徐世昊，關英姿，浦甲倫，韋常柱

哈爾濱工業(yè)大學 航天工程系，哈爾濱 150001

垂直起飛水平著陸（Vertical Takeoff Horizontal Landing，VTHL）可重復使用運載器因其低成本、高效天地往返的優(yōu)勢，得到了世界各航天強國的高度重視及廣泛研究，迎來了快速發(fā)展的契機［1］。再入飛行段作為VTHL運載器任務流程中的重要環(huán)節(jié)，是保證可控回收、重復使用的關鍵，而姿態(tài)控制系統(tǒng)是安全可靠完成再入飛行的重要保障。VTHL運載器再入返回初始條件散布大，且再入過程需經歷大幅姿態(tài)調整，對控制系統(tǒng)的收斂時間及動態(tài)響應特性提出了較高要求。運載器模型存在較強的非線性與耦合特性、模型參數不確定性強［2］，且再入飛行環(huán)境復雜、內外擾動大［3］，因而控制系統(tǒng)需具備強抗干擾能力與魯棒性。

針對運載器再入返回姿態(tài)控制問題，增益調度［4］、反步［5-6］、軌跡線性化［7］、自抗擾［8］、滑模［9］等線性/非線性控制方法已得到了廣泛應用。其中滑?？刂埔蚱漤憫俣瓤?、控制精度高、魯棒性強等優(yōu)勢，是解決參數不確定性與擾動影響下運載器再入姿態(tài)控制問題行之有效的途徑之一［10］。

傳統(tǒng)線性滑?？刂苾H能保證系統(tǒng)狀態(tài)在無窮時刻收斂，難以滿足模型參數不確定性與擾動影響下運載器姿態(tài)控制誤差收斂速度與精度需求。因此收斂時間有界的滑?？刂品椒ǜm用于運載器的再入姿態(tài)控制。文獻［11］設計了二階滑模控制律，實現(xiàn)了再入姿態(tài)控制誤差在有限時間內收斂。文獻［12］考慮干擾力矩，設計了多變量自適應Super-twisting有限時間滑?？刂坡伞Ｎ墨I［13］采用有限時間擴張狀態(tài)觀測器對再入過程中擾動量觀測補償，減弱了滑?？刂频亩墩駟栴}。文獻［14］基于新型快速終端滑模面，設計內外回路有限時間控制律，并引入一階濾波器避免控制量奇異。上述有限時間滑?？刂疲‵inite Time SlidingMode Control，F(xiàn)TSMC）方法雖可實現(xiàn)系統(tǒng)的收斂時間有界，但收斂時間上界仍與系統(tǒng)的初始狀態(tài)相關。而VTHL運載器主動段制導控制累積誤差易造成再入初始條件較大散布，導致系統(tǒng)收斂時間不可控，一定程度上限制了其應用。

為使收斂時間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關，即實現(xiàn)固定時間收斂，文獻［15］基于非奇異終端滑模及分數階狀態(tài)反饋設計控制律，使姿態(tài)控制誤差在固定時間內收斂。文獻［16］利用加權齊次性方法構造雙冪次自治系統(tǒng)，基于此系統(tǒng)設計固定時間再入姿態(tài)控制律。文獻［17］在滑模控制中引入固定時間收斂觀測器（Fixed-Time Extended State Observer，F(xiàn)xTESO），在保證固定時間收斂的同時減弱了控制量的抖振。文獻［18］采用精確魯棒微分器與終端滑模方法設計固定時間控制律，并引入補償函數避免控制量出現(xiàn)奇異。然而上述固定時間滑?？刂疲‵ixed-Time Sliding Mode Control，F(xiàn)xTSMC）方法作用下，系統(tǒng)收斂時間上界由多個控制參數組成的復雜函數決定，難以由簡單的函數關系直接確定，為設計工作帶來了困難。

上述提到的滑?？刂品椒m可實現(xiàn)系統(tǒng)收斂時間可控，但其上界仍未完全與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關，且與各控制參數間的關系不夠明晰。然而對于VTHL運載器再入飛行過程，控制系統(tǒng)收斂時間的設計至關重要：過小的收斂時間易引發(fā)執(zhí)行機構飽和，并易激發(fā)彈性振動等附加動力學行為；過大的收斂時間將影響系統(tǒng)動態(tài)響應性能，易造成控制誤差累積，甚至影響水平著陸精度。因此，如何在模型參數不確定性與擾動影響下，使VTHL運載器姿態(tài)控制誤差收斂時間上界與初始狀態(tài)無關，形式簡單且可由具明顯意義的控制參數預先設定，即實現(xiàn)預設時間收斂，是一個值得研究的問題。

基于上述分析，本文重點研究VTHL運載器水平再入返回過程中，存在模型參數不確定和外部干擾的預設時間滑模控制（Predefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方法，使得姿態(tài)角控制誤差在預設時間內收斂，設計了一種新型預設時間滑模面，并在此基礎上結合預設時間擴張狀態(tài)觀測器，設計VTHL運載器預設時間滑模控制律?；贚yapunov理論證明閉環(huán)控制系統(tǒng)的預設時間穩(wěn)定性，最后通過對比仿真驗證所提方法的有效性。

1 VTHL運載器動力學與控制模型

VTHL運載器的動力學模型包括質心與繞質心的運動方程，其中質心運動方程可參見文獻［19］，繞質心轉動的動力學方程為

式中：ωb為姿態(tài)角速率向量，ωb=[p，q，r]T，p、q、r分別為滾轉、俯仰和偏航角速率；ω×b為ωb的叉乘矩陣；Mc為氣動舵面與反作用控制系統(tǒng)共同產生的控制力矩；ΔM為運載器本體產生的氣動力矩及外部干擾力矩；I=ˉ+ΔI為轉動慣量矩陣ˉ及ΔI分別為其標稱與不確定部分。

繞質心轉動的運動學方程為

式中：α、β、σ分別為攻角、側滑角和傾側角；γ為飛行路徑角；ψ為航向角；θ和?分別為經度和緯度；ωe為地球自轉角速率。

將式（2）改寫為

式中：姿態(tài)角向量為Ω=[α，β，σ]T；F的表達式可由（2）直接得出，在此省略；

對式（3）求導得：

定義姿態(tài)指令為Ωc=[αc，βc，σc]T，姿態(tài)控制誤差為，則可得到誤差動力學系統(tǒng)為

定義H=F1+ΔD-Ω?c，建立控制模型為

假設1系統(tǒng)（6）中總擾動H的一階導數H?有界，且滿足

本文目標為設計控制量Mc，使得在模型參數偏差及外界干擾影響下，姿態(tài)角Ω在預設時間Tp內跟蹤制導指令Ωc，即

2 預備知識

2.1 符號說明

本文中，R表示實數集合，R+表示正實數集合，Rn和Rn×n分別表示n維實向量空間和n×n階實矩陣集合；‖·‖表示向量的Euclidean范數，λmin(·)表示矩陣的最小特征值，min{·}表示給定集合中的最小值。

對于任意的a∈R+和x∈R，定義函數siga(x)=sign(x)|x|a，sign(x)表示符號函數，|·|表示絕對值。對于向量ν=[ν1，ν2，…，νn]T，定義signa(ν)= [signa(ν1)，signa(ν2)，…，signa(νn)]T，siga(ν)=[siga(ν1)，siga(ν2)，…，siga(νn)]T，Arctan(v)=[arctan(v1)，arctan(v2)，…，arctan(vn)]T，νa=

2.2 穩(wěn)定性定義與引理

考慮自治系統(tǒng)：

式中：x∈Rn為狀態(tài)變量，初值為x0=x(0)∈Rn；代表自治系統(tǒng)中可調參數；f：Rn→Rn為非線性函數。假設系統(tǒng)（8）的解為Φ(t，x0)，且平衡點為原點。

定義1若系統(tǒng)（8）的原點是全局漸進穩(wěn)定的，且Φ(t，x0)在有限時間內到達平衡點，即Φ(t，x0)=0，?t≥T(x0)，T(x0)：Rn→R+{0}為收斂時間函數，那么系統(tǒng)（8）的原點是全局有限時間穩(wěn)定的［22］。

定義2若系統(tǒng)（8）的收斂時間函數T(x0)有上界，即?Tmax＞0：?x0∈Rn：T(x0)≤Tmax，那么系統(tǒng)（8）的原點是固定時間穩(wěn)定的［23］。

定義3若系統(tǒng)（8）是固定時間穩(wěn)定的，且存在參數?及常數T＞0，使得?x0∈Rn：T(x0)≤T，那么系統(tǒng)（8）的原點是預設時間穩(wěn)定的，T為預設的收斂時間［24-25］。

定義4向量A=[a1，a2，a3]T與B=[b1，b2，b3]T的Hadamard積為

引理1針對系統(tǒng)（8），若存在一個徑向無界且正定的Lyapunov函數V(x)滿足如下關系：

式中：T＞0；0＜p＜1；aˉ＞0；＞0；k＞1；ζ=(k-1)/k。則系統(tǒng)（8）的平衡點是全局預設時間穩(wěn)定的，且預設收斂時間為T。

證明考慮如下微分方程：

式中：ο＞0。

將式（11）轉化為

對式（12）兩側同時積分，可得系統(tǒng)（8）的收斂時間函數為

引理2針對系統(tǒng)（8），若存在一個徑向無界且正定的Lyapunov函數V(x)滿足關系［26］：

式中：c＞0；0＜a＜1。則系統(tǒng)（8）的平衡點是有限時間穩(wěn)定的，且收斂時間函數為

3 VTHL運載器預設時間滑?？刂?/h2>

基于姿態(tài)控制誤差動力學系統(tǒng)（6），本節(jié)控制律的設計思路為：首先基于反正切函數設計新型滑模面，使狀態(tài)量x1、x2在滑模面上預設時間收斂；隨后設計預設時間觀測器對擾動量H進行觀測與補償，以提高系統(tǒng)魯棒性并減弱控制抖振；最終結合滑模面S與擾動觀測值Z3設計控制律Mc，使滑模面在預設時間內到達，姿態(tài)控制誤差x1、x2在預設時間內收斂。本文控制律的結構如圖1所示。

圖1 VTHL可重復使用運載器預設時間滑模控制框圖Fig.1 Schematic diagram of PTSMC for VTHL reusable launch vehicle

3.1 預設時間滑模面設計

為使狀態(tài)量x1、x2在滑模面上的收斂時間不依賴于初始狀態(tài)，可由單一參數調節(jié)且滑模面對時間的一階導數中不出現(xiàn)奇異項，設計預設時間滑模面為

定理1如果滑模面S=0，x1、x2將在預設時間Ts內收斂至原點。

證明不失一般性，考慮Si=ξ1i+由文獻［27］，Si=0時有：

定義Lyapunov函數V1=，對其求導有

3.2 預設時間擴張狀態(tài)觀測器設計

傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}，是魯棒增益項ηsign(S)引起的，該項可消除擾動量H的影響，但擾動越大時η設計得越大，控制量抖振越嚴重。本文采用預設時間擴張狀態(tài)觀測器（Predefined-Time Extended State Observer，PTESO）對H觀測與補償，此時ηsign(S)項僅需補償PTESO對H的觀測誤差。PTESO設計合理時觀測誤差足夠小，因此η也可以足夠小，從而削弱控制量的抖振。同時PTESO可使觀測誤差在預設時間TE收斂，保證了控制系統(tǒng)整體的預設時間收斂性。

設計的PTESO為

式中：TE＞0為PTESO的預設收斂時間；?(t，TE)為切換函數，0≤t＜TE時?(t，TE)=1；t≥TE時?(t，TE)=0；hi、gi(i=1，2，3)分別為0≤t＜TE及t≥TE時的修正項。

定義觀測誤差e1=Z1-x1，e2=Z2-x2，e3=Z3-H，則觀測誤差的動力學方程為

當0≤t＜TE時，PTESO的修正項設計［28］為

式中：μ=的選擇需保證矩陣是Hurwitz的。hi(i=1，2，3)項可使ei(i=1，2，3)在0＜t≤TE內有界，并在預設時間TE收斂至0。

當t≥TE時，PTESO的修正項采用Levant的精確魯棒微分器［29］：

定理2對于系統(tǒng)（6），采用式（19）所示PTESO，觀測誤差ei(i=1，2，3)在0＜t≤TE內有界，在t→TE時收斂至0，并在t≥TE內保持為0。對于0≤t＜TE及t≥TE內PTESO收斂性的證明，可分別參見文獻［28-29］。

注1雖然觀測器修正項g3中包含sign離散項，但后續(xù)在控制律設計中用于擾動補償的信號為Z3，這一項是連續(xù)的。

3.3 預設時間滑模控制律設計

為利用引理1使滑模面在預設時間內到達，且避免控制量的奇異，基于滑模面（16）及觀測器（19）設計VTHL運載器預設時間滑?？刂坡蔀?/p>

正弦補償函數μι(x)表達式為

式中：ι＞0為小常數；易知μι(x)的引入可避免控制量的奇異。

注2由μι(x)的定義可知0時消除了Mc2中的負冪次項從而避免了ξ2=0且S≠0時控制量Mc的奇異問題。

定理3針對VTHL運載器控制模型（6），采用式（23）所示的控制律，姿態(tài)控制誤差x1、x2將在t≤TE+Ts+Tc+ε(ι)內收斂，ε(ι)表示與ι相關的最小時間區(qū)域，且

證明t≤TE時，由定理2可知PTESO的觀測誤差是有界的，因而系統(tǒng)狀態(tài)亦是有界的。t＞TE時Z3=H，定義Lyapunov函數V2=，對其求導并將式（23）代入可得

當S≠0時，將ξ1，ξ2∈R3構成的狀態(tài)空間劃分為2個區(qū)域：

當(ξ1，ξ2)位于R1時，從而式（25）為

進而由引理1知系統(tǒng)狀態(tài)將在預設時間Tc+TE內到達S=0或進入區(qū)域R2。

當(ξ1，ξ2)位于R2時，由式（25）知S=0仍為系統(tǒng)的一個吸引子，僅需證明ξ2=0上除原點外的其他點均不是吸引子。

當ξ2=0時x2=0，且Λ為零矩陣，此時控制律（23）變?yōu)?/p>

對ξ2求導，并將控制律（28）代入可得

綜上所述，S=0將在t≤Tc+TE+ε(ι)內到達，隨后x1、x2將沿著滑模面（16）在t≤Ts+Tc+TE+ε(ι)內收斂至原點，定理3得證?？紤]到，在ι設置為小量時，忽略(ξ1，ξ2)穿越R2的時間ε(ι)具有實踐意義［30］，從而t≤Ts+Tc+TE。

3.4 控制參數設計方法

控制參數按作用機理可分為兩類：一類影響姿態(tài)控制誤差收斂時間，包括Ts、Tc和TE；另一類影響姿態(tài)控制誤差收斂動態(tài)過程，包括滑模面（16）中κ、γ1、γ2，觀測器（19）的li、ki(i=1，2，…，3)及L、v，控制律（23）的與η。

第1類參數設計方法，Ts決定姿態(tài)控制誤差x1、x2在滑模面的收斂時間上界，Tc決定滑模面S趨近于0的時間上界，而TE決定觀測誤差Z3收斂至H的時間，三者之和決定x1、x2的收斂時間上界。選取較小的Tc與Ts雖有利于x1、x2的快速收斂，但控制量的需求較大；選取較小的TE雖可使擾動觀測誤差快速收斂，但會加劇觀測器的“峰值效應”。此類參數應綜合考慮以上因素適當選取。

第2類參數的設計方法，根據控制器的結構分為3個方面：

1） 滑模面的設計參數：γ1、γ2均為正奇數且γ1＜γ2＜2γ1；γ1/γ2與輔助變量ξ1，ξ2在滑模面上的收斂速度正相關；在ξ1，ξ2動態(tài)特性相同時，增大κ可提高x1、x2的收斂速度。但收斂速度的提升會增大控制量，故需適當選取。

2） 觀測器的設計參數：li(i=1，2，3)與v的值越大，0＜t＜TE內觀測器的“峰值效應”越顯著，故需在滿足觀測器收斂條件的前提下減小這些參數。而t≥TE時觀測器切換為Levant的魯棒精確微分器，其參數L與ki(i=1，2，3)的選取規(guī)律可參考文獻［29］。

3） 控制律的設計參數：增大p與k可改變Mc2中冪次系數1-2ξp與1+2ξp，提高滑模面趨近速度；而αˉ、βˉ可改變冪次項前的比例系數，αˉ/βˉ的大小與滑模面趨近速度正相關，但趨近速度的提升會增大控制量，故需適當選?。沪煽稍诒苊饪刂屏科娈惖那疤嵯略O計為小常數；η可補償有限采樣頻率下擾動的觀測誤差，可根據PTESO穩(wěn)態(tài)觀測精度設計。

4 仿真分析

運載器總體及氣動參數見文獻［31］。選取典型再入返回軌跡仿真分析：再入初始速度2 914 m/s，高度61.2 km，經度108.85°，緯度39.31°，彈道傾角-18°，航向角為107.44°；再入過程中運載器改變攻角調節(jié)升力，保持側滑角為0，并適時翻轉傾側角調節(jié)側向力改變航向，以調整軌跡實現(xiàn)再入返回。0～30 s攻角指令αc=(45-t/2)°，30 s后αc=30°；側滑角指令βc=0°；傾側角指令在0～20 s及30 s后為σc=0°，20～30 s為σc=5°，采用傳遞函數1/(0.01s+1)3的濾波器對αc、σc平滑處理。

仿真中設置運載器轉動慣量偏差10%，大氣密度偏差20%；外界干擾力矩的各分量均為(1+sin(t))×104N·m［32］。

4.1 控制律預設時間收斂性

以運載器俯仰通道為例，驗證控制律的預設時間收斂特性。設定3組預設時間參數，分別為Tc=2 s、Ts=1 s，Tc=1 s、Ts=1 s及Tc=1 s、Ts=2 s，其他控制參數見表1。針對6組初始再入姿態(tài)角α0仿真，α0設置見表2，仿真結果如圖2～圖4所示。圖中星形標記代表攻角誤差α-αc的預設收斂時間Ts+Tc+TE；三角形標記代表俯仰通道滑模面的預設收斂時間Tc+TE。

表1 PTSMC參數值Table 1 Parameter values of PTSMC

表2 再入姿態(tài)角初始條件Table 2 Initial conditions for attitude angles in reentry phase

圖2 Tc=2 s，Ts=1 s時仿真結果Fig.2 Simulation results with Tc=2 s，Ts=1 s

綜合以上仿真結果，在不同α0的設定情況下，滑模面均可在Tc+TE內收斂，姿態(tài)控制誤差與角速率均可在Tc+TE+Ts內收斂。對比圖2和圖3仿真結果，對參數Tc的調節(jié)可改變滑模面到達時間；對比圖3與圖4仿真結果，對參數Ts的調節(jié)可改變姿態(tài)控制誤差與角速率在滑模面上的收斂時間，從而驗證了本文控制律的預設時間收斂特性。

圖3 Tc=1 s，Ts=1 s時仿真結果Fig.3 Simulation results with Tc=1 s，Ts=1 s

圖4 Tc=1 s，Ts=2 s時仿真結果Fig.4 Simulation results with Tc=1 s，Ts=2 s

4.2 控制性能對比

為進一步驗證將本文所提出控制律的性能，與文獻［32］中基于魯棒自適應增益的FTSMC及文獻［17］中基于FxTESO的FxTSMC進行對比仿真。VTHL運載器姿態(tài)角初值設置為α0=47°，β0=2°，σ0=2°，姿態(tài)角速率初值均為0(°)/s。綜合考慮控制力矩幅值與姿態(tài)控制誤差收斂時間要求，設置Tc=2 s，Ts=2 s，其他控制參數見表1。調節(jié)FTSMC與FxTSMC控制律參數使得3類控制律的收斂時間相近，具體參數設置見表3。為抑制FTSMC的抖振現(xiàn)象，采用雙曲正切函數代替sign函數。

表3 FTSMC與FxTSMC參數值Table 3 Parameter values of FTSMC and FxTSMC

評估3類控制律性能的指標及選取依據為

1）均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）指標可評估再入飛行時間段內的平均控制誤差：

2）時間絕對誤差積分（Integral Time Absolute Error，ITAE）指標再入過程中VTHL運載器可用的修航時間逐漸縮短，姿態(tài)控制誤差x1對終端精度的影響逐漸提高。ITAE指標考慮了以上關系，將時間τ作為|x1i(τ)|(i=1，2，3)的權重，以評估再入飛行時間段內的累積控制誤差。

6自由度對比仿真結果如圖5～圖11所示，圖中，對比方法1代表FTSMC，對比方法2代表FxTSMC。

圖5 不同控制律作用下姿態(tài)角變化曲線Fig.5 Time histories of attitude angles with different controllers

由圖5中姿態(tài)角變化曲線及圖6中姿態(tài)角速率變化曲線可知，相較于其他兩類控制方法，PTSMC作用下姿態(tài)控制系統(tǒng)響應速度更快且無振蕩，姿態(tài)控制誤差收斂時間約3 s。由圖7可知PTSMC的滑模面收斂速度更快，收斂時間約2 s。說明PTSMC可通過冪次反饋項Γ1、Γ2加快滑模面與姿態(tài)控制誤差收斂速度；并利用PTESO對擾動的觀測與補償，避免魯棒自適應增益系數調節(jié)過程導致的響應振蕩，使控制系統(tǒng)動態(tài)性能更佳。

圖6 不同控制律作用下姿態(tài)角速率變化曲線Fig.6 Time histories of attitude angle rates with different controllers

圖7 不同控制律作用下滑模面變化曲線Fig.7 Time histories of sliding mode surfaces with different controllers

由圖8中擾動觀測值與觀測誤差曲線，觀測誤差可在TE=1 s時收斂，且觀測誤差的“峰值效應”較FxTESO小。說明了PTESO可利用修正項hi(i=1，2，3)實現(xiàn)觀測誤差的預設時間收斂，并減小FxTESO冪次修正項切換帶來的觀測誤差超調，從而進一步提升了控制系統(tǒng)動態(tài)性能。同時觀測誤差穩(wěn)態(tài)值可由修正項gi(i=1，2，3)保持在0附近，保證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。

圖8 擾動觀測值與觀測誤差變化曲線Fig.8 Time histories of disturbance observation values and observation errors

由圖9中控制量變化曲線，PTSMC的控制量沒有出現(xiàn)奇異，說明了正弦補償函數的有效性。FTSMC在滑模面未到達時（0～2 s），魯棒自適應增益的調節(jié)使控制量抖振；在滑模面到達后為克服外部擾動，魯棒自適應增益仍較大，導致控制量抖振依然較PTSMC明顯，說明了PTESO對擾動的觀測與補償可減弱控制量抖振。

圖9 不同控制律作用下控制力矩變化曲線Fig.9 Time histories of control torques with different controllers

由圖10及圖11可見，PTSMC的RMSE與ITAE指標均更小，說明了本文控制律的平均控制誤差與累積控制誤差更小，這由控制律優(yōu)良的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能保證的。

圖10 不同控制律作用的ITAE指標Fig.10 ITAE indices of different controllers

圖11 不同控制律的RMSE指標Fig.11 RMSE indices of different controllers

5 結論

1）基于雙曲正切函數設計了新型非奇異預設時間收斂滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)量可在滑模面上實現(xiàn)預設時間收斂。

2）設計了VTHL運載器預設時間滑?？刂坡?，基于Lyapunov理論證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的預設時間穩(wěn)定性，姿態(tài)控制誤差的收斂時間上界與初始狀態(tài)無關，可由3個控制參數預先設定。

3）不同初值及控制參數Ts，Tc的仿真說明了本文控制律可實現(xiàn)姿態(tài)控制誤差的預設時間收斂，控制參數Tc與Ts可直接調節(jié)滑模面到達時間及姿態(tài)控制誤差在滑模面上的收斂時間。

4）與FTSMC與FxTSMC的對比仿真說明了本文方法控制量抖振小，且具有更佳的動態(tài)響應性能，更小的平均控制誤差及累積控制誤差。

本文在設計與仿真過程中，暫未考慮VTHL運載器再入返回過程中切變風、隨機干擾等擾動，未來將重點考慮此類擾動對控制系統(tǒng)帶來的影響，進一步完善預設時間滑?？刂频难芯?。