張賀鵬 周偉(通訊作者)

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院 甘肅蘭州 730070)

1 緒論

1.1 研究背景及意義

在金融市場的形成過程中，金融衍生品所擁有的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移或套期保值功能，使其逐漸出現(xiàn)在人們的視野中。而期權(quán)以其特有的高杠桿特性，以及其具有非線性損益結(jié)構(gòu)、尖峰厚尾等結(jié)構(gòu)特征，更因其發(fā)揮了風(fēng)險(xiǎn)投資、價(jià)值發(fā)現(xiàn)、套期保值等功能，受到投資者們的推崇。

直至今天，期權(quán)市場仍在飛速發(fā)展，學(xué)者們對于期權(quán)理論的相關(guān)研究也愈加深入。在期權(quán)價(jià)值確定方面，對于期權(quán)定價(jià)相關(guān)研究，1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes基于市場有效等一系列假設(shè)，提出了第一個(gè)完整的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[1]，但由于實(shí)際的期權(quán)交易市場無法滿足其一系列理想化的假設(shè)條件，因此在實(shí)際應(yīng)用中一般會產(chǎn)生較大誤差。

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，學(xué)者們著眼于研究以歷史數(shù)據(jù)為驅(qū)動而構(gòu)建的深度學(xué)習(xí)理論。在尋求誤差最小化的過程中，機(jī)器學(xué)習(xí)及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)，可以借助現(xiàn)實(shí)市場中的實(shí)際數(shù)據(jù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練與測試，最終達(dá)到規(guī)避理想化的模型假設(shè)及數(shù)據(jù)不兼容問題的目的。

1.2 研究思路及框架

本文以期權(quán)作為研究對象，基于B-S期權(quán)定價(jià)公式，結(jié)合深度學(xué)習(xí)相關(guān)理論構(gòu)建出符合預(yù)期的期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型。

首先，在對B-S期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行充分研究后借助深度學(xué)習(xí)理論的優(yōu)勢，在文中結(jié)合B-S公式，應(yīng)用深度學(xué)習(xí)理論中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法構(gòu)建期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型，以期根據(jù)現(xiàn)存期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)對未來的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行精度較高的預(yù)測與分析。

其次，對比分析利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建出的模型所預(yù)測出的期權(quán)價(jià)格，同時(shí)運(yùn)用多種評價(jià)指標(biāo)對預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差進(jìn)行分析對比，并評價(jià)模型擬合程度。

1.3 文獻(xiàn)綜述

1.3.1 期權(quán)定價(jià)模型

有關(guān)期權(quán)定價(jià)理論的研究最早在1900年被提出，Louis Bachelier以“投機(jī)交易理論”為基礎(chǔ)，首次提出了用隨機(jī)游動思想給出股票價(jià)格運(yùn)行的隨機(jī)模型，它被公認(rèn)為現(xiàn)代金融學(xué)的里程碑[2]。

1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes在對期權(quán)市場做出嚴(yán)格假設(shè)的情況下，提出了第一個(gè)完整的期權(quán)定價(jià)模型，即B-S期權(quán)定價(jià)模型，這篇文章的發(fā)表為后來學(xué)者研究期權(quán)定價(jià)理論提供了根本框架。同年，Merton在其基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，使之更加接近現(xiàn)實(shí)情況，發(fā)展出了Black-Scholes-Merton模型[3-5]。

在具有期權(quán)性質(zhì)的各種實(shí)物定價(jià)方面，龍海明(2007)等將B-S期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)用于消費(fèi)貸款定價(jià)，指出對貸款抵押物處置靈活度較高的銀行可以用期權(quán)定價(jià)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)成本加成定價(jià)法來確定消費(fèi)貸款利率，理論依據(jù)是抵押物價(jià)值的不確定性將給貸款帶來風(fēng)險(xiǎn)，銀行可以持有以抵押物為標(biāo)的物的歐式看跌期權(quán)來對沖風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而基于這個(gè)樞紐將B-S期權(quán)定價(jià)模型應(yīng)用于貸款價(jià)格的確定上[6]。馮芬玲等(2012)將二叉樹定價(jià)法應(yīng)用于鐵路貨運(yùn)價(jià)格制定，使得傳統(tǒng)固定協(xié)議定價(jià)所導(dǎo)致雙方都不能從鐵路貨運(yùn)現(xiàn)價(jià)波動中獲利的弊端得到克服[7]。

1.3.2 基于深度學(xué)習(xí)的期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型構(gòu)建

Hutchinson等人首先將深度學(xué)習(xí)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用于期權(quán)價(jià)格預(yù)測，他們以標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期貨期權(quán)為實(shí)證對象，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過對比四種模型估計(jì)方法，經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練后得出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其精度較B-S期權(quán)定價(jià)模型有所提高[8]。Anders等人比較了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和B-S期權(quán)定價(jià)模型在DAX30期權(quán)定價(jià)過程中的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的定價(jià)準(zhǔn)確度高于B-S期權(quán)定價(jià)模型[9]。國內(nèi)的一些研究如2021年，Liu等人在基于自注意力機(jī)制(Self-Attention Mechanism)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入了特殊的期權(quán)定價(jià)形式，在如歐式和亞式期權(quán)等的情景下，比之前的方法更準(zhǔn)確地捕獲了期權(quán)時(shí)間價(jià)值的特征[10]。

2 相關(guān)理論基礎(chǔ)介紹

2.1 B-S期權(quán)定價(jià)理論

B-S期權(quán)定價(jià)模型，主要用于為歐式期權(quán)定價(jià)。B-S對市場做出了以下假設(shè)：

(1)市場無摩擦，即不存在交易成本與稅收；

(2)市場是完全的，可以無限制賣空，不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會；

(3)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動遵循幾何布朗運(yùn)動，即標(biāo)的股票(以下均假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為股票)的收益率和波動率均為常數(shù)；

(4)標(biāo)的資產(chǎn)收益為0，即在到期日內(nèi)標(biāo)的股票無現(xiàn)金收益；

(5)標(biāo)的資產(chǎn)可以任何數(shù)量在任何連續(xù)時(shí)間交易；

(6)在期權(quán)的到期日內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率是一個(gè)常數(shù)，且任何期限內(nèi)的借貸利率均相等。

基于以上假設(shè)，可以得出歐式看漲期權(quán)的表達(dá)式：

式(1)中：C表示歐式看漲期權(quán)的市場價(jià)格，S表示期權(quán)交割價(jià)格，N表示正態(tài)分布的累積概率函數(shù)，X表示期權(quán)的行權(quán)價(jià)格，r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，

根據(jù)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的關(guān)系，即C+Xe-r(T-t)=P+S，可以得出歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：

2.2 深度學(xué)習(xí)相關(guān)理論

2.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可分為以下六個(gè)步驟：

(1)對網(wǎng)絡(luò)中所有權(quán)值與閾值進(jìn)行隨機(jī)初始化，得到初始化連接權(quán)重；

(2)輸入訓(xùn)練集，從前向后依次計(jì)算；

(3)基于各層輸出結(jié)果，計(jì)算各輸出層的誤差；

(4)對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)隱含層單元k，計(jì)算其誤差項(xiàng)；

(5)通過得到的各層的誤差項(xiàng)，對權(quán)重進(jìn)行調(diào)整訓(xùn)練；

(6)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練設(shè)置訓(xùn)練終止條件。若神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果達(dá)到訓(xùn)練終止條件，則停止訓(xùn)練，若未達(dá)到，則返回第二步，直至滿足終止條件后結(jié)束訓(xùn)練。

2.2.2 長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過門機(jī)制，使其可以有選擇性地記憶或遺忘長短距離的信息，以防止信息過載。

(1)遺忘門

遺忘門的輸入由上一時(shí)刻隱藏狀態(tài)和當(dāng)前時(shí)刻的輸入共同決定。

(2)輸入門

輸入門決定t-1時(shí)刻輸入保留至t時(shí)刻單元狀態(tài)的多少；t時(shí)刻記憶單元的單元狀態(tài)更新值由t-1時(shí)刻隱含層的輸出與t時(shí)刻的輸入共同決定；當(dāng)前單元狀態(tài)由t-1時(shí)刻狀態(tài)和t時(shí)刻輸入單元的狀態(tài)共同決定。

(3)輸出門

輸出代表單元狀態(tài)保留至輸出時(shí)的剩余量；t時(shí)刻的輸出門狀態(tài)和單元狀態(tài)共同決定t時(shí)刻的輸出。

3 預(yù)測模型構(gòu)建

3.1 樣本選取

3.1.1 樣本產(chǎn)品描述

基于上證50ETF的良好特性，本文實(shí)證研究所選取的樣本主體是上證50ETF認(rèn)購期權(quán)。該期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)為上證50ETF，即由上證50指數(shù)的50只樣本股票組成的上市交易基金。

3.1.2 樣本數(shù)據(jù)范圍

本文樣本數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為2022年1月1日至2022年12月31日，剔除因節(jié)假日等市場休市情形導(dǎo)致的缺失數(shù)據(jù)后，共得到13771組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均來自wind數(shù)據(jù)庫。其中，選取2022年1月1日至2022年9月30日，共11657組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集；選取2022年10月10日至2022年12月31日，共2114組數(shù)據(jù)作為測試集。

3.2 變量確定

3.2.1 輸入輸出變量確定

在確定輸入變量指標(biāo)的過程中，通過對B-S期權(quán)定價(jià)模型的理論研究，本文選取公式中的5個(gè)已知變量，包括期權(quán)從當(dāng)前距離到期日剩余時(shí)間T、標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格S、期權(quán)的行權(quán)價(jià)格X、無風(fēng)險(xiǎn)利率r、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史波動率σ(本文在數(shù)據(jù)中用HV表示，以示區(qū)分)。此外，本文還選擇了影響期權(quán)市場價(jià)格的開盤價(jià)open、結(jié)算價(jià)SP、成交量deal、持倉量host這四個(gè)變量，共計(jì)9個(gè)指標(biāo)作為輸入變量，輸出變量為當(dāng)前收盤價(jià)格P。

3.2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

(1)期權(quán)從當(dāng)前距離到期日剩余時(shí)間T

將剩余時(shí)間T以年為單位進(jìn)行轉(zhuǎn)化。本文選取交易市場的實(shí)際天數(shù)，即交易日天數(shù)作為基數(shù)對距到期日剩余時(shí)間T進(jìn)行轉(zhuǎn)化，公式為

(2)數(shù)據(jù)歸一化

本文采取離差標(biāo)準(zhǔn)化的方法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，而且未對無風(fēng)險(xiǎn)利率r及歷史波動率HV進(jìn)行歸一化。

3.3 期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型構(gòu)建

本文使用python構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，使用版本為3.8.0。

3.3.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型構(gòu)建

(1)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及參數(shù)選擇

本文構(gòu)建三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并選取tansig和purlin作為激活函數(shù)，選取traingdm函數(shù)作為訓(xùn)練函數(shù)，選取均方誤差(MSE)作為損失函數(shù)。

本文在訓(xùn)練時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則，首先設(shè)置最大允許誤差為0.01；其次，利用訓(xùn)練樣本對迭代次數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練并調(diào)整；最后，將迭代次數(shù)確定為100，學(xué)習(xí)率設(shè)為0.01。

(2)預(yù)測結(jié)果分析

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所預(yù)測的期權(quán)價(jià)格如圖1所示：

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型期權(quán)價(jià)格預(yù)測結(jié)果

部分預(yù)測數(shù)據(jù)如表1所示：

表1 部分預(yù)測數(shù)據(jù)(歸一化后)

3.3.2 基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型構(gòu)建

具體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及參數(shù)選擇如下：

(1)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及參數(shù)選擇

本文在模型劃分?jǐn)?shù)據(jù)集時(shí)，選擇通過日期對其進(jìn)行劃分。其中訓(xùn)練集日期劃分為2022年1月1日至2022年9月30日，共計(jì)11657組數(shù)據(jù)；測試集日期劃分為2022年10月10日至2022年12月31日，共計(jì)2114組數(shù)據(jù)。

本文選擇sigmoid函數(shù)作為三個(gè)門的激活函數(shù)，使用tanh作為隱含狀態(tài)和輸出狀態(tài)的激活函數(shù)。

在LSTM模型層級結(jié)構(gòu)設(shè)定方面，本文將LSTM層數(shù)設(shè)置為單層。選取均方誤差(MSE)作為損失函數(shù)，優(yōu)化器設(shè)置為RMSProp優(yōu)化器。同時(shí)將fit函數(shù)中的epoch項(xiàng)定為30，batch_size項(xiàng)定為512。

(2)預(yù)測結(jié)果分析

采用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所預(yù)測的期權(quán)價(jià)格如圖2所示：

圖2 LSTM模型期權(quán)價(jià)格預(yù)測結(jié)果

部分預(yù)測數(shù)據(jù)如表2所示：

表2 部分預(yù)測數(shù)據(jù)(歸一化后)

3.4 實(shí)證結(jié)果分析與對比

在上述期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型的構(gòu)建及預(yù)測過程中，本文通過計(jì)算各個(gè)模型的誤差及擬合情況對各個(gè)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析。這里選取三個(gè)評價(jià)指標(biāo)作為模型評價(jià)指標(biāo)，分別為均方誤差、平均絕對誤差及決定系數(shù)，綜合使用多因素對模型優(yōu)劣性進(jìn)行評價(jià)，可以得出更為客觀的結(jié)論。

(1)均方誤差(MSE，Mean Squared Error)

MSE是指模型預(yù)測值與真實(shí)值之間差額的期望值。其表達(dá)式如下：

(2)平均絕對誤差(MAE，Mean Absolute Error)

MAE是指模型預(yù)測值與真實(shí)值之間距離絕對值的平均值。其表達(dá)式如下：

(3)R2(決定系數(shù))

R2是指回歸平方和占總平方和的比例。R2越接近1，表明回歸平方和占總平方和的比例越大，模型真實(shí)值與預(yù)測值越接近，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合程度就越好。其表達(dá)式如下：

使用MSE、MAE、R2三類誤差評價(jià)指標(biāo)對兩個(gè)模型結(jié)果進(jìn)行對比分析，如表3所示：

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果對比

由表3可知，LSTM模型預(yù)測的精確度高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

結(jié)合前述分析我們可以得出以下結(jié)論：相較于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有更高水平的非線性組合運(yùn)算能力，對于上證50ETF期權(quán)這一實(shí)證對象，顯示出更好的擬合高維性金融數(shù)據(jù)的能力，其模型預(yù)測結(jié)果的精度較高。

4 結(jié)語

4.1 本文研究工作總結(jié)

本文分別利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，選取上證50ETF指數(shù)的期權(quán)作為研究樣本，建立期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型，得出以下結(jié)論：

作為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的期權(quán)價(jià)格的精度高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在三種模型評價(jià)指標(biāo)下，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在價(jià)格預(yù)測誤差方面明顯優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和較高的非線性計(jì)算能力，這使得它在有大量數(shù)據(jù)時(shí)能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測期權(quán)價(jià)格。

4.2 不足之處與研究展望

本文對基于深度學(xué)習(xí)的期權(quán)價(jià)格預(yù)測進(jìn)行探索，并取得了一些成果。但仍有一些地方存在不足之處，今后需要進(jìn)一步改進(jìn)：

(1)除本文選取的9個(gè)輸入變量外，依舊存在諸多其他可能影響期權(quán)價(jià)格的因素，在后續(xù)的研究中可以進(jìn)一步探索，從而使得期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型的普遍性有所提升。

(2)文中選取的9個(gè)指標(biāo)中，各個(gè)指標(biāo)之間的相關(guān)性并未解決，這種相關(guān)性對于期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型的影響也未可知。

(3)本文基于Black-Scholes期權(quán)所確定的輸入變量之一選取了歷史波動率，在相關(guān)文獻(xiàn)中顯示，若選擇隱含波動率代替歷史波動率，作為輸入變量對期權(quán)價(jià)格預(yù)測模型進(jìn)行訓(xùn)練，模型誤差可能會減小。