肖會芹，徐春秀，黃浪塵，曾紅兵，彭天順

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

近幾十年來，因?qū)嶋H工程需要使得非線性系統(tǒng)穩(wěn)定和綜合問題的研究受到了大量學(xué)者的關(guān)注。而Takagi-Sugeno（T-S）模糊模型[1]，因其對非線性系統(tǒng)優(yōu)越的逼近特性，降低了非線性系統(tǒng)的分析難度，成為非線性系統(tǒng)建模和控制的強(qiáng)有力工具。于是大量基于T-S 模糊模型的非線性系統(tǒng)問題被科研工作者們研究，如穩(wěn)定性問題[2]、魯棒耗散控制問題[3]、濾波器設(shè)計(jì)問題[4]、滑?？刂茊栴}[5]，以及跟蹤控制問題[6]等。

跟蹤控制的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)跟蹤控制器，使被控對象輸出或狀態(tài)在一個(gè)小的誤差范圍內(nèi)跟蹤給定參考信號[7]。跟蹤控制在現(xiàn)代工業(yè)中的應(yīng)用非常普遍，如路徑跟蹤[8]、軌跡跟蹤[9]等。因?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)跟蹤控制問題相較于穩(wěn)定性問題更為復(fù)雜，也更具有挑戰(zhàn)性，從而成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)之一。

網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)硬件成本的不斷降低，也使得網(wǎng)絡(luò)被廣泛地應(yīng)用到非線性系統(tǒng)的跟蹤控制中[8-15]。但是在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，網(wǎng)絡(luò)通信帶寬有限，這會使得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)產(chǎn)生信號傳輸時(shí)滯、數(shù)據(jù)包丟失等現(xiàn)象，這在一定條件下會顯著降低系統(tǒng)性能，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，目前非線性系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制也引起了許多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[11]在變采樣周期情況下，為提高帶寬利用率，提出了一種事件觸發(fā)方案，研究非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)輸出跟蹤控制問題。文獻(xiàn)[15]中提出將定采樣周期、數(shù)據(jù)傳輸時(shí)滯和數(shù)據(jù)丟包統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為零階保持器端數(shù)據(jù)更新周期，通過求解零階保持器端最大數(shù)據(jù)更新周期，研究了考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)和丟包的非線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制問題。雖然上述文獻(xiàn)都取得了一定的研究成果，但是沒有充分利用采樣區(qū)間的信息，這使得結(jié)果仍然存在一定的保守性。

近年來，很多學(xué)者基于輸入時(shí)滯方法[16]提出了新的分析方法。如不連續(xù)L-K（Lyapunov-Krasovskii）泛函方法[17]，時(shí)間依賴離散型Lyapunov 泛函方法[18]，閉環(huán)Lyapunov 泛函方法[19]，雙邊閉環(huán)函數(shù)方法[20]等。其中，由于雙邊閉環(huán)函數(shù)方法包含[tk,t]和[tk,tk+1)采樣區(qū)間信息，且只要求Lyapunov泛函在采樣點(diǎn)大于0。這給Lyapunov 泛函的構(gòu)建帶來更多的自由度，使其被越來越多的學(xué)者使用[21-25]。如文獻(xiàn)[21]通過分割采樣區(qū)間來構(gòu)造新的雙邊閉環(huán)Lyapunov 泛函，進(jìn)而得到改進(jìn)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[25]利用雙邊閉環(huán)函數(shù)方法，研究了數(shù)據(jù)通信時(shí)延環(huán)境下采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

基于上述雙邊閉環(huán)函數(shù)的思想，本文擬在T-S 模糊模型非線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制中，引入一個(gè)新的雙邊閉環(huán)泛函，用以研究考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯和數(shù)據(jù)丟包環(huán)境下，該類系統(tǒng)的H∞跟蹤控制問題。這種雙邊閉環(huán)函數(shù)在泛函構(gòu)造中考慮了系統(tǒng)采樣區(qū)間[tk,tk+1)的信息，因而使得積分不等式的向量和狀態(tài)向量緊密耦合。且其充分利用了有關(guān)實(shí)際采樣的區(qū)間結(jié)構(gòu)特征信息，并且使用自由權(quán)矩陣積分不等式來進(jìn)一步降低系統(tǒng)的保守性，得到了基于線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）的跟蹤系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過一個(gè)實(shí)例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所提出設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性。

本文采用如下標(biāo)號：上標(biāo)“-1”和“T”分別表示矩陣的“逆”和矩陣的“轉(zhuǎn)置”；Rn表示n維歐幾里得空間；Rm×n代表m×n維的實(shí)矩陣；p>0表示矩陣是正定的；diag{…}表示塊對角矩陣；“*”表示對稱矩陣中的對稱項(xiàng)；I和0 分別代表合適維度的單位矩陣和零矩陣；；。

2 問題描述

3 主要結(jié)果及證明

4 數(shù)值實(shí)例

由表1 可以得出，定理1 明顯改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]和[15]的結(jié)果。

表1 不同方法的最大輸入時(shí)滯結(jié)果Table 1 Maximal input delay of different methods

對于模糊控制器未知的情況，在式（11）中設(shè)定Qg=I、ρ=2。在相同的條件下，比較不同方法的跟蹤性能：

1）采樣器的采樣周期Ts=10 ms；

2）信號傳輸時(shí)滯τ=40 ms；

3）數(shù)據(jù)包丟失個(gè)數(shù)γ=1。

由定理2 可以得出δ1=1、δ2=1 時(shí)的模糊控制器K1=K2=[-28.782 5 -16.991 9]，文獻(xiàn)[15]中給出的模糊控制器K1=K2= [-20.742 2 -7.953 8]。假設(shè)初始狀態(tài)為x(0)=[2 -1]T，xr(0)=[-1 1]T。兩個(gè)狀態(tài)變量的跟蹤誤差曲線如圖1 所示。由圖1 可以看出，在相同網(wǎng)絡(luò)條件下，相較于文獻(xiàn)[15]，本文所設(shè)計(jì)的模糊控制器產(chǎn)生的跟蹤誤差明顯更小，即本文所設(shè)計(jì)的控制器有更好的跟蹤控制效果。由表1 也可以得出，對于給定的模糊控制器，本文提出的方法，在相同的H∞跟蹤性能要求下，比文獻(xiàn)[7]和[15]具有更大的輸入時(shí)滯上界，這表明本文給出的方法相較于已有方法，保守性更低。

圖1 e(t)跟蹤誤差曲線Fig. 1 Tracking error curves of e(t)

5 結(jié)語

本文研究了一類具有數(shù)據(jù)丟包和傳輸時(shí)滯的非線性系統(tǒng)H 網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制問題。首先基于T-S 模糊模型建立非線性系統(tǒng)跟蹤誤差模型，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新的雙邊閉環(huán)函數(shù)，這種雙邊閉環(huán)函數(shù)充分利用了有關(guān)實(shí)際采樣的區(qū)間結(jié)構(gòu)特征信息，在考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯和數(shù)據(jù)丟包環(huán)境下，獲得模糊控制器增益已知和未知情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤控制更低保守性的充分條件，然后采用參數(shù)調(diào)整法獲得跟蹤效果更好的模糊控制器參數(shù)，最后通過一個(gè)Duffing 強(qiáng)制振蕩系統(tǒng)的仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的有效性。