張詩嫻,田杰中,柏啟明,李洪毅

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

部分因析設計是從完全因析設計中精心挑選的一個子集,相比完全因析設計,其試驗次數(shù)更少、成本更低.對于那些昂貴且耗時的試驗,試驗者更傾向于選擇最優(yōu)部分因析設計,這樣可以在很大程度上節(jié)約成本并獲取有價值的信息.關于如何衡量一個設計是最優(yōu)設計,學者從不同角度給出了一些度量準則[1-5].

當采用初始設計進行試驗得到的結(jié)果達到目標時就可以結(jié)束試驗,然而很多時候僅采用初始設計無法達到試驗預期的目標,這時就需要跟隨試驗通過添加試驗次數(shù)或因子數(shù)來進一步收集信息.折疊和半折疊技術(shù)是添加設計試驗次數(shù)的重要方法,常用于跟隨試驗.但由于這2種方法在跟隨試驗中添加試驗次數(shù)時非常不靈活,因此學者構(gòu)造了一系列更靈活的行擴展設計[6-10].除此之外,學者還考慮對因子數(shù)進行添加,即列擴展[11-13].許多工業(yè)試驗如半導體制造中,在試驗的初級階段容易忽略某些重要的因子,因此需要將這些因子添加到下一階段的試驗中[14],即對初始設計進行列擴展.考慮到現(xiàn)有的許多構(gòu)造方法需要算法搜索或者一定的技術(shù)性手段,因此筆者擬采用一種不需要計算機搜索的方法來更靈活地構(gòu)造列擴展設計.

1 基本概念和準則

考慮一個具有n次試驗、m個因子、二水平的設計X,設計X對應于一個n×m矩陣,矩陣的每個元素取自集合{-1,+1}(簡寫為{-,+}).稱設計X是一個U-型設計,如果設計X中的每個元素在每列中出現(xiàn)相同的次數(shù),這樣的二水平U-型設計的集合記作U(n;2m).

對于任意二水平設計X∈U(n;2m),當m=n-1時,稱設計X為二水平飽和設計,當m>n-1時,稱設計X為二水平超飽和設計.E(s2)準則[1]就是最小化E(s2),

(1)

其中sij是矩陣XTX中(i,j)位置上所對應的元素.使得(1)式最小化的設計就是E(s2)最優(yōu)的超飽和設計.

對于任意設計X∈U(n;2m),距離分布

dH(xk,xl)+δkl(X)=m.

對于任意設計X∈U(n;2m),廣義字長型模式為

(2)

其中

對于任意設計X∈U(n;2m),記t階矩為Kt(X),

(3)

最小矩混雜(Minimum Moment Aberration,MMA)準則[3]就是序貫最小化Kt(X).

基于中心化L2-偏差,Fang等[15]定義了均勻性模式MIi(X),并用它來度量設計X∈U(n;2m)在i維投影上的總體均勻性：

最小低階投影均勻性(Minimum Projection Uniformity,MPU)準則[15]就是序貫最小化MIi(X).

2 二水平最優(yōu)列擴展設計的構(gòu)造

設初始的二水平設計X∈U(n;2m),將低水平-用(-,+)替換,高水平+用(+,-)替換(表1).完成替換后得到一個列擴展設計,記為L(X).與初始設計X相比,列擴展設計L(X)的試驗次數(shù)不變,因子數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍,顯然L(X)∈U(n;22m).

表1 設計X的水平替換方式Table 1 Level Replacement Method of the Design X

例1考慮初始設計X∈U(4;23),

將設計X的低水平-和高水平+按表1所示的方法進行替換,可得列擴展設計L(X)∈U(4;26),

(4)

(5)

(6)

命題1顯然成立,證明過程省略.

3 列擴展設計與初始設計在篩選準則下的解析聯(lián)系

3.1 E(s2)準則

下面的定理建立了列擴展設計L(X)的E*(s2)和初始設計X的E(s2)之間的解析聯(lián)系：

定理1令設計X∈U(n;2m),L(X)∈U(n;22m)是X的列擴展設計,則有

(7)

證畢.

由定理1可知,列擴展設計L(X)的E*(s2)是初始設計X的E(s2)的線性變換,且初始設計X的E(s2)的系數(shù)是一個非負數(shù),因此最小化E*(s2)當且僅當最小化E(s2).由此可得如下結(jié)論：

定理2在E(s2)準則下,列擴展設計L(X)是最優(yōu)的當且僅當初始設計X是最優(yōu)的.

由文獻[4]可知,對于任意設計X∈U(n;2m),則設計X的E(s2)滿足

(8)

根據(jù)定理1和(8)式可獲得E*(s2)的一個下界,該下界可作為一個基準用于評價列擴展設計L(X)的優(yōu)良性：

推論1令設計X∈U(n;2m),L(X)∈U(n;22m)是X的列擴展設計,則設計L(X)的E*(s2)滿足

3.2 GMA準則

定理3令設計X∈U(n;2m),L(X)∈U(n;22m)是X的列擴展設計,則對于1≤j≤2m,有

證明由(2),(5),(6)式可知,對于1≤j≤2m,有

注意到

于是

證畢.

推論2令設計X∈U(n;2m),L(X)∈U(n;22m)是X的列擴展設計,則有

其中βr是僅依賴于n,m和r的常數(shù),0≤r≤m.

證明由文獻[16]中的引理1,有

結(jié)合定理3,結(jié)論成立.

證明由文獻[15]中的定理2,有

結(jié)合定理3,結(jié)論成立.

3.3 MMA準則

(9)

證明由(3)和(4)式,可得

證畢.

證明由文獻[3]中的定理4,可得

結(jié)合定理4,結(jié)論成立.

Xu[3]給出了設計X的t階矩Kt(X)與字長型Aj(X)之間的聯(lián)系：

(10)

其中αj,0≤j≤t和c0是僅依賴于n,m,j,t的常數(shù).Xu[3]指出,因為(10)式中At(X)的系數(shù)αt>0,所以序貫最小化Kt(X)等價于序貫最小化At(X),t=1,2,…,m.

推論6列擴展設計L(X)是MMA或GMA的,當且僅當初始設計X是MMA或GMA的.

4 數(shù)值算例

例1(續(xù))由(1)式可以得到例1中初始設計X的E(s2)=0,即X在E(s2)準則下是一個最優(yōu)設計.又由(7)式計算可得列擴展設計L(X)的E*(s2)=3.2.因此列擴展設計L(X)在E(s2)準則下也是一個最優(yōu)設計.這一數(shù)值結(jié)果支持了定理2的理論結(jié)果.

例23個初始設計X1,X2和X3(表2)都是試驗次數(shù)為12、因子數(shù)為5的二水平部分因析設計.Ma等[17]給出了GMA準則下設計X2比X1表現(xiàn)較好,且設計X1和X2都比X3表現(xiàn)較好的結(jié)論.

表2 初始設計X1,X2和X3Table 2 Initial Design X1,X2 and X3

表3是初始設計X1,X2和X3的列擴展設計L(X1),L(X2)和L(X3)分別在GMA準則和MMA準則下的數(shù)值結(jié)果.

表3 L(X1),L(X2)和L(X3)的數(shù)值結(jié)果Table 3 Numerical Results of L(X1),L(X2) and L(X3)

由表3可知,基于GMA準則和MMA準則,設計L(X2)比L(X1)表現(xiàn)較好,設計L(X2)和L(X1)都比L(X3)表現(xiàn)較好.這些數(shù)值結(jié)果支持了推論6.