■李愛民 余葉軍

教材中的例題是專家經(jīng)過反復(fù)推敲、精心選擇的教學(xué)資源，一般設(shè)計在新概念、新命題之后。教材中的例題教學(xué)是教師用作示范講解的重要手段，也是幫助學(xué)生理解，掌握，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定理和法則等相關(guān)知識的有效途徑。囿于教材的篇幅，教材例題的設(shè)計不可能面面俱到，也不可能關(guān)注到各類學(xué)生的認(rèn)知情況，這就需要教師將例題適當(dāng)改編設(shè)計，以便更好地發(fā)揮例題的育人功能。下面，筆者以蘇科版數(shù)學(xué)教材七（上）第6章第1 節(jié)“線段、射線、直線”中的一道例題為例，淺談如何提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、原題呈現(xiàn)

例1如圖1，線段AB=8，C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在CB上，且DB=1.5，求線段CD的長。

圖1

本題涉及中點(diǎn)定義和線段和差關(guān)系的應(yīng)用，是一道典型的線段求長問題。本題看似簡單，但因?yàn)閷W(xué)生對中點(diǎn)定義的應(yīng)用以及線段和差關(guān)系的推理都比較陌生，在實(shí)際解題中，往往會出現(xiàn)下列認(rèn)知障礙：

①語言選擇障礙。例如，根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，學(xué)生可以得到AB=2AC=2BC，，但部分學(xué)生不知道選擇哪個結(jié)論來求線段CD的長。

②語言轉(zhuǎn)換障礙。當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)是通過列算式或者列方程的方式，還不會用“因?yàn)椤浴钡姆绞竭M(jìn)行幾何推理，所以學(xué)生能列算式求出CD的長，卻不能將算式語言轉(zhuǎn)化成推理語言。

③語言組織障礙。因?yàn)榍驝D的長不是一步就能解決，所以部分學(xué)生不知道先用哪個條件，容易出現(xiàn)表達(dá)混亂的狀況。例如，有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)CD可以用BC減去BD來求，第一步就寫“∵CD=BC-BD”，當(dāng)發(fā)現(xiàn)BC的長需要通過中點(diǎn)的定義來求時，又寫“∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”，將兩個條件寫在一起了。

二、例題改編

要把文章寫好，必須先把句子寫好。同樣，要把推理寫好，必須先把基本的概念、命題的幾何語言寫好。例題中涉及中點(diǎn)定義和線段和差運(yùn)算，所以筆者采取先分后合、先易后難、先具體后開放的改編策略。

變式1如圖2，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)。

圖2

①圖中有幾條線段，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系？

②若AB=8，AC=3，求線段BC的長。

③如果讓你添加線段長，你還能提出什么問題？

④如圖3，如果在線段AB上再添加一點(diǎn)D，圖中又有哪些線段？如果求線段CD長，你有哪些方法？

圖3

⑤圖3 中，若AB=8，AD=5，BC=6，求線段CD的長。

⑥請結(jié)合圖3，重新給定一些線段的長，為你的同桌設(shè)計一個新問題。

【設(shè)計意圖】變式1 設(shè)計了6 個問題，前3 個問題涉及3 條線段，后3 個問題涉及6 條線段，難度由易到難，螺旋上升。求線段長的關(guān)鍵是找到線段之間的數(shù)量關(guān)系，問題①和④是讓學(xué)生觀察分析找到線段間的數(shù)量關(guān)系，并會用和差的方式表示，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解基本圖形的能力；問題②和⑤主要是教師示范用“因?yàn)椤浴眮硗评?；問題③和⑥是讓學(xué)生模仿用“因?yàn)椤浴眮硗评?，?qiáng)化推理語言書寫的規(guī)范性；問題③是師生互動，目的是教師引導(dǎo)學(xué)生推理，及時發(fā)現(xiàn)、解決學(xué)生存在的問題；問題⑥是生生互動，借助小組合作，互助互學(xué)，排除推理障礙；問題③和⑥都是開放式問題，能滲透分類思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也能培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力。

變式2①移動圖2 中的點(diǎn)C，當(dāng)滿足什么條件時，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)？

②如圖4，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，若AB=8，求線段AC的長；若AC=4，求線段AB、BC的長。

圖4

③如果將問題②中“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”換一種表述方法，你會如何改編問題②呢？

④如果將問題②中“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”換成AC=2BC，又應(yīng)該如何求解相關(guān)線段長呢？

【設(shè)計意圖】一個定義往往有兩層含義：一是作為條件，二是作為判定依據(jù)。變式2要讓學(xué)生充分理解這兩層含義，所以問題①是將中點(diǎn)定義作為判定依據(jù)，問題②是將中點(diǎn)定義作為條件；問題②用中點(diǎn)的兩個結(jié)論分別求線段長，排除語言選擇障礙；問題③進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解中點(diǎn)的定義，感悟文字語言和符號語言的對應(yīng)關(guān)系；問題④是跳出中點(diǎn)定義之外，感悟中點(diǎn)定義的本質(zhì)（一種線段間的數(shù)量關(guān)系），滲透方程思想，體會求線段長的一般方法。

變式3在圖4 中，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，如果在線段AB上再添加一個點(diǎn)D。

①如圖1，若AB=8，DB=1.5，求線段CD的長。（教材例題）

②請自己在圖4 中添加點(diǎn)D的位置，并添加適當(dāng)?shù)臈l件，設(shè)計一個新的問題。

【設(shè)計意圖】在經(jīng)歷線段和差推理和中點(diǎn)推理之后，再出示教材例題（問題①），難度系數(shù)大大降低，學(xué)生也能感受到復(fù)雜問題實(shí)際上是基本問題的融合；問題②讓學(xué)生自主設(shè)計問題，因?yàn)樵O(shè)計問題和解決問題是兩種互逆的思維方式，能更好地理清線段間的數(shù)量關(guān)系，理順推理過程的書寫順序，培養(yǎng)完整的思維方式。學(xué)生在設(shè)計問題時，必然會借鑒教師的設(shè)計，以及之前在例1、例2 中獲得的經(jīng)驗(yàn)，自覺運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

三、教學(xué)反思

1.例題改編要分析學(xué)生認(rèn)知障礙，剖析設(shè)計意圖

教師改編教材例題要摸清例題的設(shè)計意圖，分析學(xué)生可能會出現(xiàn)的認(rèn)知障礙，提前干預(yù)，將認(rèn)知障礙消滅在萌芽狀態(tài)，提高例題教學(xué)效率。

本節(jié)課例題的設(shè)計意圖是讓學(xué)生理解中點(diǎn)的意義，會用“因?yàn)椤浴钡姆绞奖磉_(dá)線段中點(diǎn)定義和線段和差數(shù)量關(guān)系。這是一種新的語言表達(dá)方式，因此，學(xué)生在語言的選擇、轉(zhuǎn)換、組織、表達(dá)等方面均存在不同程度的認(rèn)知障礙，教師必須引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，打好扎實(shí)的基礎(chǔ)。為了排除這些障礙，筆者采用先拆后合的方法，讓學(xué)生先用“因?yàn)椤浴北磉_(dá)線段和差，再用“因?yàn)椤浴北磉_(dá)中點(diǎn)的定義，最后將兩個問題融合，完成教材例題的教學(xué)目標(biāo)。

2.例題改編要關(guān)注學(xué)生認(rèn)知差異，推動全體發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（下稱《課標(biāo)（2022）》）中提出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程要致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。在實(shí)際教學(xué)中，因?yàn)槊總€學(xué)生的知識基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同，學(xué)生之間形成了認(rèn)知差異。要想人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育、人人都能得到發(fā)展，例題的改編就要遵循起點(diǎn)低、坡度小、螺旋上升的原則，既要有教師示范引領(lǐng)，也要有學(xué)生參與活動；既要重視獨(dú)立思考，也要重視合作交流。

由于面向的是七年級學(xué)生，所以本節(jié)課例題設(shè)計起點(diǎn)較低，目的是讓每個學(xué)生都學(xué)會最基本的推理語言。教師通過設(shè)計開放性的問題，一方面讓學(xué)生參與其中，另一方面讓學(xué)生有選擇性地做題。在問題設(shè)計過程中，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可以模仿示例設(shè)計問題，通過同類問題的解答，學(xué)會推理，增強(qiáng)信心；基礎(chǔ)好的學(xué)生不滿足于模仿，他們思考問題全面，思維敏捷，不自覺地運(yùn)用分類、類比等思想創(chuàng)造性地設(shè)計問題，通過成功的問題設(shè)計，滿足了他們探索的欲望，培養(yǎng)了提出問題、解決問題的能力。例題中設(shè)計生生互動的問題，目的是讓每個學(xué)生都得到不同程度的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識。

3.例題改編要調(diào)動學(xué)生自我監(jiān)控，促進(jìn)自我調(diào)節(jié)

《課標(biāo)（2022）》強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個主動的過程，教師要鼓勵學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)。自我監(jiān)控是參照一定的標(biāo)準(zhǔn)，主動跟進(jìn)自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、效果等達(dá)成情況。自我監(jiān)控是為了促進(jìn)自我調(diào)節(jié)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自我效能，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在動力。在自我調(diào)節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的自我反映通常有兩種形式：一是自我認(rèn)同，這是一種積極的自我反饋評價，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)習(xí)的信念水平，它是實(shí)現(xiàn)“教而不教”的保障；二是自我適應(yīng)、自我防御，這是一種調(diào)節(jié)性自我反饋評價，能調(diào)適學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，優(yōu)化學(xué)習(xí)策略。

例題設(shè)計要具有參與性，只有學(xué)生參與其中，才能調(diào)動自主監(jiān)控，發(fā)現(xiàn)存在的問題，并在教師的引導(dǎo)示范下及時自主調(diào)節(jié)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)；例題設(shè)計還要具有展示交流性，初中生喜歡展示自己，特別是在同伴面前，利用這個心理特點(diǎn)設(shè)計有層次的問題，讓不同層次的學(xué)生都有展示的機(jī)會，這樣的例題設(shè)計必然事半功倍。