范子寧，楊守志

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引 言

框架的概念最早由Duffin 和Schaeffer[1]在1952 年提出，他們將框架作為研究非調(diào)和傅里葉級(jí)數(shù)的工具.后來，Daubechies 等[2]在1986 年觀察到框架可以通過級(jí)數(shù)展開來表示L2（R）中的函數(shù).從那時(shí)起，人們便開始廣泛且深入地研究框架理論.目前，除了純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之外，框架理論被廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域中，例如信號(hào)處理[3]、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、采樣理論[4]、濾波器組[5]、信號(hào)檢測(cè)等.特別是在信號(hào)分析中，當(dāng)需要對(duì)給定的編碼框架進(jìn)行解碼時(shí)，對(duì)偶框架是必不可少的.但是在實(shí)際情況下，對(duì)偶的計(jì)算是不精確的，有時(shí)甚至不能給出它的解析表達(dá)式.為了解決這個(gè)問題，Christensen 和Laugesen 提出了逼近對(duì)偶框架的概念[6].逼近對(duì)偶框架比典范對(duì)偶框架容易構(gòu)造，且能擁有較好的性質(zhì).在應(yīng)用中，逼近對(duì)偶的精度越高，它的逼近效果越好.在文獻(xiàn)[6]中，Christensen 運(yùn)用Neumann 級(jí)數(shù)展開理論給出了提高逼近對(duì)偶框架逼近階的方法.本文基于Neumann級(jí)數(shù)展開理論，得到了提升逼近對(duì)偶框架逼近階的迭代算法，分別將逼近對(duì)偶框架的逼近階提升到O（q2p）階、O（q3p）階，甚至可以到達(dá)任意高逼近階.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[7]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，是H 中的一個(gè)Bessel 序列.如果存在正常數(shù)A 和B 使得

定義1.2[7]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，Bessel 序列是H 的一個(gè)框架，定義一個(gè)線性映射T

T 被稱為合成算子.它的伴隨算子T*

T*被稱為分析算子.定義算子S

則算子S 被稱為框架算子.

定義1.3[7]S 為式（4）定義的框架算子，則S 具有以下性質(zhì)：

（1）S 是自伴算子，即S*＝S；

（2）S 是線性有界且是正的，即AI≤S≤BI，I 是恒等算子；

（3）S 是可逆的，逆為S－1.

定義1.4[7]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，分別是H 中的兩個(gè)框架，若滿足

則稱框架F 為G 的一個(gè)對(duì)偶框架.

定義1.5[6]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，在H 中有兩個(gè)Bessel 序列和，它們的分析算子分別為T 和U.那么定義

則TU*（UT*）稱為混合算子.Bessel 序列是對(duì)偶框架當(dāng)且僅當(dāng)TU*＝I 或UT*＝I.

定義1.6[6]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，在H 中有兩個(gè)Bessel 序列和，它們的分析算子分別為T 和U.若滿足條件

或

下面定理告訴我們，逼近對(duì)偶框架和對(duì)偶框架具有以下關(guān)系：

定理1.7[6]假設(shè)H 是一個(gè)可分的Hilbert 空間，是H 中的一對(duì)逼近對(duì)偶框架，它們的分析算子分別為T 和U.那么算子UT*可逆；且構(gòu)成對(duì)偶框架.同樣的，也構(gòu)成對(duì)偶框架.

為了提高逼近階，Christensen 在文獻(xiàn)[6]中使用Neumann 級(jí)數(shù)展開理論，把（UT*）－1gk展成級(jí)數(shù)：

2 逼近對(duì)偶的O（q2p）階迭代算法

在具體應(yīng)用上，條件I－UT*＜1（或I－TU*＜1）太弱，當(dāng)范數(shù)值趨近于1 時(shí)，逼近速度非常緩慢.因此提高逼近對(duì)偶的逼近階在實(shí)際應(yīng)用中是非常有意義的.在文獻(xiàn)[8]中，Kloos 提出了求框架算子S 的逆的一種迭代方法.這種迭代方法能很好地提升求逼近框架算子S－1的速度.本文將此想法應(yīng)用于逼近對(duì)偶框架理論中，構(gòu)造了一些擁有高逼近階的逼近對(duì)偶框架的迭代算法.

令θpn＝Jpgn，P 為的分析算子，q＝I－UT*，那么的逼近對(duì)偶，也是且有

證明 根據(jù)Jp的迭代式以及θpn＝Jpgn，可以得到

首先使用數(shù)學(xué)歸納法證明

假設(shè)上式對(duì)p＝k∈N 成立，當(dāng)p＝k＋1 時(shí)，有

接下來我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明

假設(shè)上式對(duì)p＝k∈N 成立，即

當(dāng)p＝k＋1 時(shí)也成立.根據(jù)算法，有

根據(jù)Neumann 級(jí)數(shù)展開理論，可以把（UT*）－1寫成下面的形式：

因此有

3 逼近對(duì)偶的O（q3p）階迭代算法

基于上面的迭代算法，我們還可以構(gòu)造逼近階更高的迭代算法.在這個(gè)迭代算法下，逼近對(duì)偶的逼近階可以達(dá)到O（q3p）.

令ζpn＝Rpgn，L 為的分析算子，q＝I－UT*.那么的逼近對(duì)偶，且有

證明 根據(jù)Rp的迭代式以及ζpn＝Rpgn，可以得到

首先使用數(shù)學(xué)歸納法證明

假設(shè)上式對(duì)p＝k∈N 成立，當(dāng)p＝k＋1 時(shí)也成立.根據(jù)（24）式，有

接下來我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明

假設(shè)上式對(duì)p＝k∈N 成立，即

當(dāng)p＝k＋1 時(shí)也成立.根據(jù)算法，有

根據(jù)Neumann 級(jí)數(shù)展開理論，可以把（UT*）－1寫成下面的形式：

因此有

注：通過類似的方法，可以把逼近階提高到O（q4p）階和O（q5p）階，甚至能提升到理想的任意階.當(dāng)p 趨于無窮時(shí)，其極限成為對(duì)偶框架.