耿俊琪,孫賢明,宋蕙慧,曲延濱

(1. 山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 山東 淄博 255000; 2. 國網(wǎng)山東省電力公司淄博供電公司, 山東 淄博 255000;3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 新能源學(xué)院, 山東 威海 264200)

電力系統(tǒng)互聯(lián)一方面可以充分利用地區(qū)分散能源,增加系統(tǒng)各部分的相互支援,但另一方面也是引發(fā)故障連鎖,造成大停電事故的主要原因[1-4]。特別對于經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)地區(qū),電網(wǎng)負(fù)荷較重,傳輸已接近上限。充分認(rèn)識電網(wǎng)脆弱性,并對電力系統(tǒng)重要節(jié)點進(jìn)行有效區(qū)分,進(jìn)而為重要節(jié)點施加額外保護(hù)或改變不安全拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),對增強(qiáng)電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行能力、切斷連鎖故障鏈中的相關(guān)環(huán)節(jié)、降低電力網(wǎng)絡(luò)大面積停電的災(zāi)變風(fēng)險具有重要的現(xiàn)實意義[5-6]。

目前,評估電力系統(tǒng)重要節(jié)點的方法多是從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度分析。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為連接輸電線路數(shù)量多的節(jié)點就是重要的,并發(fā)現(xiàn)當(dāng)隨機(jī)攻擊節(jié)點時電力系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性,但是攻擊連接輸電線路數(shù)量多的節(jié)點時電力系統(tǒng)魯棒性較差。介數(shù)(即被節(jié)點間最短路徑所經(jīng)過的次數(shù))是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中評估重要節(jié)點的重要概念[8]。文獻(xiàn)[9-12]使用介數(shù)思想從無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)的角度分別評估了北美電網(wǎng)、意大利電網(wǎng)、荷蘭電網(wǎng)、中國東部電網(wǎng)的重要節(jié)點,但是未考慮電力系統(tǒng)物理特點對節(jié)點的影響。文獻(xiàn)[13]結(jié)合基爾霍夫定律與介數(shù)概念提出了電氣介數(shù)算法,該算法物理背景更貼合實際電力系統(tǒng)。

從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度分析,互聯(lián)網(wǎng)與電力系統(tǒng)存在相似性與一致性[14-15]。表1是互聯(lián)網(wǎng)、電力系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)三者的對比關(guān)系[16]。因此,也有學(xué)者將互聯(lián)網(wǎng)中的網(wǎng)頁排序算法應(yīng)用到電力系統(tǒng)的重要節(jié)點評估領(lǐng)域。2014年文獻(xiàn)[16]首次將互聯(lián)網(wǎng)中評估重要網(wǎng)頁的PageRank算法應(yīng)用在電力系統(tǒng)中,但是只考慮了節(jié)點流入功率對節(jié)點的影響。2017年文獻(xiàn)[17]將網(wǎng)頁排序算法——基于共同引用的超鏈接引導(dǎo)的主題搜索(model based on co-citation hypertext induced topic search, MBCC-HITS)算法[18]應(yīng)用到電力系統(tǒng)中,該算法考慮了流入、流出功率對重要節(jié)點的影響。但是MBCC-HITS算法中的權(quán)威值、樞紐值存在相互加強(qiáng)關(guān)系,使得結(jié)果與實際情況有偏差,并且MBCC-HITS算法偏重功率對重要節(jié)點的影響,對電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作用的考慮相對不足。

表1 互聯(lián)網(wǎng)、電力系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對比

受到互聯(lián)網(wǎng)鏈接結(jié)構(gòu)分析的隨機(jī)方法[19](stochastic approach for link structure analysis, SALSA)的啟發(fā),本文提出了用于電力系統(tǒng)重要節(jié)點評估的E-SALSA(electrical SALSA)算法。首先,E-SALSA算法結(jié)合了流入、流出功率兩方面對節(jié)點的影響。然后,通過使用設(shè)置迭代和迭代初值,將電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對節(jié)點的影響考慮進(jìn)E-SALSA算法中。接著,通過設(shè)置潮流作為圖中邊的權(quán)值和方向,將電力系統(tǒng)抽象為有向有權(quán)圖,使得E-SALSA算法更貼近電力系統(tǒng)物理特點。最后,在IEEE300節(jié)點電力系統(tǒng)中,使用廣泛用于評價重要節(jié)點評估算法的失負(fù)荷規(guī)模指標(biāo)和最大子群規(guī)模指標(biāo),將E-SALSA算法與電氣介數(shù)算法、MBCC-HITS算法進(jìn)行了對比,結(jié)果證明了E-SALSA算法的合理性與有效性。

1 基本概念及評價指標(biāo)

1.1 二分圖

分圖的嚴(yán)格定義是:一個無向圖,如果所有節(jié)點組成的集合V可分為沒有交集的兩個子集Va和Vh,并且無向圖中每條邊關(guān)聯(lián)的兩個節(jié)點分別屬于Va和Vh[20],則稱為二分圖。文獻(xiàn)[21]中為了便于SALSA算法的實現(xiàn),給出了一種不嚴(yán)格的針對有向圖的二分圖定義,其中,Va和Vh是圖的兩個節(jié)點集合,并集是所有節(jié)點,交集可以不是空集。Va和Vh可以由式(1)、式(2)計算:

Va∈c|c∈S且入度大于0

(1)

Vh∈c|c∈S且出度大于0

(2)

其中,c代表所有不獨立的節(jié)點,c∈S。由于一個節(jié)點可能出度、入度均大于零,所以它可能屬于Va和Vh的交集。圖1是一個由6個節(jié)點及其連接關(guān)系組成的有向圖,圖2則是由圖1生成的不嚴(yán)格二分圖。

圖1 6節(jié)點復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)Fig.1 6-node complex network

圖2 由圖1生成的不嚴(yán)格二分圖Fig.2 The loosely dichotomized graph generated by Figure 1

1.2 權(quán)威值與樞紐值

Kleinberg等首先在提出HITS算法的文獻(xiàn)中定義了權(quán)威值和樞紐值[19],它們分別體現(xiàn)了節(jié)點的重要性和樞紐性。節(jié)點的權(quán)威值與入鏈連接的節(jié)點數(shù)量、樞紐值大小有關(guān),樞紐值越大、入鏈連接的節(jié)點越多則權(quán)威值越大;節(jié)點樞紐值與出鏈連接的節(jié)點數(shù)量、權(quán)威值大小有關(guān),權(quán)威值越大、出鏈連接的節(jié)點數(shù)量越多則樞紐值越大。HITS算法中權(quán)威值和樞紐值不是相互獨立的,而是在運(yùn)算中存在相互加強(qiáng)關(guān)系。

1.3 評價指標(biāo)

失負(fù)荷規(guī)模和最大子群規(guī)模都是反映電力系統(tǒng)重要節(jié)點評估算法有效性、合理性的指標(biāo)[13]。失負(fù)荷規(guī)?？梢杂墒?3)和式(4)描述:

(3)

(4)

其中,Ci、Di分別是子系統(tǒng)i的發(fā)電機(jī)出力以及負(fù)荷的需求,式(3)計算的是攻擊節(jié)點后子系統(tǒng)i的負(fù)荷損失規(guī)模。D是沒有攻擊節(jié)點前整個電力系統(tǒng)的負(fù)荷需求,s是在攻擊節(jié)點后子系統(tǒng)的數(shù)量,LOL為失負(fù)荷規(guī)模。失負(fù)荷規(guī)模評估的是攻擊節(jié)點后,電力系統(tǒng)對負(fù)荷供電能力的下降程度。

最大子群規(guī)?？梢詮耐?fù)浣Y(jié)構(gòu)角度體現(xiàn)節(jié)點對電力系統(tǒng)的影響,可以根據(jù)式(5)計算得到:

(5)

式中,N、N′分別代表攻擊節(jié)點前、后的最大子群含有的節(jié)點數(shù)量,R為最大子群規(guī)模。最大子群規(guī)模越小,代表被攻擊的節(jié)點越重要。

2 E-SALSA算法

2.1 SALSA算法

SALSA算法將連接關(guān)系轉(zhuǎn)化為二分圖,從而分別計算權(quán)威向量和樞紐向量。與MBCC-HITS算法不同,SALSA算法的兩個向量擁有各自獨立的馬爾可夫鏈,因此避免了兩個向量相互加強(qiáng)的特點[21]。設(shè)S={1,2,3,…,N}是一個有向無權(quán)圖的節(jié)點集合,根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的連接關(guān)系可以得到鄰接矩陣W。如式(6)和式(7)所示,將鄰接矩陣W中每個非零元素除以所在列所有元素的和,就得到Wc矩陣;將鄰接矩陣W中每個非零元素除以所在行所有元素的和,就得到Wr矩陣。其中,e=[1,1,1,…,1]T。

Wc={[diag(WTe)]-1WT}T

(6)

Wr=[diag(We)]-1W

(7)

(8)

(9)

式(10)和式(11)可求得各個節(jié)點的權(quán)威值和樞紐值:

(10)

(11)

其中,x0、y0由式(12)、式(13)定義。Na、Nh分別為權(quán)威向量、樞紐向量中節(jié)點的數(shù)量。

(12)

(13)

最后,通常使用權(quán)威值來對重要網(wǎng)頁排名,樞紐值僅作為參考[22]。

2.2 基于電力系統(tǒng)特點的算法改進(jìn)

SALSA算法在評估重要網(wǎng)頁時,僅使用有向無權(quán)圖從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的角度對網(wǎng)頁進(jìn)行了評估。但是對于電力系統(tǒng),節(jié)點與相鄰節(jié)點連接關(guān)系代表的局部連接情況,以及節(jié)點在圖中所處位置代表的全局連接情況,兩者對節(jié)點有著不同影響。這兩個影響因素需要區(qū)別考慮。同時,電力系統(tǒng)重要節(jié)點的評估不僅與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān),還與時刻變化、影響節(jié)點的潮流有關(guān)。因此,算法還需要從以下幾方面進(jìn)行改進(jìn)。

2.2.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因素

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體現(xiàn)電力系統(tǒng)的連接特點,為將電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因素融入算法,主要從初值設(shè)置方法和多次迭代兩方面進(jìn)行實現(xiàn)。

1)初值設(shè)置方法:度中心性能夠反映節(jié)點局部連接情況,一個節(jié)點連接的節(jié)點數(shù)目越多,那么這個節(jié)點的度中心性越大,節(jié)點影響力越大[19]。在E-SALSA算法中將節(jié)點的度中心性數(shù)值作為迭代初值,從而考慮了局部結(jié)構(gòu)對節(jié)點的影響。式(14)給出了通過鄰接矩陣W計算度中心性的方法。式(15)和式(16)分別給出了計算初始權(quán)威向量和樞紐向量的方法。

(14)

(15)

(16)

其中,d(i)為節(jié)點i的度中心性數(shù)值,N為圖內(nèi)節(jié)點的總數(shù),Ea、Eh是二分圖中Va和Vh包含的邊的數(shù)量。各個節(jié)點的計算初值可以理解為是在樞紐圖或權(quán)威圖中,該節(jié)點連接的邊的數(shù)量所占的比例。

2)多次迭代體現(xiàn)全局影響:在SALSA算法中,僅計算了一次式(10)和式(11)便得到了最終的權(quán)威值和樞紐值。這僅僅考慮了一個節(jié)點附近其他節(jié)點對它造成的影響,并沒有充分評估該節(jié)點在整個系統(tǒng)中充當(dāng)?shù)慕巧榱耸笶-SALSA能夠全局考慮電力系統(tǒng)內(nèi)所有節(jié)點相互間的影響,需要對式(10)和式(11)迭代,直到權(quán)威向量和樞紐向量收斂。

2.2.2 潮流因素

潮流是一個動態(tài)變化的量,時刻影響著電力系統(tǒng)重要節(jié)點的評估結(jié)果。為了評估這個隨電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)改變而變化的量對節(jié)點的影響,將潮流的絕對值設(shè)置為節(jié)點間邊的權(quán)重,同時將潮流的方向設(shè)置為邊的方向。因此,在本算法中電力系統(tǒng)被抽象成一個有向有權(quán)圖。電力系統(tǒng)有向有權(quán)圖的鄰接矩陣可以按照式(17)確定。

(17)

2.3 E-SALSA算法評估流程

根據(jù)前述內(nèi)容,得到E-SALSA算法計算流程:

1)根據(jù)電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到原始的有向有權(quán)圖G。

2)在有向有權(quán)圖G基礎(chǔ)上增補(bǔ)發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點得到鄰接矩陣W′。

3)根據(jù)式(14)～(16)賦值初始權(quán)威向量、樞紐向量。

4)根據(jù)式(10)、式(11)進(jìn)行迭代,得到最終權(quán)威、樞紐向量。

5)對于電力系統(tǒng)節(jié)點,流入、流出的功率同等重要,因此將節(jié)點對應(yīng)的權(quán)威值、樞紐值相加,得到最終的結(jié)果。

算法說明:

1)由于E-SALSA依據(jù)節(jié)點連接關(guān)系評估重要節(jié)點,為了全面評估節(jié)點,如果發(fā)電、負(fù)荷在電力系統(tǒng)中沒有用節(jié)點形式表現(xiàn),則在圖中增補(bǔ)為節(jié)點。節(jié)點在最后排序時剔除這兩類節(jié)點。

2)鄰接矩陣由考慮了潮流方向、大小并且對發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點進(jìn)行增補(bǔ)后的有向有權(quán)圖得到。

為了更加清晰地說明E-SALSA算法的計算過程,以圖3所示10節(jié)點為例進(jìn)行重要節(jié)點評估。

圖3 10節(jié)點電力系統(tǒng)Fig.3 10-node power system

步驟1：根據(jù)圖3抽象得到圖4所示電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。各條線路的視在功率已標(biāo)注在圖中。

圖4 10節(jié)點電力系統(tǒng)有向有權(quán)圖Fig.4 Directed authority diagram of 10-node power system

步驟2：通過增補(bǔ)發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點,得到如圖5所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,并進(jìn)一步得到該電力系統(tǒng)的鄰接矩陣W′。各個節(jié)點的發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點分別被抽象為鄰接矩陣中的第11至19節(jié)點。

圖5 10節(jié)點電力系統(tǒng)增補(bǔ)發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點后有向有權(quán)圖Fig.5 Directed authority diagram of 10-node power system after add power and load nodes

(18)

步驟3：根據(jù)式(15)、式(16)求得初始權(quán)威向量、樞紐向量。

(19)

(20)

步驟4：通過迭代式(10)、式(11),求得收斂后的權(quán)威值向量、樞紐值向量。

(21)

(22)

步驟5：刪除增添的發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點后,將節(jié)點對應(yīng)權(quán)威值、樞紐值相加,得到最終電力系統(tǒng)各個節(jié)點重要度評估結(jié)果。

(23)

3 算例分析

將E-SALSA算法、電氣介數(shù)算法[13]以及MBCC-HITS算法[17]在IEEE300節(jié)點模型中進(jìn)行對比,以驗證E-SALSA算法的合理性與有效性。三種算法計算得到的IEEE300節(jié)點模型中的前10%重要節(jié)點、流過功率最大的前10%節(jié)點如表2所示。

表2 三種算法得到的前10%重要節(jié)點

3.1 電氣介數(shù)算法與E-SALSA算法對比分析

通過刪除節(jié)點的方式,依次攻擊E-SALSA算法得到的前10%重要節(jié)點計算失負(fù)荷規(guī)模,得到如圖6所示的藍(lán)色曲線;依次攻擊電氣介數(shù)算法計算得到的前10%重要節(jié)點,得到如圖6所示的紅色曲線。失負(fù)荷規(guī)模越大,代表越多負(fù)荷不能得到供電,說明被攻擊的節(jié)點越重要。在失負(fù)荷規(guī)模指標(biāo)下有29個位置E-SALSA算法大于電氣介數(shù)算法,1個位置兩個算法大小相等。依次攻擊E-SALSA算法計算出的前10%重要節(jié)點計算最大子群規(guī)模,得到如圖7所示的藍(lán)色曲線;依次攻擊電氣介數(shù)算法計算出的前10%重要節(jié)點,得到如圖7所示的紅色曲線。最大子群規(guī)模越小,代表從拓?fù)浣嵌确治霰还舻墓?jié)點越重要。E-SASLA算法有29個位置的數(shù)值小于電氣介數(shù)算法得到的數(shù)值,1個位置的數(shù)值與電氣介數(shù)得到的數(shù)值相同。因此從兩個指標(biāo)的結(jié)果來分析,E-SALSA算法相比電氣介數(shù)算法能夠更精確地評估電力系統(tǒng)重要節(jié)點。

圖6 依次攻擊E-SALSA、電氣介數(shù)兩種方法前10%重要節(jié)點得到的失負(fù)荷規(guī)模Fig.6 Load loss scale obtained by attacking the first 10% important nodes of E-SALSA and electrical betweenness in sequence

圖7 依次攻擊E-SALSA、電氣介數(shù)兩種方法前10%重要節(jié)點得到的最大子群規(guī)模Fig.7 The maximum subgroup size obtained by attacking the first 10% important nodes of E-SALSA and electrical betweenness in sequence

這是由于文獻(xiàn)[13]提出的電氣介數(shù)算法是一種在圖論介數(shù)指標(biāo)基礎(chǔ)上,結(jié)合基爾霍夫定律的電力系統(tǒng)重要節(jié)點評估算法。在評估過程中,電氣介數(shù)算法更側(cè)重于將處在更多節(jié)點聯(lián)通路徑上的節(jié)點賦予較高的重要度數(shù)值。但是,對于處于電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊緣的發(fā)電、負(fù)荷節(jié)點,電氣介數(shù)算法無法進(jìn)行有效的重要度評估。

3.2 MBCC-HITS算法與E-SALSA算法對比分析

為了更明了地分析MBCC-HITS算法和E-SALSA算法的特點,使用圖3所示10節(jié)點電力系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)分析。表3為MBCC-HITS算法、E-SALSA算法對10節(jié)點系統(tǒng)的計算結(jié)果,以及節(jié)點潮流從大到小的排序結(jié)果。

表3 10節(jié)點電力系統(tǒng)計算結(jié)果

如表3所示,MBCC-HITS算法更加側(cè)重于從潮流絕對值大小的角度對電力系統(tǒng)重要節(jié)點進(jìn)行評估。在圖3所示的10節(jié)點電力系統(tǒng)中,MBCC-HITS算法評估得到的重要節(jié)點排序與按照節(jié)點流過潮流絕對值大小的節(jié)點排序幾乎一致。而E-SALSA算法則通過系列改進(jìn),綜合考慮了潮流、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對節(jié)點的作用。例如,節(jié)點4在潮流中排名第5,從流過潮流的絕對值大小角度來分析是一個并不重要的節(jié)點。但是,節(jié)點4在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所處的位置非常重要,一旦節(jié)點4受到攻擊退出運(yùn)行,不僅會導(dǎo)致系統(tǒng)解列,同時節(jié)點5、6、9也會失去電力供應(yīng)。節(jié)點4在MBCC-HITS算法中排名第7是明顯不合理的,而在E-SALSA算法中排名第1則更符合電力系統(tǒng)的實際情況。同樣如表2所示的IEEE300節(jié)點電力系統(tǒng)的評估結(jié)果,MBCC-HITS算法前5%重要節(jié)點的潮流排名除117節(jié)點排名31外,其他節(jié)點均位于潮流絕對值大小排名的前10%,而E-SALSA算法評估得到的結(jié)果則不存在這樣的情況。

依次攻擊E-SALSA算法前10%重要節(jié)點并計算最大子群規(guī)模指標(biāo),得到如圖8所示的藍(lán)色曲線;依次攻擊MBCC-HITS算法得到的前10%重要節(jié)點,得到如圖8所示的紅色曲線。E-SALSA算法除了第一個位置的數(shù)值與MBCC-HITS算法相等,其余位置的數(shù)值均小于MBCC-HITS算法。這證明在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)方面,E-SALSA算法相比MBCC-HITS算法體現(xiàn)出優(yōu)勢。

圖8 依次攻擊E-SALSA、MBCC-HITS兩種方法前10%重要節(jié)點得到的最大子群規(guī)模Fig.8 The maximum subgroup size obtained by attacking the first 10% important nodes of E-SALSA and MBCC-HITS successively

依次攻擊E-SALSA算法前10%重要節(jié)點計算失負(fù)荷規(guī)模,得到如圖9所示的藍(lán)色曲線;依次攻擊MBCC-HITS算法得到的前10%重要節(jié)點,得到如圖9所示的紅色曲線。除少數(shù)位置的結(jié)果相近外,其他位置MBCC-HITS算法都大于E-SALSA算法。這是因為MBCC-HITS算法更考慮潮流的影響,未充分考慮電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的作用。結(jié)合基于最大子群規(guī)模的分析,由于E-SALSA具有綜合考慮潮流和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點,因此E-SALSA算法相比MBCC-HITS算法更具有合理性。

圖9 依次攻擊E-SALSA、MBCC-HITS兩種方法前10%重要節(jié)點得到的失負(fù)荷規(guī)模Fig.9 Load loss scale of 10% important nodes obtained by attacking E-SALSA and MBCC-HITS successively

4 結(jié)論

針對電力系統(tǒng)重要節(jié)點評估這一問題,受互聯(lián)網(wǎng)SALSA算法啟發(fā),設(shè)計了E-SALSA算法。E-SALSA算法綜合考慮了電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、潮流等因素對節(jié)點的影響,從而更加貼近電力系統(tǒng)實際物理特點。在IEEE300節(jié)點電力系統(tǒng)中,通過最大子群規(guī)模指標(biāo)、失負(fù)荷規(guī)模指標(biāo)量化分析了E-SALSA算法與對照算法。根據(jù)算例結(jié)果與統(tǒng)計分析,可以得出以下結(jié)論:

1)E-SALSA算法在最大子群規(guī)模、失負(fù)荷規(guī)模兩個指標(biāo)上相比電氣介數(shù)算法均體現(xiàn)出優(yōu)勢。證明了本算法相比電氣介數(shù)算法,能夠更準(zhǔn)確地進(jìn)行電力系統(tǒng)重要節(jié)點評估。

2)通過分析MBCC-HITS算法,發(fā)現(xiàn)了該算法更側(cè)重潮流因素、未充分考慮電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作用的不足。

3)通過E-SALSA算法與MBCC-HITS算法在最大子群規(guī)模、失負(fù)荷規(guī)模兩個指標(biāo)下的分別評估,進(jìn)一步驗證了E-SALSA算法更合理地考慮了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、潮流等因素對節(jié)點的影響,證明了E-SALSA算法的合理性與有效性。