牛德芳

受小學生認知能力水平和抽象能力的限制，大部分數(shù)學教材中的概念都沒有給出嚴格的定義。學生要想獲得數(shù)學概念，必須經(jīng)歷從具體到抽象、從簡單到復雜、從未分化到分化的過程。關于因數(shù)和倍數(shù)，蘇教版教材沒有給出直接的定義，而是讓學生基于已有經(jīng)驗和實際例子，借助幾何直觀（數(shù)學模型）和具體算式去描述相關概念，由此促進學生認識概念的本質屬性。下面，筆者根據(jù)影響概念學習的因素（學生的經(jīng)驗和概念學習素材的性質），對蘇教版五下《因數(shù)和倍數(shù)》這節(jié)課進行深度剖析和建構。

一、課前調研：因數(shù)和倍數(shù)的概念認知

學生在之前的學習中積累了大量區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識經(jīng)驗，對整除的含義有比較清楚的認識，為理解“因數(shù)和倍數(shù)”做了充分的準備。為了弄清學生對因數(shù)和倍數(shù)學習的真實起點、發(fā)展點和延伸點，筆者對4 個班的學生開展了學情調查，發(fā)現(xiàn)：其一，在對“因數(shù)和倍數(shù)”的認知方面，有一部分學生聽過或學過因數(shù)和倍數(shù)，但其認知的因數(shù)、倍數(shù)知識只是皮毛而非本質；其二，在對“因數(shù)和倍數(shù)”的未知方面，學生大多表示想知道它們是什么？為什么？有什么用？甚至有學生認為它們之間存在某種關系。

“經(jīng)驗”對新概念學習的影響更多表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的擴張上，有的學生能從過去的經(jīng)驗中找出與新概念相關的概念，在比較它們的基礎上建立新概念；有的學生則會受到這種經(jīng)驗的干擾，產(chǎn)生錯誤的概念理解。因此，明晰學生的認知情況，對于找準教學目標和設計教學內容起到關鍵作用。

二、對癥下藥：描述性概念的教學路徑

根據(jù)前期調研情況，結合因數(shù)和倍數(shù)的概念性知識以及描述性概念教學的特點，筆者認為，教師教學時要引導學生由淺入深、由易到難地明晰“因數(shù)和倍數(shù)”的基本概念，在新舊知識間找尋共同點和不同點，從而促進他們有效內化新概念。

（一）追本溯源，明晰基本概念的本質

1.厘清概念內涵

如果整數(shù)a能被非0 自然數(shù)b整除，那么a叫作b的倍數(shù)，b叫作a的約數(shù)（也叫因數(shù)）；如果整數(shù)a不能被非0自然數(shù)b整除，就表示a不是b的倍數(shù)，或者b不是a的約數(shù)。蘇教版教材中指出：4×3=12,4 和3 都是12 的因數(shù)，12 是4 的倍數(shù)，也是3 的倍數(shù)。當然，因數(shù)和倍數(shù)表示的是一個數(shù)與另一個數(shù)的關系，它們是相互依存的概念，不能單獨存在。

2.弄清概念混淆點

由前期調研不難看出，學生的已有知識經(jīng)驗對它們認識因數(shù)和倍數(shù)產(chǎn)生了干擾。所以，弄清概念混淆點至關重要。一是乘法算式中的“因數(shù)”與本節(jié)課中的“因數(shù)”容易混淆。在一道乘法算式中，乘號兩邊的數(shù)叫作因數(shù)，這個因數(shù)是相對于乘積而言的，可以是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)；而本單元的因數(shù)是相對于倍數(shù)而言的，這里討論的因數(shù)和倍數(shù)只能是非0 自然數(shù)。二是“倍”與“倍數(shù)”容易混淆。倍的概念比倍數(shù)廣，比如15÷3=5、1.5÷0.3=5，我們可以描述成15 是3 的5倍，1.5 是0.3 的5 倍；如果用倍數(shù)描述的話，就是15是3的倍數(shù)，而不能說1.5是0.3的倍數(shù)，因為只有在整除的情況下才有因數(shù)與倍數(shù)的關系。

基于以上剖析，借助直觀操作、想象活動、觀察算式等能有效促進學生自主建構起因數(shù)和倍數(shù)的意義，這樣的概念獲得便是有意義的、生動的。另外，利用混淆點，將那些與新概念相關的舊概念激活，有助于學生透徹領悟新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。

（二）聚焦難點，立足根本施策

1.直觀操作，從具象到抽象

師：用12 個同樣大的正方形拼成一個長方形。每排擺幾個，擺了幾排？用乘法算式表示自己的擺法，并與同桌交流。

教師指圖（以“3×4”為例），并告知學生3、4和12 的因數(shù)、倍數(shù)關系，然后讓學生說說兩道算式（6×2=12、12×1=12）中的因數(shù)和倍數(shù)關系。

師：辨析一下2.4×5=12 這道算式，我們能說2.4是12的因數(shù)，12是2.4的倍數(shù)嗎？

師：擺出的長方形,它的長和寬不可以是小數(shù)，也不可以是0嗎？

總結：在研究因數(shù)和倍數(shù)時，有一個規(guī)定——“所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)”，（板書：非0自然數(shù)）所以2.4不是12的因數(shù)。

在上述教學中，筆者首先讓學生經(jīng)歷擺長方形的過程，結合算式學習因數(shù)和倍數(shù)的概念性描述，并根據(jù)兩道乘法算式（結合圖）完善對因數(shù)和倍數(shù)的概念認知。然后出示一個反例讓學生進行判斷，并借助其剛剛拼搭的長方形實證出研究因數(shù)和倍數(shù)時一般指非0 自然數(shù)，自然而然將“因數(shù)和倍數(shù)”與“因數(shù)×因數(shù)=積”“倍”等易混淆點無痕帶過，促進學生內化概念。

2.想象活動，豐富概念認知

師：根據(jù)8×9=72 這道算式，你能想出哪個長方形？說一說，它們之間有什么關系？

師：根據(jù)46÷2=23 這道除法算式，你又能想出哪個長方形？它們之間有什么關系？

基于具象到抽象的過程，引導學生反過來進行想象活動，在借助乘法算式建立因數(shù)和倍數(shù)概念的基礎上，通過除法算式促進學生補充理解，豐富學生的概念認知。

3.多元練習，促進概念體系建構

師：這里有4 個數(shù)（板書：4、5、8、16），你能找出它們之間的關系嗎？你是根據(jù)哪道算式想到的？

學生根據(jù)這四個數(shù)說出不同的因數(shù)和倍數(shù)關系。

師：同學們，這里的8其實挺特別的，8既是4 的倍數(shù)，又是16 的因數(shù)，那我們能不能說8 是倍數(shù)，或者說8是因數(shù)呢？

生：不可以！一定要說清楚誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。

師：是的，我們研究的是因數(shù)和倍數(shù)之間的關系，不能孤立地說某一個數(shù)是因數(shù)，某一個數(shù)是倍數(shù)。

出示課前學情調查單中學生的錯誤，并讓其糾正。

在前面練習的基礎上進行拓展練習，引導學生自主提取正確的因數(shù)和倍數(shù)關系，題目難度加大，靈活度較高。結合課前學情調查單，再次呈現(xiàn)學生的錯誤，促使他們在對概念知識的重構中更好地內化概念理解。

（三）串聯(lián)成線，注重前沿后續(xù)

1.展示性學習活動的推進

學習因數(shù)和倍數(shù)的概念時，筆者是以問題串的形式讓學生來認知和內化的。在探索一個數(shù)的因數(shù)和一個數(shù)的倍數(shù)時，筆者通過兩個展示性活動進行推進（下圖1 為其中之一）。讓學生在活動過程中找出一個數(shù)的所有因數(shù)（倍數(shù)），促進他們在互相補充中建構尋找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。

（圖1）

2.思維進階式活動的推動

在找出一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時增加了數(shù)軸（如圖2），讓學生在思維進階式活動中感受到36 的因數(shù)間的關系以及3 的倍數(shù)越來越大，從而映射出因數(shù)和倍數(shù)的特征。

（圖2）

三、教后再思：概念教學的“精致”獲得

其一，立足學生真實水平，有針對性地施教。通過課前小調研，筆者明晰了學生的不同理解水平層次。在開始認識因數(shù)和倍數(shù)時，筆者設計問題串，并引導學生操作和觀察；在后面探索一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時，開展展示性活動和思維進階活動，這些都有助于促進不同理解水平的學生的發(fā)展。

其二，明晰概念性學習素材的性質，關注概念形成過程。概念形成過程實質上是抽象出某一類對象或事物共同特征的過程。除了從一些具體實例中區(qū)分本質屬性和非本質屬性以外，還要將新舊概念進行聯(lián)系和分化，建立概念體系。筆者認為，要關注學習素材的數(shù)量，如多次引導學生用小正方形擺長方形，讓他們根據(jù)擺放經(jīng)驗說一說因數(shù)和倍數(shù)的關系；還要關注學習素材的典型性，如在研究一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時，通過數(shù)軸突出因數(shù)和倍數(shù)的特征；反例對深化概念認識也有著重要作用，如將學情調研中學生的錯誤理解作為反例，既有助于他們準確理解概念，又能促進其在概念間建立聯(lián)系。

其三，拓寬概念性學習場域，提升學生的概念概括能力。概括能力是學生掌握概念的重要前提。教師要關注學生學習和應用概念知識的過程，豐富學習場域，并適當進行正遷移，促進學生提升概括能力。當然，要讓概念達到結構化和整體化的程度，需要以充分感受為基礎。

總之，在數(shù)學教學中，教師應注意引導學生基于真實經(jīng)驗不斷豐富和完善概念的認知結構，這將有助于他們的概念學習從具體走向抽象、從日常概念走向科學概念。