■安徽省太湖職業(yè)技術(shù)學(xué)校 汪銳華

坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考中,從考查知識的角度看,主要涉及:基本公式與概念,三種方程的互化,圓與橢圓的參數(shù)方程,直線、圓、橢圓中參數(shù)的幾何意義。從同學(xué)們存在問題的角度看,主要有:基本概念不清晰、基本方法不熟練;運(yùn)算能力、作圖能力、表達(dá)能力等欠缺;目標(biāo)意識、規(guī)范意識薄弱,具體體現(xiàn)在:消參的技巧不熟練(代入,加減,三角,齊次化),其關(guān)鍵之處是代數(shù)式的結(jié)構(gòu);忽略方程互化的等價性(注意范圍);對參數(shù)(t,ρ,θ)的幾何意義理解不準(zhǔn)確;忽略極點的多值性。本文針對在高考備考中這部分內(nèi)容出現(xiàn)的易錯題進(jìn)行分類剖析,并提出一些備考建議,以期對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

易錯點一、忽視參數(shù)的范圍導(dǎo)致三種方程轉(zhuǎn)化不等價

(1)求曲線C的普通方程;

(3)求直線l與曲線C交點的直角坐標(biāo)。

總結(jié)：把參數(shù)方程化為普通方程時,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ā３Ｒ姷南麉⒎椒ㄓ?代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法等。把曲線C的普通方程F(x,y)=0 化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是選取適當(dāng)?shù)膮?shù);二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性。要注意方程中參數(shù)的變化范圍。

易錯點二、不能正確理解極徑的幾何意義,不能利用極徑的幾何意義解決問題

例2(2022年全國高三專題練習(xí))數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線,如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線E:x2+y2的形狀如心形,稱這類曲線為心形曲線。以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系。當(dāng)a=2時。

圖1

(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程;

(2)已知P,Q為曲線E上異于坐標(biāo)原點O的兩 點,且,求△OPQ的面積的最大值。

總結(jié)：過極點的直線與曲線相交產(chǎn)生的“距離”問題,如過極點O的直線與曲線C交于A,B兩點,求|AB|,|OA|,|OA+OB|,|OA·OB|等問題,要把曲線C化為極坐標(biāo)方程f（ρ,θ）=0,聯(lián)立θ=α,利用θ或α表示A,B的極徑,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)相關(guān)的問題。

易錯點三、忽視極角的取值范圍

例3(2022 年四川高三開學(xué)考試)如圖2所示,在極坐標(biāo)系Ox中,點A（4,π ）,曲線M是以O(shè)A為直徑,O1為圓心的半圓,點B在曲線M上,四邊形OBCD是正方形。

圖2

(2)當(dāng)點B在曲線M上運(yùn)動時,求點D的軌跡的極坐標(biāo)方程。

易錯分析：未關(guān)注到點的范圍的變化,導(dǎo)致在極坐標(biāo)系下極角的變化。

正解：(1)如 圖3 所示,連接AB,OC,因為OA是直徑,所以AB⊥BO。

圖3

由題意可得O1的直角坐標(biāo)為（-2,0）,所以曲線M的普通方程為（x+2）2+y2=4（y≥0）,即x2+4x+y2=0（y≥0）。

總結(jié)：在根據(jù)條件求直線和圓的極坐標(biāo)方程,求極坐標(biāo)系中直線和圓的方程,求極坐標(biāo)系中曲線的某個特征值,求曲線的交點坐標(biāo),求極坐標(biāo)兩點間距離,求已知曲線的極坐標(biāo)方程等問題時,要結(jié)合圖形,注意極角的取值范圍。