郭飛燕,郭改慧

(陜西科技大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710021)

1.引言

英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈在其開(kāi)創(chuàng)性論文[1]中引入了反應(yīng)擴(kuò)散方程解的“擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定性”概念,即如果一個(gè)耦合反應(yīng)擴(kuò)散方程組的平衡解在沒(méi)有擴(kuò)散項(xiàng)的情況下是穩(wěn)定的，那么它在有擴(kuò)散項(xiàng)的情況下可能是不穩(wěn)定的.如果發(fā)生這種不穩(wěn)定性，我們稱(chēng)之為擴(kuò)散誘導(dǎo)不穩(wěn)定性，現(xiàn)在通常稱(chēng)為T(mén)uring不穩(wěn)定性.為了驗(yàn)證圖靈的猜想,人們對(duì)化學(xué)和生物背景下的反應(yīng)擴(kuò)散模型的Turing不穩(wěn)定性進(jìn)行了大量的理論和數(shù)值研究.如CIMA反應(yīng)的Lengyel-Epstein反應(yīng)擴(kuò)散模型[2?3]和Degn-Harrison模型[4?5].當(dāng)反應(yīng)速率相同且反應(yīng)物初始濃度不變情況下,自催化模型可表示為

其中? ?RN(N ≥1)為具有光滑邊界??的有界開(kāi)集,ν表示??上單位外法向量.?為拉普拉斯算子,u,v分別表示反應(yīng)物和催化劑的無(wú)量綱濃度,d1,d2表示反應(yīng)物和催化劑的擴(kuò)散系數(shù),a為反應(yīng)物初始濃度,p表示反應(yīng)階數(shù),且上述參數(shù)均為正常數(shù).

對(duì)于系統(tǒng)(1.1),文[6]證明了Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分岔的存在性,同時(shí)給出了擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性充分條件.文[7]補(bǔ)充了文[6]中的結(jié)果,進(jìn)一步建立了由擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定區(qū)域,討論了擴(kuò)散對(duì)Hopf分支存在性的影響.文[8]給出了正常數(shù)平衡點(diǎn)穩(wěn)態(tài)分岔的穩(wěn)定性.文[9]證明當(dāng)p=2時(shí)非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性,同時(shí)討論了高維情況下正常數(shù)平衡點(diǎn)產(chǎn)生的局部穩(wěn)態(tài)分岔.

飽和效應(yīng)描述了反應(yīng)物和生成物之間的飽和程度,且生物和化學(xué)反應(yīng)過(guò)程通常受到飽和效應(yīng)的影響,因此研究飽和項(xiàng)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)行為的影響有著很強(qiáng)的背景意義.文[10]研究了具有飽和效應(yīng)的自催化反應(yīng)-擴(kuò)散雙分子模型.給出了正常數(shù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定/Turing不穩(wěn)定的一些條件,考慮了系統(tǒng)的唯一正常數(shù)平衡點(diǎn)產(chǎn)生的Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分支.文[11]研究了具有飽和效應(yīng)的自催化反應(yīng)-擴(kuò)散雙分子模型非常數(shù)解的存在性和不存在性.文[12]討論了具有飽和效應(yīng)的Sel’kov模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性.文[13]研究了具有飽合效應(yīng)的Sel’kov模型周期解的Turing不穩(wěn)定性.受上面工作的啟發(fā),本文在系統(tǒng)(1.1)的基礎(chǔ)上考慮一類(lèi)具有飽和效應(yīng)的任意階自催化反應(yīng)擴(kuò)散模型

2.常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

本節(jié)主要針對(duì)系統(tǒng)(1.2)相應(yīng)的常微分系統(tǒng)

給出正平衡點(diǎn)(u?,v?)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性及穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(2.1)在(u?,v?)處雅可比矩陣為

設(shè)其特征方程為λ2?Tλ+D=0,其中

(i) 若k >k0,則系統(tǒng)(2.1)的正平衡點(diǎn)(u?,v?)局部漸近穩(wěn)定;

(ii) 若0

(iii) 若k=k0,則系統(tǒng)(2.1)在正平衡點(diǎn)(u?,v?)處產(chǎn)生Hopf分支,且當(dāng)Gp <0時(shí),該Hopf分支方向?yàn)榇闻R界的,分支周期解漸近穩(wěn)定;當(dāng)Gp >0時(shí),該Hopf分支為超臨界的,分支周期解不穩(wěn)定.

證當(dāng)k >k0時(shí),T <0又因D >0,此時(shí)雅可比矩陣J的特征值均具有負(fù)實(shí)部,故正平衡點(diǎn)(u?,v?)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)00又因D >0,此時(shí)雅可比矩陣J存在具有正實(shí)部的特征根,故正平衡點(diǎn)(u?,v?)不穩(wěn)定.

當(dāng)k=k0時(shí),J存在一對(duì)純虛根.設(shè)λ=α(k)±iβ(k)為J在k=k0附近的一對(duì)共軛復(fù)根,其中

上述方程組可改寫(xiě)為

顯然,當(dāng)k=k0時(shí),有

下面通過(guò)計(jì)算d(k0)的符號(hào)給出分支方向以及周期解的穩(wěn)定性[12],其中

將其代入d(k0),整理得

令Gp=(3p ?5a)(p ?1+a)2?a(1?a)(5p ?5+7a).由于α′(k0)<0,根據(jù)Hopf分支定理可知,系統(tǒng)(2.1)在正平衡點(diǎn)(u?,v?)處產(chǎn)生Hopf分支.當(dāng)Gp <0時(shí),該Hopf分支方向是次臨界的且分支周期解漸近穩(wěn)定;Gp >0時(shí),該Hopf分支方向?yàn)槌R界且周期解不穩(wěn)定.證畢.

3.擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支

本節(jié)在一維空間?=(0,π)上討論系統(tǒng)(1.2)Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支.

定義實(shí)Sobolev空間X={(u,v)∈H2(0,π)×H2(0,π):(ux,vx)|x=0,π=0},并且定義X的復(fù)延拓空間XC=X ⊕iX={x1+ix2|x1,x2∈X}.算子??在齊次Neumann邊界條件下特征值為μn=n2(n ∈N0={0,1,2,···})且?n=cos(nx)(n ∈N0)為μn所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).系統(tǒng)(1.2)在平衡點(diǎn)處線(xiàn)性化算子為

L所有特征值可由Ln的特征值給出,其中

設(shè)Ln的特征方程為λ2?Tnλ+Dn=0(n ∈N0),其中

當(dāng)p ≤1?a時(shí),對(duì)于任意的n,都有Tn ≤T <0且Dn >0,此時(shí)系統(tǒng)(1.2)的正平衡點(diǎn)(u?,v?)是局部漸近穩(wěn)定.下面給出p>1?a時(shí),系統(tǒng)(1.2)正平衡點(diǎn)(u?,v?)穩(wěn)定性結(jié)果.

注意到二次函數(shù)

的判別式

因此h(z)=0存在兩個(gè)實(shí)根

下面討論k >k0且0

存在兩個(gè)正實(shí)根

易知當(dāng)00.因此對(duì)于所有的d1>0,有K′(d1)>0,從而μ+(d1,d2)關(guān)于d1單調(diào)遞增.另一方面,我們有

上式關(guān)于d1求導(dǎo),可得

因?yàn)?d1,d2)>0,μ+(d1,d2)>0,μ?(d1,d2)>0,所以(d1,d2)<0.從而μ?(d1,d2)<0關(guān)于d1單調(diào)遞減.

要使0

接下來(lái),我們討論由擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性.

若k=k0,則系統(tǒng)(1.2)在(u?,v?)處產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支,且當(dāng)Hp >0時(shí),該Hopf分支方向是次臨界的且分支周期解漸近穩(wěn)定;當(dāng)Hp <0時(shí),該Hopf分支方向?yàn)槌R界且周期解不穩(wěn)定.

證當(dāng)k=k0時(shí),T0=0且D0>0.因?yàn)棣蘮 >0(n ≥1)且d1,d2>0,則對(duì)于任意的n ≥1,有Tn(k0)<0.經(jīng)計(jì)算

當(dāng)d1,d2滿(mǎn)足(3.2)式時(shí),對(duì)任意的n ≥1,都有Dn(k0)>0.因此,當(dāng)k=k0時(shí),算子L除一對(duì)共軛純虛根外,其他特征值均具有負(fù)實(shí)部.

設(shè)L?為線(xiàn)性算子L的伴隨算子,定義

其中L0?=L0,J?=JT.令

當(dāng)k=0時(shí),通過(guò)經(jīng)計(jì)算得

按照內(nèi)積定義計(jì)算得

下面可以通過(guò)Re(c1(k0))的符號(hào)判斷Hopf分支的方向和穩(wěn)定性,其中

令Hp=(p+2a)(p ?1+a)2+a(3?4a)(p ?1+a)+a(1?a).由文[12]中Hopf分支定理知,當(dāng)k=k0時(shí),系統(tǒng)(1.2) 在(u?,v?)處產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支,且當(dāng)Hp >0時(shí),該Hopf分支方向是次臨界的且分支周期解漸近穩(wěn)定;當(dāng)Hp <0時(shí),該Hopf分支方向?yàn)槌R界且周期解不穩(wěn)定.證畢.

4.數(shù)值模擬

本節(jié)給出一些數(shù)值實(shí)例,進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析結(jié)果.

對(duì)于常微分系統(tǒng)(2.1),令a=0.1,p=2,則k0=4.3123.若取k=5>k0,由定理2.1知正平衡點(diǎn)(u?,v?)局部漸近穩(wěn)定,見(jiàn)圖1.若取k=4.3

圖1 參數(shù)k=5>k0,系統(tǒng)(2.1)正平衡點(diǎn)(u?,v?)漸近穩(wěn)定.左: 時(shí)間圖;右: 相圖

圖2 參數(shù)k=4.3

對(duì)于偏微分系統(tǒng)(1.2),取a=0.1,p=2,k=5,則z1=0.0632.當(dāng)d1=1,d2=2時(shí)滿(mǎn)足d2>d1z1,由定理3.1知系統(tǒng)(1.2)的正平衡點(diǎn)(u?,v?)局部漸近穩(wěn)定,見(jiàn)圖3;當(dāng)d1=2,d2=0.05時(shí)滿(mǎn)足0

圖3 參數(shù)k=5,d1=1,d2=2,系統(tǒng)(1.2)正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.左:u的時(shí)空?qǐng)D;右:v的時(shí)空?qǐng)D

圖4 參數(shù)k=5,d1=2,d2=0.05,系統(tǒng)(1.2)的正平衡點(diǎn)是Turing不穩(wěn)定.左:u的時(shí)空?qǐng)D;右:v的時(shí)空?qǐng)D

圖5 參數(shù)k=4.3,d1=1,d2=2,系統(tǒng)(1.2)產(chǎn)生穩(wěn)定分支周期解.左:u的時(shí)空?qǐng)D;右:v的時(shí)空?qǐng)D

5.小結(jié)

本文在Neumann邊界條件下研究一類(lèi)具有飽和效應(yīng)的任意階自催化反應(yīng)擴(kuò)散模型.以k為分支參數(shù),分別給出常微分系統(tǒng)和擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.特別對(duì)于擴(kuò)散系統(tǒng),給出擴(kuò)散系數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明,當(dāng)k較小時(shí),正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;當(dāng)k較大時(shí),擴(kuò)散系數(shù)的比值d2/d1將影響平衡點(diǎn)穩(wěn)定性.當(dāng)d2/d1適當(dāng)大時(shí),平衡點(diǎn)仍然是穩(wěn)定的;當(dāng)d2/d1適當(dāng)小時(shí),平衡點(diǎn)可能穩(wěn)定,也可能出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象;當(dāng)d2/d1滿(mǎn)足一定條件時(shí),系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支.