劉 威

(湖南軌道交通控股集團有限公司,湖南 長沙 410006)

1 模擬退火粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

(1)

(2)

式中:d為粒子維度;w為慣性權重因子;k為迭代次數(shù);c1、c2為學習因子[8];r1和r2為均勻分布在[0,1]之間的隨機數(shù);Gbest和Pbest分別為全局最優(yōu)位置和局部最優(yōu)位置。

1.2 模擬退火算法

模擬退火(SA)算法最早是由Metropolis模擬物理上的退火過程而提出,首先將固體物質加熱,隨著溫度不斷的升高,物質內部的粒子變得活躍起來并處于無序狀態(tài);之后再將其慢慢冷卻,隨著溫度的下降,物質內部的粒子又由無序狀態(tài)變成有序狀態(tài),該過程即為退火過程。根據(jù)優(yōu)化問題和退火過程的特點,可以將模擬退火算法應用于各種優(yōu)化問題中。

SA算法在對目標問題進行尋優(yōu)時,首先設置一個初始溫度,并在解空間上生成一個初始解;然后對初始狀態(tài)進行干擾,得到新解;之后采用Metropolis準則判斷是否需要將新解與當前解進行替換;最后算法在溫度達到最低臨界值時得到全局最優(yōu)解。Metropolis準則見公式(3)

(3)

式中:T為溫度參數(shù);f(i)、f(j)分別為固體在狀態(tài)i與j下的內能。

由上式可以看出,當f(i)≥f(j)時,算法將會以100%的概率來接受這個新狀態(tài);當f(i)

1.3 模擬退火粒子群算法

PSO算法在對目標函數(shù)的優(yōu)化過程中,主要是通過不斷更新粒子的位置和速度使粒子不斷向Pbest和Gbest方向逼近。該算法在早期收斂速度很快,但到后期粒子速度接近0時,其收斂速度顯著變慢甚至停滯不前,若此時計算出來的解為局部最優(yōu)解時,那么粒子收斂于這個位置之后,將不再更新尋找全局最優(yōu)解。因此,PSO算法易陷入局部最優(yōu),同時還具有早熟收斂、搜索精度較低等缺點。

SA算法具有極強的全局尋優(yōu)能力,并且可以以一定的概率接受計算時遇到的較差解,從而避免使其陷入局部最優(yōu),達到全局尋優(yōu)的效果。但該算法在運算時收斂速度極慢,并且參數(shù)設置也比較復雜。

為了改善PSO算法早熟收斂、易陷于局部最優(yōu)的缺點,發(fā)揮SA算法強大全局尋優(yōu)能力的優(yōu)點,本文融合兩種算法,將SA算法中的Metropolis準則應用于PSO算法形成一種模擬退火的粒子群算法[9-10]。新算法具備兩種算法的優(yōu)點,從而提升了算法的整體性能。

基于模擬退火粒子群算法的流程圖,具體步驟如下所示。

(1)初始化粒子的位置和速度,設置迭代次數(shù)k、種群大小N和維數(shù)D等相關參數(shù)。

(2)計算粒子的適應度值。

(3)判斷全局最優(yōu)是否停滯或達到迭代次數(shù),若滿足則執(zhí)行步驟5,若不滿足,則進行下一步迭代計算。

(4)根據(jù)公式(1)和公式(2)更新粒子的速度與位置。

(5)設置初始溫度T0。

(6)計算粒子的新適應度值,并且根據(jù)公式(3)Metropolis準則更新局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。

(7)判斷是否滿足停止條件,若滿足則輸出結果;若不滿足,則執(zhí)行步驟6。

2 索力優(yōu)化目標函數(shù)

對于拱橋索力優(yōu)化問題,由于彎曲應變能法可充分考慮拱橋結構各部位的受力,塔架與拱肋的受力均可兼顧[11-12],因此本文采用彎曲應變能法建立拱橋斜拉扣掛階段索力優(yōu)化的目標函數(shù),即以彎曲應變能最小作為優(yōu)化目標。

根據(jù)力學理論知識可知拱橋結構主要構件的彎曲應變能U可表示為

(4)

式中:E、I分別為單元的彈性模型與截面慣性矩。

對結構進行離散化,則公式(4)可進一步表示為

(5)

式中:L為單元長度;m為單元總數(shù);i為單元號;MLi和MRi分別為單元左端彎矩與右端彎矩。

公式(5)用矩陣形式可表示為

U={ML}T[B]{ML}+{MR}T[B]{MR}

(6)

式中:T表示矩陣的轉置;[B]為對角系數(shù)矩陣,具體形式見式(7)。

(7)

對調索前構件左、右梁端彎矩ML0、MR0分別施加索力調整向量,則索力調整后的彎矩向量可表示為

{ML}={ML0}[CL]{Y}

{MR}={MR0}[CR]{Y}

(8)

式中:{Y}為扣索索力調整向量,Y=[y1,y2,...yn];[CL]為索力對單元左端的影響矩陣;[CR]為索力對單元右端的影響矩陣。

將公式(7)、公式(8)代入公式(6)中可得

U={ML0}T[B][CL]{Y}+{Y}T[CL]T[B]{ML0}+{YT}[CL]T[B][CL]{y}+MR0}T[B][CR]{Y}+{Y}T[CR]T[B]{MR0}+{YT}[CR]T[B][CR]{y}

(9)

對彎曲應變能求一階導數(shù),并使其等于0,即為扣索索力調整后的彎矩應變能最小,如公式(10)所示

(10)

式中:n為扣索個數(shù)。

聯(lián)立公式(9)與公式(10),并對其進行化簡可得

{[CL]T[B][CL]+[CR]T[B][CR]}{y}=-[CL]T[B]{ML0}-[CR]T[B]{MR0}

(11)

滿足上式一階線性方程組的施調向量[Y]即為以最小彎曲應變能為優(yōu)化目標,拱橋扣索索力的解。

3 算例分析

3.1 工程概況及有限元模型建立

某鋼筋混凝土拱橋跨徑240 m,凈矢跨比為1/6,凈矢高為40 m,主梁采用箱型截面,截面寬、高分別為10 m、4.5 m;主拱圈采用斜拉扣掛懸臂澆筑技術進行施工,該橋縱向共有37個節(jié)段。

3.2 有限元模型建立

本文采用大型通用有限元軟件ANSYS建立算例拱橋的有限元模型,拱橋有限元模型示意圖主梁采用beam189梁單元模擬,扣錨索采用link10桿單元,梁單元與桿單元之間采用MPC184約束單元進行連接,拱橋建模的主要材料參數(shù)取值如表1所示。

表1 算例拱橋主要材料參數(shù)取值

3.3 拱橋扣索索力優(yōu)化模型建立及算法實現(xiàn)

根據(jù)相關理論,以最小化彎曲應變能U作為拱橋斜拉扣掛階段扣索索力優(yōu)化目標。懸臂澆筑拱橋在施工過程中主拱圈會因拉應力過大而出現(xiàn)開裂現(xiàn)象,在扣索索力優(yōu)化過程中,應確保拱圈拉應力始終小于拱圈拉應力極限值,因此本文將其視為扣索索力優(yōu)化的約束條件。因此,拱橋扣索索力優(yōu)化模型用數(shù)學表達式可表述為

(12)

式中:D1,D2,...,D18為待優(yōu)化變量,表示1#～18#扣索初張力(由于算例拱橋為對稱結構,故本文僅選取了拱橋右側扣索進行分析);σ為拱圈拉應力;[σ]為拱圈拉應力限值,本文取[σ]=3 MPa[3]。

為對比基本粒子群算法與模擬退火粒子群算法對扣索索力優(yōu)化的優(yōu)劣性,利用MATLAB編寫兩種算法的計算程序,并分別對扣索索力進行優(yōu)化,兩種算法的迭代結果如圖1所示

圖1 基本粒子群算法與模擬退火粒子群算法迭代效果對比圖

從圖1中可以看出,模擬退火粒子群算法收斂速度明顯優(yōu)于普通粒子群算法;與普通粒子群算法相比,模擬退火粒子群算法在收斂精度上也有一定提高,主要是由于普通粒子群算法在迭代后期易陷入局部最優(yōu),并且容易早熟收斂。

3.4 優(yōu)化結果分析

采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化得到的扣索索力與優(yōu)化前的索力對比。與優(yōu)化前扣索索力相比,采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化后的索力整體有增也有減,但優(yōu)化后扣索索力的最大值有顯著下降,優(yōu)化后扣索最大索力為1 882.58 kN,較優(yōu)化前下降了217.42 kN;觀察優(yōu)化前后各扣索索力的變化趨勢可知,優(yōu)化后各扣索索力整體變化幅度較優(yōu)化前更加平穩(wěn),其中優(yōu)化前扣索索力最大值和最小值分別為2 100 kN、1 000 kN,優(yōu)化后扣索索力最大值和最小值分別為1 882.58 kN、1 191.09 kN,與優(yōu)化前相比,優(yōu)化后扣索索力最大值與最小值的差更小。

為了更好地表現(xiàn)模擬退火粒子群算法在拱橋扣索索力優(yōu)化中的優(yōu)化效果,根據(jù)建立的有限元模型,分別采用三種傳統(tǒng)的扣索索力優(yōu)化方法(零撓度法、零彎矩法與定長扣索法)[13]可計算得到該拱橋的拱圈彎矩,并將其與基于模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩進行對比。

可以看出,采用模擬退火粒子群算法、零撓度法、零彎矩法與定長扣索法得到的拱圈彎矩相差較大,其中采用零彎矩法得到的拱圈截面彎矩均為正值,表明其主要受正彎矩作用;采用模擬退火粒子群算法、零撓度法、與定長扣索法得到的拱圈彎矩既有正也有負,采用定長扣索法得到的拱圈彎矩值最大、波動幅度也最大,其中最大正彎矩和最大負彎矩分別達到了17 631 kN·m、-7 238 kN·m;采用零撓度法得到的拱圈彎矩波動幅度有所減小,其中最大正彎矩為15 557 kN·m,最大負彎矩為-5 694 kN·m;采用模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩波動幅度最小并且彎矩值整體也較小,最大正彎矩和最大負彎矩分別為13 673 kN·m、-5 694 kN·m,進一步表明采用模擬退火粒子群算法對拱橋進行索力優(yōu)化具有良好的應用效果。

4 結 論

(1)模擬退火粒子群算法能有效改善基本粒子群算法易陷入局部最優(yōu)和早熟收斂的問題,并且模擬退火粒子群算法收斂速度明顯優(yōu)于普通粒子群算法,收斂精度也有一定提高。

(2)采用模擬退火粒子群算法優(yōu)化得到的各扣索索力值與優(yōu)化前相比有增也有減,但優(yōu)化后索力最大值較優(yōu)化前有明顯減小,減小了217.42 kN,優(yōu)化后各扣索索力值變化幅度較優(yōu)化前更加平穩(wěn)。

(3)與傳統(tǒng)的索力優(yōu)化方法相比,采用模擬退火粒子群算法得到的拱圈彎矩變化幅度更小,并且最大正彎矩和最大負彎矩均有一定的減小。