西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710129

劉伯健，李愛軍，郭永*，王長(zhǎng)青

無(wú)人機(jī)分布式協(xié)同控制具有高復(fù)雜性、高自主性和高智能性等特征，是未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)中的重要技術(shù)。因此，諸多學(xué)者對(duì)無(wú)人機(jī)分布式協(xié)同控制進(jìn)行了深入研究，并根據(jù)領(lǐng)航者的數(shù)量將其分為單領(lǐng)航者、多領(lǐng)航者和無(wú)領(lǐng)航者3 類。單領(lǐng)航者協(xié)同控制中，基于一致性理論的控制方法應(yīng)用最為廣泛，該方法使無(wú)人機(jī)群易于形成精確編隊(duì)［1-3］并且可以更好地處理無(wú)人機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)帶來(lái)的約束和不確定動(dòng)態(tài)［4］。無(wú)領(lǐng)航者協(xié)同控制的主要解決方案多是由人工勢(shì)函數(shù)方法發(fā)展而來(lái)，通過(guò)該方法的固有特性可以輕松處理避障和機(jī)間避碰問(wèn)題［5］，并易于實(shí)現(xiàn)自組織和自適應(yīng)功能［6］。合圍控制作為多領(lǐng)航者協(xié)同控制中的一種重要算法，其主要特點(diǎn)是使跟隨者能最終收斂到領(lǐng)航者們所形成的凸包絡(luò)內(nèi)［7］，該特點(diǎn)可以使無(wú)人機(jī)群在避開危險(xiǎn)區(qū)域的基礎(chǔ)上保持廣義的編隊(duì)構(gòu)型。

與單領(lǐng)航者和無(wú)領(lǐng)航者編隊(duì)相比，關(guān)于多領(lǐng)航者編隊(duì)控制的研究相對(duì)較少。合圍控制的早期研究多是針對(duì)多智能體系統(tǒng)展開的，其領(lǐng)航者被認(rèn)為是靜態(tài)的［8］。后來(lái)為了適應(yīng)領(lǐng)航者的運(yùn)動(dòng)特性，提高算法的適用范圍，學(xué)者們又提出了針對(duì)動(dòng)態(tài)領(lǐng)航者的合圍控制協(xié)議［7，9］。此后，隨著無(wú)人機(jī)協(xié)同控制算法的不斷發(fā)展，領(lǐng)航者間相互通信并且形成期望隊(duì)形的“編隊(duì)-合圍”控制算法受到了大量關(guān)注［10-11］。該算法通過(guò)分層架構(gòu)首先控制領(lǐng)航者形成某一預(yù)設(shè)凸包絡(luò)隊(duì)形，再通過(guò)合圍控制使跟隨者收斂到該凸包絡(luò)內(nèi)，最終實(shí)現(xiàn)一種廣義的編隊(duì)跟蹤控制。該廣義編隊(duì)只要求跟隨者收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)中，卻沒有考慮跟隨者最終在凸包絡(luò)內(nèi)的位置和其所形成的形狀。這使合圍控制在大規(guī)模編隊(duì)的情況下，很容易引發(fā)機(jī)間碰撞等問(wèn)題。

由于編隊(duì)飛行對(duì)多無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)的安全性、可靠性和準(zhǔn)確性提出了更高的標(biāo)準(zhǔn)和要求，容錯(cuò)控制成為近年來(lái)學(xué)者們的研究熱點(diǎn)。其主要方法可分為基于故障診斷的主動(dòng)容錯(cuò)技術(shù)［12］和基于提升控制系統(tǒng)魯棒性的被動(dòng)容錯(cuò)技術(shù)。被動(dòng)容錯(cuò)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于無(wú)人機(jī)協(xié)同控制領(lǐng)域，其主要方法包括基于自適應(yīng)的容錯(cuò)方法［13-15］、基于觀測(cè)器的容錯(cuò)方法［16-18］和基于人工智能的容錯(cuò)方法［19］等。文獻(xiàn)［15］提出了一種自適應(yīng)方法來(lái)處理無(wú)人機(jī)的作動(dòng)器故障，其系統(tǒng)的收斂性與作動(dòng)器的故障系數(shù)顯性相關(guān)?；谟^測(cè)器的容錯(cuò)控制是應(yīng)用最為廣泛的技術(shù)，例如誤差觀測(cè)器［16］和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器［17-18］。其中，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法有很多，例如徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Network， RBFNN）觀測(cè)器［19］、滑模觀測(cè)器［20］和高增益觀測(cè)器［21］等。雖然基于觀測(cè)器的容錯(cuò)控制效果相對(duì)較好，但是由于需要額外設(shè)計(jì)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，因此增加了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度。此外，隨著人工智能的發(fā)展，許多學(xué)者直接采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊系統(tǒng)對(duì)無(wú)人機(jī)故障產(chǎn)生的非線性動(dòng)態(tài)進(jìn)行擬合，并取得了一定成果［19］。

近年來(lái)，輸入受限問(wèn)題在理論和工程實(shí)踐中被逐漸重視。如果在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中忽視該問(wèn)題，則會(huì)使控制器的控制效果在實(shí)際控制中存在弱化，甚至?xí)茐恼麄€(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，學(xué)者們提出了多種方法來(lái)解決該問(wèn)題。一種方法是通過(guò)中值定理結(jié)合自適應(yīng)方法對(duì)受限的輸入信號(hào)進(jìn)行處理［22-23］；還有學(xué)者提出了通過(guò)輔助系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ幚磔斎胧芟迒?wèn)題［24］；文獻(xiàn)［25］通過(guò)設(shè)定受限指標(biāo)參數(shù)并結(jié)合自適應(yīng)方法對(duì)輸入受限問(wèn)題進(jìn)行了處理。雖然上述方法為解決輸入受限問(wèn)題提供了很多思路，但其穩(wěn)定性證明被指出存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑?6-27］。此外，受到未知輸入方向問(wèn)題的啟發(fā)，文獻(xiàn)［28］將Nussbaum 函數(shù)用于處理輸入受限問(wèn)題，給該問(wèn)題的解決帶來(lái)了新的啟發(fā)。

針對(duì)上述挑戰(zhàn)，本文研究了多無(wú)人機(jī)在存在輸入受限、外界干擾和作動(dòng)器故障的情況下的有限時(shí)間精確編隊(duì)合圍控制問(wèn)題。最終的控制目標(biāo)是使所有跟隨者在輸入受限、外界干擾和作動(dòng)器故障的情況下，在有限時(shí)間范圍內(nèi)，收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)，并且在其中形成預(yù)設(shè)的精確隊(duì)形。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有：① 提出了一種基于預(yù)設(shè)隊(duì)形的合圍控制通信拓?fù)錂?quán)重設(shè)計(jì)方法，與傳統(tǒng)合圍控制相比，該拓?fù)洳粌H能使跟隨者收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)，而且能使跟隨者在其內(nèi)部形成精確的預(yù)設(shè)編隊(duì)；② 提出了一種新穎的光滑函數(shù)對(duì)非對(duì)稱輸入受限信號(hào)進(jìn)行平滑處理，與傳統(tǒng)雙曲正切函數(shù)相比［28］，其擬合誤差可以通過(guò)參數(shù)控制，使系統(tǒng)誤差收斂到原點(diǎn)附近更小的鄰域內(nèi)；③ 提出了一種基于Nussbaum 函數(shù)的有限時(shí)間自適應(yīng)合圍控制器，將該控制器與本文的光滑函數(shù)結(jié)合，可以同時(shí)處理輸入受限和作動(dòng)器故障問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

在本文中，Rn×m表示n×m的矩陣；‖· ‖表示歐幾里得范數(shù)；z[k]表示向量z的第k個(gè)元素；[Y]i∈R1×n和[Y]i∈Rm×1分別表示Y∈Rm×n矩陣的第i行和第i列；?表示克羅內(nèi)克積；λmax(Y)和λmin(Y)表示矩陣Y的最大和最小特征值。此外，為了方便公式推導(dǎo)過(guò)程中的表示，定義，其中函數(shù)。

1. 1 Nussbaum 函數(shù)及引理

定義1［28］Nussbaum 函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)并且滿足如下特征：

引理 1［28］考慮V和χi都是定義在[0，tf)上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于t∈[0，tf)，存在V(t)＞0 且N(χi)是關(guān)于變量χi的Nussbaum 類型函數(shù)。如果下述內(nèi)容中的式（2）成立，那么V、χi和在[0，tf) 上都有界。

式中：c＞0；γτi＞0；c0＞0；ξτi＞0。

引理 2［19］考慮系統(tǒng)x?=f(x)，假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)V(x)和參數(shù)λ1＞0，λ2＞0，0 ＜γa＜1，0 ＜η＜∞滿足：

那么狀態(tài)量x會(huì)在有限時(shí)間tf=max{tf1，tf2}內(nèi)收斂到范圍Ω=min{Ω1，Ω2}內(nèi)。其中：

式中：?是一個(gè)常數(shù)并且滿足0 ＜?＜1。

1. 2 圖 論

假設(shè)一個(gè)由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者所形成的無(wú)人機(jī)編隊(duì)，其成員之間的通信鏈接拓?fù)淇梢杂猛負(fù)鋱D來(lái)表示。 其中頂點(diǎn)集是一個(gè)有限的非空集合，表示各個(gè)無(wú)人機(jī)。 邊集表示無(wú)人機(jī)之間的通信，其中Ni表示頂點(diǎn)i的鄰接集，與頂點(diǎn)i鄰接表示可以收到頂點(diǎn)i傳來(lái)的信息。拓?fù)鋱DG的加權(quán)鄰接矩陣可以表示為Wg=，如果，則wij＞0，反之wij=0。頂點(diǎn)i的度定義為，圖G的度矩陣定義為Dg=diag{deg()，i=1，2，…，n+m}。那么圖G的拉普拉斯矩陣就可以定義為L(zhǎng)g=Dg-Wg。由于假設(shè)領(lǐng)航者之間沒有通信，則其拉普拉斯矩陣可以表示為

引理 3［20］矩陣是正定的。此外，定義矩陣，那么矩陣Ag是非負(fù)定的并且Ag的每一行元素的和為1。

定義2［19］如果任意，并且滿足，其中c∈[0，1]，那么稱集合是一個(gè)凸集合。集合的凸包絡(luò)則定義為。

引理 4［20］合圍控制的目的就是將跟隨者控制到領(lǐng)航者所形成的凸包Co(pl)內(nèi)。如果合圍控制成功，則跟隨者會(huì)收斂到pf(t)=的 位 置 附 近 ，其 中pl=表示所有領(lǐng)航者的位置向量；表示所有跟隨者的位置向量。

從引理4中可以看出，跟隨者i的最終期望位置一定在凸包Co(pl)內(nèi)，并且與通信矩陣相關(guān)，滿足，其中，滿足。這為2.1節(jié)設(shè)計(jì)基于精確隊(duì)形的通信拓?fù)渌惴ㄌ峁┝酥С帧?/p>

1. 3 帶有作動(dòng)器故障的無(wú)人機(jī)模型

本文考慮一個(gè)由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者所組成的無(wú)人機(jī)編隊(duì)。無(wú)故障的跟隨者運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型如下［29］：

式中：xi、yi和zi分別是第i架無(wú)人機(jī)在慣性系下的三軸位置；Vi、?i、γi和χi分別是第i架無(wú)人機(jī)的速度、滾轉(zhuǎn)角、航跡俯仰角和航跡偏航角；Ti、Li和Di分別是第i架無(wú)人機(jī)在機(jī)體系下受到的推力、升力和阻力；mi是無(wú)人機(jī)的質(zhì)量；g是重力加速度；和表示無(wú)人機(jī)受到的有界外部干擾。定義和，則跟隨者模型可以寫成向量形式：

并且

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)的研究，多數(shù)的作動(dòng)器故障可以表示為

式中：?i=diag{?i1，?i2，?i3}表示故障系數(shù)；hi表示未知偏置故障；ui0表示受限輸入信號(hào)，該信號(hào)會(huì)在之后定義。

1. 4 輸入受限信號(hào)的平滑處理

圖1 直觀地展示了本文提出的光滑函數(shù)與傳統(tǒng)雙曲正切光滑函數(shù)［30］之間的差異。

圖1 光滑函數(shù)曲線Fig. 1 Curves of smooth functions

注釋1通過(guò)與傳統(tǒng)雙曲正切光滑函數(shù)的比較不難發(fā)現(xiàn)本文所提出的光滑函數(shù)有2 個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)［30］。首先，本文所提出的光滑函數(shù)可以處理上下限同符號(hào)或上下限為0 的非對(duì)稱約束函數(shù)，這是傳統(tǒng)雙曲正切光滑函數(shù)所不能處理的。其次，本文所提出的光滑函數(shù)的擬合誤差取決于參數(shù)，即誤差精度可以隨需求調(diào)整。而傳統(tǒng)雙曲正切光滑函數(shù)的擬合誤差則取決于約束上下界絕對(duì)值的最大值，這影響了最終系統(tǒng)的控制精度。

通過(guò)中值定理可以得到一個(gè)常數(shù)δ0∈(0，1)，使得

2 基于精確編隊(duì)的有限時(shí)間合圍控制器設(shè)計(jì)

2. 1 基于精確隊(duì)形的通信拓?fù)湓O(shè)計(jì)算法

由于大多數(shù)合圍控制的研究只要求跟隨者收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包內(nèi)，卻對(duì)跟隨者的精確隊(duì)形沒有限制，因此本文設(shè)計(jì)了一個(gè)針對(duì)預(yù)設(shè)跟隨者隊(duì)形的合圍控制通信拓?fù)湓O(shè)計(jì)算法，如算法1 所示。

通過(guò)引理4 可以看出，使用算法1 所設(shè)計(jì)的合圍控制通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)在合圍控制誤差收斂到0 時(shí)，使跟隨者收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)并且形成期望的預(yù)設(shè)隊(duì)形。

注釋2需要注意的是由算法1所設(shè)計(jì)的通信拓?fù)洳⒉皇俏ㄒ坏?。具體來(lái)說(shuō)，由于矩陣Ag和可以有不同的選擇，因此算法1可以提供很多可行解。

注釋3算法1中要求Dg1[i，i]只要滿足條件，并沒有其他特殊要求。但是為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化通信的結(jié)構(gòu)，減少通信負(fù)擔(dān)，建議將Dg1[i，i]選擇為。在這種情況下中會(huì)有更多的0 元素，這也就意味著跟隨者與領(lǐng)航者之間存在更少的通信鏈路。

算法 1 通信拓?fù)湓O(shè)計(jì)算法1. 基于合圍控制的特性限制，期望的預(yù)設(shè)隊(duì)形必須處于凸包絡(luò)Co(pl)內(nèi)。根據(jù)引理4 可知，第i 架無(wú)人機(jī)的最終期望位置滿足pi1d=([Ag]i?I3) pl，因此根據(jù)凸圖形內(nèi)部點(diǎn)的表達(dá)方式，設(shè)計(jì)一個(gè)矩陣Ag 2. 當(dāng) i ≤n 3. 如果 ∑j=1，j ≠i n aij[Ag]j( j=1，2，…，m)中的非零列與[Ag]i中的非零列在同一列，其中aij 是非零參數(shù)，那么4. Wg1[i，j]=■■■■■■■■■0 i=j aij ∑j=1，j ≠i n aij i ≠j 5. 否則 （即如果無(wú)法通過(guò)）選擇aij ≥0，使 ∑j=1，j ≠i n aij[Ag]j的非零列與[Ag]i相同，那么Wg1[i，j]=0 ( j=1，2，…，m)6. 結(jié)束如果7. 如果Wg1[i，j]=0 ( j=1，2，…，m)，則Dg1[i，i]=1 8. 否則9. 選擇一個(gè)正實(shí)數(shù)Dg1[i，i]使其滿足Dg1[i，i]≥max■■■■■■■■■■■■■()∑j=1，j ≠i n Wg1[i，j][ ]Ag j[ p][ ]Ag i[ p]■■■■■■■■■■■■■式中：p=1，2，…，m； [Ag]i[ p]≠0 10. 結(jié)束如果11. 結(jié)束循環(huán)12. 求解 Wg2=-(Dg1-Wg1) Ag 13. 返回 Dg1、Wg1 和Wg2

2. 2 分布式有限時(shí)間合圍控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)設(shè)計(jì)了一種基于Nussbaum 函數(shù)的分布式自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)合圍控制器，解決了帶有輸入受限、外部干擾和作動(dòng)器故障的無(wú)人機(jī)合圍控制問(wèn)題，最終使跟隨者收斂到領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)并形成精確隊(duì)形。定義誤差系統(tǒng)為

式中：ei1∈R3和ei2∈R3分別是第i架跟隨者的位置誤差和速度誤差；是第i架跟隨者的期望位置，由于領(lǐng)航者的狀態(tài)是連續(xù)且有界的，因此不妨假設(shè)是未知正常數(shù)；pi2d是虛擬速度指令，該指令會(huì)在之后內(nèi)容中定義。為了便于分析有限時(shí)間收斂性，定義新的誤差系統(tǒng)：

式中：si1和si2為新的位置和速度誤差；gi1和γ為控制參數(shù)?？刂破髟O(shè)計(jì)過(guò)程如步驟1 和步驟2 所示。

步驟1首先，根據(jù)反步法的架構(gòu)，設(shè)計(jì)位置子系統(tǒng)的控制律和自適應(yīng)律為

式中：pi2d是虛擬速度指令；ki1、εP、βi1和βi2是控制參數(shù)；是自適應(yīng)變量，滿足是自適應(yīng)誤差。

選取位置系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得

將虛擬速度指令pi2d代入式（27）可得

進(jìn)一步，通過(guò)Young 不等式可以得到

步驟2其次，根據(jù)虛擬速度指令，設(shè)計(jì)基于Nussbaum 函數(shù)的速度子系統(tǒng)控制律和自適應(yīng)律為

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得

2. 3 穩(wěn)定性分析

定理1針對(duì)帶有輸入飽和、外界干擾和作動(dòng)器故障的跟隨者無(wú)人機(jī)模型（式（19）），在控制律（式（24）、式（30）～式（32））和自適應(yīng)律（式（25）、式（33））的作用下，跟隨者可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到領(lǐng)航者所形成凸包絡(luò)內(nèi)并且形成預(yù)設(shè)的精確隊(duì)形。

證明首先證明系統(tǒng)的有界性，選取李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得

因此通過(guò)引理1，可以得到V和δi是有界的結(jié)論，進(jìn)而得出中各個(gè)元素均是一致最終有界的。

其次，證明系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂性。選取另一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)其求導(dǎo)可得

式中：

因此根據(jù)引理2 可知，如果參數(shù)滿足ki1＞1，ki2＞1/2mi+1，gi1＞0，gi2＞0，則該系統(tǒng)的誤差可在有限時(shí)間tf=max{tf1，tf2}內(nèi)收斂到原點(diǎn)的鄰域Ωf=min{Ωf1，Ωf2}內(nèi)。其中tf1和tf2取值為

至此，定理1 證畢。

注釋4從上述分析中可以發(fā)現(xiàn)，誤差收斂區(qū)域Ωf的大小與υs2相關(guān)，而υs2的大小與光滑函數(shù)的最大擬合誤差有關(guān)。傳統(tǒng)雙曲正切函數(shù)的最大擬合誤差取決于，這使得當(dāng)上下界較大時(shí)，誤差的收斂域Ωf也會(huì)變大，影響控制效果［28］。而本文提出的光滑曲線可以通過(guò)選擇參數(shù)εu使最大擬合誤差可調(diào)，從而縮小誤差的收斂域，提高控制精度。

3 數(shù)字仿真

本節(jié)展示了一些數(shù)字仿真結(jié)果，驗(yàn)證了本文所提出的算法和控制律的有效性。仿真基于由3 架跟隨者和4 架虛擬領(lǐng)航者組成的無(wú)人機(jī)編隊(duì)，其初始位置信息如表1 所示。從中不難看出，領(lǐng)航者初始位置的選擇與其速度均保持一致，在仿真時(shí)間內(nèi)虛擬領(lǐng)航者一直保持為處于XOZ平面內(nèi)的長(zhǎng)方形隊(duì)形。設(shè)計(jì)跟隨者的預(yù)設(shè)隊(duì)形為一個(gè)在XOZ平面內(nèi)的三角形，并且處于領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)部。其中，虛擬領(lǐng)航者的速度被設(shè)置為vl=[30，0，5sin(0.1t)]Tm/s；無(wú)人機(jī)的質(zhì)量被設(shè)置為5 kg；外界的干擾信號(hào)被設(shè)置為。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，將無(wú)人機(jī)的輸入信號(hào)上下界限制設(shè)為，和。此外，表2給出了控制器的參數(shù)。表3 給出了跟隨者故障產(chǎn)生的時(shí)間和類型。

表1 無(wú)人機(jī)編隊(duì)初始狀態(tài)Table 1 Initial states of UAV team

表2 控制參數(shù)Table 2 Parameters of controller

表3 跟隨者故障信息Table 3 Information of faults for followers

根據(jù)預(yù)設(shè)隊(duì)形和算法1，該隊(duì)形可以用矩陣Ag表示為

從注釋2 中可知，通過(guò)選擇不同的Dg1可以得到不同的通信拓?fù)鋱D。例如分別選擇diag{2，2，1}和=diag{2，4，1}，得到的通信拓?fù)淙鐖D2 和圖3 所示。

圖2 基于 的通信拓?fù)鋱DFig. 2 Communication topology graph based on

從圖中標(biāo)紅的通信連線不難看出，當(dāng)選擇時(shí)，編隊(duì)中的通信結(jié)構(gòu)會(huì)更加簡(jiǎn)單，跟隨者和領(lǐng)航者的通信鏈路會(huì)更少。因此，注釋2 中的內(nèi)容得到了證實(shí)。

由表3 可知，在仿真過(guò)程中第1 架無(wú)人機(jī)在第20 s 發(fā)生故障，第2 架無(wú)人機(jī)在第30 s 發(fā)生故障，第3 架無(wú)人機(jī)在第10 s 發(fā)生故障。圖4～圖10展示了本文所提出的基于Nussbaum 函數(shù)的有限時(shí)間自適應(yīng)合圍容錯(cuò)控制器的數(shù)字仿真結(jié)果。

圖4 無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡Fig. 4 Trajectories of UAV team

圖4 給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)的航跡圖，從中可以看出跟隨者在故障的情況下，最終形成了預(yù)設(shè)的三角隊(duì)形并且收斂到了領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)。圖4 證實(shí)本文所提出的通信拓?fù)湓O(shè)計(jì)算法和有限時(shí)間容錯(cuò)控制器的有效性。為了更直觀地觀察控制效果，圖5 和圖6 給出了系統(tǒng)誤差的仿真圖?？梢钥吹綗o(wú)人機(jī)的跟蹤誤差都在2.9 s 左右收斂到了原點(diǎn)附近。此外，在20、30 和10 s 故障發(fā)生的時(shí)候，誤差由于系統(tǒng)故障的原因暫時(shí)增大，并很快又重新收斂，這驗(yàn)證了本文所提出的控制器的容錯(cuò)性和魯棒性。圖7 和圖8 給出了自適應(yīng)信號(hào)的曲線圖，驗(yàn)證了其有界性。此外，圖9 展示了Nussbaum 信號(hào)。在故障發(fā)生后，該信號(hào)會(huì)顯著增加進(jìn)而補(bǔ)償因故障所損失的控制量。圖10 展示了無(wú)人機(jī)的控制輸入信號(hào)。從圖10 中可以看出輸入信號(hào)均處在限制的范圍內(nèi)。由此驗(yàn)證了本文提出的控制器在輸入受限情況下的控制效果。

圖5 無(wú)人機(jī)編隊(duì)位置誤差Fig. 5 Position errors of UAV team

圖6 無(wú)人機(jī)編隊(duì)速度誤差Fig. 6 Velocity errors of UAV team

圖7 自適應(yīng)信號(hào)D?iFig. 7 Adaptive signal D?i

圖8 自適應(yīng)信號(hào)P?iFig. 8 Adaptive signal P?i

圖9 Nussbaum 信號(hào)ξiFig. 9 Nussbaum signal ξi

圖10 無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制輸入Fig. 10 Control input signals of UAV team

為了比較本文所提出的容錯(cuò)方法與其他容錯(cuò)方法的優(yōu)劣，選擇了自適應(yīng)容錯(cuò)方法（Adaptive Fault Tolerant Control， AFTC）［31］和基于RBFNN 觀測(cè)器的容錯(cuò)方法（Adaptive RBFNN Observer-based Fault Tolerant Control，AROFTC）［19］與本文控制器進(jìn)行仿真。AFTC的控制效果如圖11～圖13 所示。從仿真圖中不難看出，由于AFTC 的收斂效果和故障系數(shù)顯性相關(guān)，因此僅依靠自適應(yīng)算法會(huì)導(dǎo)致其誤差收斂時(shí)間較長(zhǎng)，控制效果較差。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)比圖11和圖4 可看出基于AFTC 的無(wú)人機(jī)航跡有明顯被作動(dòng)器故障影響的痕跡。對(duì)比圖12 和圖13 與圖5 和圖6 可以看出，基于AFTC 的仿真結(jié)果中由作動(dòng)器故障引起的誤差波動(dòng)也有明顯增加。

圖11 AFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡圖Fig. 11 Trajectories of UAV team with AFTC

圖12 AFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)位置誤差Fig. 12 Position errors of UAV team with AFTC

圖13 AFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)速度誤差Fig. 13 Velocity errors of UAV team with AFTC

此外，由于RBFNN 具有出色的擬合特性，因此選擇了一種基于RBFNN 觀測(cè)器的容錯(cuò)控制器作為AROFTC 的代表與本文容錯(cuò)控制器進(jìn)行比較。從圖14～圖16 中不難看出，在AROFTC 控制器下作動(dòng)器故障引起的誤差波動(dòng)小于本文所提出的控制器，因此基于RBFNN 觀測(cè)器的容錯(cuò)控制方法的效果優(yōu)于本文所提出的控制器。由圖17 可見，觀測(cè)器對(duì)故障和誤差的估計(jì)是比較準(zhǔn)確的，這為控制器設(shè)計(jì)提供了良好的參考信號(hào)。但是，基于觀測(cè)器的容錯(cuò)控制方法需要對(duì)觀測(cè)器進(jìn)行設(shè)計(jì)，這增加了控制器的設(shè)計(jì)難度和復(fù)雜度。因此，在綜合考慮控制器復(fù)雜度和控制效果的情況下，所提出的控制器為容錯(cuò)控制提供了一個(gè)折中的選擇。

圖14 AROFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)軌跡Fig. 14 Trajectories of UAV team with AROFTC

圖15 AROFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)位置誤差Fig. 15 Position errors of UAV team with AROFTC

圖16 AROFTC 無(wú)人機(jī)編隊(duì)速度誤差Fig. 16 Velocity errors of UAV team with AROFTC

圖17 RBFNN 網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差Fig. 17 Fitting errors of RBFNN

為了驗(yàn)證所提出的基于Nussbaum 函數(shù)的控制方法（Nussbaum-based Control， NC）的效果，仿真選擇了升階Nussbaum 飽和控制方法［28］（Increasing Order Nussbaum-based Control，IONC）與本文的控制器進(jìn)行對(duì)比。為了更好地展示針對(duì)輸入飽和問(wèn)題的控制效果，仿真對(duì)象設(shè)置為無(wú)干擾和故障跟隨者1 無(wú)人機(jī)。

仿真結(jié)果如圖18～圖20 所示。從圖19 和圖20 可以看出本文所設(shè)計(jì)的控制器收斂時(shí)間更快，控制效果更好。這是因?yàn)楸疚臎]有將控制輸入信號(hào)看作一階系統(tǒng)，即對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行升階處理。因此，避免了控制輸入初始值的設(shè)計(jì)不合理以及輸入信號(hào)的變化率受到一階積分系統(tǒng)限制等問(wèn)題。相比之下，本文設(shè)計(jì)的控制器具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、控制效果好等優(yōu)點(diǎn)。圖21 展示了Nussbaum 函數(shù)中自變量的變化曲線。

圖18 跟隨者1 控制輸入Fig. 18 Control input signals of Follower 1 with different methods

圖19 跟隨者1 位置誤差Fig. 19 Position errors of Follower 1 with different methods

圖20 跟隨者1 速度誤差Fig. 20 Velocity errors of Follower 1 with different methods

圖21 Nussbaum 信號(hào)ξ1Fig. 21 Nussbaum signal ξ1

4 結(jié) 論

本文對(duì)帶有輸入飽和、作動(dòng)器故障和外界干擾的無(wú)人機(jī)精確編隊(duì)合圍容錯(cuò)控制展開了研究，具體結(jié)論如下所示：

1） 針對(duì)在合圍控制框架下跟隨者形成精確預(yù)設(shè)隊(duì)形的問(wèn)題，提出了一種基于預(yù)設(shè)隊(duì)形的通信拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法，可以使跟隨者最終在領(lǐng)航者所形成的凸包絡(luò)內(nèi)形成精確隊(duì)形。

2） 針對(duì)輸入飽和問(wèn)題，提出了一種新穎的雙曲正切函數(shù)對(duì)上下界同號(hào)或?yàn)? 的非對(duì)稱飽和函數(shù)進(jìn)行平滑處理，將存在輸入飽和及作動(dòng)器故障情況下的無(wú)人機(jī)合圍控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變?cè)鲆婵刂茊?wèn)題。

3） 針對(duì)輸入飽和、作動(dòng)器故障問(wèn)題，提出了一種基于Nussbaum 函數(shù)的分布式自適應(yīng)有限時(shí)間合圍控制器，使誤差在有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)的一個(gè)任意小的鄰域內(nèi)，并最終通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性完成了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明。