馬 毅, 陳 淼, 陳 巖, 李 平

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 荊州 434023)

近年來, 許多作者研究了調(diào)和分析和概率論中與算子半群相關(guān)的振蕩算子(或變差不等式)[1-7]. Betancor等[8]研究了非局部擴散方程

獲得了該方程解的加權(quán)Lp(2)估計及混合型Lp-Lq估計, 也考慮了拋物Riesz變換. 最近, Li等[7]考慮了聯(lián)系拋物Hermite算子的Poisson半群的振蕩算子, 得到了該振蕩算子的Lp有界性.本文主要目的是研究聯(lián)系拋物Bessel算子的Poisson半群的振蕩算子, 利用拋物半群方法和拋物向量值Calderón-Zygmund理論證明了該振蕩算子的Lp(2)有界性.當p=∞時, 也考慮了該振蕩算子的增長性．

1 預(yù)備知識及主要結(jié)論

考慮拋物Bessel算子

(1)

其中,Bessel算子Δμ被看作是一維的Schr?dinger算子, 其位勢

Vμ(x)=-(1/4-μ2)x-2,x∈(0,∞).

Carbonaro等[8]研究了與拋物Schr?dinger算子?t-Δx+V相關(guān)的奇異積分.

設(shè)hα(x)=(αx)1/2Jμ(αx), 其中Jμ(z)為第一類μ階Bessel函數(shù).則

Δμhα(x)=α2hα(x),α>0,

即hα(x)是Δμ的特征函數(shù).聯(lián)系Bessel算子Δμ的熱半群{e-τΔμ}τ>0由核的積分給出[9], 事實上, 對于足夠好的函數(shù)φ,

(2)

其中,

Iμ表示第一類修正的μ階Bessel函數(shù).對于每一個μ>-1,

(3)

容易得到, 當λ>0時, 復(fù)積分

是絕對收斂的[10], 利用上述復(fù)積分, 定義

其中,

e-τ(?t+Δμ)=e-τ?t°e-τΔμ=e-τΔμ°e-τ?t.

因此, 對足夠好的函數(shù)φ, 聯(lián)系拋物Bessel算子L的熱半群為

e-τ(?t+Δμ)φ(x,t)=e-τΔμφ(x,t-τ)=

類似于經(jīng)典情況, 利用Bochner從屬原理, 聯(lián)系拋物Besssel算子的Poisson半群e-τ(?t+Δμ)為

(4)

(5)

序列{aj}j∈的一個典型例子是aj=qj(j∈), 其中常數(shù)q≥1.

本文的主要結(jié)果如下.

(x,t),(y,s)∈×.

注意到, 在此拋物距離下有

|B((x,t),r)|=|B((0,0),r)|～r3,

其中,B((x,t),r)={(y,s)∈2:|x-y|+

本文中,C總是表示不依賴于維數(shù)和某個函數(shù)的正常數(shù), 并且在不同的地方C可能是不同的.本文也經(jīng)常使用估計式: 對每一個正常數(shù)C和非負常數(shù)c有

2 L2有界性

引理1[7]設(shè)ξ∈n,ρ∈.則存在一個常數(shù)C, 使得

設(shè)f(x,t)是定義在n×上的函數(shù), 其Fourier變換定義為

引理2設(shè)集合A為

證明因為

那么,

可得

證畢．

然而,

注意到, 當1≤aj+1/aj

因此, 利用Plancherel定理可得

證畢．

3 核的標準估計

(6)

因為

所以,

(7)

由定理3和(7)式知, 算子T從L2(2)到2)是有界的.下面將證明算子T可以表示為一個奇異積分算子且其向量值核滿足所需條件.事實上, 利用Fubini定理, 由(4)式可得

其中,

(8)

對向量值核gj, 有下面的估計．

定理4設(shè)gj(x,y,s)是(8)式中定義的函數(shù),則

在證明定理4之前, 給出以下引理．

引理3[7]對任意整數(shù)N≥1和常數(shù)C>0, 設(shè)

K(x,t)=t-(n+N)e-|x|2/(ct),x∈n,t∈.

那么

K(x,t)≤C(t1/2+|x|)-2(n+N).

定理4的證明1) 由(8)式可得

因為

所以,

回憶修正的Bessel函數(shù)Iμ(z)(μ>-1)的一些性質(zhì)[8]:

(9)

Iμ(z)=

z∈,

(10)

其中,[μ,0]=1, 且

k∈,k≥1,

z∈(-∞,0].

(11)

使用(9)～(11)式可得, 當μ>-1/2時,

x,y,τ∈(0,∞).

(12)

當-1<μ≤-1/2時,

(13)

因此, 聯(lián)立(12)和(13)式可得

2) 由(8)式可得

類似于1)的證明可得

由(1)式可得

因此, 得到

類似地計算可得

因此, 結(jié)合上面的計算可得

3) 類似于2)的證明, 得到3)的結(jié)論成立．證畢．

定理1的證明由定理3知道算子T從L2(2)到2)是有界的, 結(jié)合定理4并使用拋物向量值Calderón-Zygmund理論, 立即得到算子T從Lp(2)到2)是有界的(1

4 振蕩算子的增長性

定理2的證明由(8)式和H?lder不等式可得

由定理4 1)的證明可知,

進而, 可得

利用Fubini定理可得

由定理4 1)可得,

所以,

另一方面,

所以,

證畢.