趙勇勝,侯 強(qiáng),張 磊

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

0 引言

近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)和社交媒體的發(fā)展,謠言的傳播變得更加迅速和廣泛[1]。謠言常常伴隨著一些重要的事件出現(xiàn),廣泛的傳播會給人們的生活帶來負(fù)面影響,如果不及時加以控制,可能會危害公共財(cái)產(chǎn)安全,引起社會動蕩,影響社會發(fā)展。例如,隨著新冠肺炎的爆發(fā),諸如飛絮能加速新冠病毒的傳播、益生菌能防治新冠病毒、接種新冠疫苗導(dǎo)致婦女患上不孕癥等謠言被廣泛傳播,引起人們恐慌,影響社會穩(wěn)定。因此研究謠言的傳播機(jī)制,減少謠言傳播帶來的負(fù)面影響是十分有必要的。

對于謠言傳播的研究,最早可以追溯到20世紀(jì)60年代,Daley等[2]提出了經(jīng)典的DK謠言傳播模型,將人群分為3類:沒聽過謠言的人、積極傳播謠言的人和不再傳播謠言的人。后來,Maki等[3]進(jìn)一步將DK模型改進(jìn)為MK模型,他們假設(shè)傳播者與傳播者接觸后,會停止傳播謠言。在此基礎(chǔ)上,許多學(xué)者對謠言傳播模型進(jìn)行了更深入的研究,得到了一些有價(jià)值的結(jié)論[4-8]。Dong等[9]研究了在社交網(wǎng)絡(luò)上具有不同總?cè)丝谝?guī)模的SEIR謠言傳播模型,基于現(xiàn)實(shí)世界中的Facebook社交媒體軟件,對在線用戶進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,隨著用戶總數(shù)的變化,SEIR謠言傳播模型可以準(zhǔn)確反映謠言在Facebook軟件中的傳播特征。Wang等[10]研究了在多語言環(huán)境下具有交叉?zhèn)鞑C(jī)制的謠言傳播模型,在多語言環(huán)境下提出了一種新的SIR謠言傳播模型并研究了模型的全局動力學(xué)特征。Xia等[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,建立了在多語言環(huán)境下具有一般非線性傳播率的謠言傳播模型,并研究了非線性傳播率對模型全局動力學(xué)的影響。Yao等[12]研究了復(fù)發(fā)機(jī)制對謠言傳播的影響,復(fù)發(fā)是指傳播謠言的人發(fā)現(xiàn)謠言是捏造的時,他們會暫時停止傳播成為潛伏者,在遇到一些事件后可能會再次傳播謠言。但Yao等沒有考慮謠言傳播者對暫時潛伏者的影響,在他們研究的基礎(chǔ)上,考慮潛伏者被傳播者影響而再次傳播謠言這一因素,進(jìn)一步研究復(fù)發(fā)機(jī)制對謠言傳播動力學(xué)的影響。

1 模型的建立

這里將參與謠言傳播的全體分為5個倉室:易感者S(t)表示從未聽說過謠言,但易受謠言影響的人;猶豫者E(t)表示知道謠言后猶豫是否傳播的人;傳播者I(t)表示積極傳播謠言的人;潛伏者L(t)表示由于某些因素目前停止傳播謠言但可能再次傳播謠言的人;恢復(fù)者R(t)表示知道謠言但不感興趣的人。在媒介因素導(dǎo)致謠言復(fù)發(fā)的基礎(chǔ)上,考慮暫時潛伏者與傳播者的接觸再傳播,建立如下模型:

(1)

其中:A表示易感者的輸入率;β表示易感者與傳播者接觸后轉(zhuǎn)化為猶豫者的接觸傳播率;μ表示自然衰減率;σ表示猶豫者到傳播者的轉(zhuǎn)移率;φ1表示猶豫者到恢復(fù)者的轉(zhuǎn)移率;δ表示傳播者到潛伏者的轉(zhuǎn)移率;θ表示潛伏者和傳播者接觸后轉(zhuǎn)化為傳播者的接觸傳播率;γ表示潛伏者到傳播者的轉(zhuǎn)移率;φ2表示潛伏者到恢復(fù)者的轉(zhuǎn)移率。模型中所有的變量是非負(fù)的,參數(shù)是正的。

由于模型(1)的前4個方程與R不直接相關(guān),因此只需考慮模型的前4個方程,即模型(1)可化簡為:

(2)

2 基本再生數(shù)和無謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理1若R0<1,則模型(2)的無謠言平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;若R0>1,則E0不穩(wěn)定。

定理1的證明可參考文獻(xiàn)[12],在此省略此定理的證明。

證明這里容易驗(yàn)證R1>R0。

構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù):

計(jì)算V(t)沿著模型(2)解的全導(dǎo)數(shù),得到

3 正平衡點(diǎn)的存在性和后向分支

設(shè)正(謠言盛行)平衡點(diǎn)E*=(S*,E*,I*,L*),則E*滿足

(3)

通過計(jì)算得

且I*滿足

f(I*) =B0I*2+B1I*+B2=0

(4)

其中

B0=-βμθ(μ+φ1+σ)<0

B1=Aβσθ+(μ+φ1+σ)(θδμ-γδβ)-

(δ+μ)(μ+φ1+σ)(μθ+βγ+βμ+βφ2)

B2=(R0-1)μ(μ+φ1+σ)·

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)

通過分析,有下面定理:

定理31) 當(dāng)R0>1時,模型(2)有一個正平衡點(diǎn);

2) 當(dāng)R0=1時:(i)當(dāng)B1≤0時,模型(2)沒有正平衡點(diǎn);(ii)當(dāng)B1>0時,模型(2)有一個正平衡點(diǎn);

由定理3可知,當(dāng)R0<1時,模型(2)可能存在正平衡點(diǎn)。這意味著,模型可能發(fā)生后向分支。下面應(yīng)用文獻(xiàn)[15]中的方法,分析后向分支的存在性。

證明選擇β=β*作為分支參數(shù),當(dāng)R0=1時,有

定義S=x1,E=x2,I=x3,L=x4。模型(2)變?yōu)?

模型在無謠言平衡點(diǎn)的雅可比矩陣為:

J(E0,β*)=

特征方程為:

λ(λ+μ)(λ2+b1λ+b2)=0

(5)

其中

b1=σ+φ1+μ+δ+μ+γ+φ2+μ>0

b2=(σ+φ1+μ)(γ+φ2+μ)+

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)>0

式(5)中λ1=-μ,λ2=0。λ3和λ4滿足λ3λ4>0,λ3+λ4<0,即λ3、λ4均小于0。

零特征根對應(yīng)的右特征向量為w=(w1,w2,w3,w4)Τ,其中

零特征根對應(yīng)的左特征向量v=(v1,v2,v3,v4),其中

計(jì)算f2、f3、f4在(E0,β*)處的各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù),結(jié)果為:

其余偏導(dǎo)數(shù)都為零,由此可得

2(v2w1w3β*+v3w3w4θ+v4w3w4(-θ))=

4 退化模型正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

當(dāng)θ=0時,根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,當(dāng)R0>1時,模型存在唯一的正平衡點(diǎn),且是局部漸近穩(wěn)定的,但文獻(xiàn)[12]沒有給出全局漸近穩(wěn)定性的證明。在此,給出正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定性的證明。

定理5當(dāng)R0>1且θ=0時,模型(2)的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

計(jì)算J1(t)、J2(t)、J3(t)沿著模型(2)解的全導(dǎo)數(shù),得到

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V1(t)=J1(t)+J2(t)+J3(t),計(jì)算V1(t)沿著模型(2)解的全導(dǎo)數(shù),得到

5 數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值模擬觀察隨著基本再生數(shù)R0的變化,模型動力學(xué)性態(tài)的變化情況。取參數(shù)值為A=0.6,μ=0.032,σ=0.5,δ=2.2,θ=0.4,φ1=0.02,φ2=0.05,γ=0.1。此時R*=1.131,由圖1可以看出,模型發(fā)生后向分支,當(dāng)R0<1時,模型可能存在2個正平衡點(diǎn),并且出現(xiàn)一個Hopf分支點(diǎn)。當(dāng)R0≥1時,模型存在唯一的正平衡點(diǎn)。取參數(shù)A=0.52,此時R*=0.98,由圖2可以看出,模型發(fā)生前向分支。

圖1 當(dāng)R*>1時,變量I隨R0變化的分支圖

圖2 當(dāng)R*<1時,變量I隨R0變化的分支圖

下面分析Hopf分支和極限環(huán)的存在性,由圖3可以看出,模型會出現(xiàn)退化的Hopf分支GH點(diǎn)和B-T分支點(diǎn),其中GH點(diǎn)的第二Lyapunov系數(shù)為6.733 590 1×106,因此正平衡點(diǎn)附近會出現(xiàn)2個極限環(huán),其中大極限環(huán)不穩(wěn)定,小極限環(huán)穩(wěn)定。

圖3 余維2分支圖

6 結(jié)論

基于謠言傳播的特點(diǎn),考慮人際因素導(dǎo)致謠言復(fù)發(fā)這一因素,建立SEILR謠言傳播模型來研究人際因素對謠言傳播的影響。首先,通過下一代生成矩陣的方法,計(jì)算了基本再生數(shù)R0,得到了無謠言平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。其次,討論了正平衡點(diǎn)的存在情況,給出了后向分支存在的參數(shù)條件。然后,證明了當(dāng)θ=0時,模型正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,對文獻(xiàn)[12]中正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性證明給予補(bǔ)充。最后,通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)模型會發(fā)生退化的Hopf分支,在正平衡點(diǎn)附近存在2個極限環(huán),其中,大極限環(huán)不穩(wěn)定,小極限環(huán)穩(wěn)定。研究結(jié)果表明人際因素導(dǎo)致謠言復(fù)發(fā)這一因素會改變謠言傳播的動力學(xué)性態(tài)。