趙旭，齊國(guó)元，*，蔚昕晨，胡建兵，李霞

1．天津工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300387

2．天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387

四旋翼飛行器具有機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、體積小、自主執(zhí)行任務(wù)的能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。隨著計(jì)算機(jī)處理能力的提高及傳感器和執(zhí)行器成本的降低，該飛行器被廣泛應(yīng)用于軍事和民用等領(lǐng)域［1-3］。由于四旋翼飛行器系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)、非線性等特性，其姿態(tài)控制容易受到四旋翼數(shù)學(xué)模型中的非線性項(xiàng)、外部擾動(dòng)項(xiàng)和未建模動(dòng)態(tài)及負(fù)載的影響，這些因素極大地破壞了四旋翼飛行器系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制品質(zhì)，甚至?xí)瓜到y(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩行為［4-5］，因此四旋翼飛行器抗干擾能力成為影響其姿態(tài)控制精度的主要因素。

在實(shí)際的工程中，由于未建模部分的動(dòng)力學(xué)特性和外界不確定因素的影響，很難獲得四旋翼飛行器精確的數(shù)學(xué)模型，這在很大程度上限制了依賴于模型控制算法的實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)這種模型不確定性以及外部未知擾動(dòng)作用變強(qiáng)時(shí)，依賴模型控制器的參數(shù)整定變得更困難，這進(jìn)一步加大了這類控制器的應(yīng)用難度。因此，不依賴模型的控制方法在工程上獲得廣泛應(yīng)用。

不依賴模型控制是基于通過(guò)輸入—輸出行為信息不斷更新估計(jì)系統(tǒng)模型函數(shù)的一種控制方法［6-7］。這種方法的關(guān)鍵特征在于，模型觀測(cè)器在線估計(jì)模型值或模型偏差和擾動(dòng)值總和，控制器在線前饋應(yīng)用估計(jì)所得到的系統(tǒng)未知函數(shù)值和擾動(dòng)。因此，即使被控系統(tǒng)具有高度非線性、時(shí)變、耦合、外擾動(dòng)，這些信息通過(guò)觀測(cè)器估計(jì)能在控制器中得到部分補(bǔ)償。

PID 控制是典型的不依賴模型的控制方法，如Salih 等［8］將PID 用于四旋翼3D 空間的飛行，但PID 沒(méi)有在線估計(jì)未知模型函數(shù)值或擾動(dòng)值的能力，因而不能實(shí)現(xiàn)在線補(bǔ)償，而只是依靠誤差的整定，隨著擾動(dòng)增大，控制品質(zhì)可能變差。隨著智能理論的發(fā)展，研究者們提出了結(jié)合智能理論的新型PID 控制器，如專家系統(tǒng)PID 控制器［9］、模糊PID 控制器［10］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制器［11］等，并被相繼應(yīng)用于四旋翼的控制。系統(tǒng)模型值和擾動(dòng)值稱為總擾動(dòng)［12］，而擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer， ESO）能夠有效的估計(jì)總擾動(dòng)，所以Han［13］提出了自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）。ADRC 可以基于系統(tǒng)誤差，設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，同時(shí)，在線應(yīng)用該估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)不依賴模型控制。這種方法的一個(gè)關(guān)鍵特征是通過(guò)對(duì)干擾或模型不確定性的處理、提高了系統(tǒng)控制的魯棒性和自適應(yīng)能力。Dong 等［14］將ADRC應(yīng)用于多旋翼飛行器位置控制。除此之外，ADRC 在姿態(tài)控制中也有應(yīng)用［15］，李霞和陳奕梅［16］采用降階ADRC 控制四旋翼位置和姿態(tài)，在滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能的前提下，降低了系統(tǒng)帶寬與噪聲的敏感度。Zhao 和Guo［17］針對(duì)具有動(dòng)態(tài)和外部不確定性的SISO 非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了非線性自抗擾控制器并給出了變量收斂性的嚴(yán)格證明。Gao［18-19］對(duì)自抗擾控制中的主要模塊進(jìn)行了線性化處理，并引入了帶寬的概念，提出了線性自抗擾控制（Linear Active Disturbance Rejection Control， LADRC），并在實(shí)際的無(wú)人機(jī)控制中得到了應(yīng)用［2，20］。然而，Qi 等［21-22］研究發(fā)現(xiàn)，ESO 的估計(jì)精度不高，對(duì)快速機(jī)動(dòng)變化的模型函數(shù)或擾動(dòng)不能實(shí)現(xiàn)估計(jì)收斂。ESO 的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了ESO 僅可等效為I型跟蹤系統(tǒng)，只能對(duì)常量模型函數(shù)實(shí)現(xiàn)無(wú)差估計(jì)［21］，而飛行器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和擾動(dòng)是動(dòng)態(tài)變化的，這些未知模型函數(shù)或擾動(dòng)信號(hào)的泰勒展開(kāi)中的一次項(xiàng)、二次項(xiàng)甚至三次項(xiàng)會(huì)主導(dǎo)函數(shù)變化，因此造成ESO 估計(jì)精度較低。因此，Qi 等［21］提出了補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器（Compensation Function Observer， CFO），采用信號(hào)跟蹤思想進(jìn)行設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，采用積分串級(jí)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用速度誤差信息，采用一階濾波器或積分器作為未知函數(shù)或擾動(dòng)的補(bǔ)償，使得CFO 的類型為Ⅲ型，能對(duì)常量、斜坡和加速度函數(shù)實(shí)現(xiàn)無(wú)差估計(jì)。

然而，對(duì)于飛行器處于強(qiáng)非線性干擾的環(huán)境下（如有強(qiáng)風(fēng)干擾時(shí)），CFO 中的補(bǔ)償器中的線性一階濾波器不能充分逼近。有必要用非線性函數(shù)替代線性的一階濾波器或積分項(xiàng)，以進(jìn)一步提高估計(jì)精度，因此筆者提出用光滑的徑向基（Radial Basis Function， RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合補(bǔ)償函數(shù)替代CFO 中的線性一階積分補(bǔ)償函數(shù)。本文仍然采用CFO 的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新貢獻(xiàn)在于：

1）提出帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器，使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代原有CFO 中的一階濾波器，實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償。因?yàn)镽BF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性函數(shù)的逼近效果更好，因此將CFO 的線性函數(shù)補(bǔ)償替換為非線性函數(shù)補(bǔ)償。

2）針對(duì)具有未知擾動(dòng)和不確定性的四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了不依賴模型控制策略。應(yīng)用帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器估計(jì)未知模型函數(shù)，設(shè)計(jì)了模型補(bǔ)償控制器。應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論，證明了所設(shè)計(jì)的帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器的控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

3）通過(guò)基于Pixhawk 的四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)控制測(cè)試平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的基于新的觀測(cè)器的不依賴模型控制策略對(duì)不同參考姿態(tài)角的跟蹤性能以及2 種控制器的抗擾性能。同時(shí)設(shè)計(jì)了自抗擾控制器，并與所提出的閉環(huán)控制策略進(jìn)行了性能對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器的模型補(bǔ)償在控制性能上更具優(yōu)勢(shì)。

本文章節(jié)安排為：第1 節(jié)分析了補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器優(yōu)越于擴(kuò)張觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，指出存在的問(wèn)題；第2 節(jié)提出了帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器，給出了收斂性分析；第3 節(jié)給出了四旋翼飛行器的模型和參數(shù)；第4 節(jié)提出了基于CFO 的模型補(bǔ)償控制，并給出了穩(wěn)定性證明，構(gòu)建了各個(gè)通道的串級(jí)控制器；第5 節(jié)仿真分析；第6 節(jié)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型補(bǔ)償控制性能和抗干擾性能；第7 節(jié)總結(jié)本文的研究結(jié)果。

1 補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器

針對(duì)單輸入單輸出（Single-Input Single-Output， SISO）二階控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)函數(shù)觀測(cè)器在線實(shí)時(shí)估計(jì)未知函數(shù)。

式中：y和為系統(tǒng)的輸出；d為時(shí)變未知擾動(dòng)項(xiàng)；為模型項(xiàng)；b為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；u為系統(tǒng)輸入。

假設(shè) 1令，假定為未知時(shí)變光滑非線性函數(shù)。

CFO 借鑒了ESO，其思想也包含Luenberger 觀測(cè)器和齊國(guó)元等［22］所提出的高階微分器、高階微分反饋控制［7］、跟蹤和型別思想，提出了模型補(bǔ)償來(lái)解決模型函數(shù)估計(jì)精度問(wèn)題和收斂性問(wèn)題。下面首先分析一下補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器思想和結(jié)構(gòu)。完整的CFO 設(shè)計(jì)見(jiàn)文獻(xiàn)［21］，這里做一個(gè)分析性研究。

針對(duì)式（2）的系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)Luenberger 觀測(cè)器為

圖1 Luenberger 觀測(cè)器Fig. 1 Luenberger observer

系統(tǒng)估計(jì)值與誤差之間的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

則該觀測(cè)器為Ⅱ型系統(tǒng)，這與該觀測(cè)器2 個(gè)純積分環(huán)節(jié)相對(duì)應(yīng)。在后面的將詳細(xì)給出類型的分析。

評(píng)注1觀測(cè)器式（3）優(yōu)勢(shì)在于：①利用了位置和速度雙重信息，速度信息比位置信息更接近加速度信息，而加速度信息直接關(guān)聯(lián)未知函數(shù)，因此速度信息的使用大大提高了估計(jì)精度；②原系統(tǒng)具有純積分（或稱純導(dǎo)數(shù)）結(jié)構(gòu)，=x2，因此，該觀測(cè)器保持了原系統(tǒng)的純積分形式，即=z2，較ESO相比，純積分環(huán)節(jié)能提高一個(gè)跟蹤類型。

Zhu 等［23］在設(shè)計(jì)ESO 中包含了擾動(dòng)估計(jì)項(xiàng)，其中擾動(dòng)估計(jì)器中包含了系統(tǒng)的速度信息。這是一個(gè)間接使用速度信息方法，不是在ESO 中直接使用該信息。要使用速度信息，必須大幅度改變?cè)瓉?lái)ESO 的結(jié)構(gòu)，否則就不能保證穩(wěn)定性。本文中的CFO 的結(jié)構(gòu)采用的是Luenberger 結(jié)構(gòu)，既能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又能保證位置和速度信息的雙重使用。

通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)器式（3）估計(jì)精度高于ESO［21］。由式（2）減去式（3）可得Luenberger 觀測(cè)器的觀測(cè)誤差為

式中：f為式（2）中的未知時(shí)變光滑非線性函數(shù)，顯然，估計(jì)誤差受未知函數(shù)f影響。

為了降低f的影響，改進(jìn)觀測(cè)器（3）為

基于觀測(cè)器式（6）的估計(jì)誤差為

為了解決該問(wèn)題，考慮二者都用來(lái)逼近f，可以用一階濾波器建立連接，即

在此基礎(chǔ)上，Qi 和Chen［21］提出了可用帶有濾波器的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器（CFO）來(lái)估計(jì)未知函數(shù)f，表達(dá)為

式中：λ為濾波因子。

評(píng)注2CFO 中補(bǔ)償函數(shù)的引入，能一定程度上抵消模型函數(shù)未知問(wèn)題，進(jìn)一步提高估計(jì)精度。文獻(xiàn)［21］的誤差分析表明，補(bǔ)償函數(shù)提高了觀測(cè)器的1 個(gè)型別，加上純積分結(jié)構(gòu)增加的型別，該CFO 較ESO 提高了2 個(gè)型別，為Ⅲ型系統(tǒng)，因此大大提高了估計(jì)精度。

由式（8）和式（9）中的第3 個(gè)方程，有

可以得到

那么可以得出帶有積分補(bǔ)償形式的CFO，即

式（12）中的CFO也是三階系統(tǒng)，與ESO有相同的階次，其中z3通過(guò)積分補(bǔ)償了原系統(tǒng)中的f。

圖2 為帶有積分補(bǔ)償形式的CFO 原理框圖，其開(kāi)環(huán)特征方程為

圖2 補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器Fig. 2 Compensation function observer

通常，為了簡(jiǎn)化參數(shù)選取，同時(shí)保證CFO 穩(wěn)定，令

式中：ω＞0、-ω、 -4ω和 -4ω是CFO 的極點(diǎn)。從而有

其中：ωc是唯一的可調(diào)參數(shù)。

在CFO 設(shè)計(jì)中，對(duì)未知函數(shù)估計(jì)采用了控制中信號(hào)跟蹤思想，如圖3 所示，把這個(gè)觀測(cè)器等效看成一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，觀測(cè)器輸入信號(hào)為未知函數(shù)f，輸出為，傳遞函數(shù)G(s)的類型決定估計(jì)誤差類型，類型不同誤差有質(zhì)的區(qū)別。

圖3 觀測(cè)器到跟蹤器的轉(zhuǎn)換Fig. 3 Transformation of observer to tracker

ESO 的結(jié)構(gòu)如圖4 所示，能夠得到，其估計(jì)與誤差之間的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4 ESO 結(jié)構(gòu)框圖Fig. 4 Schematic diagram of ESO

因此ESO 為I 型估計(jì)系統(tǒng)。

評(píng)注3CFO 為III 型估計(jì)系統(tǒng)，ESO 為I 型估計(jì)系統(tǒng)。在對(duì)未知函數(shù)或信號(hào)估計(jì)誤差類型上有本質(zhì)上差別。CFO 在收斂性方面能對(duì)常值、斜坡和拋物線函數(shù)實(shí)現(xiàn)零差估計(jì)，而ESO 是I 型系統(tǒng)，只能對(duì)常值函數(shù)實(shí)現(xiàn)零差估計(jì)，或?qū)?shù)有界函數(shù)［24-25］，如對(duì)斜坡函數(shù)估計(jì)，誤差有界，對(duì)拋物線函數(shù)估計(jì)誤差發(fā)散，對(duì)一般的信號(hào)，如正弦信號(hào)等有較大的估計(jì)滯后。CFO 對(duì)斜坡和拋物線這樣導(dǎo)數(shù)無(wú)界，甚至二階導(dǎo)數(shù)無(wú)界函數(shù)都能實(shí)現(xiàn)估計(jì)收斂，對(duì)正弦函數(shù)估計(jì)誤差也很?。?1］。另外，CFO 通過(guò)結(jié)構(gòu)解決精度和收斂性問(wèn)題，不是通過(guò)參數(shù)調(diào)整，避免了因參數(shù)過(guò)大，惡化信噪比問(wèn)題，而ESO 通過(guò)參數(shù)帶寬調(diào)整精度，容易帶來(lái)噪聲放大。

評(píng)注4由系統(tǒng)式（1），f的估計(jì)等價(jià)于y?的估計(jì)，CFO的本質(zhì)在于，它用y??位置y和速度信息估計(jì)了加速度信息y?，即y?獲得了，那么就有f?=y??-bu。一個(gè)系統(tǒng)通過(guò)IMU 等機(jī)載傳感器能夠獲得位置y和速度y?信息，他們的變化能夠反映系統(tǒng)受力或加速度信息，也就反映了f(y，y?，t，d)+bu信息，CFO 利用了速度信息，對(duì)于估計(jì)加速度信息更為可靠。

2 帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器

CFO 和ESO 都是基于系統(tǒng)已知狀態(tài)，估計(jì)系統(tǒng)為未知函數(shù)，將未知函數(shù)當(dāng)作信號(hào)或狀態(tài)來(lái)進(jìn)行估計(jì)，是觀測(cè)擴(kuò)張狀態(tài)的思想。不依賴于系統(tǒng)模型或模型結(jié)構(gòu)等特征。CFO 的補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)為式（8）或式（11），采用了一階濾波器或積分器實(shí)現(xiàn)，λ值越高，補(bǔ)償越充分，但由于λ是個(gè)參數(shù)，不宜太大。但采用高階濾波會(huì)增加階次和CFO 的復(fù)雜性。下面分析采用非線性函數(shù)替換的必要性。在實(shí)際中一個(gè)光滑的信號(hào)或函數(shù)可以表達(dá)成泰勒展開(kāi)式為

由于采樣時(shí)間τ?1，特別高的高次項(xiàng)可以忽略，但是無(wú)論未知模型函數(shù)或信號(hào)f，往往不是簡(jiǎn)單的線性函數(shù)或信號(hào)，而是復(fù)雜的非線性形式（例如無(wú)人機(jī)中包含二次型函數(shù)、余弦函數(shù)；環(huán)境中的大風(fēng)或陣風(fēng)或紊流風(fēng)所產(chǎn)生的風(fēng)擾未建模動(dòng)態(tài)，陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動(dòng)阻力以及可能存在的內(nèi)部或外部未知時(shí)變擾動(dòng)），對(duì)于這些非線性較強(qiáng)的情況，泰勒展開(kāi)中二次項(xiàng)、三次項(xiàng)不可忽略。盡管CFO 精度很高，但對(duì)泰勒展開(kāi)中三次或四次仍然會(huì)帶來(lái)誤差。本文在針對(duì)正弦函數(shù)以及Duffing 方程的觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，CFO 對(duì)這類非線性函數(shù)的估計(jì)仍有一定的誤差。

因此本文采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替換式（12）的積分式，實(shí)現(xiàn)在線自適應(yīng)更新權(quán)重，如同參數(shù)自適應(yīng)控制方法［26］，因而不涉及訓(xùn)練，另外，通常RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層只含有5 個(gè)節(jié)點(diǎn)，其權(quán)值用一個(gè)自適應(yīng)積分函數(shù)即可更新，不會(huì)大幅增加計(jì)算量。其重要意義在于利用了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性和光滑性，即使未知函數(shù)中包含泰勒展開(kāi)的高階次，快速變化的函數(shù)，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也夠充分地逼近。因此考慮使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種非線性逼近高次項(xiàng)的方式，替換CFO 中的線性補(bǔ)償結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步提高估計(jì)精度。

設(shè)計(jì)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為

式中：誤差向量e作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量；h是高斯函數(shù)的輸出，h=[h1，h2，…，hi，…，hn]T；i為隱藏層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；ci為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的均值；W*是理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重；ε是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似誤差ε≤εN。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出，即補(bǔ)償函數(shù)輸出為

提出帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器，其表達(dá)式為

式中：γ＞0，為調(diào)節(jié)因子；σ為滑模面函數(shù)，σ=Fe=l2e1+e2；F為滑模面函數(shù)的系數(shù)，F(xiàn)=[l2， 1]。式（21）中第3 個(gè)方程為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)權(quán)重調(diào)節(jié)律。注意到帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 仍然是三階系統(tǒng)，其框圖結(jié)構(gòu)如圖5 所示。為了方便，記帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 為R-CFO。

圖5 帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器Fig. 5 Compensated function observer with RBF neural network

定理1對(duì)于系統(tǒng)式（1），所提出的帶有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器對(duì)未知函數(shù)f的估計(jì)能任意逼近，即

證明式（2）減去式（21）得

設(shè)計(jì)滑模面函數(shù)為

對(duì)σ求導(dǎo)得

定義李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)V求導(dǎo)，得

權(quán)重調(diào)節(jié)的自適應(yīng)律為

則有

由于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能實(shí)現(xiàn)任意逼近，誤差ε足夠小，可以獲得。證畢。

3 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文所使用的四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)如圖6 所示，該四旋翼為“×”型結(jié)構(gòu)。通過(guò)控制1、3 和2、4 號(hào)電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實(shí)現(xiàn)四旋翼無(wú)人機(jī)俯仰角的控制，2、3和1、4 號(hào)電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)橫滾角的控制，1、2和3、4號(hào)電機(jī)的轉(zhuǎn)速差實(shí)現(xiàn)偏航角的控制。

圖6 四旋翼飛行器Fig. 6 Four-rotor flight vehicle

如圖6 所示，機(jī)體坐標(biāo)系B={xb，yb，zb}，大地坐標(biāo)系E={x，y，z}。 其中：Fi(t)，i=1， 2， 3， 4 代表4 個(gè)電機(jī)所產(chǎn)生的推力，推力方向?yàn)閦b軸的負(fù)方向；θ、?和ψ分別為四旋翼的俯仰角、橫滾角以及偏航角，且有，

式中：Ωi為第i號(hào)電機(jī)的轉(zhuǎn)速；kT為推力因子。

根據(jù)Newton-Euler 法，得到四旋翼動(dòng)力學(xué)方程為

式中：m為四旋翼的質(zhì)量；g為重力加速度；P為四旋翼的位置向量，P=[x，y，z]Τ；v為四旋翼整體的速度；e3為單位向量，e3=[0，0，1]T；?表示四旋翼在大地坐標(biāo)系E={x，y，z}中的角速度，?=；ω表示四旋翼在機(jī)體坐標(biāo)系B={xb，yb，zb}中的角速度，ω=[p，q，r]Τ；I為四旋翼的慣性矩陣。τ表示通過(guò)控制電機(jī)轉(zhuǎn)速所產(chǎn)生的力矩；d為系統(tǒng)的不確定性，d=[dx，dy，dz]Τ，它包括2 部分，一部分是未建模動(dòng)態(tài)，如陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動(dòng)阻力等；另一部分是可能存在的內(nèi)部或外部未知時(shí)變擾動(dòng)。

d可以表示為

式中：Ir代表電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；R1為?與ω之間的轉(zhuǎn)換矩陣，由式（31）可得

即

在實(shí)際中，對(duì)四旋翼的姿態(tài)控制基于小角度假設(shè)，即

從而可得

基于DJI F450 模型所得到的各個(gè)參數(shù)及其物理意義如表1 所示。

表1 DJI F450 各物理參數(shù)及取值Table 1 DJI F450 physical parameters and values

對(duì)于圖6 所示的“×”型四旋翼飛行器機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)矩控制量可以表示為

由于四旋翼的姿態(tài)角和推力只與FT、τx、τy和τz有關(guān)，因此姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中只需要考慮設(shè)計(jì)FT、τx、τy和τz的控制律。

4 閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)

4. 1 模型補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)系統(tǒng)，假定模型函數(shù)未知，或者部分已知，本節(jié)設(shè)計(jì)了基于CFO 的模型補(bǔ)償控制（Model Compensation Control，MCC）策略的閉環(huán)控制器。MCC 基于非線性極點(diǎn)配置控制，使用未知模型的估計(jì)值?補(bǔ)償未知函數(shù)f。

實(shí)際控制中，f=fk+fu，其中fk為已知部分，fu為未知部分，可以用R-CFO 的式（21）得到，需要注意的是，需要將式（21）中的bu，替換成fk+bu，則估計(jì)值為，其他不變，如果考慮f完全未知，可以直接采用式（21）。補(bǔ)償控制就是用?補(bǔ)償真實(shí)的f，或用? 補(bǔ)償fu，主動(dòng)抵消該未知量在控制中的影響。

因此本文使用基于極點(diǎn)配置的MCC，利用R-CFO 估計(jì)未知模型并主動(dòng)抵消該未知量在控制中的影響。圖7 為四旋翼比例一串級(jí)控制器的結(jié)構(gòu)框圖。

圖7 四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig. 7 Control structure of quadrotor flight vehicle system

考慮系統(tǒng)方程式（2），給定參考信號(hào)yr，設(shè)定跟蹤誤差為,其中下標(biāo)c表示控制跟蹤誤差，以區(qū)別觀測(cè)器誤差，誤差向量為ec=[ec1，ec2]Τ。由式（2）可知，跟蹤誤差方程為

式中：參數(shù)k2、k1使誤差方程的特征多項(xiàng)式s2+k1s+k2為Hurwitz 多項(xiàng)式，可根據(jù)期望的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)。假定f未知，依賴觀測(cè)器與控制器設(shè)計(jì)分離原理［27］，先依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)系統(tǒng)未知模型函數(shù)f；如果部分未知，就估計(jì)其中的部分未知項(xiàng)，包含擾動(dòng)、耦合和時(shí)變部分，再把估計(jì)值看成真實(shí)值，按照確定性系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。

提出的基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制器，即MCC 為

注意到，基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制僅利用系統(tǒng)的期望輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，控制器可以不依賴于系統(tǒng)模型，或者不依賴于部分未知模型和擾動(dòng)。通過(guò)R-CFO 估計(jì)未知模型函數(shù)值，在線反饋補(bǔ)償給控制器。該模型補(bǔ)償控制器和補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器的參數(shù)均具有實(shí)際的物理意義，所以容易根據(jù)特性需求選取。

4. 2 姿態(tài)環(huán)串級(jí)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)該飛行器系統(tǒng)，本文采用控制策略為內(nèi)外環(huán)的串級(jí)控制，外環(huán)采用比例控制，內(nèi)環(huán)采用基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制。實(shí)際姿態(tài)實(shí)驗(yàn)中遙控器的4 個(gè)通道指令分別轉(zhuǎn)化為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角的參考指令，偏航角速度參考指令和升力指令，因此外環(huán)只需考慮滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的跟蹤控制。設(shè)計(jì)的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的角速度指令為

由式（35）和式（36），系統(tǒng)姿態(tài)內(nèi)環(huán)模型可以描述為

式中：fp、fq和fr是每個(gè)子系統(tǒng)未知模型函數(shù)；Ix、Iy和Iz是四旋翼3 個(gè)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但是如果有參數(shù)測(cè)量誤差，也可以設(shè)為系統(tǒng)相關(guān)可調(diào)的參數(shù)。

系統(tǒng)小角度假設(shè)造成的誤差、擾動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)和負(fù)載變化都隱含在fp、fq以及fr中，因此，提出使用R-CFO 進(jìn)行補(bǔ)償控制，和為3 個(gè)通道未知非線性模型項(xiàng)的估計(jì)值。由式（42），可以給出一階模型的補(bǔ)償控制器，即

可推導(dǎo)出3 個(gè)姿態(tài)角的控制律分別為

式中：kp、kq和kr是內(nèi)環(huán)角速度誤差增益；bp、bq和br是系統(tǒng)相關(guān)的未知可調(diào)的參數(shù)；和為參考角加速度，可由高階微分器（High Order Differentiator，HOD）得到［7，22］。

HOD 可以設(shè)置為任意階系統(tǒng)，可對(duì)任意階信號(hào)提取微分。本文采用了三階結(jié)構(gòu)，如圖8 所示，通過(guò)HOD 可以估計(jì)參考輸入的微分以及二階微分信息，其中xi(i=1， 2， 3) 為HOD 的狀態(tài)。

圖8 HOD 結(jié)構(gòu)Fig. 8 HOD structure

根據(jù)圖8 可得由輸入量yr估計(jì)其各階導(dǎo)數(shù)的輸出方程。三階微分器的輸出方程為

4. 3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性分析

四旋翼飛行器姿態(tài)系統(tǒng)中，每個(gè)子系統(tǒng)的模型都可以用如式（46）和式（47）所示的二階系統(tǒng)描述（以俯仰角為例）：

或

定義姿態(tài)角跟蹤誤差為eθ=θr-θ，角速度跟蹤誤差為eq=qr-q。針對(duì)該二階系統(tǒng)，設(shè)計(jì)的基于R-CFO 的MCC 雙閉環(huán)串級(jí)控制策略為

定理2基于R-CFO 的模型補(bǔ)償控制器（式（46））控制四旋翼飛行器跟蹤參考姿態(tài)角，能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，姿態(tài)跟蹤誤差漸近收斂。

證明令E=[eθ，eq]Τ，假設(shè)=0，將控制器（48）代入系統(tǒng)（44）中，可得

有

得到閉環(huán)系統(tǒng)矩陣表達(dá)式為

定義R-CFO 對(duì)未知函數(shù)的估計(jì)誤差為ef=-f，式（51）可寫(xiě)為

設(shè)計(jì)Lyapunov 函數(shù)為

P是對(duì)稱正定矩陣且滿足如式（54）所示的Lyapunov 方程：

Q＞0，取，則有

從而有

式中：ε為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，能夠充分小，因此V?≤0。證畢。

5 數(shù)值仿真分析

5. 1 函數(shù)觀測(cè)器性能比較

在實(shí)際控制中，由于未建模動(dòng)態(tài)，如陀螺力矩、機(jī)體部分壞損、負(fù)載和氣動(dòng)阻力等，可能存在的內(nèi)部或外部未知時(shí)變擾動(dòng)對(duì)無(wú)人機(jī)的影響，因此對(duì)非線性模型項(xiàng)的高精度估計(jì)尤為重要，因此分2 種情況討論。

案例1觀測(cè)器對(duì)3 種簡(jiǎn)單函數(shù)的觀測(cè)性能

先介紹一下擴(kuò)張觀測(cè)器（ESO），表達(dá)式為

由式（57）可知，當(dāng)bu=0 時(shí)可得ESO 的特征方程為

選取a=8，即ESO 的參數(shù)為l1=24，l2=192，l3=512。為了對(duì)比公平，讓ESO 與CFO的特征多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)相等，都等于512。由式（13）和式（14），可以確定ω=3.174 8。因此式（13）的參數(shù)l1=28.57，l2=121，λ=4.23，得到CFO 的特征多項(xiàng)式s3+28.57s2+242s+512。 本文提出的 R-CFO，同樣取l1=28.57，l2=121，γ=0.001。

對(duì)于系統(tǒng)式（1），在仿真過(guò)程中令bu=1，令模型函數(shù)項(xiàng)f=1，t， 0.5t2， sin 3t，分別用ESO、帶有積分器的CFO 和R-CFO 進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖9 所示。為了統(tǒng)一，第5 節(jié)圖9～圖11 中和分別代表各觀測(cè)器對(duì)模型函數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值，f代表實(shí)際值。

圖9 ESO 和R-CFO 關(guān)于不同函數(shù)的估計(jì)Fig. 9 Estimation of ESO and R-CFO on different functions

圖9（a）顯示，對(duì)于常值函數(shù)，ESO、CFO 和R-CFO 都能實(shí)現(xiàn)無(wú)差估計(jì)；但是，圖9（b）表明，對(duì)于斜坡函數(shù)，ESO 估計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.375，而CFO 和R-CFO 估計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；圖9（c）表明，對(duì)于拋物線函數(shù)，ESO 估計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差隨著時(shí)間無(wú)限增大，估計(jì)的誤差發(fā)散，而CFO 和RCFO 仍能實(shí)現(xiàn)無(wú)差估計(jì)；由圖9（d）可知，對(duì)于更為一般的函數(shù)，CFO 和R-CFO 的估計(jì)性能遠(yuǎn)高于ESO，并且對(duì)于非線性三角函數(shù)R-CFO 的收斂速率快于CFO。在圖9 中，ESO 的平均絕對(duì)值誤差為0.595 2，CFO 的平均絕對(duì)誤差為0.023 9，而R-CFO 為0.007 1。

案例2對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)模型項(xiàng)的估計(jì)

由于無(wú)人機(jī)屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)［28］，故考察RCFO 對(duì)強(qiáng)非線性模型項(xiàng)的觀測(cè)性能，并與ESO進(jìn)行對(duì)比?？紤]非線性Duffing 系統(tǒng)

式中：時(shí)變非線性未知函數(shù)為f=25y?-y3+11cost+sin(πy)sin(πy?)+5sint，令bu=3sint，2 種觀測(cè)器的參數(shù)選擇與案例1 相同。ESO、CFO 和R-CFO 關(guān)于Duffing 模型函數(shù)估計(jì)性能對(duì)比如圖10 所示。

圖10 ESO、CFO 和R-CFO 關(guān)于Duffing 模型函數(shù)估計(jì)性能對(duì)比Fig. 10 Comparison of ESO， CFO and R-CFO on Duffing model function estimation performance

圖10（a）和圖10（c）表明，ESO 對(duì)該Duffing系統(tǒng)中未知函數(shù)的估計(jì)有明顯的相位差。在尖峰處，跟蹤嚴(yán)重不足，誤差范圍在[-100， 100]，說(shuō)明其對(duì)高頻非線性函數(shù)估計(jì)誤差較大；而R-CFO 估計(jì)精度高，即使在尖峰處也能高精度估計(jì)，誤差范圍在[ -5， 5]。

由圖10（b）和圖10（c）對(duì)比可知，相對(duì)于CFO，R-CFO 將誤差范圍進(jìn)一步縮小，觀測(cè)精度更高。R-CFO 對(duì)該系統(tǒng)模型函數(shù)的估計(jì)平均絕對(duì)誤差為0.785，而ESO 為19.644，CFO 是3.341。

5. 2 四旋翼飛行器姿態(tài)角跟蹤仿真測(cè)試

被控對(duì)象為四旋翼飛行器式（41），將設(shè)計(jì)的模型補(bǔ)償控制（MCC）策略應(yīng)用于四旋翼飛行器的姿態(tài)控制，并與PID、ADRC 控制方法比較。模型參數(shù)由表1 給出。系統(tǒng)的初始狀態(tài)取Θ0=ω0=0。為了對(duì)比的公平性，數(shù)值仿真中3 種控制算法外環(huán)采用的比例控制參數(shù)均為kθ=6.5。通常，ADRC 控制律表達(dá)式為

而基于R-CFO 的MCC 控制律為式（42），其中所估計(jì)與ADRC 不同；另外，ADRC 控制律式（60）中一般沒(méi)有。3 種內(nèi)環(huán)控制器選取參數(shù)在表2 中給出。以滾轉(zhuǎn)通道為例，給定設(shè)置為?r=0.12 rad，在3 ～5 s 之間加入外部擾動(dòng)d?0=0.05 sin5t。

表2 內(nèi)環(huán)控制器參數(shù)Table 2 Inner loop controller parameters

滾轉(zhuǎn)通道控制及估計(jì)的對(duì)比如圖11 所示。對(duì)滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)控制和未知模型估計(jì)的對(duì)比如表3所示。

表3 對(duì)滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)控制和未知模型估計(jì)的對(duì)比Table 3 Comparison of roll angle system control and unknown model estimation

圖11 滾轉(zhuǎn)通道控制及估計(jì)的對(duì)比Fig. 11 Comparison of roll channel control and estimation

從圖11（a）和表3 看出，對(duì)于階躍給定，MCC對(duì)擾動(dòng)的抑制效果最好，ADRC 抑制擾動(dòng)的性能也明顯優(yōu)于PID。由圖11（b）和圖11（c）及表3 看出，對(duì)于未知模型的估計(jì)，R-CFO 估計(jì)的精度最高。仿真發(fā)現(xiàn)，為了提高控制性能，增大ESO 參數(shù)，使得ADRC 方法控制性能有所提高，但是控制性能仍達(dá)不到MCC 的效果。因此本文所提出的MCC 能以較小參數(shù)實(shí)現(xiàn)較優(yōu)越的控制性能和抗干擾性能。

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中利用基于Pixhawk 的四旋翼飛行器控制算法開(kāi)發(fā)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)四旋翼內(nèi)部算法更新，流程如圖12 所示。選擇MCC 控制作為內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器，四旋翼的結(jié)構(gòu)如圖6 所示。

圖12 基于Pixhawk 的四旋翼算法開(kāi)發(fā)平臺(tái)Fig. 12 Four-rotor algorithm development platform based on Pixhawk

本實(shí)驗(yàn)主要考察四旋翼對(duì)跟蹤橫滾角的性能，參考值通過(guò)遙控器給定。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，首先保證懸停四旋翼飛行器在萬(wàn)向節(jié)底座上的初始狀態(tài)約為[?0，θ0，ψ0]Τ=[0，-0.61，0]Τrad，參考的初始狀態(tài)為[?r0，θr0，ψr0]Τ=[0，0，0]Τrad，四旋翼飛行器在萬(wàn)向節(jié)底座上的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角最大值為?max=θmax=±0.61 rad。期望角度由遙控器輸出，控制器參數(shù)由表2 給出。

本組實(shí)驗(yàn)測(cè)試2 種控制算法跟蹤任意給定參考的性能，滾轉(zhuǎn)角的參考值?r通過(guò)遙控器實(shí)時(shí)給出，由式（61）給出，即

式中：rc 代表遙控器的滾轉(zhuǎn)通道搖桿量，對(duì)應(yīng)PWM 值的范圍是1 100 ～1 900 μs。首先通過(guò)遙控器的油門(mén)通道使機(jī)體到達(dá)參考的初始姿態(tài)[?r0，θr0，ψr0]Τ=[0，0，0]Τrad，并保持懸停一段時(shí)間，由遙控器控制改變參考值。基于MCC 和ADRC 的控制算法跟蹤參考滾轉(zhuǎn)角的結(jié)果如圖13 所示，跟蹤隨機(jī)給定信號(hào)的平均絕對(duì)誤差由表4 所示。

表4 MCC 與ADRC 控制性能對(duì)比Table 4 MCC and ADRC control performance comparison

圖13 滾轉(zhuǎn)角2 種控制算法跟蹤效果對(duì)比Fig. 13 Comparison of tracking effects of two control algorithms for roll angle

圖13（a）和圖13（b）顯示，對(duì)于任意給定，ADRC 和MCC 都能實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤。但是，對(duì)于階躍信號(hào)，由于ESO 的高頻噪聲問(wèn)題，所以ADRC 在控制過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生振蕩并出現(xiàn)超調(diào)。而圖13（a）表明，由于R-CFO 觀測(cè)精度高，故MCC 能夠更快收斂且無(wú)超調(diào)。結(jié)合表4 數(shù)據(jù)可知MCC 無(wú)論是在跟蹤的穩(wěn)態(tài)性能還是暫態(tài)性能都要強(qiáng)于ADRC。

下面給出抗擾實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對(duì)于MCC 和ADRC 實(shí)驗(yàn)，在飛行器機(jī)體左側(cè)懸掛同一重物，實(shí)驗(yàn)前先將其托起，使它不影響飛行器的正常啟動(dòng)和懸停。當(dāng)飛行器啟動(dòng)并懸停一段時(shí)間后，瞬間釋放該懸掛的重物，并保持重物加載，以模擬機(jī)體可能受到的外部擾動(dòng)。2 種控制算法的抗擾測(cè)試結(jié)果如圖14 所示。

圖14 滾轉(zhuǎn)角2 種控制算法跟抗擾果對(duì)比Fig. 14 Comparison of disturbance rejection of two control algorithms for roll angle

由圖14 可以看出，總體MCC 控制優(yōu)于ADRC，穩(wěn)態(tài)誤差較小。在大約9 s 處，無(wú)人機(jī)受擾，與MCC 相比，ADRC 控制下的滾轉(zhuǎn)角產(chǎn)生了大得多的受擾振蕩，克服擾動(dòng)的調(diào)節(jié)時(shí)間也更長(zhǎng)，不能快速重新回到原來(lái)的平衡位置。這是由于R-CFO 對(duì)未知模型函數(shù)的估計(jì)值更為精確，并將估計(jì)值及時(shí)反饋給控制器以平衡抵消該擾動(dòng)，因此MCC 較ADRC 的受擾超調(diào)小得多，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，以更高精度重新回到平衡狀態(tài)，抗擾能力得到了很大的提升。

該組實(shí)驗(yàn)與圖11 所示的仿真結(jié)果相比，在控制器參數(shù)類似的情況下，其中ADRC 的暫態(tài)表現(xiàn)出明顯超調(diào)和振蕩。由于ESO 的觀測(cè)器參數(shù)較小，面對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中更大的不確定性還需要繼續(xù)增大參數(shù)來(lái)提高估計(jì)精度，更容易引入高頻噪聲，由于超調(diào)量以及振蕩的存在，導(dǎo)致調(diào)節(jié)時(shí)間更長(zhǎng)。相比之下，MCC 在選擇與仿真時(shí)相近的觀測(cè)器參數(shù)條件下，MCC 調(diào)節(jié)時(shí)間更短，幾乎沒(méi)有超調(diào)，而ADRC 的最大超調(diào)達(dá)到了58%，穩(wěn)態(tài)精度方面，MCC 具有更強(qiáng)的魯棒性。

7 結(jié) 論

1）基于無(wú)人機(jī)各個(gè)通道之間的強(qiáng)耦合，負(fù)載時(shí)變，強(qiáng)風(fēng)干擾等特性，提出了一類不依賴模型的控制策略。本文用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代了CFO 中的線性濾波補(bǔ)償，設(shè)計(jì)了帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償函數(shù)觀測(cè)器（R-CFO），提高了估計(jì)精度，基于Lyapunov 函數(shù)給出了收斂性證明。

2）基于所提出的R-CFO 對(duì)未知模型的估計(jì)，本文提出了模型補(bǔ)償控制策略（MCC），以補(bǔ)償模型偏差、時(shí)變和各類擾動(dòng)，給出了閉環(huán)系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的證明。通過(guò)幾個(gè)確定非線性函數(shù)的仿真測(cè)試，表明基于帶有RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的CFO 估計(jì)精度大幅優(yōu)越于ESO 估計(jì)。

3）通過(guò)四旋翼無(wú)人機(jī)的數(shù)值仿真測(cè)試以及實(shí)際實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，模型補(bǔ)償控制較現(xiàn)有的自抗擾控制（ADRC）在跟蹤性能更優(yōu)越，穩(wěn)態(tài)精度更高，魯棒性強(qiáng)。