)為SP1～SP4，各測(cè)點(diǎn)的水平位移實(shí)測(cè)值如圖3 所示，監(jiān)測(cè)時(shí)間為2015 年1 月22 日-2017 年12 月23 日，共36 組數(shù)據(jù)。本文以SP3 和SP4 兩個(gè)測(cè)點(diǎn)為例，其中，選取2015 年1 月22 日至2016 年12 月23 日共24 組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，2017年1月22日至2017年12月13日共12組數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)。

圖2 水平位移測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.2 Layout of horizontal displacement measuring points

圖3 SP1～SP4實(shí)測(cè)水平位移Fig.3 Measured horizontal displacement of SP1～SP4

4 結(jié)果分析

基于FFRLS 算法對(duì)測(cè)點(diǎn)SP3 和SP4 的水平位移進(jìn)行建模，對(duì)各個(gè)時(shí)刻下的擬合參數(shù)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)求解和預(yù)測(cè)，各項(xiàng)回歸系數(shù)的更新與變化過(guò)程如圖4 所示?？梢钥闯?，各項(xiàng)回歸系數(shù)估計(jì)值隨著遞推次數(shù)增加而變化，且在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。這說(shuō)明泵站建筑物在外部環(huán)境因素的影響下，其工作性態(tài)處于不斷變化的狀態(tài)。

圖4 回歸系數(shù)的更新與變化過(guò)程Fig.4 Update process of regression coefficient

為了驗(yàn)證FFRLS模型的有效性，本文選取了LS和RLS方法作為對(duì)比模型。三種模型的擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5、6 所示，擬合與預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)如表1所示。

表1 3種方法擬合效果指標(biāo)與預(yù)測(cè)效果指標(biāo)的對(duì)比Tab.1 Comparison of fitting effect index and prediction effect index of three methods

圖5 SP3擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of fitting and prediction values of three methods for SP3

根據(jù)圖5、圖6及表1可以看出:

圖6 SP4擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of fitting and prediction values of three methods for SP4

從擬合結(jié)果上來(lái)看，LS 模型的擬合效果最差，測(cè)點(diǎn)SP3 和SP4 的復(fù)相關(guān)系數(shù)均為0.72；FFRLS 模型與RLS 模型的擬合效果較好，復(fù)相關(guān)系數(shù)均較高均達(dá)到了0.90 以上，且FFRLS 模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)達(dá)到了0.95 以上，表明FFRLS 方法能夠顯著提升統(tǒng)計(jì)模型的回歸擬合精度。

從預(yù)測(cè)結(jié)果上來(lái)看，LS 模型的預(yù)測(cè)精度最低，LS 模型在初期預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相差不大，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增加，預(yù)測(cè)誤差越來(lái)越大。FFRLS 模型和RLS 模型預(yù)測(cè)精度均較高，預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的變化趨勢(shì)基本相同；FFRLS 模型的前8 個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果與RLS 模型預(yù)測(cè)值基本相同，之后FFRLS 模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)測(cè)值，誤差也更小，表明FFRLS 模型能夠更好地適應(yīng)泵站建筑物變形性態(tài)的動(dòng)態(tài)變化，使模型長(zhǎng)期保持有較高的預(yù)測(cè)精度。從預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)上來(lái)看，F(xiàn)FRLS 模型相較于RLS 模型各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)更優(yōu)。對(duì)于測(cè)點(diǎn)SP3，F(xiàn)FRLS 模型的平均絕對(duì)誤差（MAD）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）、均方根誤差（MSE）分別下降了28.1%、27.9%和51.1%；對(duì)于測(cè)點(diǎn)SP4，F(xiàn)FRLS 模型的MAD、MAPE和MSE指標(biāo)分別下降了41.9%、40.7%和68.5%。綜上所述，傳統(tǒng)LS方法通常為一次性求解，模型參數(shù)為固定值，在泵站運(yùn)行一段時(shí)間后，原模型的回歸參數(shù)可能不再適用，預(yù)測(cè)能力也會(huì)大幅度降低；而RLS 和FFRLS 方法能夠隨時(shí)間自適應(yīng)調(diào)整模型參數(shù)，尤其是FFRLS 方法可以通過(guò)賦予新舊數(shù)據(jù)不同的權(quán)重，減少舊數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)的影響，增加新數(shù)據(jù)在擬合過(guò)程中的信息量，從而使所構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型能夠更好地適應(yīng)泵站變形性態(tài)的動(dòng)態(tài)變化，并保持有較高的預(yù)測(cè)精度。

因此，基于FFRLS 方法建立泵站水平位移動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型是可行的，相較于傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型，F(xiàn)FRLS 模型的回歸與預(yù)測(cè)精度有明顯的提升，可為泵站建筑物安全監(jiān)控提供理論依據(jù)。

5 結(jié) 論

針對(duì)泵站建筑物的工作性態(tài)易受環(huán)境、人為等外部因素影響，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型不能反映泵站結(jié)構(gòu)運(yùn)行狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。本文提出了基于遺忘遞推最小二乘法的泵站水平位移動(dòng)態(tài)監(jiān)控模型，結(jié)合南水北調(diào)工程實(shí)例，驗(yàn)證了該模型的有效性?？傻贸鋈缦陆Y(jié)論:

（1）FFRLS 模型通過(guò)引入遺忘因子調(diào)整了新舊監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)重占比，提升了新監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)的修正能力，實(shí)現(xiàn)了對(duì)統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)的動(dòng)態(tài)求解，從而保證了模型的預(yù)測(cè)精度。

（2）實(shí)例分析表明，F(xiàn)FRLS 模型的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于RLS、LS模型，尤其在進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，LS模型會(huì)出現(xiàn)明顯的偏差，而FFRLS 模型能夠有效提高模型的解釋能力和預(yù)測(cè)精度。研究成果可為泵站建筑物變形監(jiān)控統(tǒng)計(jì)模型提供新方法。