張程程, 任啟峰??, 考永貴, 高存臣

(1. 中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266100; 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)理學(xué)院, 山東 威海 264209)

分?jǐn)?shù)階微積分是對任意階導(dǎo)數(shù)和積分的探索,從數(shù)學(xué)上講,它是對經(jīng)典微積分學(xué)的延伸[1]。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有歷史記憶的特性,也越來越多地出現(xiàn)在控制科學(xué)和工程領(lǐng)域的應(yīng)用之中。對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定和控制問題進行深入研究是十分必要的,現(xiàn)已有大量相關(guān)成果[2-8]。例如,文獻[2]研究了針對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的二次型李雅普諾夫函數(shù),文獻[3]將李雅普諾夫直接法推廣到非線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),并給出了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定的定義及充分判據(jù),文獻[4]研究了時滯分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Mittag-Leffler同步問題,文獻[5-6]研究了分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。

滑?？刂剖茄芯眶敯艨刂茊栴}的一種有效方法[9-10]。近年來,滑?？刂埔脖粦?yīng)用到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中,提出了各種分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗院头椒╗11-15]。文獻[11-12]研究了針對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的魯棒滑?？刂破髟O(shè)計問題。文獻[13]將滑?？刂朴糜诰€性多變量分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)問題。文獻[14]設(shè)計了基于擾動觀測器的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑?？刂破鳌Ｎ墨I[15]研究了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的高階滑模觀測器問題?，F(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階滑?？刂平?jīng)常采用整數(shù)階滑?？刂频姆椒?即對滑模切換函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù)求取一階導(dǎo)數(shù),進而獲得等效控制并研究滑動模態(tài)的穩(wěn)定性。然而,研究并發(fā)展分?jǐn)?shù)階的滑?？刂品椒ê头?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論似乎會更有意義,例如構(gòu)造分?jǐn)?shù)階型的切換函數(shù)并求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

無源性理論可以保持系統(tǒng)內(nèi)部的穩(wěn)定,這在控制理論中起著非常重要的作用。基于李雅普諾夫函數(shù)的穩(wěn)定性理論也可以用無源性來解釋,可以說是對穩(wěn)定性的一種更高層次的抽象。然而,以往關(guān)于無源性的討論主要集中在整數(shù)階系統(tǒng)的情況下[16-18]。據(jù)作者了解,分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)的無源性分析尚未得到研究,本文首次嘗試對具有時變不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)進行魯棒無源性分析。

針對一類含擾動的不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng),本文基于滑模方法討論了其具有無源性能的魯棒可容許性問題。本文工作的主要貢獻可概括為以下兩方面:

(1)對帶外部擾動的不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)設(shè)計分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù),利用分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論對滑動模態(tài)進行穩(wěn)定性分析并給出充分條件。

(2)首次給出不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)魯棒無源可容許性的充分性判據(jù)。

1 問題描述

考慮一類時變不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)

(1)

定義1[5]分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)

(2)

被稱為是

(Ⅳ)可容許的,如果系統(tǒng)同時是正則的、無脈沖的和漸近穩(wěn)定的。

定義2分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)(1)被稱為是魯棒無源的,當(dāng)u(t)=0時,如果存在常數(shù)γ>0使得下式

對任意t*>0和任意可容許的系統(tǒng)不確定性在零初始情況下都成立。

定義3分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)被稱為是具有無源性能的魯棒可容許的,如果系統(tǒng)對任何可容許的不確定性同時滿足魯棒無源性和可容許性。

引理1[2]對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

(3)

如果x(t)=0是系統(tǒng)的平凡解,則系統(tǒng)(3)被稱為是

(Ⅰ)穩(wěn)定的,如果任意x(t)≠0使得xT(t)·f(x(t))≤0成立;

(Ⅱ)漸近穩(wěn)定的,如果任意x(t)≠0使得xT(t)·f(x(t))<0成立。

引理2[19]Y和Z是具有合適維數(shù)的實矩陣,對任何滿足VTV≤I的矩陣V及常數(shù)ε>0,不等式

成立。

2 主要結(jié)果

本節(jié)針對分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)設(shè)計了分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù)和分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒?依次解決下面三個問題:

(1)如何設(shè)計分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù)并得到滑動模態(tài)方程?

(2)如何確保滑動模態(tài)具有魯棒無源性和可容許性,給出對應(yīng)的充分條件,并確定控制反饋增益矩陣?

(3)如何設(shè)計滑?？刂坡墒?fàn)顟B(tài)軌跡可以到達(dá)預(yù)設(shè)的切換面?

2.1 分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù)

分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù)設(shè)計如下:

(4)

式中:G∈Rm×n需滿足GB1可逆;K∈Rm×n是控制反饋增益矩陣,將在后文給定。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)[1],Ex(t)可改寫為

(5)

將式(5)代入式(4),積分型切換函數(shù)變形為

對s(t)求α階導(dǎo)數(shù)得

(6)

ueq(t)=-(GB1)-1G(ΔA1(t)x(t)+B2ω(t))-
h(t,x(t))+Kx(t)。

(7)

將式(7)代入式(1),滑動模態(tài)被表示為

(8)

因此,滑動模態(tài)(8)和系統(tǒng)(1)中的輸出方程可寫作

(9)

2.2 具有無源性能的魯棒可容許性分析

本小節(jié)研究式(9)中滑動模態(tài)和輸出方程的魯棒無源性和可容許性問題,具體分為兩步:第一步,假設(shè)系統(tǒng)(9)中包含矩陣K在內(nèi)的所有矩陣都是已知的,給出系統(tǒng)(9)在滿足無源性條件下的魯棒可容許充分判據(jù)。第二步,確定控制反饋增益矩陣K,使系統(tǒng)(9)實現(xiàn)具有無源性能的魯棒可容許性。

定理1給定常數(shù)γ>0,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(9)是具有無源性能的魯棒可容許的,如果存在矩陣P∈Rn×n和常數(shù)ε>0,使得

PTE=ETP≥0,

(10)

證明 首先考慮標(biāo)稱情況,當(dāng)系統(tǒng)(9)中的不確定項ΔA1(t)=0和ΔC1(t)=0時,系統(tǒng)(9)被寫作

(11)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

V(x(t))xT(t)PTEx(t)。

對V(x(t))求α階導(dǎo)數(shù),可以得到

令

結(jié)合式(10)可知χ<0,因此

(12)

對上式不等號兩側(cè)作關(guān)于t的[0,t*](?t*>0)區(qū)間上的一階積分,由于V(x(t))>0,故

(13)

在零初始條件下成立。因此,對?t*>0,

在零初始情況下成立,故分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(11)是魯棒無源的。

并且,當(dāng)ω(t)=0時,根據(jù)式(12)和引理1,可知系統(tǒng)(11)同時是漸近穩(wěn)定的,由定義1進而實現(xiàn)可容許性。

(14)

代替χ。根據(jù)引理2可知

(15)

注1無源性問題早已被研究過,但它們的結(jié)果是在整數(shù)階情況下建立的[16-18]。需要注意的是,為分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)構(gòu)建適當(dāng)?shù)臒o源性標(biāo)準(zhǔn)并不是一項簡單的任務(wù)。本文巧妙地利用區(qū)間參數(shù)和分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì),解決了參數(shù)間切換的復(fù)雜性。

定理2給定常數(shù)γ>0,系統(tǒng)(9)是具有無源性能的魯棒可容許的,如果存在常數(shù)ε>0,矩陣H∈Rm×n和L∈Rn×n,使得

(16)

證明 結(jié)合Schur補定理,由式(16)可得

(17)

利用diag{L-T,I,I}對式(17)做合同變換,因合同變換不改變負(fù)定性質(zhì),再結(jié)合H=KL可得

2.3 滑模控制律

本小節(jié)設(shè)計了滑?？刂破?使系統(tǒng)(1)中的狀態(tài)軌跡在其作用下可以到達(dá)切換面。

定理3切換函數(shù)s(t)由式(4)給出,s(t)中的矩陣G滿足GB1可逆,矩陣K由定理2得到。設(shè)計滑模控制器如下:

u(t)=Kx(t)-(GB1)-1(‖GM1‖‖Nx(t)‖+
ι‖GB1‖‖x(t)‖+‖GB2‖‖ω(t)‖+ρ)·
sgn(s(t)),

(18)

式中ρ>0,系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡可以到達(dá)切換面s(t)=0。

證明 將u(t)代入到式(6)中得到

(19)

選取李雅普諾夫候選函數(shù)

對Ψ(t)求α階導(dǎo)數(shù),從而得到

(20)

其中sT(t)sgn(s(t))≥‖s(t)‖。因此,狀態(tài)軌跡可以到達(dá)切換面。

3 數(shù)值算例

對不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)(1)賦予如下參數(shù):

利用MATLAB軟件對定理2中的式(16)進行求解,可得ε=0.6,矩陣

H=[0.476 0 0.423 8 -0.571 2],

從而K=[-1.750 4 -2.607 1 -3.103 3]。取參數(shù)ρ=0.01,給定初始條件x0=[-10 6.8 9.5]。結(jié)合上述所有給出的條件,仿真結(jié)果如圖1～3所示,圖1代表的是狀態(tài)軌跡x(t),圖2描述的是切換函數(shù)s(t),圖3表示的是控制器u(t)。

圖1 狀態(tài)向量軌跡x(t)Fig.1 State vector trajectories x(t)

圖2 切換曲面函數(shù)s(t)Fig.2 Switching surface function s(t)

圖3 滑?？刂破鱱(t)Fig.3 Sliding mode controller u(t)

4 結(jié)語

本文針對帶外部擾動的不確定分?jǐn)?shù)階廣義系統(tǒng)設(shè)計了分?jǐn)?shù)階積分型切換函數(shù),計算了切換函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)并使其為0,得到了等效控制,設(shè)計了滑?？刂破魇?fàn)顟B(tài)軌跡到達(dá)切換面。利用區(qū)間參數(shù)和分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì),通過線性矩陣不等式首次給出了滑動模態(tài)具有無源性能的魯棒可容許性的充分性判據(jù),并且解決了滑動模態(tài)的魯棒無源化問題。本文給出的魯棒無源分析方法也可嘗試推廣到分?jǐn)?shù)階奇異攝動系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階時滯系統(tǒng)。