■陜西省漢中中學(xué) 來(lái)麗娟

不等式選講為高考選考內(nèi)容之一,近幾年高考全國(guó)卷主要考查絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等),以及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值等問(wèn)題,交匯考查集合的概念、絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次不等式、基本不等式等內(nèi)容。隨著新課標(biāo)的實(shí)施,對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算求解能力、分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)都有考查。難度中等偏易,是同學(xué)們?nèi)菀淄黄频囊坏李}目。本文結(jié)合實(shí)例,將從不等式選講部分常考考向和解題方法進(jìn)行探析,希望能給同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供一定的幫助。

題型一、絕對(duì)值不等式的求解

當(dāng)右移至圖像過(guò)點(diǎn)B(-1,6)時(shí),a=5。

結(jié)合圖像可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-4,5]。

圖1

題型二、不等式的證明問(wèn)題

1.比較法證明不等式

例2已知函數(shù)f(x)=|2x+1|。

(1)求不等式f(x)＜x+2的解集M;

(2)若a?M,b∈M,證明:|1-ab|≤|a-b|。

2.綜合法證明不等式

總結(jié)：綜合法的思路是“由因?qū)す?即從“已知”推導(dǎo)出已知的“性質(zhì)”,從而逐步推向“未知”。利用綜合法證明不等式時(shí)應(yīng)注意:(1)要著力分析已知與求證、不等式的左右兩端的差異與聯(lián)系,進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵。(2)在利用不等式的性質(zhì)和基本不等式時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件。

3.分析法證明不等式

總結(jié)：分析法的思路是“執(zhí)果索因”,即從所要證明的“結(jié)論”入手,向已知條件反推,直至達(dá)到“已知條件”為止。利用分析法證明不等式時(shí)應(yīng)注意:(1)證明的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論。(2)從要證的不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的條件是已知(或已證)的不等式等。(3)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用好“要證”“只需證明”“即證明”等詞語(yǔ),否則就不是分析法。

題型三、絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用

例5已知x,y,z是正實(shí)數(shù),且3x+y+4z=9。

題型四、絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用

(1)若a=2,求不等式f(x)＞1的解集;

當(dāng)x≥2 時(shí),f（x）=3＞1 恒成立,所以x≥2;

當(dāng)-1＜x＜2時(shí),由f（x）=2x-1＞1,解得x＞1,所以1＜x＜2;

當(dāng)x≤-1時(shí),>f（x）=-3＞1無(wú)解。

總結(jié)：不等式恒成立問(wèn)題或存在性問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決:(1)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化方法:f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a;f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a;(2)存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化方法:f(x)＞a有解?f(x)max＞a;f(x)＜a有解?f(x)min＜a。

預(yù)計(jì)2023年高考全國(guó)卷第23題仍會(huì)考查含絕對(duì)值不等式的求解方法,以及利用基本不等式等證明和處理恒成立或有解問(wèn)題,結(jié)合導(dǎo)數(shù)或函數(shù)的圖像與性質(zhì)求參數(shù)取值范圍等。繼續(xù)注重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng),以及分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解等能力,建議同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考階段所選試題可以重點(diǎn)突出上述內(nèi)容。