汪洋 古銳

在外界荷載作用下，拱橋吊桿主要作橫向和軸向的振動。通過對拱橋吊桿受力行為的深入分析，推導(dǎo)了拱橋吊桿橫向、軸向的固有振動頻率計算公式，并對2個方向的振動頻率進(jìn)行了分析比較，表明拱橋吊桿的振動以橫向振動為主。并以一座既有中承式鋼管混凝土拱橋為背景，使用ANSYS建立橋梁有限元模型，定量分析了吊桿的橫向振動特性，表明吊桿的橫向振動頻率，隨著吊桿長度的增加，剛度和邊界條件對吊桿橫向振動頻率的影響減弱；由于吊桿的橫向振動頻率與吊桿長度成反比，短吊桿比長吊桿的振動頻率要大得多，表明拱橋的短吊桿受力較為不利。

拱橋； 吊桿； 振動

U441+.3 A

［定稿日期］2022-01-24

［作者簡介］汪洋（1977—），男，本科，高級工程師，從事道路與橋梁工程技術(shù)工作。

拱橋吊桿在風(fēng)荷載以及車輛移動荷載作用下會發(fā)生振動，傾斜布置的吊桿還有可能發(fā)生雨振，這不僅放大了吊桿的內(nèi)力而且還影響到吊桿的錨固可靠性。與斜拉橋拉索的的振動分析相類似，無論是車輛激振、風(fēng)致振動還是雨振，拱橋吊桿受界外作用后的動力響應(yīng)都與它的固有頻率密切相關(guān)。因此，研究拱橋吊桿的固有振動是研究吊桿動力響應(yīng)的前提［1］，拱橋吊桿可作橫向以及軸向的振動，拱橋吊桿便具有2個方向的振動特性。

1 工程概況

某中承式大跨徑鋼管混凝土拱橋［2］，主跨計算跨徑為150 m，計算矢跨比為1/4.5。全橋橫向設(shè)置2道拱肋，拱肋截面由4根660 mm鋼管構(gòu)成。橋面系采用吊橫梁、縱置小T梁，吊桿縱向間距5 m，行車道梁為標(biāo)準(zhǔn)跨徑5 m和7.5 m的鋼筋混凝土T梁，橋面寬度為24.5 m。墩臺基礎(chǔ)均為明挖基礎(chǔ)，引橋橋墩為柱式墩。全橋共有 46根吊桿，采用鐓頭錨錨固于拱肋上緣和橫梁下緣；每根吊桿采用138根S5 mm平行鋼絲束，采用外套110 mm×5 mm薄壁鋼管并內(nèi)填C10混凝土砂漿防護(hù)，橋梁立面布置及吊桿截面如圖1所示。

采用有限元軟件ANSYS建立橋梁的空間模型，如圖2所示，全橋共計5 397個節(jié)點(diǎn)，5 868個單元。模型中吊桿采用空間單向受拉三維桿單元 Link10單元模擬，其余構(gòu)件如拱肋、拱肋之間的腹桿、吊桿橫梁、立柱橫梁、立柱、橫撐和橋面系主梁等均采用Beam188單元模擬。

為了分析吊桿橫向振動特性，設(shè)吊桿長度為l，所受拉力為T，單位長度吊桿的質(zhì)量為m，不考慮吊桿的抗彎剛度，如圖3所示，根據(jù)力的平衡可得吊桿的橫向動力平衡方程見式（1）。

T（ηx+2ηx2dx）－Tηx-mdx2ηt2=0（1）

式（1）可以簡化為式（2）。

T2ηx2－m2ηt2=0（2）

由于吊桿的橫向振動方程和弦振方程相同［3］，因此本節(jié)不詳細(xì)敘述其求解過程。據(jù)式（2），可得兩端鉸接吊桿的橫向振動頻率為式（3）。

ωn=nπl(wèi)Tm （n=1，2，3…）（3）

可見，吊桿的橫向振動頻率與吊桿的長度和軸力水平相關(guān)，長度越短，基頻越高。當(dāng)考慮吊桿的抗彎剛度［4］為EI時，式2則變?yōu)槭剑?）。

EI4ηx4+T2ηx2-m2ηt2=0（4）

當(dāng)假定吊桿為兩端鉸接時，頻率公式為式（5）。

ωn=nπl(wèi)Tm（1+n2π2l2EIT） （n=1，2，3…）（5）

假定吊桿兩端是固結(jié)時，式（4）的解即為式（6），該式為一超越方程［5］，不能給出固有頻率的顯式解，但可以通過有限元方法求解。

αβ（1-cosαlcoshβl）+（β2-α2）sinαlsinhβl=0（6）

式中：

α2=（T2EI）2+mEIωn2－Tm（2EI）2

β2=（T2EI）2+mEIωn2+Tm（2EI）2

圖4～圖6為在不同計算方法和不同邊界條件下，拱橋1號短吊桿、2號次短吊桿、12號跨中吊桿的橫向振動頻率值。

由以上計算知，有限元解與理論解差別微乎其微，通過有限元方法計算得出的吊桿橫向振動頻率是十分可靠的。在考慮吊桿的剛度后，吊桿振動基頻增大14%以上，高階振動頻率甚至可增大200%以上；尤其是短吊桿，長度較短、剛度不可忽略，其截面受力特性近似于固結(jié)，相較于設(shè)計計算中無剛度鉸接的處理，實際情況下的短吊桿基頻增大有65%；而隨著桿長的增長，剛度和邊界條件對頻率的影響減弱，可以觀察到考慮不同條件下，跨中12號吊桿的前3階頻率基本無差別，而更高階的頻率差別也不大。

從圖7可以清楚的看到，由于吊桿的橫向振動頻率與長度成反比，短吊桿比長吊桿的振動頻率要大得多，1號短吊桿的基頻是跨中12號吊桿的基頻的7.9倍，2號次短吊桿基頻也達(dá)到了3.6倍。因汽車沖擊放大系數(shù)與基頻成正比，在前述的吊桿拱橋中，在同樣荷載作用下，短吊桿比長吊桿動荷載沖擊影響要大得多，幾乎都在2倍以上，這對短吊桿的受力是很不利的，另外，沖擊影響大，導(dǎo)致構(gòu)件應(yīng)力幅增大，這對短吊桿的疲勞受力也是很不利的。

3 吊桿軸向固有振動頻率

由于拱橋吊桿為軸向受力構(gòu)件，因此其軸向振動分析便顯得十分必要。吊桿在軸向上的受力行為可以簡化為圖8，設(shè)吊桿的軸向剛度為EA，均勻分布質(zhì)量為m，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可建立軸向振動方程見式（7）。

T+m2ηt2－（T+Txdx）=0（7）

即得式（8）。

m2ηt2－Txdx=0（8）

引入軸力與位移的關(guān)系式見式（9）。

N=σA=εEA=ηxEA（9）

將式（9）代入式（8）可得式（10）。

m2ηt2-EA2ηx2=0（10）

對于式（10）的振動方程，可用分離變量法進(jìn)行求解，并假定軸向振動為簡諧振動，代入邊界條件求解該微分方程，可以得到吊桿的軸向振動頻率為式（11）。

ωn=nπ2lEAm （n=1，3，5…）（11）

一般拱橋的吊桿的長度為5～30 m，那么由式（11）可知拱橋吊桿軸向振動的基頻一般在42～250 Hz之間，而拱橋吊桿的橫向振動基頻一般在3～30 Hz之間。可見，拱橋吊桿軸向振動基頻要比橫向振動基頻大很多，約為11倍，因此拱橋吊桿的振動以橫向振動為主。

4 結(jié)論

通過對拱橋吊桿受力行為的深入分析，推導(dǎo)了拱橋吊桿橫向、軸向的固有振動頻率計算公式，并對2個方向的振動頻率進(jìn)行了分析比較，表明拱橋吊桿的振動以橫向振動為主。

并以某中承式大跨徑鋼管混凝土拱橋為工程背景，定量分析了吊桿的橫向振動特性。吊桿的橫向振動頻率，隨著吊桿長度的增長，剛度和邊界條件對吊桿橫向振動頻率的影響減弱。由于吊桿的橫向振動頻率與長度成反比，短吊桿比長吊桿的振動頻率要大得多，表明拱橋的短吊桿受力較為不利。

參考文獻(xiàn)

［1］ R.克拉夫，J.彭津.結(jié)構(gòu)動力學(xué)［M］. 王光遠(yuǎn)，譯.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 古銳，陳惟珍，徐俊. 拱橋短吊桿在跳車激勵下的動力特性分析［J］.城市道橋與防洪， 2020（9）： 59-60+72.

［3］ 顧安邦，徐君蘭.中、下承式拱橋吊桿結(jié)構(gòu)行為分析［J］ .重慶交通學(xué)院學(xué)報，2002，21（4）： 1-3.

［4］ 古銳，陳惟珍，徐俊. 拱橋短吊桿抗彎剛度的研究分析［J］.四川建筑， 2020（4）： 218-220.

［5］ 李國豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動［M］.北京：中國鐵道出版社，1992.