劉 揚，杜帥兵

(1.華北水利水電大學(xué) 黃河流域水資源高效利用省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 鄭州 450046；2.華北水利水電大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450046）

水是生命之源,也是社會經(jīng)濟發(fā)展的基礎(chǔ)。準確有效地預(yù)測區(qū)域用水量,對分析區(qū)域水資源平衡、制定合理有效的水資源調(diào)配方案及促進社會經(jīng)濟協(xié)調(diào)發(fā)展具有重要意義［1］。受環(huán)境變化和人類活動的耦合影響,區(qū)域用水量信號呈不確定性、非平穩(wěn)狀態(tài)［2］。目前對于用水量預(yù)測的研究十分廣泛,但如何使模型更加高效、預(yù)測更加精準是需要解決的問題之一。

目前,用水量預(yù)測的方法主要分為傳統(tǒng)預(yù)測法(回歸分析法、用水定額法、灰色模型法、系統(tǒng)動力學(xué)模型法等［3-5］)與新型預(yù)測法(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、機器學(xué)習(xí)法、混合算法等［6-7］)。用水定額法對于定額數(shù)具有強依賴性,并且受限于當(dāng)時的社會、經(jīng)濟等因素；回歸分析法選用不同的影響因子時,其結(jié)果偏差較大［8］；灰色模型法受信號的突變點影響較大［9］；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)解的情況有待進一步改進。

單一模型所表現(xiàn)出的非線性特征往往有限,存在精度低、穩(wěn)定性差等問題,而混合模型的預(yù)測精確度和穩(wěn)定性相較于單一模型而言表現(xiàn)更優(yōu)［10］。例如:劉志壯等［11］使用基于小波分解隨機森林和自回歸模型(ARMA)的小波-隨機森林-ARMA 組合模型預(yù)測短期的用水量,結(jié)果表明,結(jié)合小波分解的組合模型預(yù)測精度明顯提高,能夠應(yīng)用于供水調(diào)度。李彥彬等［12］采用HP 濾波對鄭州市用水量進行分解,結(jié)合GMLSSVR 模型對用水量進行預(yù)測,HP-GM-LSSVR 預(yù)測模型大大提高了預(yù)測精度。然而小波分解的結(jié)果依賴于事先選取的小波基函數(shù)和分解層次,在解決實際問題時小波基和分解層次往往難以確定［13］；而HP 濾波器依賴于調(diào)節(jié)參數(shù),在具體應(yīng)用中存在一定局限性［14］。

不同于小波分解,經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的方法僅依賴于信號的自有特性,不需要提前選定基函數(shù),這與小波分解有本質(zhì)性的區(qū)別。通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解后得到的各個分量較為平穩(wěn)且有規(guī)律性,可以反映原始信號的內(nèi)在特征,因此廣泛應(yīng)用于信號處理中。閆國輝等［15］將經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)與小波降噪(WDD)進行結(jié)合構(gòu)建了EMD-WDD 模式分解方法并用于徑流預(yù)測,結(jié)果表明基于EMD-WDD 的模式分解預(yù)測精度比只用EMD 分解的預(yù)測精度高。趙國羊等［16］基于模態(tài)分解構(gòu)建人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)和支持向量回歸機(EMD-SVR)耦合干旱模型,提高了預(yù)測的精度,結(jié)果表明基于EMD-ANN 和EMDSVR 模型的預(yù)測精度明顯提高。

通常,對位于序列端點處的值難以確定其是否為序列的極值點,若直接將端點處的值視為極值點,則在對極值序列上下包絡(luò)和求均值時會產(chǎn)生一定的誤差,且誤差會傳入序列內(nèi)部,導(dǎo)致EMD 的端點效應(yīng)影響到整個分解過程?；诖?本文構(gòu)建出一種基于改進EMD 結(jié)合麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm,SSA)優(yōu)化核極限學(xué)習(xí)機(Kernel Based Extreme Learning Machine,KELM)的EMD-SSA-KELM 混合用水量預(yù)測模型。首先通過LSTM 對原始用水量信號兩端的極值進行延拓,找出序列兩端的極值點與原始序列合并再進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解,得到一組用水量本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function,IMF)分量和一個殘差序列；然后分別輸入至SSAKELM 用水量預(yù)測模型中；最后將預(yù)測的分量與殘差序列合并得到最終的用水量預(yù)測結(jié)果。

1 研究方法

1.1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解［17］對信號處理后,得到的分量狀態(tài)較為平穩(wěn)、規(guī)律性較強,能反映序列的內(nèi)在特征,是一種非常靈活的信號處理方法,其基本實現(xiàn)步驟如下。

(1)記原始用水量信號為x(t),分別求出極大值和極小值。

(2)采用3 次樣條插值法,對用水量序列的極大值和極小值兩組序列分別進行擬合。記極值點序列擬合的上、下包絡(luò)線分別為fmax(t)、fmin(t),將其均值記為m1(t),x(t)與m1(t)的差記為h1(t),均值m1(t)的計算公式為

本征模態(tài)函數(shù)需滿足以下兩個約束條件:①記某個本征模態(tài)函數(shù)為hk(t),則hk(t)的極值點和零點個數(shù)最多相差1 個；②極大值、極小值序列對應(yīng)擬合的上、下包絡(luò)線的均值為0。在分解中判斷h1(t)是否滿足上述兩條約束條件,若滿足則執(zhí)行步驟(3),若不滿足則將h1(t)作為新的x(t)執(zhí)行步驟(1)和(2)。

(3)記第一個滿足本征模態(tài)函數(shù)要求的分量hk(t)為IMF0,將原始序列x(t)與IMF0 相減的序列記為r1(t),將其作為新的原始序列,重復(fù)步驟(1)和(2),當(dāng)余量函數(shù)rn(t)單調(diào)時即可停止分解,將其作為殘差序列。其表達式如下:

根據(jù)分解算法,原始信號x(t)與n個IMF 分量和殘差分量之和相等,其表達式為

式中:rn(t)為殘差分量；hj(t)為第j個IMF 分量［18-21］。

1.2 核極限學(xué)習(xí)機

極限學(xué)習(xí)機是一種改進的單層反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),由Huang［22］等于2004 年提出,它通過求解隱含層輸出矩陣加號廣義逆的方式代替反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中迭代更新權(quán)重的算法,得到隱含層和輸出層權(quán)重的速度大大提高。為了使極限學(xué)習(xí)機的泛化能力更強,避免在隱含層隨機分配權(quán)重,引入核參數(shù)來代替隨機產(chǎn)生的隱含層參數(shù),構(gòu)成核極限學(xué)習(xí)機。任意給定n個輸入樣本｛(xj,tj)｝(j＝1,2,…,n),則含有m個隱含層神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)輸出tj表達式為

式中:β為隱含層和輸出層之間的連接權(quán)重；g(x)為激活函數(shù)；xj為第j個輸入向量；wi、bi分別為輸入層和隱含層之間第i個神經(jīng)元的權(quán)重、偏置。

將式(4)描述為矩陣方程表示如下:

式中:H為隱含層的輸出矩陣；T為期望輸出矩陣。

由廣義逆理論可得:

式中:H＋為矩陣H的加號廣義逆。

然而,隨著訓(xùn)練樣本量的持續(xù)增長,樣本可能會出現(xiàn)復(fù)共線性的問題,即在計算H＋＝HT(HHT)-1的過程中,HHT矩陣可能會出現(xiàn)奇異,導(dǎo)致無法求解的問題。根據(jù)嶺回歸理論,在HHT的主對角線上加上正則化參數(shù)C,可避免HHT矩陣奇異、特征根為0 的問題,此時輸出權(quán)值的求解表達式為

式中:I為單位對角矩陣；C為正則化參數(shù)。

使用核函數(shù)ΩELM＝HHT,即用ΩELM＝h(xi)·h(xj)＝K(xi,xj)來代替矩陣HHT的計算,其中h(xi)＝H為隱藏層的輸出,K(xi,xj)為核函數(shù),xi、xj為不同的輸入向量,則輸出函數(shù)的表達示為

式中:ΩELM為核函數(shù)。

核函數(shù)的種類有很多,如線性核函數(shù)、多項式核函數(shù)等,本文選用參數(shù)較少、通用性強的高斯核函數(shù):

式中:γ為高斯核函數(shù)的參數(shù)。

1.3 麻雀搜索算法

麻雀搜索算法是一種新型的能夠快速收斂、具備強大尋優(yōu)能力的智能優(yōu)化算法,由Xue 等［23］于2020 年提出。該算法將麻雀種群分為探索者、跟隨者、預(yù)警者3類,探索者和跟隨者可根據(jù)適應(yīng)度的變化相互轉(zhuǎn)化,但各自在種群中的占比不變。通過尋找食物和反捕預(yù)警行為持續(xù)更新種群的最佳位置,有n只麻雀的種群為

式中:xnm為麻雀種群X中第n個麻雀在第m個維度的位置信息；n為麻雀數(shù)；m為變量維度。

麻雀種群的適應(yīng)度值可表示為

探索者是麻雀種群中擁有較高適應(yīng)度的成員,負責(zé)搜尋食物,其位置更新公式為

式中:t為當(dāng)前迭代次數(shù)；為在第t次迭代中第i只麻雀的第j維位置；α∈(0,1］,是一個隨機數(shù)；itermax為用戶設(shè)定的最大迭代次數(shù)；R2為種群的預(yù)警閾值,R2∈［0,1］；ST為用戶設(shè)定的安全閾值,ST∈［0.5,1］；Q為隨機取值,服從標(biāo)準正態(tài)分布；L為一個大小為1×m維的矩陣,其元素值都取1。

式(12)中,當(dāng)R2＜ST時,表示種群目前相對安全,探索者在周圍環(huán)境中可以自由探索覓食；當(dāng)R2≥ST時,說明周圍有捕食者,預(yù)警者發(fā)出報警信息,種群飛向安全區(qū)域。

為了增加自身的能量值,跟隨者會時刻監(jiān)視探索者,并隨時準備搶奪探索者的食物,跟隨者的位置更新公式為

式(13)中,當(dāng)i＞n／2 時,表示第i只跟隨者仍未獲得食物,為了搜尋食物,需更新自身位置,向其他地方探索覓食。通常,預(yù)警者占種群數(shù)量的10%～20%,其位置更新公式為

式中:λ為隨機取值,服從標(biāo)準正態(tài)分布；為在全局解空間中種群的最佳位置；k為一個隨機數(shù),k∈［-1,1］；ε為較小正則參數(shù),防止分母為0；fi為種群的適應(yīng)度；fw為種群的所有適應(yīng)度值中的最劣值；fg為種群的所有適應(yīng)度值中的最佳值。

式(14)中,當(dāng)fi＞fg時,表示第i只麻雀偏離了群體,容易遭受捕食者的襲擊,需更新自身位置以向群體靠攏；當(dāng)fi＝fg時,群體中心的預(yù)警者感知到了危險,為躲避天敵的捕食,它們要向其他群體靠攏。

1.4 改進EMD 端點效應(yīng)

改進EMD 端點效應(yīng)的方法有波形延拓法［24］、極值延拓法［25］和數(shù)據(jù)預(yù)測法［26］。波形延拓法如波形匹配延拓法是在原始信號的內(nèi)部尋找與端點附近處相匹配的波形,將其向外延伸,但依賴內(nèi)部信號的特征趨勢；極值延拓法利用端點處的極值序列特征直接對極值點進行延拓,如鏡像極值延拓法［27］是在端點附近的極值點處放置一面平面鏡,延拓的極大值與極小值等于原始序列鏡面翻轉(zhuǎn)映射的極大值和極小值,但仍由信號的內(nèi)部特征尤其是端點處的極值特征確定,無法反映數(shù)據(jù)的整體特征趨勢；數(shù)據(jù)預(yù)測方法依據(jù)特定的數(shù)學(xué)模型和原始信號的整體內(nèi)在特征對極值點進行預(yù)測,由于預(yù)測出的極大值和極小值服從選定模型和數(shù)據(jù)的整體特征與變化趨勢,因此該方法具有較強的穩(wěn)定性和適應(yīng)性。本文采用數(shù)據(jù)預(yù)測法,使用LSTM 模型對原始用水量信號兩端進行極值延拓,以抑制端點效應(yīng),然后將預(yù)測的極值點與原始序列合并,再對其進行分解,具體步驟如下:

(1)對原始用水量信號利用“滑動窗口法”分別向兩側(cè)進行預(yù)測。把n個連續(xù)數(shù)據(jù)輸入至LSTM,把與之相鄰的數(shù)據(jù)作為LSTM 的輸出,以此訓(xùn)練模型。

(2)使用訓(xùn)練好的LSTM 分別對序列兩端進行預(yù)測,并在模型的預(yù)測輸出序列中找出極大值、極小值點(左右兩端分別找出1 個極大值和1 個極小值),并與原始序列合并。

(3)使用3 次樣條插值法對合并后的用水量序列進行擬合并求均值曲線,之后對其分解,結(jié)束分解后截斷序列兩端合并的極值點數(shù)據(jù),從而得到分解結(jié)果。

1.5 麻雀算法優(yōu)化核極限學(xué)習(xí)機

本研究構(gòu)建的核極限學(xué)習(xí)機中有正則化系數(shù)C和核參數(shù)γ兩個參數(shù),利用麻雀搜索算法,以訓(xùn)練誤差作為算法的適應(yīng)度,找出最優(yōu)的C、γ值,得到SSAKELM 混合用水量預(yù)測模型,其步驟如下:

(1)根據(jù)人民勝利渠的引黃用水量數(shù)據(jù)確定KELM 的拓撲結(jié)構(gòu),以“滑動窗口法”對數(shù)據(jù)進行劃分,并輸入到模型中。

(2)初始化模型參數(shù),包括麻雀種群規(guī)模、最大迭代次數(shù)等,在解空間中對麻雀種群位置隨機取值,并計算適應(yīng)度。

(3)以KELM 的訓(xùn)練誤差作為麻雀算法的適應(yīng)度,依照式(12)～式(14)分別迭代計算各類麻雀的適應(yīng)度,并確定麻雀的當(dāng)前最優(yōu)位置,直至滿足條件。

(4)當(dāng)步驟(3)滿足條件循環(huán)結(jié)束,得到組合模型中最優(yōu)的C、γ值,隨后對用水量進行預(yù)測。

1.6 模型構(gòu)建

本文基于改進的EMD 分解算法結(jié)合SSA-KELM,構(gòu)建了改進的EMD-SSA-KELM 組合用水量預(yù)測模型。首先通過LSTM 數(shù)據(jù)預(yù)測法抑制了EMD 算法的端點效應(yīng),然后將改進的EMD 分量輸入至SSA-KELM中進行預(yù)測,最后將分量的預(yù)測值累加得到最后的用水量預(yù)測值。模型構(gòu)建流程如圖1 所示。

圖1 模型構(gòu)建流程

1.7 模型評估

本文選用相似系數(shù)ρi、分解誤差ei作為抑制EMD端點效應(yīng)的評價指標(biāo),選用均方根誤差(RMSE)、相對誤差(RE)和納什效率系數(shù)(NSE)作為構(gòu)建的混合預(yù)測模型效果的評價指標(biāo)。相似系數(shù)用來衡量IMF 分量與原始信號的相關(guān)程度,分解誤差用來衡量IMF 分量與原始信號的偏差,其計算公式如下:

式中:x為對應(yīng)原始信號；imfi為分解后的第i個模態(tài)分量；cov(x)為協(xié)方差；σ(x)為方差；n為信號個數(shù)。

端點效應(yīng)會導(dǎo)致經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的分量產(chǎn)生誤差,因此抑制端點效應(yīng)的方法應(yīng)使得分解誤差越小越好,由式(15)、式(16)可知:當(dāng)ρi越大或ei越小,即相似度越大或分解誤差越小時,表示端點效應(yīng)抑制的效果越好。

RMSE、RE用于衡量預(yù)測值同觀測值之間的偏差,NSE用于評估模型模擬的好壞,具體計算公式分別為

式中:n為用水量序列長度；yi為用水量觀測值；為模型模擬值；為模擬平均值。

2 結(jié)果與分析

人民勝利渠是第一個在黃河下游探索開發(fā)的水利工程,本文選用人民勝利渠2010—2019 年以d 為單位的3 497 條引黃用水量觀測數(shù)據(jù)為實驗對象,將其以7 ∶3的比例劃分成訓(xùn)練集和測試集,以RMSE、NSE為模型評估標(biāo)準,同SSA-KELM 模型對比,綜合評估EMD-SSA-KELM 用水量預(yù)測模型的性能。

表1 給出了采用LSTM 預(yù)測法、鏡像極值延拓法與無極值延拓的分量評價指標(biāo),可以看出,LSTM 預(yù)測法的相似系數(shù)整體相對于鏡像極值延拓法和無極值延拓的相似系數(shù)較高,分解誤差相對較低,說明使用LSTM 預(yù)測法對于EMD 端點效應(yīng)的抑制效果較好。

表1 EMD 分解評估指標(biāo)對比

EMD 分解和改進的EMD 分解的端點效應(yīng)控制結(jié)果對比見圖2(其中:藍色曲線代表序列無極值延拓、直接對序列進行分解的情況,紅色曲線為采用鏡像極值延拓的情況,虛線為采用LSTM 預(yù)測極值延拓的情況)。結(jié)果顯示,在IMF3～IMF5 中各分量都存在不同程度的端點效應(yīng),但隨著分解的進行,在IMF6 中無極值延拓的分量已與經(jīng)過極值延拓分量的頻幅相異,而通過鏡像極值延拓和LSTM 預(yù)測極值延拓分量的頻幅相近,說明端點效應(yīng)得到了較好的抑制。

圖2 IMF 端點效應(yīng)抑制效果對比

本文以連續(xù)5 d 的觀測值作為模型的輸入,以未來第2、5、7、10 d 的觀測值作為輸出來訓(xùn)練模型,并在測試集中進行預(yù)測。圖3 給出了SSA-KELM 和EMDSSA-KELM 的用水量預(yù)測結(jié)果對比(其中紅色、綠色、藍色曲線分別代表了序列的觀測值、SSA-KELM 的預(yù)測值、EMD-SSA-KELM 的預(yù)測值),結(jié)果表明EMDSSA-KELM 相對于SSA-KELM 的擬合效果更好。

圖3 不同時間尺度的預(yù)測曲線

圖4、圖5 分別給出了SSA-KELM 和EMD-SSAKELM 對未來第2、5、7、10 d 的用水量預(yù)測誤差和納什效率系數(shù)結(jié)果。圖4 中藍色和紅色曲線分別為SSAKELM 和EMD-SSA-KELM 的相對誤差曲線,可以看出EMD-SSA-KELM 的相對誤差明顯低于SSA-KELM 的。圖5 中藍色和紅色曲線分別為SSA-KELM 和EMDSSA-KELM 的NSE曲線,可以看出EMD-SSA-KELM模型的可信度更高,可信度趨勢更為平穩(wěn)。

圖4 不同時間尺度的誤差曲線

圖5 不同時間尺度的NSE 評估曲線

綜合圖4、圖5 和表2 的結(jié)果顯示:EMD-SSAKELM 的均方根誤差在每次試驗中均相對降低40%以上,SSA-KELM 的納什系數(shù)處于0.28～0.75 的水平,而EMD-SSA-KELM 的納什系數(shù)處于0.75～0.92 的水平,模型可信度明顯高于前者,表明EMD-SSA-KELM 相對于SSA-KELM 的預(yù)測誤差較小,可信度更高,且對于選取不同的數(shù)據(jù)量,EMD-SSA-KELM 相較于SSAKELM 的穩(wěn)定性更好,泛化能力更強。

表2 模型預(yù)測評估指標(biāo)對比

3 結(jié)論

本研究將EMD 與SSA-KELM 方法相結(jié)合,從多時間尺度對用水量進行辨識,然后根據(jù)不同的分量特征變化趨勢對用水量進行預(yù)測。改善EMD 端點效應(yīng),使分量的序列兩端信號變化趨勢更符合原始特征,可有效抑制分解誤差,彌補傳統(tǒng)EMD 的不足；與原始SSA-KELM 模型相比,無論在精度還是可信度上,EMD-SSA-KELM 方法都更優(yōu),且更具抗干擾性和泛化能力。然而EMD 分解對用水量時間序列突變點的處理有待優(yōu)化,分量函數(shù)的具體物理意義有待探究,通過分解合成再預(yù)測的方式在運行效率上也有待進一步提升。