薛光偉,辛萬青,傅 瑜

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076;2.中國運載火箭技術研究院,北京 100076)

升力式再入飛行器是一種由火箭發(fā)動機助推到一定高度、速度后,利用氣動升力在大氣層內進行遠距離無動力飛行的新型飛行器,具有速度快、機動能力強、飛行距離遠等優(yōu)點,受到各國的廣泛關注。飛行器在再入過程中面臨著諸多干擾,包括參數和環(huán)境的不確定性、可能存在的敵對攔截,需要不斷進行軌跡調整,甚至是博弈對抗。因此,為了提高飛行器應對干擾攔截的能力、減小能量消耗,合理規(guī)劃飛行器能量沿再入軌跡的分布具有重要意義。

升力體再入軌跡規(guī)劃最早起源于航天飛機的再入制導問題。HARPOLD等[1]在1979年詳細介紹了航天飛機的軌跡規(guī)劃方法,首先基于熱防護需求確定攻角-速度剖面,然后將過載、熱流等約束轉化為阻力加速度-速度(D-E)剖面上的再入走廊,在走廊內進行軌跡規(guī)劃。這種規(guī)劃方法被后續(xù)許多學者進一步繼承和發(fā)展。文獻[2]在D-E剖面內通過再入走廊的上下邊界插值得到軌跡,通過調節(jié)插值系數和傾側角翻轉位置滿足射程和航向約束。文獻[3]直接在高度-速度(H-V)剖面內進行規(guī)劃,考慮了飛行路徑角的變化,獲得了更加準確和直觀的軌跡。文獻[4]通過譜分解把能量變化曲線擬合為二次多項式,推導得到模型解析解,進而通過規(guī)劃傾側角幅值和翻轉時機滿足縱向約束與橫側向約束。上述方法都需要預先確定攻角剖面,采取可以解析計算的曲線形式,曲線參數根據飛行熱流約束確定。

文獻[5]基于準平衡滑翔條件,推導了以航程為自變量的解析公式,通過滑翔起、終點約束條件和禁飛區(qū)分布,直接求解攻角傾側角曲線。文獻[6]假設高度隨能量線性變化,將D-E剖面軌跡設計為二次函數,將軌跡約束轉化為攻角約束,在約束范圍內通過調節(jié)攻角擴大再入走廊的范圍。文獻[7]推導了射程、高度和速度的解析公式,通過調整平衡滑翔的高度滿足末端速度需求。文獻[5-7]提出的規(guī)劃方法中,攻角剖面的設計更加靈活,但面臨從再入起點開始就在為滿足末端約束而調整軌跡的問題。當目標射程小于最大可達射程時,多余的能量將分散在再入全程消耗,當飛行器遇到未知干擾攔截時,前期消耗的能量將會降低其調節(jié)能力。

文獻[8]基于最優(yōu)化理論和簡化模型,推導了存在禁飛區(qū)情況下耗能最小的飛行軌跡。文獻[9]針對升力飛行器全程軌跡優(yōu)化問題提出了多種規(guī)劃方法。文獻[8-9]中的軌跡能量優(yōu)化以飛行過程能耗最小、終點速度最大為優(yōu)化目標,不適用于處理終點速度給定下的能量優(yōu)化分配問題。文獻[10]研究了存在終點速度約束時的機動軌跡規(guī)劃問題,通過對經由點位置和速度進行搜索規(guī)劃,優(yōu)化了軌跡前后段的能量分配。這種方法通過神經網絡對飛行器的機動能力進行預測,預測的準確度取決于樣本庫與神經網絡學習效果。

近年來,越來越多的學者嘗試將軌跡規(guī)劃轉化為軌跡優(yōu)化問題,通過數值方法進行求解。文獻[11]將軌跡分段,利用分段高斯偽譜法對軌跡規(guī)劃問題進行求解。文獻[12]利用偽譜法將軌跡規(guī)劃離散為NLP問題后,通過無損凸化技術將問題轉化為凸優(yōu)化問題,提高了求解效率。文獻[13]針對二維平面內的簡化模型,通過引入指數衰減的信賴域寬度和懲罰系數上界,改進了基于偽譜凸優(yōu)化的彈道規(guī)劃算法的穩(wěn)定性。文獻[14]推導了高度和剩余射程的函數關系式,將軌跡規(guī)劃問題轉為在特定剩余射程處的高度設計問題,基于改進的粒子群算法設計了一種協(xié)同軌跡的快速規(guī)劃方法。這些數值方法通過合理設計優(yōu)化目標,能夠得到滿足特定性能需求的軌跡,但針對飛行器復雜的非線性模型時,求解算法的穩(wěn)定性和快速性仍存在一定問題。

為提高飛行器應對未知干擾攔截的能力,本文提出了一種能量優(yōu)化分配軌跡(Energy Allocation Optimized Trajectory,EAOT),將EAOT分為三段:初始下降段、能量最優(yōu)段和能量管理段。EAOT與現(xiàn)有文獻中的軌跡的主要區(qū)別在于,不再把多余能量分散消耗到飛行全程,而是集中在飛行后期的能量管理段,從而使能量最優(yōu)段具有盡可能多的能量應對干擾。本文設計了初始下降段、能量最優(yōu)段的規(guī)劃方法,推導了能量管理段最短射程解析計算公式,在此基礎上提出了一種迭代算法,用于求解能量最優(yōu)段與能量管理段的平滑切換位置。最后,構建了EAOT一體化生成方法,并通過仿真分析驗證了EAOT對于干擾攔截的適應性,以及所設計規(guī)劃算法的有效性和快速性。

1 再入模型與軌跡分段

1.1 再入數學模型

考慮地球偏心率和自轉的影響,建立飛行器再入數學模型如下:

(1)

式中:V為相對大地的速度,γ為飛行路徑角,ψ為航向角,r為從地心到飛行器質心的距離,θ為經度,φ為地心緯度;m為飛行器質量,gr為引力加速度沿地心矢徑方向的分量,gωe為引力加速度沿地球自轉角速度方向的分量,ωe為地球自轉角速度,D為氣動阻力,L為氣動升力,σ為傾側角。

氣動阻力和升力的計算公式如下:

(2)

式中:Aref為飛行器參考面積;Cd、Cl分別為氣動阻力系數和氣動升力系數;ρ為大氣密度,可采用指數函數形式進行近似計算:

ρ=ρ0exp(-H/HC)

(3)

式中:ρ0為海平面大氣密度常數,H為飛行器海拔高度,HC為標準高度。

1.2 軌跡分段設計

再入軌跡從再入點開始,到下壓段為止。本文提出的EAOT將再入軌跡分為初始下降段(Initial Descent Phase,IDP)、能量最優(yōu)滑翔段(Energy Optimal Phase,EOP)和能量管理段(Energy Manage Phase,EMP),如圖1所示。AB段為IDP,飛行器在這一段從再入起始狀態(tài)平穩(wěn)過渡到滑翔飛行狀態(tài);BC段為EOP,飛行器在該段按照能量最優(yōu)軌跡飛行,使得遇到未知干擾攔截時,擁有更多能量用于調整軌跡;CD段為EMP,飛行器在該段需消耗多余的能量,調整狀態(tài)至滿足再入終點的射程、高度、速度及航向角約束。

圖1 能量優(yōu)化分配軌跡分段示意圖Fig.1 Phases of energy allocation optimized trajectory

在IDP階段,飛行高度較高,大氣密度小,控制力較弱,因此采用固定攻角和零傾側角飛行模式。同時為了盡快拉平軌跡,為后續(xù)飛行創(chuàng)造較好的條件,采用最大攻角飛行。

飛行器在EOP段按照能量最優(yōu)軌跡飛行。由文獻[15]可知,當初、末能量確定時,飛行器平衡滑翔射程主要取決于飛行過程中的升阻比,升阻比越大,射程越遠。飛行器的能量在飛行過程中單調遞減,射程最遠代表飛行過程中能量消耗最慢,最大升阻比對應的軌跡為能量最優(yōu)軌跡。因此,EOP以最大升阻比攻角飛行。

EMP是再入軌跡的最后一個階段,其任務是調整飛行器的能量,使其滿足再入段到下壓段的交班條件,主要包括射程、高度、速度和航向角等方面的約束。為實現(xiàn)能量的優(yōu)化分配,EOP射程應盡可能長,EMP需在最短的航程內完成能量耗散。因此,EAOT規(guī)劃的核心是確定EOP和EMP的切換位置。

1.3 能量管理段射程解析解

為使EOP射程最長,EMP射程需取最小值。EMP最小射程的實質是在起、終點的高度和速度給定的條件下,飛行器采用平衡滑翔方式所能實現(xiàn)的最小射程。

為了分析EMP的射程,對式(1)所示的再入模型進行一定簡化。EMP射程較短,可近似忽略地球偏心率和自轉?？紤]到無動力飛行的過程中,飛行器的能量單調遞減,且直觀反映了飛行器的飛行能力,選擇能量作為自變量。以無窮遠處為勢能零點,定義飛行器單位質量的能量E:

(4)

式中:μ為地球引力常數。

將能量對時間微分,可得:

(5)

將式(5)代入式(1),忽略地球偏心率和自轉的影響,得到以能量為自變量的飛行器模型:

(6)

式中:g為不考慮地球偏心率的地球引力加速度。

飛行器的軌跡長度微元dS可分解在極坐標系的三個方向上,并存在如下關系:

(7)

將式(6)代入式(7),可化簡得到軌跡長度相對于能量的微分:

(8)

假設EMP起點處的能量為E1,速度為V1,高度為H1;終點處能量為E2,速度為V2,高度為H2。則EMP的軌跡長度SEMP可由式(8)積分為

(9)

將式(2)和式(3)代入,整理得:

(10)

為了降低控制難度,減小峰值熱流,再入飛行器需要滿足平衡滑翔條件,即飛行路徑角γ保持為一個較小的常數γ*[16],此時可近似認為高度和速度隨能量線性變化[6]。當EMP初、末狀態(tài)確定時,高度和速度隨能量的變化關系也隨之確定。假設高度隨能量線性變化的關系式為

H=kE+b

(11)

(12)

將式(4)、式(11)和式(12)代入式(10)可得:

(13)

設a=E+μ/r,并認為r在飛行過程中基本保持不變,有:

(14)

(15)

此級數的收斂條件是a為實數且a≠0,這一條件在軌跡規(guī)劃問題中一般均可滿足。為進一步分析此級數的收斂速度,選取4組不同長度的SEMP。將通過數值積分計算得到每個SEMP的準確值,與不同階數的級數近似計算結果進行對比,結果如表1所示。從表中可以看出,20階級數的計算結果誤差不超過10 m,10階誤差不超過100 m。具體分析時,可以根據實際精度需求選取不同階數。

表1 不同SEMP的積分計算和級數近似結果Table 1 Compute results of integration and progression for different SEMP

至此,即可得到EMP軌跡長度的近似解析計算公式:

(16)

式中:p為根據精度需求選取的級數階數。

需要注意的是,式(16)只用于軌跡長度的初步估算,軌跡積分依然采用較為精確的式(1)進行求解。

2 再入軌跡快速規(guī)劃

2.1 初始下降段

再入起點并不滿足平衡滑翔條件,因此需要通過IDP的調整,使飛行器平穩(wěn)過渡到平衡滑翔狀態(tài)。設置傾側角為零,攻角為最大攻角,對軌跡進行積分,檢測飛行器狀態(tài)是否滿足如式(17)所示的平衡滑翔條件。當條件滿足時,切換到EOP。

(17)

2.2 能量最優(yōu)段

采用最大升阻比攻角α1飛行,為了更平穩(wěn)地進行平衡滑翔,參考文獻[15,18],采用一種軌跡震蕩抑制技術,在標準攻角上附加調整攻角:

(18)

如果目標射程等于最大射程,EOP結束后沒有多余能量,不需設置EMP,飛行器直接進入下壓段;如果目標射程小于最大射程,EOP結束時飛行器的狀態(tài)不滿足再入終點約束,必須通過EMP調整。記錄按照最大升阻比飛行至再入終點的軌跡,稱為能量最優(yōu)軌跡,其上某一點將作為EMP的起點,如圖2 所示。

圖2 能量最優(yōu)段軌跡示意圖Fig.2 Schematic diagram of energy manage phase

2.3 能量管理段規(guī)劃方法

由2.2節(jié)分析可知,EMP射程與起點位置互相影響,本文提出一種迭代方法進行求解,結合傾側角翻轉技術構建了EMP軌跡快速規(guī)劃方法。

根據幾何關系求出飛行路徑角:

(19)

(20)

(21)

(22)

圖3 傾側角翻轉位置規(guī)劃流程Fig.3 Bank angle reversal location programming process

3 仿真分析

為了驗證本文提出的EAOT軌跡性能及快速規(guī)劃方法,將EAOT與固定攻角軌跡、最大射程軌跡進行對比。固定攻角軌跡在整個再入段按照零傾側、分段固定攻角飛行,通過調整初始下降段攻角和平衡滑翔攻角滿足再入終點約束。最大射程軌跡不考慮再入終點約束,初始下降段結束后始終保持最大升阻比攻角飛行。

表2 仿真初末狀態(tài)Table 2 The initials and final state of simulation

軌跡對比結果如圖4～圖6所示。其中,迭代得到從EOP到EMP的過渡點的縱向射程(歸一化)為377.34,兩次傾側角翻轉位置分別為382.15、388.61,最終到達位置為391.33。

圖4 高度、速度、射程隨時間變化Fig.4 Height,velocity and range change over time

從圖4和圖5可以看出,本文設計的EAOT軌跡滿足了再入終點的各種約束。飛行器在EOP的速度相較固定攻角軌跡更慢,在EMP通過大攻角飛行快速降低速度,通過調整傾側角維持飛行路徑角穩(wěn)定,迅速調整了飛行器狀態(tài),滿足了再入終點的高度、速度和射程約束。橫側向通過傾側角的兩次翻轉滿足了橫向誤差和航向角約束。

圖5 攻角、傾側角、飛行路徑角、航向角隨時間變化Fig.5 Angle of attack,bank angle,fly path angle and heading angle change over time

從圖5中可以看出,EAOT由于在前段保持了更快的速度,整個飛行過程的平均速度大于固定攻角軌跡,同等射程條件下總飛行時間少于固定攻角軌跡,這也是EAOT的一個優(yōu)勢。

圖6的能量變化情況對比可以更清楚地體現(xiàn)出EAOT在軌跡能量分配方面的優(yōu)點。與最大射程軌跡相比,固定攻角軌跡的能量從飛行起點開始就在以更快的速度衰減,整個飛行全程能量基本按照恒定的速率下降;EAOT在EOP能量下降速率較慢,與最大射程軌跡下降速率相同,是一種能量最優(yōu)的飛行軌跡,在EMP迅速消耗了多余的能量。

圖6 能量隨時間和射程的變化Fig.6 Energy change over time and range

為了進一步分析EAOT軌跡的抗干擾效果,假設飛行器在飛行過程中遭遇了一次突發(fā)的干擾攔截,飛行器被迫進行了持續(xù)一段時間的機動,其間攻角保持最大攻角,傾側角不斷翻轉。機動結束后,飛行器重新以當前位置為起點,規(guī)劃新的EAOT軌跡繼續(xù)飛行至終點。仿真結果如圖7所示。

從圖7中可以看到,飛行器在機動時消耗了能量,得益于前期節(jié)省的能量,仍然在終點處滿足了終端的能量約束。相比于固定攻角軌跡,EAOT在飛行前段保留了更多能量,從而為飛行器適應未知干擾攔截提供了更好的能量條件。

4 結論

①本文提出了一種能量優(yōu)化分配軌跡模式,把多余能量集中在能量管理段內消耗。通過仿真對比,證實這種軌跡增大了再入飛行前段的能量裕度,為飛行器在飛行過程中實時調整軌跡或提供了基礎,提升了飛行器應對未知干擾攔截的能力。②本文推導了初末狀態(tài)確定條件下的平衡滑翔最短射程的解析計算公式,在此基礎上提出了能量管理段射程的快速迭代計算方法,結合傾側角翻轉技術,構建了能量優(yōu)化分配軌跡的一體化生成方法,通過仿真驗證了方法的可行性。③本文研究的軌跡快速規(guī)劃方法,能夠快速規(guī)劃得到能量優(yōu)化分配軌跡,可以滿足飛行器遇到干擾攔截時軌跡在線重規(guī)劃的實時性需求,具有較大的工程應用潛力。