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        數(shù)學(xué)變式教學(xué)的策略探究

        2023-06-07 01:51:27楊凱明
        關(guān)鍵詞:策略

        楊凱明

        [摘 要]數(shù)學(xué)變式教學(xué)主要作用于學(xué)生概念形成、問題解決和構(gòu)建活動經(jīng)驗系統(tǒng)。教師要立足數(shù)學(xué)本質(zhì)開展變式教學(xué),可以通過改變問題的條件,提出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理與方法,抓住新舊知識、新舊問題之間的聯(lián)系和差異,在“變”和“不變”中將學(xué)生的探究引向深入;可以采取多元表征、動態(tài)呈現(xiàn)、“道”“術(shù)”合一、整體設(shè)計和審辯式教學(xué)等手段,豐富和發(fā)展變式教學(xué),從而構(gòu)建有生命力的數(shù)學(xué)課堂,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        [關(guān)鍵詞]變式教學(xué);策略;審辯

        [中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068(2023)09-0001-04

        所謂變式,指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師普遍使用的一種教學(xué)方法,意在讓學(xué)生在對知識和技能有初步的理解與掌握后,能進一步地學(xué)會運用課本的知識舉一反三。它既是一種教學(xué)思想,也是一種教學(xué)手段。數(shù)學(xué)課堂中,教師可從不同角度改變教學(xué)對象的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式,通過呈現(xiàn)與之相關(guān)的非本質(zhì)屬性,引導(dǎo)學(xué)生聚焦問題核心,聯(lián)結(jié)關(guān)鍵要素,探尋解決問題的策略,促進學(xué)生有意義的、深入的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

        一、多元表征,促進溝通

        在問題變式和學(xué)生表征的過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生尋找問題解決的策略和建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)課堂中,教師可利用多元表征,如圖表、言語、實物或符號等,引導(dǎo)學(xué)生分析問題的結(jié)構(gòu)。這樣可擴展學(xué)生的思維空間,促進策略互通,使學(xué)生形成問題解決的最優(yōu)策略,從而積累解決問題的經(jīng)驗,構(gòu)建穩(wěn)固的認知結(jié)構(gòu)。

        思維培養(yǎng)需要豐富的介質(zhì),過于單一的教學(xué)素材和活動會削弱學(xué)生對知識的動態(tài)體驗與深度探究。以北師大版數(shù)學(xué)教材五年級上冊“嘗試與猜測”中的“雞兔同籠”問題為例,教材僅強調(diào)以列表法作為解題方法,比較單一,而“雞兔同籠”問題有多種的解題方法,蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想,有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此,教師需要對教學(xué)內(nèi)容有全方位的把握,對問題進行有效變式,提高學(xué)生解決問題的能力。

        (一)一題多法,方法選擇多樣化

        解決“雞兔同籠”問題,可以關(guān)鍵條件作為突破口,借助表格記錄、整理分析情境時所得到的信息和規(guī)律,基于有序的前提進行枚舉,在表格中根據(jù)雞、兔腿的數(shù)量與總腿數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系實時調(diào)整。由于不同學(xué)生的認知水平存在著差異,所以教師在評價反饋時可借助畫圖法進行分析,在直觀感知的同時深化學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解,以突破難點,使學(xué)生掌握假設(shè)法這一解題思路。

        列表法和畫圖法作為學(xué)生探究分析“雞兔同籠”問題的基本方法,教師要引導(dǎo)學(xué)生將獲得的經(jīng)驗遷移至解決此類問題的其他方法,如算術(shù)法與方程法等。通過對不同方法的再認識、再思考,學(xué)生明晰了方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,獲得具有關(guān)聯(lián)性的活動經(jīng)驗,在多變的解題方法中凸顯不變的“假設(shè)”本質(zhì)。

        (二)一法多解,思考方式多元化

        通過列表法,學(xué)生解決問題的思考方式變得可視化、清晰化,有利于學(xué)生串聯(lián)反饋、并聯(lián)比較。如通過逐一列表、跳躍列表、取中列表等方法,調(diào)整表格中的具體數(shù)據(jù),從而明晰數(shù)量關(guān)系,觸及問題的核心。這樣在嘗試與猜測的過程中探尋直觀數(shù)據(jù)背后的規(guī)律,有助于學(xué)生厘清其中的邏輯關(guān)系,進而感悟隱藏在數(shù)據(jù)背后的數(shù)學(xué)思想方法,積累活動經(jīng)驗,培養(yǎng)推理意識和數(shù)據(jù)意識。

        (三)一解多用,情境適用多維化

        “雞兔同籠”問題是一類問題的總和,有“龜鶴”問題、“獵人與狗”問題、“車輪”問題和“硬幣”問題等(見表1)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個是以點帶面的過程,通過對問題的剖析,將已有的知識技能和數(shù)學(xué)思想方法進行正向遷移,使問題從陌生到熟悉,從而掌握一類問題的解決方法。

        運用多元表征,引導(dǎo)學(xué)生多路徑感知、多角度思考、多方位使用,能豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗,促進新舊知識間的相互作用;同時,圖表與文字相互連通,使學(xué)生在多元的表征和豐富的情境中體會數(shù)學(xué)思想方法,最終實現(xiàn)解決問題,提升學(xué)習(xí)能力。

        二、動態(tài)呈現(xiàn),揭示本質(zhì)

        數(shù)學(xué)課堂上,教師由靜態(tài)到動態(tài)、由直觀到抽象、由具體到一般,引導(dǎo)學(xué)生多角度地理解數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)原理與方法;同時,把背景的干擾因素排除,突出知識的本質(zhì)屬性,使學(xué)生建立新概念與已有概念之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

        例如,教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“認識平行四邊形和梯形”時,學(xué)生雖對平行四邊形和梯形已有認知,但對其本質(zhì)特征的理解還是有所缺失的。因此,課堂上探尋學(xué)生認知的“最近發(fā)展區(qū)”,緊抓圖形的本質(zhì)特征進行教學(xué)就顯得尤為重要。

        任務(wù):(出示4組探究材料,見圖1)同桌兩人合作,選擇兩組材料拼成平行四邊形或梯形,看誰拼得多?

        師:拼成的梯形,在材料選擇上有什么共同的特點?

        生:只要選一組平行線和一組相交線就可以拼成梯形了。

        師:一組平行線和一組相交線只能拼成一個梯形嗎?

        (學(xué)生動手操作,感受通過旋轉(zhuǎn)平行線或相交線可以得到無數(shù)個梯形,并在操作過程中直觀認識直角梯形和等腰梯形)

        師:要拼成平行四邊形和一般的四邊形,材料選擇上有要求(見圖3)。

        師:(總結(jié))只要有兩組平行線就一定能拼成一個平行四邊形,任意兩組平行線通過旋轉(zhuǎn)可以得到一個長方形或正方形,所以長方形和正方形是特殊的平行四邊形;若選擇兩組相交線,就只能拼成一般的四邊形。

        ……

        上述教學(xué),通過開展平移、旋轉(zhuǎn)4組材料的活動,引導(dǎo)學(xué)生進一步探究平行四邊形和梯形的特征,理解各類四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣能豐富學(xué)生的感知,激發(fā)學(xué)生的認知沖突,使學(xué)生在對比辨析中將圖形的概念精確內(nèi)化,深化理解正方形和長方形是特殊的平行四邊形等知識。

        三、“道”“術(shù)”合一,形成經(jīng)驗

        數(shù)學(xué)課堂上,教師要創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生獨立探究且能發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的教學(xué)情境,讓學(xué)習(xí)成為一個積極思考的過程,引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中自己去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造;同時幫助學(xué)生反思、歸納和總結(jié),探究各種問題變式之間的不同,培養(yǎng)學(xué)生概括總結(jié)和觀察分析的能力。另外,教師還要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測,鼓勵自主變式,培養(yǎng)學(xué)生的變式思維和創(chuàng)新能力。基于以上思考,對北師大版數(shù)學(xué)教材四年級下冊《小數(shù)的認識和加減法》一課的習(xí)題進行以下設(shè)計。

        1.給74+213添加小數(shù)點

        (1)使結(jié)果是二十幾;

        (2)使結(jié)果是七十幾;

        (3)使結(jié)果是九十幾。

        2.快問快答

        1+0.1? ? ? ? 1.1+0.1? ?1+0.11? ?1.11-0.11

        1.1+0.11? ?1-0.01? ? 1-0.1

        3.解決問題

        (1)編一道用“1-0.1”來解決的數(shù)學(xué)問題。

        (2)下面這些問題,哪些能用“1-0.1”來解決?

        ①小明有1元,比小方少0.1元,小方有多少元?

        ②小明有1元,比小方多0.1元,小方有多少元?

        ③甲是1,乙比甲少0.1,甲和乙一共是多少?

        ④兩根繩子共長1米,其中一根繩子長0.1米,另一根繩子有多長?? ? ? ? [?米][甲][1米][少0.1米][乙][ ][ ] [⑤]

        上述習(xí)題的設(shè)計,通過解題方法的變式和訓(xùn)練實施的變式,使學(xué)生在計算中將其與解決問題有機結(jié)合,進一步理解小數(shù)加減法的算理。

        (一)以舊變新,理法融合

        “數(shù)的運算”是一個大板塊的教學(xué)內(nèi)容,小數(shù)加減法是在數(shù)域拓展的基礎(chǔ)上與整數(shù)加減法進行算法的遷移和互通。值得注意的是,雖然整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的運算本質(zhì)都是相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減,但是整數(shù)加減法的豎式計算只需數(shù)的末尾對齊便能保證相同數(shù)位對齊,而這在小數(shù)加減法中并不適用,甚至導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生負遷移。另外,后續(xù)學(xué)習(xí)的小數(shù)乘法豎式又是小數(shù)末尾對齊,而不是相同數(shù)位對齊了。因此,小數(shù)加減法的教學(xué)至關(guān)重要,要使學(xué)生清晰地明白如何算、為什么要這樣算。

        教學(xué)中,教師讓學(xué)生為整數(shù)算式74+213添加小數(shù)點,引導(dǎo)學(xué)生在認知沖突中加深對算理的理解與運用。這樣的變式練習(xí),既是對運算技能的遷移和鞏固,也有利于培養(yǎng)學(xué)生估算的意識和能力。

        小數(shù)加減法的學(xué)習(xí)是掌握小數(shù)運算的第一步,計算訓(xùn)練當(dāng)然必不可少。教材中的練習(xí)2用基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)進行變式,排除非本質(zhì)特征的干擾,看似簡單,實則直擊關(guān)鍵(必須看清數(shù)字1在哪一數(shù)位上)。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生聚焦算理和算法,再次明確只有相同計數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。這樣就將枯燥的計算練習(xí)變?yōu)橛腥さ母傎惢顒?,既能激發(fā)學(xué)生的答題興趣,又可以有效突破教學(xué)難點。

        (二)以簡馭繁,算用結(jié)合

        教材中的練習(xí)3重視算用結(jié)合,以用促算。通過設(shè)計開放性的練習(xí),如“編一道用‘1-0.1來解決的數(shù)學(xué)問題”“下面這些問題,哪些能用‘1-0.1來解決?”等,有助于學(xué)生感受計算的價值,增進對計算的理解。同時,把小數(shù)加減法與問題解決相結(jié)合,在編題、辯題的過程中內(nèi)化關(guān)聯(lián),這樣使學(xué)生充分感受到小數(shù)加減法的意義和作用。

        四、整體設(shè)計,優(yōu)化結(jié)構(gòu)

        數(shù)學(xué)課堂中,教師進行變式教學(xué)要注重整合單元目標,以長目標為重心,使變式教學(xué)有整體的規(guī)劃和設(shè)計。同時,教師要引導(dǎo)學(xué)生建立前后知識間的內(nèi)在聯(lián)系,使原有的間斷、零散的知識成為一個有機的整體,幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識結(jié)構(gòu)。

        “分數(shù)混合運算”“百分數(shù)解決問題”和“比的應(yīng)用”這三個內(nèi)容編排在六年級上冊不同的單元中,知識呈散點分布,導(dǎo)致學(xué)生對這三個知識點的內(nèi)在聯(lián)系并不明晰,無法正確解答相應(yīng)的習(xí)題。另外,學(xué)生的個體差異客觀存在,教師設(shè)計變式練習(xí)時,要關(guān)注每一個學(xué)生已有的知識與技能情況。因此,在進行知識聯(lián)結(jié)時,教師還應(yīng)體現(xiàn)“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念。例如,教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材六年級上冊《百分數(shù)的應(yīng)用》后,可設(shè)計以下的變式練習(xí)。

        聯(lián)合國規(guī)定每年的5月31日為“世界無煙日”。在2022年“世界無煙日”的宣傳活動中,某實驗小學(xué)六年級4個班參加了以“共享無煙環(huán)境”為主題的創(chuàng)新實踐作品征集活動(每人提交的作品數(shù)最多2件)。東東得到以下信息:

        ①六(2)班提交了48件作品;

        ②六(1)班提交的作品件數(shù)比六(2)班多[14];

        ③六(3)班和六(1)班提交的作品件數(shù)的比是5∶6;

        ④六(4)班提交的作品件數(shù)比六(3)班少20%。

        1.根據(jù)信息①和②,算式48×[14]是求(? ? ? ? ? ? ? ? ),同時請將線段圖補充完整,正確表示出這個算式。

        2.想知道六(3)班提交了多少件作品,需要用到其中的信息是(? ? ? ?)(填寫序號)。同時請你算一算。

        3.請你提出一個需要兩步或兩步以上計算的數(shù)學(xué)問題,并解答。

        在嘗試解題的過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)百分數(shù)的問題解決和之前學(xué)過的分數(shù)、比的問題解決方法本質(zhì)相同,重點都在于正確分析數(shù)量關(guān)系,建立解題模型。像這樣將多個知識點融入同一模塊題組中呈現(xiàn),有利于學(xué)生對知識進行聯(lián)系溝通,厘清整體結(jié)構(gòu)中的邏輯關(guān)系,形成融會貫通的認知系統(tǒng)。

        五、審辯教學(xué),深度理解

        問題是質(zhì)疑的開始。課堂上,教師可制造認知沖突,促使學(xué)生積極思考與探究,形成冷靜、客觀的思維習(xí)慣,進而能根據(jù)信息之間的聯(lián)系,從不同的角度、不同的方面提出新的問題。同時,教師要設(shè)計思維發(fā)散的開放性練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、推理和反思等活動中深入思考,探究解決問題的方法,使學(xué)生在聽到他人見解的時候,不僅有自己的理性思考,還能不斷地追問思辨,做出自己的判斷,提高自身的審辯式思維能力。

        例如,人教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊《用百分數(shù)解決問題》中的例5“某種商品4月末的價格比3月末降了20%,5月末的價格比4月末又漲了20%。5月末的價格和3月末比是漲了還是降了?”,主要解決“先降價20%,再漲價20%,是否能回到原價?”的問題。教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生提出和思考以下問題:“襯衫先降價20元,再漲價(? ? ?)元才能回到原價?”“先降20%,再漲20%,能不能回到原價?”“為什么先降20%,再漲20%不能回到原價?”“百分數(shù)如果不是20%,而是10%或者60%,或者其他的百分數(shù),能回到原價嗎?”“降20%,漲(? ? ?)%才能回到原價?”“剛才是先降后漲,假如先漲后降,能不能回到原價?”“前面講到,降20%,漲25%才能回到原價。那么先漲20%,要再降(? ? ?)%才能回到原價?”……如此不斷地產(chǎn)生問題,借由問題的解決來推進教學(xué),讓學(xué)習(xí)在學(xué)生自己的提問和釋疑中深度發(fā)生。在質(zhì)疑提問、審辯反思的過程中,學(xué)生產(chǎn)生強烈的探究欲望,不斷深入探究,有效培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維。

        數(shù)學(xué)課堂中開展變式教學(xué),不僅能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能,還能深入理解數(shù)學(xué)知識的來源和本質(zhì),提升學(xué)生解決問題的能力。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生探尋問題變化的規(guī)律,聚焦不變的本質(zhì),建立解決問題的通用模型,在“變”與“不變”中互通,使課堂更有深度、探究更有意義、思維更有活力,從根本上提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

        [ 參 考 文 獻 ]

        [1] 鮑建生,黃榮金,易凌峰,顧泠沅.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1):11-12.

        [2] 鮑建生,黃榮金,易凌峰,顧泠沅.變式教學(xué)研究(續(xù))[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(2):6-10,23.

        [3] 鮑建生,黃榮金,易凌峰,顧泠沅.變式教學(xué)研究(再續(xù))[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(3):6-12.

        [4] 徐文彬,彭亮.“變式教學(xué)法”解析及其運用[J].教育研究與評論(小學(xué)教育教學(xué)),2016(6):5-13.

        (責(zé)編 杜 華)

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