尹東亮,吳 晶,黃曉穎

(海軍工程大學(xué) 作戰(zhàn)運(yùn)籌與規(guī)劃系, 湖北 武漢 430033)

軍事裝備或大型艦船、飛機(jī)關(guān)鍵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、可靠性要求高,通常采用冗余儲(chǔ)備結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)效能,如艦船動(dòng)力系統(tǒng)、飛機(jī)電氣系統(tǒng)等,往往采用n中取k這一冗余結(jié)構(gòu)[1-4]。

但新裝備組成單元繁雜、集成程度高、維修經(jīng)驗(yàn)缺乏,導(dǎo)致故障后維修難度大。同時(shí),大量新裝備的列裝使用,對(duì)裝備維修保障帶來(lái)了較大的壓力,所需維修人員專業(yè)性較強(qiáng),培訓(xùn)要求較高,維修力量較為緊缺。裝備部門的修理所及軍工廠維修力量通常不會(huì)“一對(duì)一”專職保障,往往是一組維修力量同時(shí)負(fù)責(zé)維護(hù)若干臺(tái)裝備[5],有時(shí)裝備出現(xiàn)故障后不能第一時(shí)間得到有效檢修與維護(hù),影響裝備使用效能的提升。因此,在裝備數(shù)量與維修力量難以平衡的維修環(huán)境下,應(yīng)立足于實(shí)際情況制定嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)且具有良好可行性的維修力量調(diào)度方案,這樣既能夠有效改善裝備使用可靠性,還能夠使裝備的運(yùn)行周期進(jìn)一步延長(zhǎng),從而提高裝備的戰(zhàn)斗力。

關(guān)于冗余儲(chǔ)備系統(tǒng)的維修力量調(diào)度問(wèn)題,Takagi[6]于1991年提出修理工可變休假策略將其應(yīng)用于系統(tǒng)可靠性建模中。該策略是指一旦維修臺(tái)空出,修理工要求進(jìn)行連續(xù)H次休假,H為確定的任意正整數(shù)。若在這H次休假內(nèi)系統(tǒng)所有部件始終處于完好狀態(tài),第H次休假結(jié)束后修理工進(jìn)入空閑期,直到系統(tǒng)內(nèi)有故障件到達(dá)轉(zhuǎn)入維修期。若系統(tǒng)在修理工H次休假內(nèi)出現(xiàn)故障件,則修理工將在該次休假結(jié)束后終止而轉(zhuǎn)入維修期,“休假”是指系統(tǒng)部件故障后不能立即得到維修的現(xiàn)象。該策略體現(xiàn)了維修調(diào)度管理者在修理工維修工作與休假期從事的輔助工作之間權(quán)衡得失來(lái)確定休假次數(shù)思想,更具一般性。

在考慮該種策略的系統(tǒng)可靠性建模研究中,Ke[7]針對(duì)M/G/1排隊(duì)系統(tǒng),假設(shè)服務(wù)臺(tái)計(jì)劃休假次數(shù)為J次,以可變休假為休假策略開(kāi)展了一系列研究。Wang等[8]假設(shè)服務(wù)到達(dá)服從伯努利到達(dá)過(guò)程,服務(wù)臺(tái)在基本休假后最多可休假J-1次,利用通用生成函數(shù)得出了一些裝備性能指標(biāo),演示了以最小成本確定J最佳值的成本模型。Guha等[9]研究了服務(wù)臺(tái)執(zhí)行多個(gè)單一工作休假策略的情況,在服務(wù)時(shí)間、休假時(shí)間這兩大參數(shù)皆滿足指數(shù)分布要求的前提下,科學(xué)合理地確定了計(jì)劃休假次數(shù)的均衡閾值。Jain等[10]針對(duì)含M個(gè)工作部件、k個(gè)備用部件的多部件制造系統(tǒng),假設(shè)執(zhí)行N次休假策略的修理工休假流服從泊松過(guò)程,部件壽命服從指數(shù)分布,得出了該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

在上述研究過(guò)程中,為簡(jiǎn)化分析,往往會(huì)假設(shè)部件壽命等相關(guān)指標(biāo)滿足指數(shù)分布要求等,而這容易造成模型計(jì)算復(fù)雜,同時(shí)也會(huì)降低模型的適用性。為克服此不足,Neuts等[11]率先將PH(Phase-type)分布以指數(shù)分布的一般形式進(jìn)行了研究和論述。即便是在進(jìn)行一系列復(fù)雜的運(yùn)算后,PH分布族依舊表現(xiàn)出較強(qiáng)的封閉性,可以比較準(zhǔn)確合理地?cái)M合非負(fù)半軸上的各種概率分布情況,同時(shí)還可將各種不同的典型分布統(tǒng)一描述為PH分布形式,既能降低計(jì)算復(fù)雜度,還能增強(qiáng)適用性,令其在各類隨機(jī)模型中得到靈活合理的應(yīng)用。

Goswami等[12]研究了單服務(wù)臺(tái)工作休假排隊(duì)系統(tǒng),服務(wù)員服務(wù)速率隨顧客數(shù)變化而變化,假設(shè)服務(wù)時(shí)間、休假時(shí)間等均服從PH分布,分析了該系統(tǒng)的一系列性能指標(biāo)。Banik[13]以考慮服務(wù)員可變休假的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)為研究對(duì)象,利用批量馬爾可夫到達(dá)過(guò)程(batch Markovian arrival process, BMAP)表示顧客到達(dá)流,假設(shè)服務(wù)員服務(wù)時(shí)間、休假時(shí)間滿足PH分布要求,科學(xué)合理地確定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng),并對(duì)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間平均費(fèi)用進(jìn)行了優(yōu)化。Liu等[14]分析了修理工工作休假且休假可中斷的冷貯備可修系統(tǒng),連續(xù)休假期表示為馬爾可夫到達(dá)過(guò)程(Markovian arrival process, MAP),假設(shè)部件壽命、工作休假時(shí)間、維修時(shí)間服從PH分布,得出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度等可靠性指標(biāo)。Sheng等[15]基于休假策略研究了具有不確定性的多狀態(tài)n中取k系統(tǒng),引入重要性測(cè)度評(píng)估了系統(tǒng)可靠性參數(shù)。

因此,本文考慮單一維修臺(tái)的修理工可變休假,選取較為典型的n中取k系統(tǒng)對(duì)大型復(fù)雜裝備可靠性模型進(jìn)行研究。假設(shè)系統(tǒng)工作部件壽命、備用部件壽命、修理工休假時(shí)間、維修時(shí)間以及空閑時(shí)間均服從不同的連續(xù)PH分布,構(gòu)建了具有廣泛適用性的系統(tǒng)可靠性解析模型,提供了包括系統(tǒng)可靠度、穩(wěn)態(tài)故障頻度等在內(nèi)的一系列可靠性指標(biāo);最后通過(guò)算例驗(yàn)證了模型的適用性,模擬分析了修理工有無(wú)休假、修理工休假速率等相關(guān)可變因子對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行可靠性指標(biāo)產(chǎn)生的各種影響。

1 連續(xù)PH分布

定義1[16]如果非負(fù)隨機(jī)變量X滿足連續(xù)PH分布要求,其分布函數(shù)可描述如下:

(1)

其中:t≥0,e是一種列向量,與公式相匹配的各類元素均為1;α為次隨機(jī)矩陣,存在m個(gè)非負(fù)元素的行向量,m為正整數(shù),αe≤1;T為m階矩陣,其對(duì)角線元素均呈負(fù),其他元素為正,矩陣可逆。

定義2[16]連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈{I(t),t≥0},其狀態(tài)空間包含m+1個(gè)狀態(tài){1,2,3,…,m,m+1},無(wú)窮小生成元如下所示:

(2)

其中,T是PH分布的生成元。因所有行的元素之和皆是零,可推導(dǎo)出T0=-Te。狀態(tài)m+1的轉(zhuǎn)移可能性為零,狀態(tài)m+1為吸收態(tài)。PH分布的一般描述形式為m階的(α,T)表示。

定義3[17]m×n階矩陣A和p×q階矩陣B的Kronecker積被描述如下:

(3)

通過(guò)式(3)能夠科學(xué)合理地推導(dǎo)出Kronecker積存在下述特征:

C(A?B)=(CA)?B=A?(CB)

(4)

(A1?B1)(A2?B2)=(A1A2)?(B1B2)

(5)

定義4[17]m階矩陣A和n階矩陣B的Kronecker和被描述如下:

A⊕B=A?In+Im?B

(6)

式中,Im、In分別為m、n階的單位矩陣。

2 模型假設(shè)

結(jié)合裝備保障中的實(shí)際問(wèn)題背景構(gòu)建模型,如艦船完成任務(wù)靠港后提交一系列裝備維修清單,由岸上修理所進(jìn)行維修保障,而修理所保障多艘艦船必定會(huì)出現(xiàn)維修調(diào)度問(wèn)題,導(dǎo)致待修裝備使用可靠性的降低和維修延遲。

對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行抽象假設(shè),假設(shè)某n中取k系統(tǒng)包含n個(gè)相同部件,若k個(gè)或更多部件正常運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)處于工作狀態(tài),否則系統(tǒng)停機(jī);當(dāng)系統(tǒng)工作時(shí)某工作部件故障,則由備用件替換,系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行,故障件進(jìn)入維修序列,系統(tǒng)內(nèi)有單一維修臺(tái),進(jìn)行可變休假。下面將此假設(shè)展開(kāi)深入細(xì)致的探討和分析:

1)在系統(tǒng)中,n個(gè)相同部件只存在兩種狀態(tài):一種是完好無(wú)損狀態(tài),另一種則是異常狀態(tài),即故障或失效狀態(tài),工作部件(編號(hào)1,…,k)壽命獨(dú)立同分布,滿足PH分布,通過(guò)m1階的(α,T)進(jìn)行描述;備用部件(編號(hào)k+1,…,n)壽命獨(dú)立同分布,滿足PH分布,通過(guò)m2階的(β,S)進(jìn)行描述。

2)系統(tǒng)內(nèi)有單一維修臺(tái),始終保持著完好的運(yùn)行狀態(tài),修理工進(jìn)行可變休假,即一旦維修臺(tái)空出,修理工要求進(jìn)行連續(xù)H次休假。若在這H次休假內(nèi)系統(tǒng)n個(gè)部件始終處于完好狀態(tài),第H次休假結(jié)束后修理工進(jìn)入空閑期,直到系統(tǒng)內(nèi)有故障件到達(dá),則修理工轉(zhuǎn)入維修期。若系統(tǒng)在修理工H次休假內(nèi)出現(xiàn)故障件,則修理工將在該次休假結(jié)束后終止而轉(zhuǎn)入維修期,具體修理工調(diào)度流程如圖1所示。

圖1 修理工調(diào)度流程——可變休假Fig.1 Repairman scheduling process—variant vacations

3)維修臺(tái)在運(yùn)行過(guò)程中,遵循先到先服務(wù)的維修規(guī)則,故障件在經(jīng)過(guò)一系列維修后恢復(fù)正常。修理工維修時(shí)間滿足PH分布情況,通過(guò)l階的(δ,U)進(jìn)行描述,每次休假時(shí)間獨(dú)立同分布,滿足PH分布,通過(guò)g階的(γ,R)進(jìn)行描述,空閑時(shí)間服從PH分布,通過(guò)w階的(θ,L)進(jìn)行描述。

4)在整個(gè)系統(tǒng)中,如果運(yùn)行正常的部件未達(dá)到k個(gè),系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)停機(jī),其中,運(yùn)行正常的部件保持當(dāng)前狀態(tài),不會(huì)出現(xiàn)異常情況,系統(tǒng)恢復(fù)正常后進(jìn)入運(yùn)行狀態(tài)。

5)不考慮工作部件的替換時(shí)間。

6)工作部件壽命、維修時(shí)間等相關(guān)變量互相獨(dú)立。

3 模型構(gòu)建

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間

假設(shè)i指的是系統(tǒng)內(nèi)存在的故障件數(shù)目,運(yùn)行無(wú)恙的部件相位為O(t)={o1,o2,…,ok,ok+1,…,on},修理工的休假所處相位為V(t),工作所處相位為J(t),空閑所處相位為W(t),那么系統(tǒng)是一個(gè)多維連續(xù)時(shí)間軸上的馬爾可夫過(guò)程。在對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間進(jìn)行深入研究后,劃分六種運(yùn)行狀態(tài),狀態(tài)空間為Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}。

H1={i=0,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on),v(t)}表示系統(tǒng)處于正常運(yùn)行狀態(tài),n個(gè)部件均完好,修理工處于H次以內(nèi)的某次休假期。其中:完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on,1≤ok+1,…,on≤m2;修理工休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H2={i=0,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on),w(t)}表示修理工經(jīng)過(guò)了H次休假后系統(tǒng)仍處于n個(gè)部件均完好的正常運(yùn)行狀態(tài),此時(shí)修理工處于H次休假后的空閑期。其中:完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on,1≤ok+1,…,on≤m2;修理工空閑期所處相位是w(t),1≤w(t)≤w。

H3={i≤n-k,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on-i),v(t)}指的是系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),i個(gè)部件出現(xiàn)故障,i≤n-k,修理工處于H次內(nèi)的某次休假期。完好無(wú)損的工作部件相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on-i,1≤ok+1,…,on-i≤m2;修理工休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H4={i≤n-k,(o1,o2,…,ok,ok+1,…,on-i),j(t)}表示系統(tǒng)處于正常運(yùn)行狀態(tài),有i個(gè)部件故障,i≤n-k,修理工H次以內(nèi)的某次休假結(jié)束對(duì)故障件進(jìn)行維修。其中,完好工作部件所處相位為o1,o2,…,ok,1≤o1,o2,…,ok≤m1;完好備用部件所處相位為ok+1,…,on-i,1≤ok+1,…,on-i≤m2;修理工維修工作所處相位是j(t),1≤j(t)≤l。

H5={i≥n-k+1,v(t)}指的是系統(tǒng)停機(jī)狀態(tài),有i個(gè)部件運(yùn)行異常故障,i≥n-k+1。修理工處于H次以內(nèi)的某次休假期,休假所處相位是v(t),1≤v(t)≤g。

H6={i≥n-k+1,j(t)}指的是系統(tǒng)停機(jī)狀態(tài),有i個(gè)部件運(yùn)行異常故障,i≥n-k+1。修理工H次以內(nèi)的某次休假結(jié)束,結(jié)合實(shí)際情況,按照相關(guān)規(guī)定和要求對(duì)故障件進(jìn)行檢修維護(hù),維修工作所處相位是j(t),1≤j(t)≤l。

3.2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

基于前文論述,接下來(lái)對(duì)系統(tǒng)空間Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}內(nèi)部發(fā)生的各種轉(zhuǎn)移情況展開(kāi)詳細(xì)分析:

H2內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:此次轉(zhuǎn)移是修理工在進(jìn)行了H次休假后,系統(tǒng)依舊保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),各個(gè)部件皆完好無(wú)損,也未出現(xiàn)任何異常,n個(gè)部件自身轉(zhuǎn)移,修理工處于空閑期。內(nèi)部件和修理工空閑無(wú)法同步實(shí)現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k⊕L。

H3內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過(guò)程中,系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),不過(guò)有i個(gè)部件出現(xiàn)異常,無(wú)法穩(wěn)定安全地運(yùn)行,i≤n-k,修理工正在休假。n-i個(gè)部件自身轉(zhuǎn)移,也就是說(shuō),k個(gè)工作部件自身轉(zhuǎn)移,n-k-i個(gè)備用部件自身轉(zhuǎn)移,內(nèi)部件無(wú)法和修理工休假同步實(shí)現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k-i⊕R。

H4內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過(guò)程中,系統(tǒng)保持穩(wěn)定可靠的工作狀態(tài),不過(guò)有i個(gè)部件出現(xiàn)異常,無(wú)法穩(wěn)定安全地運(yùn)行,i≤n-k,修理工負(fù)責(zé)對(duì)所有異常部件的檢修,此次維修在H次休假計(jì)劃之內(nèi)。n-i個(gè)部件自身轉(zhuǎn)移,也就是說(shuō),k個(gè)工作部件自身轉(zhuǎn)移,n-k-i個(gè)備用部件自身轉(zhuǎn)移,內(nèi)部件無(wú)法和修理工休假同步實(shí)現(xiàn)相位轉(zhuǎn)移,故其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為Tk⊕Sn-k-i⊕U。

H5內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過(guò)程中,系統(tǒng)保持停機(jī)狀態(tài),i個(gè)部件出現(xiàn)異常,無(wú)法穩(wěn)定安全地運(yùn)行,i≥n-k+1,修理工在H次休假計(jì)劃之內(nèi)的休假期。只有修理工休假相位轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移矩陣才可描述為R。

H6內(nèi)部轉(zhuǎn)移情況分析:在此次轉(zhuǎn)移過(guò)程中,系統(tǒng)保持停機(jī)狀態(tài),i個(gè)部件出現(xiàn)異常,無(wú)法穩(wěn)定安全地運(yùn)行,i≥n-k+1,修理工負(fù)責(zé)對(duì)所有異常部件的檢修,此次維修在H次休假計(jì)劃之內(nèi)。修理工維修工作相位轉(zhuǎn)移,其轉(zhuǎn)移矩陣可描述為U。

對(duì){H1,H2,H3,H4,H5,H6}中所有狀態(tài)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移情況展開(kāi)深入研究,基于此得出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State transition of system

根據(jù)圖2各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系,對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間Ω={H1,H2,H3,H4,H5,H6}各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移情況進(jìn)行說(shuō)明:

從H1到H2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析:該次轉(zhuǎn)移是修理工經(jīng)過(guò)了H次計(jì)劃休假后系統(tǒng)n個(gè)部件始終處于完好狀態(tài),此時(shí)修理工進(jìn)入空閑期,轉(zhuǎn)移矩陣為(R0γ)H-1R0θ?[Tk⊕Sn-k]。

同理,可得其余各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣,令0v表示修理工休假時(shí)系統(tǒng)完好無(wú)故障件,0id表示系統(tǒng)運(yùn)行安全可靠,未出現(xiàn)任何異常部件而修理工H次休假后當(dāng)前處于空閑期,iv表示修理工休假階段異常部件的數(shù)目,ij表示修理工開(kāi)展維修工作階段異常部件的數(shù)目,此時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)可用馬爾可夫過(guò)程描述Ω={0v,0id,1v,1j,2v,…,(n-k)v,(n-k)j,(n-k+1)v,(n-k+1)j}。按照PH分布的概念,基于上文對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的分析,可確定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

其中,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣Q中各個(gè)分塊矩陣的含義分別如下:

Aid=Tk⊕Sn-k⊕L

B=(R0γ)H-1R0θ?[Tk⊕Sn-k]

Ci=Tk⊕Sn-k-i⊕R,i=1,2,…,n-k

Cn-k+1=R

Dn-k+1=R0δ

Ei=[Tk-1⊕Sn-k-1-i]?[T0α?S0]?Ig,i=0,1,2,…,n-k-1

Fi=Tk⊕Sn-k-i⊕U,i=1,2,…,n-k

Fn-k+1=U

G0=[Tk-1⊕Sn-k-1]?[T0α?S0]?L0δ

Gi=[Tk-1⊕Sn-k-1-i]?[T0α?S0]?Il,i=1,2,…,n-k-1

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量

系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)行之后逐步保持穩(wěn)定可靠的運(yùn)行狀態(tài),此時(shí),系統(tǒng)各狀態(tài)在不同轉(zhuǎn)移中停留在各狀態(tài)的可能性構(gòu)成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π,與Ω相匹配,能夠進(jìn)一步分解為π=(π0v,π0id,π1v,π1j,…,π(n-k)v,π(n-k)j,π(n-k+1)v,π(n-k+1)j),基于穩(wěn)態(tài)概率向量的有關(guān)特性推導(dǎo)出其符合以下方程組要求:

(7)

將式(7)展開(kāi):

對(duì)上述方程進(jìn)行求解,可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π。

4 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

4.1 系統(tǒng)可靠度函數(shù)

系統(tǒng)可靠度主要指的是系統(tǒng)在某時(shí)間段t內(nèi)穩(wěn)定可靠運(yùn)行的可能性。在n中取k系統(tǒng)中,可靠度指的是系統(tǒng)在某時(shí)間段t內(nèi)停留狀態(tài)集H1∪H2∪H3∪H4的可能性,結(jié)合PH分布的概念,將系統(tǒng)停機(jī)狀態(tài)H5∪H6看作是吸收態(tài),由此推導(dǎo)出下述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

該矩陣主要反映了系統(tǒng)在穩(wěn)定可靠地工作時(shí)各種不同狀態(tài)之間所發(fā)生的轉(zhuǎn)移情況,根據(jù)系統(tǒng)可靠度能夠推導(dǎo)出可靠度函數(shù)為。

R(t)=(αk?βn-k?γ,0,0,0)exp(Q*t)e

(8)

系統(tǒng)故障密度函數(shù)為:

f(t)=(αk?βn-k?γ,0,0,0)exp(Q*t)(Q*)0

(9)

4.2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度

故障頻度主要指的是在某時(shí)間段里,系統(tǒng)或者其內(nèi)部部件發(fā)生異常或者無(wú)法運(yùn)行的頻度。結(jié)合n中取k系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律,推導(dǎo)出單一部件與整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度。

1)系統(tǒng)工作部件穩(wěn)態(tài)故障頻度。工作部件在運(yùn)行過(guò)程中如果出現(xiàn)異?；蛘邿o(wú)法運(yùn)行,備用部件會(huì)立即安全規(guī)范地進(jìn)入系統(tǒng)并保持穩(wěn)定可靠的運(yùn)行狀態(tài),若不對(duì)發(fā)生異常的部件進(jìn)行維修,第n-k個(gè)備用部件迅速進(jìn)入系統(tǒng)并安全規(guī)范地運(yùn)行后又出現(xiàn)了異常,此時(shí),已無(wú)可用備件,系統(tǒng)只能停機(jī)處理。故關(guān)于工作部件的穩(wěn)態(tài)故障頻度,其穩(wěn)態(tài)概率可描述為(π1v,π1j,…,π(n-k)v,π(n-k)j,π(n-k+1)v,π(n-k+1)j)。由此推導(dǎo)出其穩(wěn)態(tài)故障頻度為:

monline=π0v(T0?e)+π0id(T0?e)+

(10)

2)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度。在系統(tǒng)中,系統(tǒng)停機(jī)的穩(wěn)態(tài)概率為(π(n-k+1)v,π(n-k+1)j),其狀態(tài)集為H5∪H6。由此可推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度為:

msystem=π(n-k)v(T0?e)+π(n-k)j(T0?e)

(11)

4.3 系統(tǒng)其他可靠性指標(biāo)

1)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度主要指的是系統(tǒng)在保持正常運(yùn)行模式下的穩(wěn)態(tài)可能性,換言之,是指系統(tǒng)處于狀態(tài)集H1∪H2∪H3∪H4的穩(wěn)態(tài)可能性,關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A,可將其描述如下:

A=1-(π(n-k+1)veg+π(n-k+1)jel)

(12)

2)系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間。系統(tǒng)故障間隔時(shí)間指的是系統(tǒng)在保持運(yùn)行的過(guò)程中,兩次連續(xù)停機(jī)時(shí)的工作時(shí)長(zhǎng)[18]?；诖撕x,可將系統(tǒng)停機(jī)狀態(tài)H5∪H6看作是吸收態(tài),由于PH分布具有封閉性,系統(tǒng)故障間隔時(shí)間亦滿足PH分布,通過(guò)(φ,Q*)進(jìn)行描述,φ=(αk?βn-k?γ,0,0,0)?；谝陨险撌隹赏茖?dǎo)出MTBF=-φQ*-1e。

3)維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率。在系統(tǒng)停留狀態(tài)集H4∪H6的情況下,維修臺(tái)持續(xù)檢修異常部件。故可將維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率Pj視為系統(tǒng)狀態(tài)集H4∪H6內(nèi)各子狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率之和。

(13)

按照上述分析,分別推導(dǎo)出維修臺(tái)在休假期、空閑期相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率:

(14)

Pid=π0ide

(15)

5 算例

算例主要由三部分構(gòu)成:①結(jié)合模型問(wèn)題,提出假設(shè)條件即n=6、k=4,修理工休假次數(shù)H=4,工作部件、備用部件壽命均滿足相應(yīng)的PH分布要求,基于此構(gòu)建系統(tǒng)可靠性模型,以此完成對(duì)模型適用性廣的檢驗(yàn);②將n值作為調(diào)整參數(shù),探討n值增大對(duì)系統(tǒng)可靠性產(chǎn)生的影響;③假設(shè)修理工維修時(shí)間、休假時(shí)間的PH分別為[δ=1U=-λ]、[γ=1R=-φ],研究維修速率λ、休假速率γ這兩大參數(shù)和系統(tǒng)可靠性之間的關(guān)系。

5.1 模型適用性驗(yàn)證

假設(shè)某n中取k系統(tǒng),n=6、k=4,修理工計(jì)劃休假次數(shù)H=4,工作部件、備用部件壽命均滿足相應(yīng)的PH分布要求,詳情如下:

工作部件壽命分布:

備用部件壽命分布:

維修時(shí)間分布:

休假時(shí)間分布:

空閑時(shí)間分布:

H=4

θ=[0.43,0.23,0.34]

根據(jù)已掌握的各種信息及提出的模型假設(shè),計(jì)算以上模型,基于此推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量π,進(jìn)一步確定下述各個(gè)重要可靠性指標(biāo):A=0.875 9,monline=0.461 1,msystem=0.261 5,Pj=0.493 8,Pv=0.369 6,Pid=0.136 6,MTBF=0.818 8單位時(shí)間。

結(jié)合可靠性相關(guān)定義,模型所得數(shù)據(jù)均符合可靠性要求,表明該模型可以較好地適用于復(fù)雜分布輸入的系統(tǒng)可靠性建模問(wèn)題。

將上述已知條件和模型假設(shè)中的工作部件、備用部件壽命以及維修時(shí)間的PH分布表示代入文獻(xiàn)[19]中,對(duì)該文獻(xiàn)中不考慮修理工休假的n中取k系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行求解得出相關(guān)可靠性指標(biāo)數(shù)據(jù)為:A=0.927 5,monline=0.351 2,msystem=0.213 7,Pj=0.232 6,MTBF=0.957 2單位時(shí)間。

通過(guò)將兩者模型所得可靠性指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,可得出雷達(dá)圖如圖3所示。由對(duì)比雷達(dá)圖可以看出,本文模型的一系列可靠性指標(biāo)劣于不考慮修理工休假的文獻(xiàn)[19],這表明修理工的調(diào)度與分配策略可能會(huì)造成系統(tǒng)部件故障后無(wú)法及時(shí)得到維修,進(jìn)而使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度小和平均故障間隔時(shí)間較短,同時(shí)無(wú)法及時(shí)維修會(huì)造成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度較高,導(dǎo)致維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率有一定的提高。兩者可靠性指標(biāo)的對(duì)比分析驗(yàn)證了該模型的實(shí)用價(jià)值,對(duì)于維修調(diào)度管理者而言,為彌補(bǔ)維修調(diào)度分配對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響,須合理、科學(xué)安排維修計(jì)劃,加大人員培訓(xùn),提高維修效率,減少裝備故障后待修時(shí)間,從而有效提高裝備使用時(shí)限。

圖3 與文獻(xiàn)[19]模型所得可靠性指標(biāo)對(duì)比雷達(dá)圖Fig.3 Radar chart of system reliability features contrast to the model of reference[19]

5.2 n值變化對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

在該模型中以n值為調(diào)整參數(shù),基于5.1節(jié)模型假設(shè)條件,分析n值單一變量增加對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響,演示n取何值時(shí)系統(tǒng)可靠性最佳。具體分析如下:

令k=4,4≤n≤50,H=4,分析n值逐漸增大時(shí)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)變化趨勢(shì),如圖4～7所示。

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與n的關(guān)系Fig.4 Relationship of n and system stationary availability

圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度與n的關(guān)系Fig.5 Relationship of n and system steady-state failure frequency

圖6 維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率與n的關(guān)系Fig.6 Relationship of n and busy steady-state probability of repair facility

圖7 MTBF與n的關(guān)系Fig.7 Relationship of n and MTBF

由圖4～7可以看出,隨著系統(tǒng)部件的增加,系統(tǒng)可靠性能夠有所增強(qiáng),但是維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率則出現(xiàn)了不同的變化情況,主要表現(xiàn)為一開(kāi)始下降,而后升高,最后逐步保持平緩狀態(tài),而這也反映了部件數(shù)目的增多,維修臺(tái)忙期穩(wěn)態(tài)概率不會(huì)持續(xù)下滑,如果n保持在30～35范圍內(nèi),可獲得最高值,其他可靠性指標(biāo)也保持良好狀態(tài)。所以,在修理工可變休假的n中取k系統(tǒng)中,應(yīng)從可靠性、經(jīng)濟(jì)性等多方面入手進(jìn)行全面細(xì)致的分析,以此確定最優(yōu)部件數(shù)目。

5.3 修理工休假速率和維修速率對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

采用5.1節(jié)中系統(tǒng)工作部件、備用部件壽命所服從PH分布的相關(guān)數(shù)據(jù),假設(shè)n=6、k=4,修理工計(jì)劃休假次數(shù)H=4,修理工維修時(shí)間和休假時(shí)間的PH表示分別為[δ=1U=-λ]、[γ=1R=-φ]。結(jié)合系統(tǒng)可靠性相關(guān)定義,修理工休假速率和維修速率分別是修理工維修時(shí)間和休假時(shí)間的倒數(shù),由此能夠明確維修速率λ、休假速率γ這兩大重要參數(shù)和系統(tǒng)運(yùn)行性能間的關(guān)系,具體變化趨勢(shì)如圖8～10所示。

圖8 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.8 Relationship of maintenance rate, vacation rate and system stationary availability

圖9 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.9 Relationship of maintenance rate, vacation rate and system steady-state failure frequency

圖10 MTBF與維修速率、休假速率的關(guān)系Fig.10 Relationship of maintenance rate, vacation rate and MTBF

根據(jù)圖8～10可知,若維修速率在2～3范圍內(nèi),休假速率在4～5范圍內(nèi),無(wú)論是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度,還是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度等,均能夠保持較高水平。由此可知,在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中,結(jié)合實(shí)際情況,設(shè)定維修速率等相關(guān)參數(shù),不僅有助于提高維修資源的利用水平,還能夠減少維修費(fèi)用,最重要的是能夠增強(qiáng)系統(tǒng)可靠性,具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

6 結(jié)論

關(guān)于大型復(fù)雜裝備維修力量管理調(diào)度這一重要現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,本文在借鑒前人研究成果的基礎(chǔ)上,嘗試以修理工可變休假策略為切入點(diǎn)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確合理的描述。通過(guò)連續(xù)PH分布的相關(guān)特性,構(gòu)建了n中取k系統(tǒng)可靠性模型,由此獲得了包括系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度等在內(nèi)的一系列重要可靠性指標(biāo),借助算例分析對(duì)模型的適用性、通用性進(jìn)行了檢驗(yàn),同時(shí),深入分析了修理工休假、部件數(shù)目等相關(guān)參數(shù)的變動(dòng)與系統(tǒng)運(yùn)行性能的關(guān)系。針對(duì)大型復(fù)雜裝備n中取k系統(tǒng),本文認(rèn)為維修調(diào)度管理人員在開(kāi)展檢修工作時(shí),應(yīng)分別從經(jīng)濟(jì)、安全角度等入手深入細(xì)致地分析修理工計(jì)劃休假次數(shù)的調(diào)整對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行可靠性產(chǎn)生的具體影響,基于此,科學(xué)有效地部署維修力量,以期在增強(qiáng)系統(tǒng)運(yùn)行可靠性的同時(shí),促進(jìn)維修效率大幅提升。

致謝

海軍工程大學(xué)管理工程與裝備經(jīng)濟(jì)系胡濤教授、陳童副教授在模型構(gòu)建思路方面提供了幫助和指導(dǎo),謹(jǐn)致謝意!