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        基于MOLS 的最優(yōu)二元局部修復(fù)碼構(gòu)造*

        2023-06-04 06:24:12李靜輝楊佳蓉
        計算機與數(shù)字工程 2023年2期
        關(guān)鍵詞:局部性碼長碼率

        王 娥 李靜輝 楊佳蓉

        (長安大學(xué) 西安 710064)

        1 引言

        隨著信息時代的飛速發(fā)展,海量數(shù)據(jù)隨之產(chǎn)生[1]。大型分布式存儲系統(tǒng)往往采取冗余策略來保證數(shù)據(jù)可靠性[2]。最常見的冗余策略是復(fù)制,但是由于其高存儲開銷逐漸被糾刪碼取代[3]。糾刪碼在確保數(shù)據(jù)可靠性的同時減小了存儲開銷,但是其修復(fù)帶寬開銷過大。再生碼平衡了存儲開銷和修復(fù)帶寬開銷之間的關(guān)系,但是再生碼具有較高修復(fù)局部性和計算復(fù)雜度[4]。為了解決這一問題,Gopalan 等提出了局部修復(fù)碼(Locally Repairable Codes,LRCs)的概念[5]。局部修復(fù)碼減小了故障節(jié)點修復(fù)時的磁盤I/O 開銷。對于一個[n,k,d]線性碼來說,具有局部性r 的碼字符號表示其最多可以從r個其他碼字符號中恢復(fù)。碼字符號具有局部性r 的[n,k,d] 線性碼又被稱為(n,k,r) 局部修復(fù)碼[6]。除了局部性r,可用性t也是局部修復(fù)碼的一個重要屬性[7]。這一屬性與熱數(shù)據(jù)密切相關(guān)。具有(r,t)-局部性的局部修復(fù)碼確保了熱數(shù)據(jù)在多個修復(fù)組中的局部修復(fù)和并行讀?。?]。

        目前有許多學(xué)者對(n,k,r)局部修復(fù)碼展開研究。Tamo 等[9]基于Reed-Solomon 編碼塊構(gòu)造了一種最小距離最優(yōu)的局部修復(fù)碼,但是該碼不能在較小的有限域上實現(xiàn),其編碼和修復(fù)復(fù)雜度較高。Wang 等[10]基于球面填充方法推導(dǎo)出(n,k,r)二元局部修復(fù)碼的維度k的上界,并將邊界和碼的構(gòu)造擴展到了q元域上,但是構(gòu)造的碼既沒有實現(xiàn)最小距離最優(yōu)也沒有實現(xiàn)碼率最優(yōu)。Chen 等[11]利用常環(huán)MDS 碼構(gòu)造了七類具有新參數(shù)的最優(yōu)(r,δ)-局部修復(fù)碼,但是該碼的參數(shù)選擇不夠靈活。Cai等[12]提出了一種新的最小距離界,并且給出了滿足該界的局部修復(fù)碼的顯示結(jié)構(gòu),但是構(gòu)造的碼的碼率較低。Balaji 等[13]推導(dǎo)出(n,k,r)局部修復(fù)碼的碼率上界,并且基于校驗矩陣構(gòu)造了達到該上界的局部修復(fù)碼,但是構(gòu)造的碼不是最優(yōu)的局部修復(fù)碼。

        為了解決上述問題,本文基于相互正交的拉丁方(Mutually Orthogonal Latin Squares,MOLS)提出一種信息符號具有(r,t)-局部性的二元局部修復(fù)碼(Binary Locally Repairable Codes,BLRCs)。其編碼和修復(fù)過程均在二元域上進行,有效降低了運算復(fù)雜度。除此之外,本文構(gòu)造的BLRCs是最小距離最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼。當(dāng)可用性t=2 時,該BLRCs實現(xiàn)了碼率最優(yōu)。

        2 基礎(chǔ)知識

        2.1 局部修復(fù)碼

        定義1[14]若φ1(i)局部修復(fù)碼的一個碼字符號可以被大小至多為r 的t 個不相交的修復(fù)集修復(fù),則稱該碼字符號具有(r,t)-局部性。具有(r,t)-局部性的局部修復(fù)碼需要滿足:

        1)φ1(i),φ2(i),…,φt(i)?[n]{i};

        2)|φj(i)|≤r,j∈[t];

        3)φj(i)∩φl(i)=?,j≠l∈[t]。

        其中φj(i)(j∈[t])為ci的修復(fù)集。

        定義2[15]當(dāng)(n,k,r,t)i局部修復(fù)碼的所有信息符號都具有(n,k,r,t)i-局部性時,該局部修復(fù)碼被稱為(n,k,r,t)i-LRCs。若(n,k,r,t)i-LRCs 的每個信息符號的修復(fù)集都只包含一個校驗符號,則該局部修復(fù)碼被稱為單校驗(n,k,r,t)i-LRCs。

        定理1[14]單校驗(n,k,r,t)i-LRCs的最小距離滿足:

        定理2[16]Prakash 等人推導(dǎo)出可用性為2 的局部修復(fù)碼的碼率滿足:

        2.2 區(qū)組設(shè)計

        定義3[17]設(shè)X={x1,x2,…,xv} 為一v元集,B1,B2,…,Bb是X的b個不同的k元子集。若滿足條件:

        1)對?x∈X,x恰好出現(xiàn)在B1,B2,…,Bb的r個中;

        2)X的每個2 元子集都恰好包含在子集組B1,B2,…,Bb的λ個中;

        3)0 <λ,k<v-1。

        則稱B1,B2,…,Bb為一(b,v,r,k,λ)-設(shè)計。

        定義4[17]設(shè)X,Bi(i=1,2,…,b)如定義3,則X關(guān)于Bi的關(guān)聯(lián)矩陣A=(aij)b×v(i=1,2,…b;j=1,2,…v)。其中:

        2.3 MOLS

        定義5[18]設(shè)A=(aij)是一個m×s矩陣,若A的任一行是集[1,n]的一個s-排列,任一列是集[1,n]的一個m-排列,則稱A是一個m×s的拉丁矩(m≤n,s≤n)。若m=s=n,則稱A為一個n階拉丁方(Latin Square)。

        定義6[18]設(shè)A=(aij),B=(bij)是兩個不同的n階拉丁方,如果n2個有序?qū)Χ际遣煌模瑒t稱拉丁方A與B正交。設(shè)A1,A2,…As是一組n階拉丁方,n≥s,s≥2,若只要i≠j,Ai與Aj就正交,則稱A1,A2,…As是相互正交的拉丁方(Mutually Orthogonal Latin Squares,MOLS)。

        定理3[18]設(shè)n=pα,其中p是素數(shù),α是正整數(shù),則一定存在由n-1 個n階拉丁方組成的完備正交組。

        定理4[18]令n≥2 為一整數(shù)。如果存在n-1 個n階MOLS,則存在(b=n2+n,v=n2,k=n,r=n+1,λ=1)-設(shè)計。

        3 基于MOLS的局部修復(fù)碼構(gòu)造

        本節(jié)基于MOLS 提出一種信息符號具有(r,t) -局部性的(n,k,r,t)i-BLRCs 的構(gòu)造算法。具體步驟如下:

        1)令q=pα(p∈P,α∈N*),給定A1,A2,…Aq-1表示q-1個q階MOLS。

        2)令矩陣:

        3)由以上定義的q+1 個矩陣Ao(o=-1,0,…q-1) 構(gòu)造(b=q2+q,v=q2,r'=q+1,k'=q,λ=1) -設(shè)計。具體的,給定q2元集X=xj(j=1,2,…,q2),由Ao確定q2+q個區(qū)組Ao(z)(z=1,2,…q) 。令A(yù)o中第m行第s列的元素為Ao(m,s) ,若Ao(m,s)=z,則x(m-1)q+s∈Ao(z)。

        4)將區(qū)組Ao(z) 標(biāo)記為區(qū)組Bi(i=1,2,…,q2+q)。

        5)將區(qū)組Bi(i=1,2,…,q2+q)與矩陣的行關(guān)聯(lián),集合xj(j=1,2,…,q2)與矩陣的列關(guān)聯(lián),得到X關(guān)于Bi的關(guān)聯(lián)矩陣A=(aij)(q2+q)×q2(i=1,2,…q2+q,j=1,2,…,q2),其中,

        6)在矩陣A前面級聯(lián)一個q2+q階單位矩陣I得到統(tǒng)一的生成矩陣G=(I|A)(q2+q)×(2q2+q)。則由生成矩陣G定義的二進制線性碼C是信息符號具有(q+1,q) -局部性的(n=2q2+q,k=q2+q,r=q+1,t=q)i-BLRCs。

        例:以下給出(n=10,k=6,r=3,t=2)i-BLRCs的構(gòu)造過程。

        令q=21=2,

        令:

        給定X={x1,x2,x3,x4},則區(qū)組:

        A-1(1)={x1,x2},A(-1)(2)={x3,x4},A0(1)={x1,x3},A0(2)={x2,x4},A1(1)={x1,x4},A1(2)={x2,x3}。

        則區(qū)組:

        B1={x1,x2},B2={x3,x4},B3={x1,x3},

        B4={x2,x4},B5={x1,x4},B6={x2,x3}。

        則X關(guān)于Bi的關(guān)聯(lián)矩陣:

        則由生成矩陣G=(I|A)12×21構(gòu)造的碼是單校驗(n=10,k=6,r=3,t=2)i-BLRCs,最小距離d=t+1=3,碼率R=k/n=0.6 。若信息節(jié)點c1故障,有c1=c3+c5+c7=c4+c6+c8。因此,c1的修復(fù)集為φ1(1)={3,5,7},φ2(1)={4,6,8}。同理,可以得到其他碼字符號的修復(fù)集。

        4 性能分析

        4.1 最小距離

        本節(jié)討論基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的最小距離,將它與最優(yōu)最小距離邊界進行比較。

        將基于MOLS 構(gòu)造的信息符號具有(r=q+1,t=q) -局部性的單校驗(n=2q2+q,k=q2+q,r=q+1,t=q)i-BLRCs 的參數(shù)n=2q2+q,k=q2+q,r=q+1,t=q代入式(1)可得:

        滿足式(1)上界,即基于MOLS 構(gòu)造的單校驗(n=2q2+q,k=q2+q,r=q+1,t=q)i-BLRCs 是最小距離最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼,且最小距離d=t+1。

        4.2 碼率

        本節(jié)討論基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼率,將它與最優(yōu)碼率邊界進行比較。

        基于MOLS 構(gòu)造的單校驗(n=2q2+q,k=q2+q,r=q+1,t=q)i-BLRCs的碼率

        當(dāng)t=2 時,基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼率R=r/(r+2)滿足式(2)上界。即當(dāng)可用性t=2 時,基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 是碼率最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼。

        4.3 與其他碼的比較

        下面比較基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 與基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs[19],直積碼[20]和基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs[21]的碼長n和碼率R。表1 列出了這四種BLRCs的相關(guān)參數(shù)。為方便比較,將這些碼的碼長n,信息位k,碼率R,均用局部性r和可用性t表示。

        表1 四種BLRCs相關(guān)參數(shù)對照

        碼長n的比較:

        由表1 可知,當(dāng)r≥t≥2 時,基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs的碼長:

        當(dāng)r≥2,t≥2 時,直積碼的碼長:

        當(dāng)r>3,t=2 時,基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs的碼長:

        即相同r,t下,當(dāng)r≥t≥2 時,基于陣列LDPC碼構(gòu)造的BLRCs 的碼長始終大于基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼長。當(dāng)r≥2,t≥2 時,直積碼的碼長始終大于基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼長。當(dāng)r>3,t=2 時,基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs 的碼長始終大于基于MOLS構(gòu)造的BLRCs的碼長。

        為了更直觀地表示表1中四種BLRCs的碼長n隨局部性r的變化趨勢,圖1 給出了可用性t=2時,碼長n隨局部性r的變化關(guān)系曲線,限于圖幅大小,局部性r取值為3 ≤r≤11。

        圖1 t=2 時,碼長n 的對比分析圖

        由圖1 可知,可用性t=2 時,四種BLRCs 的碼長均隨局部性r的增大而增大,且基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼長始終小于基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs,直積碼和基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs的碼長。證明基于MOLS構(gòu)造的BLRCs的碼長更優(yōu)。

        碼率R的比較:

        由表1 可知,當(dāng)r≥2,t≥2 時,基于陣列LDPC碼構(gòu)造的BLRCs的碼率:

        當(dāng)r≥2,t≥2 時,直積碼的碼率:

        當(dāng)r≥2,t=2 時,基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs的碼率:

        即相同r,t下,當(dāng)r≥2,t≥2 時,基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs和直積碼的碼率始終小于基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼率。當(dāng)r≥2,t=2 時,基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs 的碼率小于基于MOLS構(gòu)造的BLRCs的碼率。

        為了更直觀地表示表1 中四種BLRCs 的碼率R隨局部性r的變化趨勢,圖2 給出了可用性t=2時,碼率R隨局部性r的變化關(guān)系曲線,限于圖幅大小,局部性r取值為2 ≤r≤10。

        圖2 t=2 時,碼率R 的對比分析圖

        由圖2 可知,可用性t=2 時,四種BLRCs 的碼率均隨局部性r的增大而增大,且r越大,碼率R的變化趨勢越緩慢。另外,基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼率始終大于基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs,直積碼和基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs 的碼率,且達到了Prakash 等提出的最優(yōu)碼率界。證明t=2 時,基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 是碼率最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼。

        5 結(jié)語

        本文基于MOLS 提出一種信息符號具有(r,t)-局部性的二元局部修復(fù)碼的構(gòu)造算法。當(dāng)存儲節(jié)點故障時,構(gòu)造的BLRCs能通過t個大小至多為r的修復(fù)集進行修復(fù)。理論分析表明,該BLRCs 的最小距離滿足最優(yōu)最小距離界,是最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼。仿真發(fā)現(xiàn),基于MOLS 構(gòu)造的BLRCs 的碼率高于基于陣列LDPC 碼構(gòu)造的BLRCs,基于迭代矩陣構(gòu)造的BLRCs和直積碼的碼率,且可用性t=2 時,基于MOLS構(gòu)造的BLRCs的碼率達到了prakash 等提出的最優(yōu)碼率界,是碼率最優(yōu)的二元局部修復(fù)碼。除此之外,本文提出的BLRCs能通過簡單地異或運算實現(xiàn)數(shù)據(jù)的編碼,修復(fù)和并行讀取,因此對于大型分布式存儲系統(tǒng)是非常理想的。

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