趙旭，齊國元，*，蔚昕晨，胡建兵，李霞

1．天津工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300387

2．天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387

四旋翼飛行器具有機(jī)動性強(qiáng)、體積小、自主執(zhí)行任務(wù)的能力強(qiáng)等優(yōu)點。隨著計算機(jī)處理能力的提高及傳感器和執(zhí)行器成本的降低，該飛行器被廣泛應(yīng)用于軍事和民用等領(lǐng)域［1-3］。由于四旋翼飛行器系統(tǒng)的欠驅(qū)動、非線性等特性，其姿態(tài)控制容易受到四旋翼數(shù)學(xué)模型中的非線性項、外部擾動項和未建模動態(tài)及負(fù)載的影響，這些因素極大地破壞了四旋翼飛行器系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制品質(zhì)，甚至?xí)瓜到y(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩行為［4-5］，因此四旋翼飛行器抗干擾能力成為影響其姿態(tài)控制精度的主要因素。

在實際的工程中，由于未建模部分的動力學(xué)特性和外界不確定因素的影響，很難獲得四旋翼飛行器精確的數(shù)學(xué)模型，這在很大程度上限制了依賴于模型控制算法的實際應(yīng)用。當(dāng)這種模型不確定性以及外部未知擾動作用變強(qiáng)時，依賴模型控制器的參數(shù)整定變得更困難，這進(jìn)一步加大了這類控制器的應(yīng)用難度。因此，不依賴模型的控制方法在工程上獲得廣泛應(yīng)用。

不依賴模型控制是基于通過輸入—輸出行為信息不斷更新估計系統(tǒng)模型函數(shù)的一種控制方法［6-7］。這種方法的關(guān)鍵特征在于，模型觀測器在線估計模型值或模型偏差和擾動值總和，控制器在線前饋應(yīng)用估計所得到的系統(tǒng)未知函數(shù)值和擾動。因此，即使被控系統(tǒng)具有高度非線性、時變、耦合、外擾動，這些信息通過觀測器估計能在控制器中得到部分補(bǔ)償。

PID 控制是典型的不依賴模型的控制方法，如Salih 等［8］將PID 用于四旋翼3D 空間的飛行，但PID 沒有在線估計未知模型函數(shù)值或擾動值的能力，因而不能實現(xiàn)在線補(bǔ)償，而只是依靠誤差的整定，隨著擾動增大，控制品質(zhì)可能變差。隨著智能理論的發(fā)展，研究者們提出了結(jié)合智能理論的新型PID 控制器，如專家系統(tǒng)PID 控制器［9］、模糊PID 控制器［10］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制器［11］等，并被相繼應(yīng)用于四旋翼的控制。系統(tǒng)模型值和擾動值稱為總擾動［12］，而擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer， ESO）能夠有效的估計總擾動，所以Han［13］提出了自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）。ADRC 可以基于系統(tǒng)誤差，設(shè)計控制器參數(shù)，同時，在線應(yīng)用該估計值，實現(xiàn)不依賴模型控制。這種方法的一個關(guān)鍵特征是通過對干擾或模型不確定性的處理、提高了系統(tǒng)控制的魯棒性和自適應(yīng)能力。Dong 等［14］將ADRC應(yīng)用于多旋翼飛行器位置控制。除此之外，ADRC 在姿態(tài)控制中也有應(yīng)用［15］，李霞和陳奕梅［16］采用降階ADRC 控制四旋翼位置和姿態(tài)，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的前提下，降低了系統(tǒng)帶寬與噪聲的敏感度。Zhao 和Guo［17］針對具有動態(tài)和外部不確定性的SISO 非線性系統(tǒng)，設(shè)計了非線性自抗擾控制器并給出了變量收斂性的嚴(yán)格證明。Gao［18-19］對自抗擾控制中的主要模塊進(jìn)行了線性化處理，并引入了帶寬的概念，提出了線性自抗擾控制（Linear Active Disturbance Rejection Control， LADRC），并在實際的無人機(jī)控制中得到了應(yīng)用［2，20］。然而，Qi 等［21-22］研究發(fā)現(xiàn)，ESO 的估計精度不高，對快速機(jī)動變化的模型函數(shù)或擾動不能實現(xiàn)估計收斂。ESO 的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了ESO 僅可等效為I型跟蹤系統(tǒng)，只能對常量模型函數(shù)實現(xiàn)無差估計［21］，而飛行器系統(tǒng)的動力學(xué)模型和擾動是動態(tài)變化的，這些未知模型函數(shù)或擾動信號的泰勒展開中的一次項、二次項甚至三次項會主導(dǎo)函數(shù)變化，因此造成ESO 估計精度較低。因此，Qi 等［21］提出了補(bǔ)償函數(shù)觀測器（Compensation Function Observer， CFO），采用信號跟蹤思想進(jìn)行設(shè)計結(jié)構(gòu)，采用積分串級結(jié)構(gòu)，應(yīng)用速度誤差信息，采用一階濾波器或積分器作為未知函數(shù)或擾動的補(bǔ)償，使得CFO 的類型為Ⅲ型，能對常量、斜坡和加速度函數(shù)實現(xiàn)無差估計。

然而，對于飛行器處于強(qiáng)非線性干擾的環(huán)境下（如有強(qiáng)風(fēng)干擾時），CFO 中的補(bǔ)償器中的線性一階濾波器不能充分逼近。有必要用非線性函數(shù)替代線性的一階濾波器或積分項，以進(jìn)一步提高估計精度，因此筆者提出用光滑的徑向基（Radial Basis Function， RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合補(bǔ)償函數(shù)替代CFO 中的線性一階積分補(bǔ)償函數(shù)。本文仍然采用CFO 的觀測器結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新貢獻(xiàn)在于：

1）提出帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器，使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代原有CFO 中的一階濾波器，實現(xiàn)補(bǔ)償。因為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實現(xiàn)對非線性函數(shù)的逼近效果更好，因此將CFO 的線性函數(shù)補(bǔ)償替換為非線性函數(shù)補(bǔ)償。

2）針對具有未知擾動和不確定性的四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)設(shè)計了不依賴模型控制策略。應(yīng)用帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器估計未知模型函數(shù)，設(shè)計了模型補(bǔ)償控制器。應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論，證明了所設(shè)計的帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器的控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

3）通過基于Pixhawk 的四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)控制測試平臺，實驗驗證了所設(shè)計的基于新的觀測器的不依賴模型控制策略對不同參考姿態(tài)角的跟蹤性能以及2 種控制器的抗擾性能。同時設(shè)計了自抗擾控制器，并與所提出的閉環(huán)控制策略進(jìn)行了性能對比分析，進(jìn)一步驗證了所提出的帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器的模型補(bǔ)償在控制性能上更具優(yōu)勢。

本文章節(jié)安排為：第1 節(jié)分析了補(bǔ)償函數(shù)觀測器優(yōu)越于擴(kuò)張觀測器的結(jié)構(gòu)和特點，指出存在的問題；第2 節(jié)提出了帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器，給出了收斂性分析；第3 節(jié)給出了四旋翼飛行器的模型和參數(shù)；第4 節(jié)提出了基于CFO 的模型補(bǔ)償控制，并給出了穩(wěn)定性證明，構(gòu)建了各個通道的串級控制器；第5 節(jié)仿真分析；第6 節(jié)實驗驗證了模型補(bǔ)償控制性能和抗干擾性能；第7 節(jié)總結(jié)本文的研究結(jié)果。

1 補(bǔ)償函數(shù)觀測器

針對單輸入單輸出（Single-Input Single-Output， SISO）二階控制系統(tǒng)，設(shè)計函數(shù)觀測器在線實時估計未知函數(shù)。

式中：y和為系統(tǒng)的輸出；d為時變未知擾動項；為模型項；b為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；u為系統(tǒng)輸入。

假設(shè) 1令，假定為未知時變光滑非線性函數(shù)。

CFO 借鑒了ESO，其思想也包含Luenberger 觀測器和齊國元等［22］所提出的高階微分器、高階微分反饋控制［7］、跟蹤和型別思想，提出了模型補(bǔ)償來解決模型函數(shù)估計精度問題和收斂性問題。下面首先分析一下補(bǔ)償函數(shù)觀測器思想和結(jié)構(gòu)。完整的CFO 設(shè)計見文獻(xiàn)［21］，這里做一個分析性研究。

針對式（2）的系統(tǒng)模型，設(shè)計Luenberger 觀測器為

圖1 Luenberger 觀測器Fig. 1 Luenberger observer

系統(tǒng)估計值與誤差之間的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

則該觀測器為Ⅱ型系統(tǒng)，這與該觀測器2 個純積分環(huán)節(jié)相對應(yīng)。在后面的將詳細(xì)給出類型的分析。

評注1觀測器式（3）優(yōu)勢在于：①利用了位置和速度雙重信息，速度信息比位置信息更接近加速度信息，而加速度信息直接關(guān)聯(lián)未知函數(shù)，因此速度信息的使用大大提高了估計精度；②原系統(tǒng)具有純積分（或稱純導(dǎo)數(shù)）結(jié)構(gòu)，=x2，因此，該觀測器保持了原系統(tǒng)的純積分形式，即=z2，較ESO相比，純積分環(huán)節(jié)能提高一個跟蹤類型。

Zhu 等［23］在設(shè)計ESO 中包含了擾動估計項，其中擾動估計器中包含了系統(tǒng)的速度信息。這是一個間接使用速度信息方法，不是在ESO 中直接使用該信息。要使用速度信息，必須大幅度改變原來ESO 的結(jié)構(gòu)，否則就不能保證穩(wěn)定性。本文中的CFO 的結(jié)構(gòu)采用的是Luenberger 結(jié)構(gòu)，既能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又能保證位置和速度信息的雙重使用。

通過仿真發(fā)現(xiàn)，觀測器式（3）估計精度高于ESO［21］。由式（2）減去式（3）可得Luenberger 觀測器的觀測誤差為

式中：f為式（2）中的未知時變光滑非線性函數(shù)，顯然，估計誤差受未知函數(shù)f影響。

為了降低f的影響，改進(jìn)觀測器（3）為

基于觀測器式（6）的估計誤差為

為了解決該問題，考慮二者都用來逼近f，可以用一階濾波器建立連接，即

在此基礎(chǔ)上，Qi 和Chen［21］提出了可用帶有濾波器的補(bǔ)償函數(shù)觀測器（CFO）來估計未知函數(shù)f，表達(dá)為

式中：λ為濾波因子。

評注2CFO 中補(bǔ)償函數(shù)的引入，能一定程度上抵消模型函數(shù)未知問題，進(jìn)一步提高估計精度。文獻(xiàn)［21］的誤差分析表明，補(bǔ)償函數(shù)提高了觀測器的1 個型別，加上純積分結(jié)構(gòu)增加的型別，該CFO 較ESO 提高了2 個型別，為Ⅲ型系統(tǒng)，因此大大提高了估計精度。

由式（8）和式（9）中的第3 個方程，有

可以得到

那么可以得出帶有積分補(bǔ)償形式的CFO，即

式（12）中的CFO也是三階系統(tǒng)，與ESO有相同的階次，其中z3通過積分補(bǔ)償了原系統(tǒng)中的f。

圖2 為帶有積分補(bǔ)償形式的CFO 原理框圖，其開環(huán)特征方程為

圖2 補(bǔ)償函數(shù)觀測器Fig. 2 Compensation function observer

通常，為了簡化參數(shù)選取，同時保證CFO 穩(wěn)定，令

式中：ω＞0、-ω、 -4ω和 -4ω是CFO 的極點。從而有

其中：ωc是唯一的可調(diào)參數(shù)。

在CFO 設(shè)計中，對未知函數(shù)估計采用了控制中信號跟蹤思想，如圖3 所示，把這個觀測器等效看成一個單位負(fù)反饋系統(tǒng)，觀測器輸入信號為未知函數(shù)f，輸出為，傳遞函數(shù)G(s)的類型決定估計誤差類型，類型不同誤差有質(zhì)的區(qū)別。

圖3 觀測器到跟蹤器的轉(zhuǎn)換Fig. 3 Transformation of observer to tracker

ESO 的結(jié)構(gòu)如圖4 所示，能夠得到，其估計與誤差之間的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4 ESO 結(jié)構(gòu)框圖Fig. 4 Schematic diagram of ESO

因此ESO 為I 型估計系統(tǒng)。

評注3CFO 為III 型估計系統(tǒng)，ESO 為I 型估計系統(tǒng)。在對未知函數(shù)或信號估計誤差類型上有本質(zhì)上差別。CFO 在收斂性方面能對常值、斜坡和拋物線函數(shù)實現(xiàn)零差估計，而ESO 是I 型系統(tǒng)，只能對常值函數(shù)實現(xiàn)零差估計，或?qū)?shù)有界函數(shù)［24-25］，如對斜坡函數(shù)估計，誤差有界，對拋物線函數(shù)估計誤差發(fā)散，對一般的信號，如正弦信號等有較大的估計滯后。CFO 對斜坡和拋物線這樣導(dǎo)數(shù)無界，甚至二階導(dǎo)數(shù)無界函數(shù)都能實現(xiàn)估計收斂，對正弦函數(shù)估計誤差也很?。?1］。另外，CFO 通過結(jié)構(gòu)解決精度和收斂性問題，不是通過參數(shù)調(diào)整，避免了因參數(shù)過大，惡化信噪比問題，而ESO 通過參數(shù)帶寬調(diào)整精度，容易帶來噪聲放大。

評注4由系統(tǒng)式（1），f的估計等價于y?的估計，CFO的本質(zhì)在于，它用y??位置y和速度信息估計了加速度信息y?，即y?獲得了，那么就有f?=y??-bu。一個系統(tǒng)通過IMU 等機(jī)載傳感器能夠獲得位置y和速度y?信息，他們的變化能夠反映系統(tǒng)受力或加速度信息，也就反映了f(y，y?，t，d)+bu信息，CFO 利用了速度信息，對于估計加速度信息更為可靠。

2 帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器

CFO 和ESO 都是基于系統(tǒng)已知狀態(tài)，估計系統(tǒng)為未知函數(shù)，將未知函數(shù)當(dāng)作信號或狀態(tài)來進(jìn)行估計，是觀測擴(kuò)張狀態(tài)的思想。不依賴于系統(tǒng)模型或模型結(jié)構(gòu)等特征。CFO 的補(bǔ)償實現(xiàn)為式（8）或式（11），采用了一階濾波器或積分器實現(xiàn)，λ值越高，補(bǔ)償越充分，但由于λ是個參數(shù)，不宜太大。但采用高階濾波會增加階次和CFO 的復(fù)雜性。下面分析采用非線性函數(shù)替換的必要性。在實際中一個光滑的信號或函數(shù)可以表達(dá)成泰勒展開式為

由于采樣時間τ?1，特別高的高次項可以忽略，但是無論未知模型函數(shù)或信號f，往往不是簡單的線性函數(shù)或信號，而是復(fù)雜的非線性形式（例如無人機(jī)中包含二次型函數(shù)、余弦函數(shù)；環(huán)境中的大風(fēng)或陣風(fēng)或紊流風(fēng)所產(chǎn)生的風(fēng)擾未建模動態(tài)，陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動阻力以及可能存在的內(nèi)部或外部未知時變擾動），對于這些非線性較強(qiáng)的情況，泰勒展開中二次項、三次項不可忽略。盡管CFO 精度很高，但對泰勒展開中三次或四次仍然會帶來誤差。本文在針對正弦函數(shù)以及Duffing 方程的觀測中發(fā)現(xiàn)，CFO 對這類非線性函數(shù)的估計仍有一定的誤差。

因此本文采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替換式（12）的積分式，實現(xiàn)在線自適應(yīng)更新權(quán)重，如同參數(shù)自適應(yīng)控制方法［26］，因而不涉及訓(xùn)練，另外，通常RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層只含有5 個節(jié)點，其權(quán)值用一個自適應(yīng)積分函數(shù)即可更新，不會大幅增加計算量。其重要意義在于利用了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性和光滑性，即使未知函數(shù)中包含泰勒展開的高階次，快速變化的函數(shù)，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也夠充分地逼近。因此考慮使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種非線性逼近高次項的方式，替換CFO 中的線性補(bǔ)償結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步提高估計精度。

設(shè)計RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為

式中：誤差向量e作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量；h是高斯函數(shù)的輸出，h=[h1，h2，…，hi，…，hn]T；i為隱藏層節(jié)點個數(shù)；ci為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的均值；W*是理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重；ε是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似誤差ε≤εN。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實際輸出，即補(bǔ)償函數(shù)輸出為

提出帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器，其表達(dá)式為

式中：γ＞0，為調(diào)節(jié)因子；σ為滑模面函數(shù)，σ=Fe=l2e1+e2；F為滑模面函數(shù)的系數(shù)，F(xiàn)=[l2， 1]。式（21）中第3 個方程為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)權(quán)重調(diào)節(jié)律。注意到帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 仍然是三階系統(tǒng)，其框圖結(jié)構(gòu)如圖5 所示。為了方便，記帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 為R-CFO。

圖5 帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器Fig. 5 Compensated function observer with RBF neural network

定理1對于系統(tǒng)式（1），所提出的帶有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器對未知函數(shù)f的估計能任意逼近，即

證明式（2）減去式（21）得

設(shè)計滑模面函數(shù)為

對σ求導(dǎo)得

定義李雅普諾夫函數(shù)為

對V求導(dǎo)，得

權(quán)重調(diào)節(jié)的自適應(yīng)律為

則有

由于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實現(xiàn)任意逼近，誤差ε足夠小，可以獲得。證畢。

3 四旋翼飛行器的動力學(xué)和運動學(xué)模型

本文所使用的四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)如圖6 所示，該四旋翼為“×”型結(jié)構(gòu)。通過控制1、3 和2、4 號電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實現(xiàn)四旋翼無人機(jī)俯仰角的控制，2、3和1、4 號電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實現(xiàn)無人機(jī)橫滾角的控制，1、2和3、4號電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實現(xiàn)偏航角的控制。

圖6 四旋翼飛行器Fig. 6 Four-rotor flight vehicle

如圖6 所示，機(jī)體坐標(biāo)系B={xb，yb，zb}，大地坐標(biāo)系E={x，y，z}。 其中：Fi(t)，i=1， 2， 3， 4 代表4 個電機(jī)所產(chǎn)生的推力，推力方向為zb軸的負(fù)方向；θ、?和ψ分別為四旋翼的俯仰角、橫滾角以及偏航角，且有，

式中：Ωi為第i號電機(jī)的轉(zhuǎn)速；kT為推力因子。

根據(jù)Newton-Euler 法，得到四旋翼動力學(xué)方程為

式中：m為四旋翼的質(zhì)量；g為重力加速度；P為四旋翼的位置向量，P=[x，y，z]Τ；v為四旋翼整體的速度；e3為單位向量，e3=[0，0，1]T；?表示四旋翼在大地坐標(biāo)系E={x，y，z}中的角速度，?=；ω表示四旋翼在機(jī)體坐標(biāo)系B={xb，yb，zb}中的角速度，ω=[p，q，r]Τ；I為四旋翼的慣性矩陣。τ表示通過控制電機(jī)轉(zhuǎn)速所產(chǎn)生的力矩；d為系統(tǒng)的不確定性，d=[dx，dy，dz]Τ，它包括2 部分，一部分是未建模動態(tài)，如陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動阻力等；另一部分是可能存在的內(nèi)部或外部未知時變擾動。

d可以表示為

式中：Ir代表電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量；R1為?與ω之間的轉(zhuǎn)換矩陣，由式（31）可得

即

在實際中，對四旋翼的姿態(tài)控制基于小角度假設(shè)，即

從而可得

基于DJI F450 模型所得到的各個參數(shù)及其物理意義如表1 所示。

表1 DJI F450 各物理參數(shù)及取值Table 1 DJI F450 physical parameters and values

對于圖6 所示的“×”型四旋翼飛行器機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)矩控制量可以表示為

由于四旋翼的姿態(tài)角和推力只與FT、τx、τy和τz有關(guān)，因此姿態(tài)控制器設(shè)計過程中只需要考慮設(shè)計FT、τx、τy和τz的控制律。

4 閉環(huán)控制器設(shè)計

4. 1 模型補(bǔ)償控制器設(shè)計

針對四旋翼飛行器的姿態(tài)系統(tǒng)，假定模型函數(shù)未知，或者部分已知，本節(jié)設(shè)計了基于CFO 的模型補(bǔ)償控制（Model Compensation Control，MCC）策略的閉環(huán)控制器。MCC 基于非線性極點配置控制，使用未知模型的估計值?補(bǔ)償未知函數(shù)f。

實際控制中，f=fk+fu，其中fk為已知部分，fu為未知部分，可以用R-CFO 的式（21）得到，需要注意的是，需要將式（21）中的bu，替換成fk+bu，則估計值為，其他不變，如果考慮f完全未知，可以直接采用式（21）。補(bǔ)償控制就是用?補(bǔ)償真實的f，或用? 補(bǔ)償fu，主動抵消該未知量在控制中的影響。

因此本文使用基于極點配置的MCC，利用R-CFO 估計未知模型并主動抵消該未知量在控制中的影響。圖7 為四旋翼比例一串級控制器的結(jié)構(gòu)框圖。

圖7 四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig. 7 Control structure of quadrotor flight vehicle system

考慮系統(tǒng)方程式（2），給定參考信號yr，設(shè)定跟蹤誤差為,其中下標(biāo)c表示控制跟蹤誤差，以區(qū)別觀測器誤差，誤差向量為ec=[ec1，ec2]Τ。由式（2）可知，跟蹤誤差方程為

式中：參數(shù)k2、k1使誤差方程的特征多項式s2+k1s+k2為Hurwitz 多項式，可根據(jù)期望的極點配置設(shè)計。假定f未知，依賴觀測器與控制器設(shè)計分離原理［27］，先依據(jù)觀測數(shù)據(jù)估計系統(tǒng)未知模型函數(shù)f；如果部分未知，就估計其中的部分未知項，包含擾動、耦合和時變部分，再把估計值看成真實值，按照確定性系統(tǒng)設(shè)計控制器。

提出的基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制器，即MCC 為

注意到，基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制僅利用系統(tǒng)的期望輸入信號和輸出信號，控制器可以不依賴于系統(tǒng)模型，或者不依賴于部分未知模型和擾動。通過R-CFO 估計未知模型函數(shù)值，在線反饋補(bǔ)償給控制器。該模型補(bǔ)償控制器和補(bǔ)償函數(shù)觀測器的參數(shù)均具有實際的物理意義，所以容易根據(jù)特性需求選取。

4. 2 姿態(tài)環(huán)串級控制器設(shè)計

對該飛行器系統(tǒng)，本文采用控制策略為內(nèi)外環(huán)的串級控制，外環(huán)采用比例控制，內(nèi)環(huán)采用基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制。實際姿態(tài)實驗中遙控器的4 個通道指令分別轉(zhuǎn)化為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角的參考指令，偏航角速度參考指令和升力指令，因此外環(huán)只需考慮滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的跟蹤控制。設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的角速度指令為

由式（35）和式（36），系統(tǒng)姿態(tài)內(nèi)環(huán)模型可以描述為

式中：fp、fq和fr是每個子系統(tǒng)未知模型函數(shù)；Ix、Iy和Iz是四旋翼3 個軸上的轉(zhuǎn)動慣量，但是如果有參數(shù)測量誤差，也可以設(shè)為系統(tǒng)相關(guān)可調(diào)的參數(shù)。

系統(tǒng)小角度假設(shè)造成的誤差、擾動、未建模動態(tài)和負(fù)載變化都隱含在fp、fq以及fr中，因此，提出使用R-CFO 進(jìn)行補(bǔ)償控制，和為3 個通道未知非線性模型項的估計值。由式（42），可以給出一階模型的補(bǔ)償控制器，即

可推導(dǎo)出3 個姿態(tài)角的控制律分別為

式中：kp、kq和kr是內(nèi)環(huán)角速度誤差增益；bp、bq和br是系統(tǒng)相關(guān)的未知可調(diào)的參數(shù)；和為參考角加速度，可由高階微分器（High Order Differentiator，HOD）得到［7，22］。

HOD 可以設(shè)置為任意階系統(tǒng)，可對任意階信號提取微分。本文采用了三階結(jié)構(gòu)，如圖8 所示，通過HOD 可以估計參考輸入的微分以及二階微分信息，其中xi(i=1， 2， 3) 為HOD 的狀態(tài)。

圖8 HOD 結(jié)構(gòu)Fig. 8 HOD structure

根據(jù)圖8 可得由輸入量yr估計其各階導(dǎo)數(shù)的輸出方程。三階微分器的輸出方程為

4. 3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性分析

四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)中，每個子系統(tǒng)的模型都可以用如式（46）和式（47）所示的二階系統(tǒng)描述（以俯仰角為例）：

或

定義姿態(tài)角跟蹤誤差為eθ=θr-θ，角速度跟蹤誤差為eq=qr-q。針對該二階系統(tǒng)，設(shè)計的基于R-CFO 的MCC 雙閉環(huán)串級控制策略為

定理2基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制器（式（46））控制四旋翼飛行器跟蹤參考姿態(tài)角，能實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，姿態(tài)跟蹤誤差漸近收斂。

證明令E=[eθ，eq]Τ，假設(shè)=0，將控制器（48）代入系統(tǒng)（44）中，可得

有

得到閉環(huán)系統(tǒng)矩陣表達(dá)式為

定義R-CFO 對未知函數(shù)的估計誤差為ef=-f，式（51）可寫為

設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為

P是對稱正定矩陣且滿足如式（54）所示的Lyapunov 方程：

Q＞0，取，則有

從而有

式中：ε為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，能夠充分小，因此V?≤0。證畢。

5 數(shù)值仿真分析

5. 1 函數(shù)觀測器性能比較

在實際控制中，由于未建模動態(tài)，如陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動阻力等，可能存在的內(nèi)部或外部未知時變擾動對無人機(jī)的影響，因此對非線性模型項的高精度估計尤為重要，因此分2 種情況討論。

案例1觀測器對3 種簡單函數(shù)的觀測性能

先介紹一下擴(kuò)張觀測器（ESO），表達(dá)式為

由式（57）可知，當(dāng)bu=0 時可得ESO 的特征方程為

選取a=8，即ESO 的參數(shù)為l1=24，l2=192，l3=512。為了對比公平，讓ESO 與CFO的特征多項式常數(shù)項相等，都等于512。由式（13）和式（14），可以確定ω=3.174 8。因此式（13）的參數(shù)l1=28.57，l2=121，λ=4.23，得到CFO 的特征多項式s3+28.57s2+242s+512。 本文提出的 R-CFO，同樣取l1=28.57，l2=121，γ=0.001。

對于系統(tǒng)式（1），在仿真過程中令bu=1，令模型函數(shù)項f=1，t， 0.5t2， sin 3t，分別用ESO、帶有積分器的CFO 和R-CFO 進(jìn)行估計，結(jié)果如圖9 所示。為了統(tǒng)一，第5 節(jié)圖9～圖11 中和分別代表各觀測器對模型函數(shù)項的估計值，f代表實際值。

圖9 ESO 和R-CFO 關(guān)于不同函數(shù)的估計Fig. 9 Estimation of ESO and R-CFO on different functions

圖9（a）顯示，對于常值函數(shù)，ESO、CFO 和R-CFO 都能實現(xiàn)無差估計；但是，圖9（b）表明，對于斜坡函數(shù)，ESO 估計的穩(wěn)態(tài)誤差為0.375，而CFO 和R-CFO 估計的穩(wěn)態(tài)誤差為零；圖9（c）表明，對于拋物線函數(shù)，ESO 估計的穩(wěn)態(tài)誤差隨著時間無限增大，估計的誤差發(fā)散，而CFO 和RCFO 仍能實現(xiàn)無差估計；由圖9（d）可知，對于更為一般的函數(shù)，CFO 和R-CFO 的估計性能遠(yuǎn)高于ESO，并且對于非線性三角函數(shù)R-CFO 的收斂速率快于CFO。在圖9 中，ESO 的平均絕對值誤差為0.595 2，CFO 的平均絕對誤差為0.023 9，而R-CFO 為0.007 1。

案例2對強(qiáng)非線性系統(tǒng)模型項的估計

由于無人機(jī)屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)［28］，故考察RCFO 對強(qiáng)非線性模型項的觀測性能，并與ESO進(jìn)行對比?？紤]非線性Duffing 系統(tǒng)

式中：時變非線性未知函數(shù)為f=25y?-y3+11cost+sin(πy)sin(πy?)+5sint，令bu=3sint，2 種觀測器的參數(shù)選擇與案例1 相同。ESO、CFO 和R-CFO 關(guān)于Duffing 模型函數(shù)估計性能對比如圖10 所示。

圖10 ESO、CFO 和R-CFO 關(guān)于Duffing 模型函數(shù)估計性能對比Fig. 10 Comparison of ESO， CFO and R-CFO on Duffing model function estimation performance

圖10（a）和圖10（c）表明，ESO 對該Duffing系統(tǒng)中未知函數(shù)的估計有明顯的相位差。在尖峰處，跟蹤嚴(yán)重不足，誤差范圍在[-100， 100]，說明其對高頻非線性函數(shù)估計誤差較大；而R-CFO 估計精度高，即使在尖峰處也能高精度估計，誤差范圍在[ -5， 5]。

由圖10（b）和圖10（c）對比可知，相對于CFO，R-CFO 將誤差范圍進(jìn)一步縮小，觀測精度更高。R-CFO 對該系統(tǒng)模型函數(shù)的估計平均絕對誤差為0.785，而ESO 為19.644，CFO 是3.341。

5. 2 四旋翼飛行器姿態(tài)角跟蹤仿真測試

被控對象為四旋翼飛行器式（41），將設(shè)計的模型補(bǔ)償控制（MCC）策略應(yīng)用于四旋翼飛行器的姿態(tài)控制，并與PID、ADRC 控制方法比較。模型參數(shù)由表1 給出。系統(tǒng)的初始狀態(tài)取Θ0=ω0=0。為了對比的公平性，數(shù)值仿真中3 種控制算法外環(huán)采用的比例控制參數(shù)均為kθ=6.5。通常，ADRC 控制律表達(dá)式為

而基于R-CFO 的MCC 控制律為式（42），其中所估計與ADRC 不同；另外，ADRC 控制律式（60）中一般沒有。3 種內(nèi)環(huán)控制器選取參數(shù)在表2 中給出。以滾轉(zhuǎn)通道為例，給定設(shè)置為?r=0.12 rad，在3 ～5 s 之間加入外部擾動d?0=0.05 sin5t。

表2 內(nèi)環(huán)控制器參數(shù)Table 2 Inner loop controller parameters

滾轉(zhuǎn)通道控制及估計的對比如圖11 所示。對滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)控制和未知模型估計的對比如表3所示。

表3 對滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)控制和未知模型估計的對比Table 3 Comparison of roll angle system control and unknown model estimation

圖11 滾轉(zhuǎn)通道控制及估計的對比Fig. 11 Comparison of roll channel control and estimation

從圖11（a）和表3 看出，對于階躍給定，MCC對擾動的抑制效果最好，ADRC 抑制擾動的性能也明顯優(yōu)于PID。由圖11（b）和圖11（c）及表3 看出，對于未知模型的估計，R-CFO 估計的精度最高。仿真發(fā)現(xiàn)，為了提高控制性能，增大ESO 參數(shù)，使得ADRC 方法控制性能有所提高，但是控制性能仍達(dá)不到MCC 的效果。因此本文所提出的MCC 能以較小參數(shù)實現(xiàn)較優(yōu)越的控制性能和抗干擾性能。

6 實驗驗證

實驗中利用基于Pixhawk 的四旋翼飛行器控制算法開發(fā)平臺實現(xiàn)四旋翼內(nèi)部算法更新，流程如圖12 所示。選擇MCC 控制作為內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器，四旋翼的結(jié)構(gòu)如圖6 所示。

圖12 基于Pixhawk 的四旋翼算法開發(fā)平臺Fig. 12 Four-rotor algorithm development platform based on Pixhawk

本實驗主要考察四旋翼對跟蹤橫滾角的性能，參考值通過遙控器給定。實驗過程中，首先保證懸停四旋翼飛行器在萬向節(jié)底座上的初始狀態(tài)約為[?0，θ0，ψ0]Τ=[0，-0.61，0]Τrad，參考的初始狀態(tài)為[?r0，θr0，ψr0]Τ=[0，0，0]Τrad，四旋翼飛行器在萬向節(jié)底座上的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角最大值為?max=θmax=±0.61 rad。期望角度由遙控器輸出，控制器參數(shù)由表2 給出。

本組實驗測試2 種控制算法跟蹤任意給定參考的性能，滾轉(zhuǎn)角的參考值?r通過遙控器實時給出，由式（61）給出，即

式中：rc 代表遙控器的滾轉(zhuǎn)通道搖桿量，對應(yīng)PWM 值的范圍是1 100 ～1 900 μs。首先通過遙控器的油門通道使機(jī)體到達(dá)參考的初始姿態(tài)[?r0，θr0，ψr0]Τ=[0，0，0]Τrad，并保持懸停一段時間，由遙控器控制改變參考值?；贛CC 和ADRC 的控制算法跟蹤參考滾轉(zhuǎn)角的結(jié)果如圖13 所示，跟蹤隨機(jī)給定信號的平均絕對誤差由表4 所示。

表4 MCC 與ADRC 控制性能對比Table 4 MCC and ADRC control performance comparison

圖13 滾轉(zhuǎn)角2 種控制算法跟蹤效果對比Fig. 13 Comparison of tracking effects of two control algorithms for roll angle

圖13（a）和圖13（b）顯示，對于任意給定，ADRC 和MCC 都能實現(xiàn)高精度跟蹤。但是，對于階躍信號，由于ESO 的高頻噪聲問題，所以ADRC 在控制過程中會產(chǎn)生振蕩并出現(xiàn)超調(diào)。而圖13（a）表明，由于R-CFO 觀測精度高，故MCC 能夠更快收斂且無超調(diào)。結(jié)合表4 數(shù)據(jù)可知MCC 無論是在跟蹤的穩(wěn)態(tài)性能還是暫態(tài)性能都要強(qiáng)于ADRC。

下面給出抗擾實驗結(jié)果。對于MCC 和ADRC 實驗，在飛行器機(jī)體左側(cè)懸掛同一重物，實驗前先將其托起，使它不影響飛行器的正常啟動和懸停。當(dāng)飛行器啟動并懸停一段時間后，瞬間釋放該懸掛的重物，并保持重物加載，以模擬機(jī)體可能受到的外部擾動。2 種控制算法的抗擾測試結(jié)果如圖14 所示。

圖14 滾轉(zhuǎn)角2 種控制算法跟抗擾果對比Fig. 14 Comparison of disturbance rejection of two control algorithms for roll angle

由圖14 可以看出，總體MCC 控制優(yōu)于ADRC，穩(wěn)態(tài)誤差較小。在大約9 s 處，無人機(jī)受擾，與MCC 相比，ADRC 控制下的滾轉(zhuǎn)角產(chǎn)生了大得多的受擾振蕩，克服擾動的調(diào)節(jié)時間也更長，不能快速重新回到原來的平衡位置。這是由于R-CFO 對未知模型函數(shù)的估計值更為精確，并將估計值及時反饋給控制器以平衡抵消該擾動，因此MCC 較ADRC 的受擾超調(diào)小得多，調(diào)節(jié)時間更短，以更高精度重新回到平衡狀態(tài)，抗擾能力得到了很大的提升。

該組實驗與圖11 所示的仿真結(jié)果相比，在控制器參數(shù)類似的情況下，其中ADRC 的暫態(tài)表現(xiàn)出明顯超調(diào)和振蕩。由于ESO 的觀測器參數(shù)較小，面對實際系統(tǒng)中更大的不確定性還需要繼續(xù)增大參數(shù)來提高估計精度，更容易引入高頻噪聲，由于超調(diào)量以及振蕩的存在，導(dǎo)致調(diào)節(jié)時間更長。相比之下，MCC 在選擇與仿真時相近的觀測器參數(shù)條件下，MCC 調(diào)節(jié)時間更短，幾乎沒有超調(diào)，而ADRC 的最大超調(diào)達(dá)到了58%，穩(wěn)態(tài)精度方面，MCC 具有更強(qiáng)的魯棒性。

7 結(jié) 論

1）基于無人機(jī)各個通道之間的強(qiáng)耦合，負(fù)載時變，強(qiáng)風(fēng)干擾等特性，提出了一類不依賴模型的控制策略。本文用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代了CFO 中的線性濾波補(bǔ)償，設(shè)計了帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測器（R-CFO），提高了估計精度，基于Lyapunov 函數(shù)給出了收斂性證明。

2）基于所提出的R-CFO 對未知模型的估計，本文提出了模型補(bǔ)償控制策略（MCC），以補(bǔ)償模型偏差、時變和各類擾動，給出了閉環(huán)系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的證明。通過幾個確定非線性函數(shù)的仿真測試，表明基于帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 估計精度大幅優(yōu)越于ESO 估計。

3）通過四旋翼無人機(jī)的數(shù)值仿真測試以及實際實驗發(fā)現(xiàn)，模型補(bǔ)償控制較現(xiàn)有的自抗擾控制（ADRC）在跟蹤性能更優(yōu)越，穩(wěn)態(tài)精度更高，魯棒性強(qiáng)。