王鵬飛 徐宏陽(yáng) 馬輝 楊陽(yáng)

摘要 針對(duì)某履帶車輛匯流行星排傳動(dòng)系統(tǒng)支撐軸承存在的安裝不對(duì)中問(wèn)題，建立了含軸承傾斜不對(duì)中的行星輪系?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。理論推導(dǎo)了可考慮球軸承分別處于內(nèi)/外圈傾斜不對(duì)中故障條件下的軸承力模型。將該模型與行星輪系集中質(zhì)量模型以及轉(zhuǎn)子有限元模型耦合，得到了行星排傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。分析了軸承不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，并討論了滾道曲率半徑和軸承間隙等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的演變規(guī)律。結(jié)果表明，傾斜不對(duì)中使軸承接觸力急劇增大；接觸角、接觸剛度、軸承間隙產(chǎn)生周期性波動(dòng)；變?nèi)岫日駝?dòng)頻率幅值增大，系統(tǒng)振幅降低。提高滾道曲率半徑和軸承初始間隙會(huì)增大變?nèi)岫日駝?dòng)。但適當(dāng)選擇較大的軸承間隙，可抵消軸承安裝不對(duì)中造成的不利影響。

關(guān)鍵詞 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué); 行星輪系?轉(zhuǎn)子系統(tǒng); 軸承不對(duì)中; 滾動(dòng)軸承; 動(dòng)力學(xué)特性

引 言

齒輪、軸承、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分，被廣泛應(yīng)用于人類社會(huì)的交通部門和工業(yè)生產(chǎn)部門當(dāng)中。然而，由于加工與裝配不當(dāng)、運(yùn)行時(shí)載荷或溫度變化等原因，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備經(jīng)常出現(xiàn)不對(duì)中故障。據(jù)統(tǒng)計(jì)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械不對(duì)中故障可占轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障的70%，僅次于轉(zhuǎn)子不平衡故障［1］。旋轉(zhuǎn)機(jī)械不對(duì)中按照故障發(fā)生的位置可以分為聯(lián)軸器不對(duì)中與軸承不對(duì)中兩大類。其中軸承不對(duì)中故障會(huì)增大滾珠與滾道之間的接觸應(yīng)力，軸承運(yùn)行溫度升高，縮短其使用壽命，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致軸承燒毀、保持架斷裂故障，使軸承提前失效。

在有關(guān)于軸承不對(duì)中問(wèn)題的研究中，Harris等［2］將滾動(dòng)軸承不對(duì)中進(jìn)一步分為支承不同軸、軸承外圈傾斜、軸承內(nèi)圈傾斜和軸變形4類。Berkovich［3］在試驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)當(dāng)套圈相對(duì)偏斜角從0增加到53′時(shí)，保持架的動(dòng)態(tài)應(yīng)力由0.54～0.81 MPa激增至20 MPa以上。在國(guó)內(nèi)，徐銳等［4］針對(duì)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)地面臺(tái)架試車故障進(jìn)行分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)軸承失效的首斷件為保持架，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配后的軸承偏斜是導(dǎo)致軸承失效的主因。Zhang等［5］提出了一種改進(jìn)角接觸球軸承準(zhǔn)靜態(tài)模型，發(fā)現(xiàn)在軸向載荷作用下，套圈傾斜不對(duì)中會(huì)降低軸承疲勞壽命和軸向剛度；而在組合載荷作用下，一定的不對(duì)中量可以改善軸承載荷分布和疲勞壽命。易均等［6］推導(dǎo)了角接觸球軸承外圈發(fā)生繞豎直方向歪斜時(shí)的非線性軸承力簡(jiǎn)易表達(dá)式，討論了軸承歪斜對(duì)系統(tǒng)全局非線性穩(wěn)定特性和振動(dòng)特性的影響。

軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在考慮行星齒輪箱后，由于其增加了系統(tǒng)的慣性、質(zhì)量、剛度、阻尼和陀螺力矩，對(duì)軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性有很大的影響［7］。例如，文獻(xiàn)［8?9］研究了以齒輪傳動(dòng)渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)（GTF）為代表的行星輪系?軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性。Wang等［8］引入滾動(dòng)軸承力模型，建立了考慮時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和軸承間隙的直齒行星輪系?轉(zhuǎn)子?滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)增大摩擦系數(shù)使系統(tǒng)經(jīng)歷倍周期、擬周期乃至混沌運(yùn)動(dòng)，頻率成分由以齒輪嚙合頻率為主轉(zhuǎn)變?yōu)檩S承頻率為主。Wang等［9］又考慮行星輪系嚙合相位關(guān)系，建立了多軸承支撐的人字行星輪系?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，討論了軸承安裝位置對(duì)行星輪系均載特性的影響。文獻(xiàn)［10?11］分析了軸承間隙和軸承缺陷故障對(duì)行星輪系振動(dòng)特性的影響。

目前相較于對(duì)滾動(dòng)軸承缺陷故障以及聯(lián)軸器不對(duì)中故障方面的研究而言，對(duì)滾動(dòng)軸承不對(duì)中方面的研究還相對(duì)較少。文獻(xiàn)［12］也進(jìn)一步指出滾動(dòng)軸承不對(duì)中的動(dòng)力學(xué)研究尚屬空白。而且軸承不對(duì)中對(duì)行星輪系?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響更是鮮有報(bào)道。本文基于現(xiàn)有理論研究的不足，提出了一種軸承分別處于內(nèi)/外套圈安裝傾斜不對(duì)中情況下的非線性軸承力模型，并以某型履帶車輛匯流行星排傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究了軸承間隙、滾道曲率半徑等參數(shù)對(duì)含有軸承傾斜不對(duì)中的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性演變規(guī)律。結(jié)果可為軸承不對(duì)中問(wèn)題的故障診斷與識(shí)別提供一定依據(jù)。

1 含軸承不對(duì)中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為某履帶車輛匯流行星排傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。該系統(tǒng)主要由轉(zhuǎn)子（輸入軸?轉(zhuǎn)子1；輸出軸?轉(zhuǎn)子2）、直齒行星輪系、滾動(dòng)軸承三大部分組成。其中行星輪系含有1個(gè)齒圈（R）、1個(gè)太陽(yáng)輪（S）、5個(gè)行星輪（P1～P5）、1個(gè)行星架（C）。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。輸入軸與齒圈、行星架與輸出軸均通過(guò)花鍵連接。系統(tǒng)動(dòng)力的傳動(dòng)路徑為：輸入軸→齒圈→行星輪→太陽(yáng)輪和行星架→輸出軸。已知齒圈、行星輪、行星架均順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，太陽(yáng)輪不轉(zhuǎn)。該系統(tǒng)由9個(gè)滾動(dòng)軸承支撐，其中齒圈（輸入軸）、行星架（輸出軸）、太陽(yáng)輪軸處的軸承代號(hào)分別為1～3，輸入軸與輸出軸之間為軸承4（該軸承內(nèi)圈與輸入軸配合，軸承外圈與輸出軸配合）。除行星輪的軸承（軸承5～9）為滾針軸承外，其余均采用深溝球軸承。在建模前對(duì)系統(tǒng)作適當(dāng)假設(shè)處理：（1）忽略花鍵等連接結(jié)構(gòu)的影響。（2）將齒圈、太陽(yáng)輪、行星輪、行星架均看成集中質(zhì)量點(diǎn)。（3）采用非線性時(shí)變的彈簧?阻尼模型模擬各齒輪之間嚙合關(guān)系；為降低模型復(fù)雜程度，系統(tǒng)兩側(cè)支撐軸承（軸承1和2）采用非線性軸承力模型模擬；其余各軸承按照線性時(shí)不變的彈簧?阻尼來(lái)模擬。

行星輪系?軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型示意圖如圖2所示，采用有限元方法對(duì)輸入、輸出軸進(jìn)行離散，兩個(gè)轉(zhuǎn)子各含12個(gè)軸段，其中輸入軸的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1～13，輸出軸的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為20～32。行星輪系中齒圈、太陽(yáng)輪、行星輪1～5、行星架的節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為10，14～19，21。各軸承節(jié)點(diǎn)位置為：軸承1?節(jié)點(diǎn)10、軸承2?節(jié)點(diǎn)26、軸承3?節(jié)點(diǎn)14、軸承4?節(jié)點(diǎn)12和21、軸承5～9分別為節(jié)點(diǎn)15～19。

1.1 球軸承傾斜不對(duì)中非線性力模型

假設(shè)深溝球軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子配合安裝，并隨轉(zhuǎn)子同轉(zhuǎn)；軸承外圈與軸承座內(nèi)孔配合安裝，外圈固定不轉(zhuǎn)。因此軸承內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角速度為ω；該軸承有Nb個(gè)滾珠，外圈滾道半徑為Rb，內(nèi)圈滾道半徑為rb；滾珠直徑為db；軸承節(jié)徑為Db；軸承的初始徑向間隙為c0。并假設(shè)：（1）軸承中的滾動(dòng)體在內(nèi)外滾道之間均勻分布，作純滾動(dòng)；（2）軸承僅承受純徑向載荷作用；（3）不考慮潤(rùn)滑油、溫度、保持架兜孔間隙以及滾珠離心力等因素的影響。

不失一般性，假設(shè)軸承在安裝過(guò)程中內(nèi)圈沿x軸方向發(fā)生了傾斜，傾斜角度為φix，其中第j個(gè)滾珠所在的角位置為θj，滾珠中心位置點(diǎn)為Obj，該滾珠所在的外滾道曲率中心軌跡點(diǎn)為Ooutj，對(duì)應(yīng)的內(nèi)滾道曲率中心軌跡點(diǎn)為Oinj，幾何關(guān)系如圖3（a）所示。內(nèi)圈傾斜后內(nèi)滾道曲率中心軌跡也隨之發(fā)生變化，第j個(gè)滾珠所在相應(yīng)的內(nèi)滾道軌跡點(diǎn)變?yōu)镺inj′，滾珠中心點(diǎn)變?yōu)镺bj′。結(jié)合圖4（a），不難推出內(nèi)、外滾道的曲率中心半徑分別為OO? inj和OO? outj，其模長(zhǎng)可以表示為：

式中 rin和rout分別為內(nèi)、外滾道曲率半徑。引入內(nèi)/外滾道曲率半徑系數(shù)fi/o，因此軸承的內(nèi)/外滾道曲率半徑可以表示為它們的曲率半徑系數(shù)與滾珠直徑之積，即rin=fidb，rout=fodb。

考慮到模型的通用性，進(jìn)一步假定軸承內(nèi)圈沿y軸方向也存在傾斜不對(duì)中，傾斜角度為φiy，那么將存在如下幾何關(guān)系：

根據(jù)圖3（a）所示的幾何關(guān)系，可得軸承因傾斜不對(duì)中所致第j個(gè)滾珠所在的角位置處產(chǎn)生的接觸角αij，表示為：

傾斜不對(duì)中后第j個(gè)滾珠處的法向間隙表示為Δij。由于軸承滾道曲率半徑遠(yuǎn)大于法向間隙，結(jié)合圖4（b），第j個(gè)滾珠所在角位置的軸承徑向間隙c'0ij可以表示為：

最后，將式（2）和（5）代入式（6）和（7）中，并記a0=（fi+fo?1）?dbo可以得到在軸承內(nèi)圈沿任意方向發(fā)生傾斜不對(duì)中后，接觸角與軸承間隙的廣義表達(dá)式為：

同理，對(duì)于軸承外圈傾斜，假設(shè)軸承在安裝過(guò)程中外圈沿x和y軸方向的傾斜角度分別為φox和φoy，幾何關(guān)系如圖3（b）所示。外圈傾斜后外滾道曲率中心軌跡也隨之發(fā)生變化，第j個(gè)滾珠所對(duì)應(yīng)的外滾道軌跡點(diǎn)變?yōu)镺'outj。結(jié)合如圖3（b）所示的幾何關(guān)系，推導(dǎo)過(guò)程同前。因此最終得到軸承外圈沿任意方向發(fā)生傾斜不對(duì)中后，接觸角αoj與軸承間隙c'0oj的廣義表達(dá)式：

由所推導(dǎo)的公式可見(jiàn)，當(dāng)深溝球軸承存在安裝傾斜不對(duì)中時(shí)，第j個(gè)滾珠所在位置處的軸承間隙不僅與不對(duì)中量有關(guān)，還和與之產(chǎn)生的接觸角、軸承的內(nèi)外圈半徑、內(nèi)外滾道的曲率半徑系數(shù)、滾珠直徑、初始間隙均有關(guān)。根據(jù)文獻(xiàn)［13］，假設(shè)第一個(gè)滾珠的初始位置角為0，結(jié)合本文假定的軸承安裝關(guān)系，則軸承的第j個(gè)滾珠的角位置θj可以表示為：

結(jié)合式（8）～（16），可得軸承不對(duì)中情況下第j個(gè)滾珠與滾道之間的接觸變形為：

式中 x和y分別為內(nèi)圈中心在水平和豎直方向所產(chǎn)生的振動(dòng)位移量；下角標(biāo)n分別代表內(nèi)圈傾斜不對(duì)中（ij）和外圈傾斜不對(duì)中（oj）。

根據(jù)非線性赫茲接觸理論，滾珠與滾道之間只能產(chǎn)生法向正應(yīng)力，即只有在δj>0時(shí)才有作用力。引入Heaviside函數(shù)H（δj），結(jié)合文獻(xiàn)［10，14］，滾動(dòng)軸承由于不對(duì)中所產(chǎn)生的非線性軸承力在x和y方向可分別表示為：

式中 cbj表示第j個(gè)滾珠的赫茲接觸剛度，與相互接觸的材料和形狀有關(guān)。對(duì)于鋼質(zhì)軸承，有［2］：

式中 cbk （k=in， out）為球軸承對(duì)內(nèi)外滾道的載荷變形系數(shù)，表達(dá)式為：

其中，參數(shù)δ*k可根據(jù)文獻(xiàn)［2］得到；∑ρk為內(nèi)/外滾道曲率和，表示為：

1.2 行星輪系動(dòng)力學(xué)模型

行星排系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型示意圖如圖5所示。系統(tǒng)整體坐標(biāo)系OXYZ固結(jié)于行星架中心Oc點(diǎn)。為表達(dá)方便，建立與行星架同方向同轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系oqxqyqzq （q=r， pi， c， s，下同）。假設(shè)齒圈?行星輪和太陽(yáng)輪?行星輪在嚙合線方向上的相對(duì)位移分別為δrpi和δspi，這里按照主動(dòng)輪到從動(dòng)輪的方向繪制嚙合線，并假定相對(duì)位移取壓為正、拉為負(fù)，各轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。設(shè)構(gòu)件q的基圓半徑為rbq，ψi為第i個(gè)行星齒輪位置角，則有：

式中 αg為齒輪的壓力角，ωc為行星架轉(zhuǎn)速，N為行星輪個(gè)數(shù)。假設(shè)齒圈與第i個(gè)行星輪的嚙合作用線與x軸正向夾角為ψrpi，太陽(yáng)輪與第i個(gè)行星輪的嚙合作用線與x軸正向夾角為ψspi，并記ψrpi=ψi?αg+π/2，ψspi=ψi+αg+π/2。

1.3 轉(zhuǎn)子有限元模型

采用Timoshenko梁?jiǎn)卧M轉(zhuǎn)子，軸段單元示意圖見(jiàn)文獻(xiàn)［13］，梁?jiǎn)卧忻總€(gè)節(jié)點(diǎn)均含6個(gè)自由度。根據(jù)文獻(xiàn)［16］得到第p個(gè)軸段的質(zhì)量矩陣Mp、剛度矩陣Kp和陀螺矩陣Dp。通過(guò)組裝得到各含78個(gè)自由度的輸入軸矩陣Ms1，Ks1和Ds1，輸出軸矩陣Ms2，Ks2和Ds2，繼而可根據(jù)式（29）得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣Mr、剛度矩陣Kr和陀螺矩陣Dr。結(jié)合文獻(xiàn)［13］，本文采用比例阻尼形式得到轉(zhuǎn)子阻尼矩陣Cr。

1.4 行星輪系?滾動(dòng)軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

結(jié)合式（18），（23）～（26），（29），行星輪系?軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型最終可以表示為：

式中 U為系統(tǒng)的位移向量；Mp和Dp分別為行星輪系質(zhì)量和陀螺矩陣；Kb和Cb分別為系統(tǒng)支承剛度和阻尼矩陣；Kp和Cp分別為嚙合剛度和阻尼矩陣；Kc為離心剛度矩陣；T表示系統(tǒng)輸入、輸出扭矩向量；G為系統(tǒng)重力向量。Fb為非線性軸承力向量，軸承力分別置于節(jié)點(diǎn)10和26上。

值得注意的是，本文中4號(hào)軸承內(nèi)、外圈分別與輸入、輸出軸相連，如圖7所示。因此該軸承的軸承力向量可以表示為：

式中 Fbm， n為節(jié)點(diǎn)m，n處的軸承力向量；Kbm， n和Cbm， n分別為軸承4的剛度和阻尼矩陣；um， n為節(jié)點(diǎn)m，n處的振動(dòng)位移向量；kbl與cbl（l=x，y，z，θx，θy）分別為軸承4在l方向的支撐剛度和阻尼。

將此引入到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（30）中，系統(tǒng)剛度矩陣結(jié)構(gòu)示意圖如圖8所示，系統(tǒng)阻尼矩陣與此相同。

各構(gòu)件的支承剛度與阻尼參數(shù)如表2所示。系統(tǒng)左、右兩端支撐軸承參數(shù)參如表3所示。

2 含軸承不對(duì)中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

2.1 軸承不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

當(dāng)系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速1200 r/min、輸入扭矩1000 N·m時(shí)，研究了軸承傾斜不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。不失一般性，本文假設(shè)系統(tǒng)右側(cè)支撐軸承（SKF6018，軸承2）內(nèi)圈繞x軸傾斜角度φix=0.2°。計(jì)算得到傾斜不對(duì)中對(duì)軸承任一滾珠旋轉(zhuǎn)一周的接觸角、軸承間隙、接觸剛度的變化規(guī)律如圖9所示。

由圖9可見(jiàn)，傾斜不對(duì)中使軸承間隙、接觸角和接觸剛度不再是一個(gè)常數(shù)，而是均呈現(xiàn)周期性波動(dòng)變化的規(guī)律。傾斜不對(duì)中使軸承一周內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)負(fù)游隙區(qū)域。這表明傾斜不對(duì)中導(dǎo)致軸承出現(xiàn)兩個(gè)承載區(qū)，軸承上的每個(gè)滾珠在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中均會(huì)循環(huán)兩次出現(xiàn)“壓緊”與“放松”的交替變化。除此之外，雖然滾珠旋轉(zhuǎn)一周的平均接觸角仍為0，但接觸角的變化范圍接近±10°。傾斜不對(duì)中使軸承每個(gè)滾珠處的接觸角出現(xiàn)波動(dòng)，這與文獻(xiàn)［5］采用擬靜力學(xué)方法所得到的規(guī)律相似。根據(jù)公式（19）～（21）可知，隨著接觸角度的波動(dòng)性變化，軸承每個(gè)滾珠的接觸剛度也出現(xiàn)周期性變化，而且滾珠旋轉(zhuǎn)一周，接觸剛度也會(huì)波動(dòng)兩次。軸承接觸剛度也由于不對(duì)中的出現(xiàn)而提高。根據(jù)軸承運(yùn)動(dòng)學(xué)，第j個(gè)滾珠的公轉(zhuǎn)角速度ωbj可以計(jì)算為：

在軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ω一定的情況下，滾珠的角速度大小取決于接觸角的大小。由于軸承傾斜不對(duì)中使每個(gè)滾珠的接觸角均不同，因此使每個(gè)滾珠的公轉(zhuǎn)角速度均不相同。由此致使一些滾珠與保持架的轉(zhuǎn)速不相等，繼而使?jié)L珠與保持架之間發(fā)生彈性碰撞，這也可能是導(dǎo)致保持架疲勞斷裂的原因之一。

結(jié)合公式（17）和（19）計(jì)算得到了第j個(gè)滾珠與滾道間最大法向接觸力Fj=cbjδj1.5。進(jìn)一步研究了不對(duì)中對(duì)軸承接觸力的影響規(guī)律，如圖10所示。可見(jiàn)隨著不對(duì)中程度的加?。é読x/ox∈［0°， 0.2°］），內(nèi)、外圈不對(duì)中均導(dǎo)致軸承接觸力呈現(xiàn)非線性增大趨勢(shì)，不對(duì)中程度越大，軸承接觸力增幅越大。當(dāng)軸承健康運(yùn)行（φi/ox=0°）時(shí)，最大法向接觸力為22.015 N；而當(dāng)內(nèi)圈傾斜角度φix=0.2°時(shí)，最大法向接觸力急劇增大，可達(dá)約2521.6 N，比健康狀態(tài)的接觸力增大了約114.5倍，這會(huì)大幅縮短軸承的使用壽命。另外，外圈傾斜不對(duì)中所致的接觸力要略小于內(nèi)圈傾斜不對(duì)中情況。

在健康狀態(tài)（無(wú)不對(duì)中）、內(nèi)圈傾斜φix=0.2°、外圈傾斜φox=0.2°三種情況下的系統(tǒng)頻譜成分分別如圖11（a）～（c）所示。這里記齒輪嚙合頻率為fm，軸承1的變?nèi)岫日駝?dòng)（VC）頻率為fvc1，軸承2的VC頻率為fvc2。在健康狀態(tài)下，系統(tǒng)中的頻率成分由齒輪嚙合頻率及其諧波成分、兩個(gè)軸承的VC頻率組成。其中fm為主導(dǎo)頻率，說(shuō)明健康狀態(tài)下系統(tǒng)的主要激振來(lái)源是齒輪單雙齒嚙合所造成的振動(dòng)。另外，此時(shí)fvc1的頻率幅值也要大于fvc2。當(dāng)軸承存在不對(duì)中時(shí)，系統(tǒng)中除了仍存在的齒輪嚙合頻率及其諧波成分外，發(fā)生不對(duì)中的軸承2頻率fvc2及其倍頻的幅值相應(yīng)增大，甚至超過(guò)齒輪頻率fm成為系統(tǒng)振動(dòng)的主導(dǎo)頻率；相反，軸承1頻率fvc1幅值逐漸減弱甚至消失。與此同時(shí)還出現(xiàn)了齒輪頻率和軸承頻率的組合頻率成分，如fm-fvc2，fm-2fvc2等。系統(tǒng)在不同不對(duì)中程度下的振幅曲線如圖12所示。隨著不對(duì)中量的增大，系統(tǒng)的振幅有所下降，這是由于軸承不對(duì)中相當(dāng)于軸承對(duì)系統(tǒng)的約束效應(yīng)得到加強(qiáng)。值得注意的是，雖然內(nèi)、外圈在不同傾斜量下的頻譜特征規(guī)律變化一致，但在相同的傾斜角度下，軸承外圈傾斜不對(duì)中所產(chǎn)生的系統(tǒng)振幅要高于軸承內(nèi)圈的傾斜情況，這說(shuō)明軸承外套圈安裝傾斜對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響要強(qiáng)于內(nèi)圈傾斜所引起的振動(dòng)。這主要是因?yàn)?，雖然傾斜角度相同（φix=φox），但根據(jù)公式（8），（9）以及公式（12），（13）可以看出，傾斜導(dǎo)致的接觸角和軸承間隙的改變量是不相等的，因此軸承傾斜所導(dǎo)致施加于系統(tǒng)上的非線性軸承力大小也是不同的。

2.2 軸承初始徑向間隙的影響

以軸承內(nèi)圈傾斜不對(duì)中角φix=0.2°的情況為例，進(jìn)一步討論當(dāng)軸承處于傾斜不對(duì)中情況下，通過(guò)改變軸承2的初始徑向間隙c0，分析其對(duì)接觸角、軸承徑向間隙、接觸剛度的影響，如圖13所示。

由圖13可見(jiàn)，增大軸承初始間隙使傾斜不對(duì)中所導(dǎo)致的接觸角和接觸剛度波動(dòng)量略有增大，并導(dǎo)致傾斜不對(duì)中下的軸承間隙整體向上移動(dòng)，呈線性增大趨勢(shì)，甚至可以遠(yuǎn)離負(fù)游隙區(qū)域，從而避免滾珠擠死，說(shuō)明增大軸承的初始徑向間隙可以補(bǔ)償軸承安裝不對(duì)中所帶來(lái)的不利影響，這與文獻(xiàn)［17］所得結(jié)果一致。

以軸承初始徑向間隙c0分別取0 μm和20 μm為例，進(jìn)一步說(shuō)明軸承傾斜不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。圖14為不同軸承間隙下系統(tǒng)的位移波形、加速度波形、加速度FFT譜圖。當(dāng)軸承間隙c0=0 μm時(shí)，位移波形呈現(xiàn)出明顯的高低頻混合振動(dòng)特征，這說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)仍以高頻（齒輪頻率fm）振動(dòng)為主導(dǎo)，加速度譜圖中也以fm及其高次諧波成分為主；而當(dāng)軸承間隙c0=20 μm時(shí)，振動(dòng)位移波形近似為一正弦波，此時(shí)系統(tǒng)以低頻（軸承頻率fvc2）振動(dòng)為主導(dǎo)，振動(dòng)中心在重力的作用下向下移動(dòng)。從加速度波形可以看出，軸承間隙增大后加速度幅值有所降低。在加速度頻譜中，除了齒輪嚙合頻率fm及其諧波成分外，還出現(xiàn)了軸承頻率及其高次諧波成分，即nfvc2（n為正整數(shù)），軸承的變?nèi)岫阮l率幅值增大，說(shuō)明軸承變?nèi)岫日駝?dòng)加劇；以及以齒輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調(diào)制現(xiàn)象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數(shù)）。

軸承間隙對(duì)含傾斜不對(duì)中系統(tǒng)振幅的影響結(jié)果如圖15所示。由圖可見(jiàn)，隨著軸承間隙c0由0 μm增大至20 μm，系統(tǒng)振幅同樣也隨著軸承初始間隙的增大而升高，系統(tǒng)的非線性增強(qiáng)，這不利于機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。由上述結(jié)果可知，在系統(tǒng)振動(dòng)允許范圍內(nèi)，可以適當(dāng)選取較大的軸承間隙，從而減弱軸承安裝不對(duì)中的不良影響。

2.3 軸承滾道曲率半徑的影響

進(jìn)一步通過(guò)改變軸承2的滾道曲率半徑系數(shù)fi/o，以研究其對(duì)含有軸承不對(duì)中的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響規(guī)律。不對(duì)中量取值同前。首先分析了滾道曲率半徑系數(shù)fi/o∈［0.505， 0.525］對(duì)軸承參數(shù)（接觸角、軸承徑向間隙、接觸剛度）的影響，結(jié)果如圖16所示。由圖可見(jiàn)，隨著曲率半徑系數(shù)的增大，軸承徑向間隙和接觸角的波動(dòng)量均存在明顯的減小趨勢(shì)。軸承平均間隙也隨之減小，軸承的“壓緊”程度減弱。而軸承Hertz接觸剛度呈現(xiàn)出非線性減小的趨勢(shì)，即滾道曲率半徑越大，Hertz接觸剛度的減小程度越小。

不同滾道曲率半徑對(duì)含傾斜不對(duì)中系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響結(jié)果如圖17所示。系統(tǒng)的頻譜特征與如圖14所示的增大軸承間隙情況規(guī)律幾乎一致，即從圖17中可以清晰地觀察到軸承2的變?nèi)岫日駝?dòng)頻率fvc2的幅值隨著軸承滾道曲率半徑系數(shù)的增大而增大，與此同時(shí)，其倍頻成分如2fvc2，3fvc2，4fvc2等的幅值也隨之增大。此外仍出現(xiàn)了以齒輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調(diào)制現(xiàn)象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數(shù)）。結(jié)合圖18可見(jiàn)，系統(tǒng)振幅也同樣隨著滾道曲率半徑的增大而增大，這說(shuō)明增大滾道曲率半徑系數(shù)也使傾斜不對(duì)中所帶來(lái)的軸承變?nèi)岫日駝?dòng)加劇。

3 結(jié) 論

基于Hertz接觸理論，根據(jù)軸承不對(duì)中后的幾何關(guān)系，提出可應(yīng)用于復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的球軸承內(nèi)/外圈傾斜不對(duì)中非線性軸承力模型。并結(jié)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，行星輪系集總參數(shù)模型，建立了行星輪系?滾動(dòng)軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。采用數(shù)值仿真方法分析了當(dāng)軸承處于傾斜不對(duì)中狀態(tài)下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得到的結(jié)論如下：

（1）傾斜不對(duì)中導(dǎo)致軸承接觸力急劇增大，并使軸承出現(xiàn)兩個(gè)承載區(qū)。每個(gè)滾珠在每時(shí)刻下的軸承間隙、接觸角、接觸剛度均發(fā)生周期性波動(dòng)；軸承的接觸剛度也增大。由于每個(gè)滾珠接觸角均不相同，還導(dǎo)致滾珠的公轉(zhuǎn)角速度不一致，這會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致滾珠與保持架之間發(fā)生彈性碰撞。

（2）傾斜不對(duì)中導(dǎo)致軸承VC頻率幅值增大，甚至超過(guò)齒輪嚙合頻率成為系統(tǒng)振動(dòng)的主要激勵(lì)頻率。在較大的軸承間隙下，還出現(xiàn)了以齒輪嚙合頻率為中心，以軸承頻率及其倍頻為邊帶的頻率調(diào)制現(xiàn)象，即mfm±nfvc2（m，n均為正整數(shù)）。系統(tǒng)振幅有所降低，這主要是由于不對(duì)中使軸承對(duì)系統(tǒng)的約束作用增強(qiáng)所致。

（3）增大滾道曲率半徑可使接觸角非線性減小，徑向間隙非線性增大。增大軸承初始徑向游隙可以使不對(duì)中情況下的軸承徑向間隙線性增大，甚至遠(yuǎn)離負(fù)游隙區(qū)域。然而，增大滾道曲率半徑和軸承間隙會(huì)加劇軸承變?nèi)岫日駝?dòng)。因此，在系統(tǒng)振幅的允許范圍內(nèi)，可適當(dāng)選擇較大的軸承間隙，以抵消軸承安裝不對(duì)中造成的不利影響。

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Dynamic characteristics of planetary gear-rotor system with bearing tilt misalignment

WANG Peng-fei 1 XU Hong-yang 1MA Hui 1，2 YANG Yang 3

1. School of Mechanical Engineering & Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China；

2. Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems Ministry of Education， Northeastern University， Shenyang 110819， China；

3. China North Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China

Abstract Aiming at the misalignment problem of the support bearing in the planetary gear transmission system of a tracked vehicle， the equation of motion of the planetary gear-rotor system with bearing tilt misalignment was established. A bearing force model was proposed based on the nonlinear Hertz contact theory， which could be considered when the ball bearing was respectively in the condition of inner/outer ring tilt misalignment. The proposed model was coupled with the lumped mass model of planetary gear and the finite element model of rotor， and the dynamic model of planetary gear transmission system was obtained. The influence of bearing misalignment on the system dynamic characteristics was analysed， and the evolution law of the parameters such as raceway curvature radius and initial bearing radial clearance on the system dynamic characteristics was further discussed. The results show that the bearing tilt misalignment lead to the sharp increase of bearing contact force， the periodic fluctuation of contact angle， contact stiffness and bearing clearance， the increase of varying compliance （VC） vibration frequency amplitude and the decrease of system amplitude. Enhancing the raceway curvature radius and bearing initial clearance can increase the VC vibration. However， the appropriate selection of large bearing clearance can offset the adverse effects caused by tilt misalignment of bearing installation.

Keywords rotor dynamics; planetary gear-rotor system; bearing misalignment; rolling bearing; dynamic characteristics