王鵬舉,楊育榮

(中國空空導(dǎo)彈研究院,河南 洛陽 471009)

鴨式布局是制導(dǎo)兵器常用的一種氣動(dòng)布局形式,具有操縱效率高,響應(yīng)快等特點(diǎn),且舵機(jī)安裝在頭部,避免了尾舵連接電纜的彈外氣動(dòng)整流問題,是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈采用的一種重要體制[1-3]。相比正常式布局,鴨式布局導(dǎo)彈主要存在舵效系數(shù)極性相反,無最小相位零點(diǎn)的差異,因此,三回路過載駕駛儀結(jié)構(gòu)同樣適用。偽攻角反饋駕駛儀是三回路過載駕駛儀的一種典型結(jié)構(gòu),可以消除經(jīng)典三回路駕駛儀的靜差,同時(shí)保持較好的時(shí)域、頻域響應(yīng)特性及魯棒性能,因此在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈上得到廣泛的應(yīng)用,較多的學(xué)者和工程人員對其進(jìn)行深入研究[4-9]。其中,鄭鹍鵬等以一階時(shí)間常數(shù)極小化條件提出了極點(diǎn)配置共圓準(zhǔn)則,給出了控制增益與閉環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)截止頻率的解析關(guān)系式,方便了工程應(yīng)用。但在實(shí)際應(yīng)用中,對開環(huán)截止頻率的選取準(zhǔn)則研究較少,或存在約束準(zhǔn)則過于保守以及負(fù)增益等問題,這限制了工程應(yīng)用自動(dòng)化程度。

本文基于鴨式布局導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn),討論分析開環(huán)截止頻率選取準(zhǔn)則,修正了舵偏角速率約束準(zhǔn)則,給出了更適宜工程應(yīng)用的開環(huán)截止頻率的約束形式。

1 極點(diǎn)共圓配置方法

本文討論縱向通道的偽攻角反饋駕駛儀設(shè)計(jì),忽略舵機(jī)、濾波器、傳感器等高頻部件,其結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 偽攻角反饋駕駛儀框圖Fig.1 Structure diagram of autopilot with pseudo angle of attack feedback

給出彈體本體傳遞函數(shù)為[10]

(1)

其中,a1～a5為動(dòng)力學(xué)系數(shù),A4=(a3a4-a2a5)/a3由被控對象參數(shù)決定,可以消除偽攻角反饋回路中的零點(diǎn),使系統(tǒng)階次降為三階。

1.1 阻尼回路

由圖1可得到阻尼內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)

其中,

(3)

對于鴨式導(dǎo)彈,可設(shè)計(jì)阻尼回路開環(huán)截止頻率?=-Iya3>0,因此,對于靜穩(wěn)定彈體,阻尼回路總是穩(wěn)定的,且開環(huán)頻率上限受舵機(jī)等高頻部件帶寬約束。

系統(tǒng)的阻尼系數(shù)由

(4)

變成:

(5)

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),一般Iy、a4較小,a2較大,上式可變?yōu)?/p>

(6)

因此,系統(tǒng)阻尼得到大幅提升,這也正是阻尼回路的目的。

1.2 增穩(wěn)回路

增穩(wěn)回路可視為姿態(tài)駕駛儀,保持導(dǎo)彈攻角穩(wěn)定,等效結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

其中,取A4≈ωα可對消系統(tǒng)零點(diǎn),增穩(wěn)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù):

(7)

圖2 攻角回路結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure diagram with angle of attack loop

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

(8)

當(dāng)約束增益K0為正時(shí),對于靜穩(wěn)定彈體總有系統(tǒng)穩(wěn)定,但當(dāng)a2<-a4?時(shí),則需要K0來穩(wěn)定彈體。此時(shí)系統(tǒng)阻尼為

(9)

1.3 過載回路

圖1中,從控制量處斷開的開環(huán)傳遞函數(shù):

(10)

將式(1)及A4代入式(10),得到

(11)

令開環(huán)傳遞函數(shù)幅值為1,可得系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率:

ωcr≈IyK4va5-Iya3

(12)

式(12)得以成立的條件包括:

(13)

結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn),式(13)第二項(xiàng)約束明顯,其表明系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率應(yīng)遠(yuǎn)大于彈體本體特征頻率。提高開環(huán)截止頻率可提升系統(tǒng)的快速性,因此,控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)在可接受的范圍內(nèi)尋求開環(huán)截止頻率的上界。

結(jié)合式(10)可得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

ay/ayc=IyK4v(a5s2+a5a1s+a2a5-a3a4)/

(14)

det=s3+(A+2ωξ)s2+(2Aωξ+ω2)s+Aω2

(15)

對比式(14)、(15),結(jié)合式(12),可求解出控制增益:

(16)

1.4 極點(diǎn)共圓原則

從三階系統(tǒng)等效時(shí)間的快速性,可給出閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)截止頻率的約束。三階系統(tǒng)的等效時(shí)間常數(shù)近似為[11]

(17)

當(dāng)實(shí)極點(diǎn)與共軛極點(diǎn)實(shí)部滿足式(18)關(guān)系,系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)τ最小,即認(rèn)為系統(tǒng)具有較好的快速性。

(18)

此時(shí),閉環(huán)三個(gè)極點(diǎn)同處于半徑為A的圓上,即極點(diǎn)共圓[5],如圖3所示。

圖3 時(shí)間常數(shù)極小化條件下的極點(diǎn)分布Fig.3 Polels distribution of extremely time constant

綜上,當(dāng)取定阻尼比ξ和開環(huán)截止頻率ωcr,即可求解控制增益。通常取ξ=0.707,則系統(tǒng)的性能主要由開環(huán)截止頻率決定。

2 開環(huán)截止頻率的設(shè)計(jì)約束

綜合考慮舵機(jī)帶寬、最大舵偏角速率、零極點(diǎn)關(guān)系約束、增益極性等因素,提出對開環(huán)截止頻率的約束準(zhǔn)則。

2.1 舵機(jī)帶寬約束

系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的選擇受舵機(jī)等高頻部件帶寬的制約,為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,工程上一般將控制系統(tǒng)開環(huán)截止頻率取舵機(jī)帶寬的1/5～1/3[6],以保證舵機(jī)在頻率ωcr處引起的相位滯后不宜過大(一般應(yīng)小于30°)。

2.2 舵偏角速率約束

期望舵機(jī)工作時(shí),舵偏角速率非飽和,即工作在線性區(qū),由加速度指令到控制量的傳遞函數(shù):

(19)

考慮階躍加速度輸入,由初值定理得到零時(shí)刻舵偏角速率初始值:

(20)

(21)

對于閉環(huán)極點(diǎn)共圓分布的情況,代入式(18)得:

(22)

其中,ayc為最大加速度指令,即導(dǎo)彈可達(dá)的最大過載。

以上約束是在假定過載指令最大值時(shí)得到的,實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明,在大多數(shù)飛行條件下(包括低空)都會(huì)受到這一約束的影響。

導(dǎo)彈飛行過程中不可能在所有工況下都要求實(shí)現(xiàn)最大過載,同時(shí),舵偏角速率也只在過載初始較短時(shí)刻需求最大,而在過載響應(yīng)整個(gè)過程中占比較小,因此,式(14)約束過于保守,從而犧牲了系統(tǒng)快速性?；诠こ探?jīng)驗(yàn),提出如下修正:

λ=0.3～0.5

(23)

2.3 零點(diǎn)約束

對于鴨式布局導(dǎo)彈來說,由于其不會(huì)產(chǎn)生非最小相位零點(diǎn),不會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)負(fù)調(diào)現(xiàn)象。但零極點(diǎn)配置不恰當(dāng),仍會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)較大的反沖與超調(diào),影響過載響應(yīng)品質(zhì)。

由式(1)可得到加速度傳函的零點(diǎn):

(24)

為了獲得較好的閉環(huán)響應(yīng)特性,閉環(huán)極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離應(yīng)小于零點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,從而使閉環(huán)極點(diǎn)更靠近虛軸。閉環(huán)極點(diǎn)共圓分布的這種關(guān)系體現(xiàn)在如下的不等式:

A

代入式(18)得到:

(25)

2.4 K0極性約束

工程應(yīng)用中,在某些設(shè)計(jì)特征點(diǎn)因開環(huán)截止頻率選擇不合適,時(shí)常會(huì)出現(xiàn)K0為負(fù)的情況。此時(shí),雖然整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但內(nèi)回路處于正反饋狀態(tài);同時(shí),增益表中有正有負(fù),在飛控軟件增益調(diào)度時(shí)可能導(dǎo)致某些中間狀態(tài)下控制增益為0,因此,應(yīng)盡量避免增益極性的跳變問題。

對式(16)中K0,忽略a1、a5等影響,則得K0為負(fù)的條件如下

ω2+2Aξω-ωcra4-a2<0

(26)

代入式(18)得

(27)

求解不等式得到

(28)

可見,負(fù)K0是由于系統(tǒng)靜穩(wěn)定性過大情況下,開環(huán)截止頻率受到上限約束造成的。因此,想要得到正K0,則開環(huán)截止頻率和阻尼比應(yīng)滿足:

(29)

2.5 小結(jié)

綜上討論,歸納得到開環(huán)截止頻率約束條件如下:

(30)

即開環(huán)截止頻率選取應(yīng)滿足如下約束:

ωcr4<ωcr

(31)

3 算例驗(yàn)證

3.1 算例1

某特征點(diǎn)如表1所示,應(yīng)用上述約束準(zhǔn)則可知,開環(huán)截止頻率上限受舵偏角速率約束最嚴(yán)苛,表2給出最大舵偏角速率約束和放寬約束(λ取0.5)下的設(shè)計(jì)結(jié)果對比,圖4、圖5分別給出了最大加速度響應(yīng)和舵偏角速率結(jié)果。其中,舵機(jī)帶寬取220 rad/s。

表1 氣動(dòng)力學(xué)系數(shù)Tab.1 Aerodynamic coefficients

表2 設(shè)計(jì)結(jié)果對比Tab.2 Comparison of design results

圖4 最大加速度響應(yīng)Fig.4 Response of maximum acceleration

由圖4、圖5可見,放寬舵偏角速率約束后,在初始較短時(shí)間出現(xiàn)舵偏角速率飽和,但系統(tǒng)快速性得到提升,表2設(shè)計(jì)結(jié)果表明系統(tǒng)仍有足夠幅值和相位裕度。

取模型的動(dòng)力學(xué)系數(shù)攝動(dòng)范圍:a1±40%,a2±30%,a3±30%,a4±10%,a5±20%,進(jìn)行100次系數(shù)隨機(jī)攝動(dòng)仿真,結(jié)果顯示,幅值裕度變化小于2 dB,相位裕度變化小于3°,表明應(yīng)用該方法設(shè)計(jì)的結(jié)果具有較好的魯棒性,模型攝動(dòng)下的階躍響應(yīng)結(jié)果如圖6所示。

圖5 舵偏角速率Fig.5 Rate of rudder declination

圖6 模型攝動(dòng)下階躍響應(yīng)Fig.6 Step response under the model perturbation

3.2 算例2

某小動(dòng)壓特征點(diǎn)如表3所示,應(yīng)用約束準(zhǔn)則可知系統(tǒng)零點(diǎn)對開環(huán)截止頻率的約束最為嚴(yán)苛。表4給出了是否考慮零點(diǎn)約束的設(shè)計(jì)結(jié)果對比,可知考慮零點(diǎn)約束后,系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率顯著降低。圖7為階躍響應(yīng)情況對比,不考慮零點(diǎn)約束時(shí)會(huì)過載響應(yīng)抖動(dòng)嚴(yán)重,系統(tǒng)品質(zhì)變差。因此,在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)考慮零點(diǎn)對開環(huán)截止頻率上限的約束,以保證系統(tǒng)良好性能。

表3 氣動(dòng)力學(xué)系數(shù)Tab.3 Aerodynamic coefficients

表4 設(shè)計(jì)結(jié)果對比Tab.4 Comparison of design results

圖7 階躍響應(yīng)Fig.7 Step response

4 結(jié)束語

本文基于鴨式布局導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì),采用極點(diǎn)共圓準(zhǔn)則的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法,得到控制增益與開環(huán)截止頻率的解析表達(dá)式,從而簡化了系統(tǒng)設(shè)計(jì)。討論了開環(huán)截止頻率選取受到舵機(jī)特性、系統(tǒng)零極點(diǎn)關(guān)系和增益極性等約束,結(jié)合工程應(yīng)用經(jīng)驗(yàn),明確了舵偏角速率約束的應(yīng)用條件,放寬了約束的保守性,并補(bǔ)充零點(diǎn)影響和負(fù)增益問題對開環(huán)截止頻率約束形式。仿真算例驗(yàn)證了該約束準(zhǔn)則的有效性和工程應(yīng)用價(jià)值。