李 榮

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用方式。用于開展實驗的工具、環(huán)境以及操作過程中出現(xiàn)的誤差等都會對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響，因而通過實驗獲得的結(jié)論在沒有理論依據(jù)的情況下只能作為猜想存在。蘇教版四上《怎樣滾得遠》一課的教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)實驗的方式探索“斜面與地面成什么角度時，物體滾得遠一些”這一數(shù)學(xué)問題。通過課堂觀察和文獻研究，筆者發(fā)現(xiàn)，不少教師在教學(xué)過程中都會著力于“滾得最遠”角度的探索，似乎不給學(xué)生一個明確的答案，本課中所有的實驗探究都會變得沒有意義。于是，“物體從同一斜坡的相同高度（簡稱‘同等條件’）滾落，斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”這一結(jié)論便成了一種共識。然而，斜坡與地面的夾角為45°時，物體真的滾得最遠嗎？針對這個問題，筆者展開了如下思考與探究。

一、究竟是不是“45度時滾得最遠”？

1.學(xué)理：理論性思辨

如果“45°時滾得最遠”的結(jié)論合理存在，那么根據(jù)物體滾動距離繪制的折線圖圖像將會是一條拋物線。這種可能只需簡單分析就可擊破：若斜坡材質(zhì)較粗糙，坡度很小的時候，如1°、2°時，物體很可能不會從斜坡上滾落；而坡度為89°、88°時，物體必定會滾落并產(chǎn)生滾動距離。上述分析說明：根據(jù)物體滾動距離繪制的折線圖圖像不是一條拋物線，也就意味著滾動距離所成的圖像左右兩邊是不對稱的。坡度為45°時，物體可能會滾得最遠，但也有可能此時物體滾出的距離并不是極值。

2.建模：科學(xué)性分析

為了進一步論證究竟是不是“45°時滾得最遠”，一位高中物理教師運用物理建模的方式（如圖1 所示，假設(shè)坡面光滑，物體重量為0，只 從 力 學(xué)的角度進行分析）研究得出：在理想狀態(tài) 下，tanθ=，即 θ ≈35.3°時，物體滾得最遠。

（圖1）

3.實證：客觀性探究

理論與事實可能會存在一定偏差，為了尊重事實，我校數(shù)學(xué)研究團隊進行了多輪次的對比實驗：同材質(zhì)同坡度進行同物體滾落實驗；不同材質(zhì)同坡度進行同物體滾落實驗；同材質(zhì)不同坡度進行不同物體滾落實驗……發(fā)現(xiàn)：影響物體滾動距離的因素有很多；實驗會產(chǎn)生誤差，坡度為44°時物體滾動的距離很難與45°時作出準確的比較……其他學(xué)校的教師也對“怎樣滾得遠”做過實驗研究，得到的結(jié)果各不相同。例如，有教師實驗得出：當(dāng)斜坡與底面呈40°角時物體滾得最遠。也有教師得出：當(dāng)斜坡與底面夾角在40°～45°之間時，滾動距離最遠。

綜上所述，“斜坡與地面的夾角為45°時物體滾得最遠”這一結(jié)論缺少理論依據(jù)，也沒有足夠的事實支撐。

二、“幾度時滾得最遠”的應(yīng)然追尋

1.求真：從“結(jié)果本位”到“學(xué)生本位”

仔細研讀教材，可以發(fā)現(xiàn)，《怎樣滾得遠》一課的教學(xué)目標(biāo)是：使學(xué)生經(jīng)歷探索斜面與地面成怎樣的角度時物體滾得比較遠的活動過程，進一步體會在實驗中收集數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行比較和分析，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，以及綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力；使學(xué)生通過實踐活動，獲得一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；讓學(xué)生感受做實驗是研究事物的一種方法，培養(yǎng)實事求是的科學(xué)態(tài)度。重點是讓學(xué)生經(jīng)歷實驗活動過程，參與在實驗過程中所進行的角的測量、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、平均數(shù)的計算等數(shù)學(xué)活動，而不是找到最終的結(jié)論。

2.革故：從“結(jié)論至上”到“實驗至上”

在《怎樣滾得遠》一課的教學(xué)中，教師應(yīng)力避“結(jié)論至上”的追求，回歸數(shù)學(xué)實驗的本來價值，著力于讓學(xué)生感受到引入實驗的必要性，教給學(xué)生實驗的方法。如，怎樣測量與調(diào)整斜坡與地面的夾角、怎樣把物體放在斜坡的頂部使其自動滾落、怎樣測量物體的滾動距離、為什么要多次重復(fù)實驗后用算出的平均數(shù)來表示實驗的結(jié)果等。在學(xué)生小組合作進行實驗的過程中，要指導(dǎo)學(xué)生合理分工，明確職責(zé)，使每一位學(xué)生都有機會參與活動全過程；要對學(xué)生的活動進行必要的指導(dǎo)，及時發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生出現(xiàn)的不規(guī)范操作；要注意引導(dǎo)學(xué)生在回顧反思中內(nèi)化解決問題的策略與方法，增強數(shù)據(jù)分析觀念、實踐能力和創(chuàng)新意識。

3.化人：從“定勢思維”到“數(shù)學(xué)精神”

數(shù)學(xué)精神是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然追求，數(shù)學(xué)教育應(yīng)追求數(shù)學(xué)精神。受到思維定勢影響，一些教師試圖努力尋找能使物體滾得最遠的角度，不少學(xué)生也期望得到一個確切的結(jié)果。但是，教學(xué)活動尤其是實驗活動是復(fù)雜的，實驗對象、實驗內(nèi)容、實驗環(huán)境等都是多變的，不可能被完全納入任一固定的模式，因而需要教師辯證地理解理論分析與教學(xué)實踐之間的關(guān)系。影響實驗結(jié)果的因素有很多，實驗只能說給出了一個相對準確的范圍。教師也許可以引導(dǎo)學(xué)生得出如下結(jié)論：“在目前環(huán)境下，在已有的實驗角度中，斜坡與地面的夾角為45°時滾得比較遠?！?/p>

三、實驗結(jié)果與數(shù)學(xué)結(jié)論的關(guān)系處理

通過對《怎樣滾得遠》中的實驗結(jié)果與數(shù)學(xué)結(jié)論進行反思，筆者認為，在用實驗的方式探索學(xué)習(xí)的過程中，實踐+歸納的科學(xué)態(tài)度、實踐+演繹的理性思考都有助于實驗結(jié)果更好地向數(shù)學(xué)結(jié)論演化。

1.實踐+歸納：開放式推理探究

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中很多數(shù)學(xué)方法、結(jié)論、規(guī)律等都可以通過不完全歸納獲得。筆者在教學(xué)本課時，學(xué)生按要求完成30°、45°、60°三個坡度的滾物實驗后，通過分析得到的數(shù)據(jù)，一致得出“同等條件下，這三個角度中，斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”的結(jié)論。與此同時，學(xué)生憑借以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，心中自然會產(chǎn)生“這個結(jié)論是否具有普適性”的猜測。多數(shù)學(xué)生認為還需要進一步實驗驗證，少數(shù)學(xué)生則認為無需進一步驗證。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開如下探究。

師：是不是所有角度中都是45°時滾得最遠呢？

生1：是的。

生2：不一定。

師：為什么說不一定？

生2：因為我們只對三個角度進行了實驗，這三個角度無法代表所有的情況。

生3：我也覺得不一定，還需要繼續(xù)實驗來證明。

師：說得真好！同學(xué)們都是具有科學(xué)精神的孩子！我們是完成了一些實驗，也獲得了結(jié)論，但這個結(jié)論只代表有限范圍內(nèi)的情況，這個結(jié)論可不一定具有一般性。按照大家的意思，我們得繼續(xù)實驗驗證，你們接下來準備對哪些角度進行實驗?zāi)兀?/p>

生1：我覺得還得對20°、70°這些比30°更小或比60°更大的角度進行實驗，看看夾角為45°這個中間值時物體是不是真的滾得最遠。

生2：我覺得要對35°、40°、50°、55°這些角度進行實驗。45°在這些角度的中間，與它們離得更近，更有利于對比。

師：大家說得都很有道理！你們是想證明，角度從0°→45°時，滾動距離是一個逐漸增加的過程；45°→90°時，滾動距離是一個逐漸減少的過程。是這樣的意思嗎？

生：是的。

師：老師覺得，我們最應(yīng)該證明的是44°和46°時滾動的距離都比45°時小，其余角度的驗證則更多是“錦上添花”。你們認為呢？

生：是的，我們哪怕證實了40°、50°時沒有45°時滾得遠，也沒法證明45°滾得最遠。萬一44°時滾得最遠呢？

要證明同等條件下45°時滾得最遠，44°和46°是必須實驗驗證的兩個角度，再配以其他一些角度的佐證，才能從極限思想的角度將其歸納為數(shù)學(xué)結(jié)論。事實證明，44°和46°這兩個角度是沒法從實驗的角度佐證45°是滾得最遠的。教師提供足夠豐富且具有代表性的樣本，能在不斷豐富學(xué)生學(xué)習(xí)體驗的同時，讓他們感受到獲得結(jié)論的過程的科學(xué)性。

2.實踐+演繹：內(nèi)聚型抽象推理

每一個數(shù)學(xué)結(jié)論的產(chǎn)生都離不開數(shù)學(xué)公理的演繹。正因如此，才有一代代數(shù)學(xué)家前赴后繼地去試圖揭開“哥德巴赫猜想”的神秘面紗，因為哥德巴赫的發(fā)現(xiàn)在被證明之前只能稱為“猜想”。教師必須明白這一點，這是實驗結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論的必經(jīng)之路。

在實驗過程中，教師不斷提醒學(xué)生要注意實驗的規(guī)范性和科學(xué)性，不要受猜測的影響，不要為了證明而證明。

師：同學(xué)們，你們的實驗有結(jié)果了嗎？

生：44°和46°太難做了！

師：什么意思？

生1：坡度為44°時滾出的距離有時比45°時滾得近，有時比45°時滾得遠，哪怕算它們的平均數(shù)，好像也蠻難下結(jié)論的。

生2：46°也是這樣。

師：孩子們，通過這一輪實驗，你們有什么想說的嗎？

生1：我想說，45°時物體滾得遠是與30°、60°等角度比較得來的結(jié)果，但不能說明45°時是滾得最遠的。

生2：我覺得，因為操作過程中會產(chǎn)生誤差，的確很難比較。但我還是認為45°時是滾得最遠的。

師：孩子們，科學(xué)家通過構(gòu)建模型的方法，對這個問題進行了研究……（學(xué)生對科學(xué)家的研究結(jié)果表示無法理解）

師：科學(xué)家的研究結(jié)果是在理想狀態(tài)下獲得的，與我們的實際操作有一定偏差。但科學(xué)家的研究結(jié)果也告訴我們，坡度為多少時物體滾得最遠受到各方面因素的影響，我們千萬不能草率、武斷地說“45°時是滾得最遠的”。在“怎樣滾得遠”的實驗研究過程中，大家思考能力、實踐能力的提高遠比獲得一個確定的結(jié)論更有意義。在實際生活中，設(shè)計斜坡不能只考慮“滾得遠”，還要考慮其他因素，如安全、美觀、材料的多少等。

學(xué)生運用不完全歸納法進行合情推理獲得結(jié)論的經(jīng)驗比較豐富，他們會根據(jù)需求去設(shè)計接下來的實驗。然而，這次實驗要驗證的猜測與以前都不同，以前的猜測往往都是單向變化，此次要驗證的是雙向變化的極值問題，極值在什么角度出現(xiàn)都是一個難以確認的問題，選擇具有代表性的角度開展實驗非常重要。只有讓學(xué)生真正認識到“45°時滾得最遠”這個猜測本身就存在問題，才能使“45°時滾得最遠”的結(jié)論不再成為他們的“信仰”，從而讓他們意識到本課學(xué)習(xí)的真正意義。

數(shù)學(xué)家高斯說過：“許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補行的手續(xù)?！边@句話既強調(diào)歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的有效手段，也說明證明的必要性。從《怎樣滾得遠》一課教學(xué)所產(chǎn)生的影響來看，片面追求結(jié)果的數(shù)學(xué)實驗往往會對數(shù)學(xué)結(jié)論形成過程中的科學(xué)性有所忽視?？傊?，在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師要重視理論分析，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度理解數(shù)學(xué)實驗，從而促進他們逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。