宋傳明, 杜欽君, 李存賀, 羅永剛

(山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院,山東 淄博 255049)

仿人柔性關(guān)節(jié)因其獨(dú)特的關(guān)節(jié)柔性而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、航空航天和交互服務(wù)等領(lǐng)域[1-2],這對(duì)柔性關(guān)節(jié)的控制精度提出了更高要求.然而減速器和彈簧缸等彈性元件的引入降低了關(guān)節(jié)穩(wěn)定性,系統(tǒng)極易在外部負(fù)載突變的干擾下引發(fā)振動(dòng)問(wèn)題,嚴(yán)重影響關(guān)節(jié)控制效果[3-4].因此,在負(fù)載變化的情況下有效解決關(guān)節(jié)振動(dòng)問(wèn)題,是提高仿人柔性關(guān)節(jié)控制效果的關(guān)鍵.

由于柔性關(guān)節(jié)是在電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱電機(jī))的驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)指定動(dòng)作,所以電機(jī)的驅(qū)動(dòng)特性對(duì)關(guān)節(jié)的控制性能有重要影響.傳統(tǒng)的建模方法通常只關(guān)注關(guān)節(jié)的機(jī)械特性,如Spong[5]建立的柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型和Bridges等[6]提出的具有摩擦項(xiàng)以及非線性項(xiàng)的模型均只考慮關(guān)節(jié)的力學(xué)因素,而將電機(jī)控制力矩視為系統(tǒng)外部力矩引入模型,無(wú)法體現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的機(jī)電耦合過(guò)程.為解決這一問(wèn)題,Li等[7]提出一種涵蓋電機(jī)電氣動(dòng)力學(xué)的柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型,建立電機(jī)輸入電流、電壓與電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩之間的簡(jiǎn)化模型,但該模型無(wú)法描述電機(jī)電磁耦合場(chǎng)的數(shù)學(xué)關(guān)系.Maiti等[8]主要研究了剛性機(jī)器人關(guān)節(jié)系統(tǒng)的電氣量與機(jī)械量的能量守恒問(wèn)題,并構(gòu)建了用于機(jī)器人開發(fā)的仿真模型,該模型不考慮關(guān)節(jié)柔性,且將系統(tǒng)電氣部分和機(jī)械部分分開建模,難以設(shè)計(jì)有效的控制器結(jié)構(gòu).Ji等[9]提出了控制器耦合問(wèn)題,研究機(jī)電耦合對(duì)機(jī)器人控制精度的影響,但其分析方法僅針對(duì)雙履帶機(jī)器人,不具有普適性.文獻(xiàn)[7-9]提出了機(jī)器人機(jī)電耦合的概念并分析了耦合影響,但未形成具體的建模方法.在此基礎(chǔ)上,婁軍強(qiáng)[10]完善了耦合作用下關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸入電流到輸出轉(zhuǎn)速的傳遞模型.鞠錦勇[11]則進(jìn)一步提出一種針對(duì)具有臂桿柔性的直角操作臂的機(jī)電耦合建模方法,雖然其模型不適用于仿人柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng),但是基于Lagrange-Maxwell方程的建模方法具有一定的普適意義.

早期對(duì)柔性關(guān)節(jié)振動(dòng)抑制方法的研究多采用變剛度結(jié)構(gòu)(VSA)的被動(dòng)控制或附加傳感器的主動(dòng)控制[12-13],這使關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度增加、體積增大.目前則重點(diǎn)研究基于狀態(tài)反饋的末端位置控制、阻抗控制、力矩反饋控制等方法.Liu等[14]提出一種VSA力矩控制方法,通過(guò)調(diào)整輸出力矩實(shí)現(xiàn)不同負(fù)載狀況下的關(guān)節(jié)剛度變化;Yoo等[15]提出一種采用觀測(cè)器反饋連桿側(cè)運(yùn)動(dòng)信息的關(guān)節(jié)力矩控制方法,通過(guò)補(bǔ)償彈簧形變實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制.但這兩類方法僅針對(duì)Kelly等[16]提出基于重力矩補(bǔ)償?shù)谋壤?微分(PD)控制方法,解決了負(fù)載變化導(dǎo)致的手臂平衡位置偏差問(wèn)題;Gupta等[17]設(shè)計(jì)了輪式機(jī)器人的3級(jí)軌跡跟蹤控制器,并采用模型逆運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩的估算;Chen等[18]設(shè)計(jì)了一種用于踝關(guān)節(jié)的力矩補(bǔ)償比例-積分(PI)控制器,實(shí)現(xiàn)了不同傾角時(shí)的力矩穩(wěn)定輸出.雖然上述方法存在未考慮關(guān)節(jié)柔性、應(yīng)用對(duì)象具有局限性以及僅考慮穩(wěn)態(tài)誤差而忽略動(dòng)態(tài)性能等問(wèn)題,但采用力矩補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制的方法具有推廣意義.實(shí)現(xiàn)力矩補(bǔ)償控制的前提,是對(duì)外部擾動(dòng)力矩進(jìn)行精確估計(jì),并準(zhǔn)確跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)變化.Song等[19]提出一種采用負(fù)載力矩觀測(cè)器估計(jì)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的方法,判斷機(jī)械臂是否發(fā)生碰撞振動(dòng).Cui等[20]則提出采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的方法,估計(jì)水下機(jī)器人的不可測(cè)量線速度和擾動(dòng)力矩.Yabuki等[21]提出一種基于瞬時(shí)狀態(tài)觀測(cè)器的關(guān)節(jié)加速度控制方法,采用狀態(tài)反饋的積分-比例微分(I-PD)控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)力矩的穩(wěn)定控制.王漪夢(mèng)等[22]提出一種基于干擾觀測(cè)器的擾動(dòng)補(bǔ)償方法,并設(shè)計(jì)雙位置閉環(huán)控制器來(lái)提高機(jī)械臂跟蹤精度.Cheng等[23]提出一種利用非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)外部擾動(dòng)的方法,并采用積分反步法設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)跟蹤控制器,提高了系統(tǒng)魯棒性.這些研究成果為關(guān)節(jié)振動(dòng)抑制提供了有效的狀態(tài)跟蹤和擾動(dòng)估計(jì)方法.

針對(duì)關(guān)節(jié)復(fù)雜的機(jī)電耦合特性,建立了基于Lagrange-Maxwell方程的仿人柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)機(jī)電耦合模型,分析了關(guān)節(jié)柔性機(jī)理及負(fù)載變化時(shí)關(guān)節(jié)的振動(dòng)機(jī)理;提出一種基于觀測(cè)器的負(fù)載轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制方法,并給出了負(fù)載變化后的電機(jī)期望轉(zhuǎn)角增量控制方程.設(shè)計(jì)了估計(jì)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的狀態(tài)觀測(cè)器,實(shí)現(xiàn)對(duì)期望轉(zhuǎn)角計(jì)算過(guò)程中負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩的準(zhǔn)確測(cè)量;同時(shí)建立基于前饋補(bǔ)償和比例積分-積分比例(PI-IP)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)閉環(huán)控制結(jié)構(gòu),提高系統(tǒng)控制精度和抗干擾能力.

1 仿人柔性關(guān)節(jié)的物理結(jié)構(gòu)與耦合模型

仿人機(jī)械臂的執(zhí)行機(jī)構(gòu)由肩關(guān)節(jié)、大臂、肘關(guān)節(jié)、小臂和腕關(guān)節(jié)等構(gòu)成.以大臂為基座、小臂為執(zhí)行機(jī)構(gòu),對(duì)肘部關(guān)節(jié)開展單關(guān)節(jié)變負(fù)載振動(dòng)抑制的研究.圖1所示為仿人柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的肘關(guān)節(jié)物理模型,主要包括無(wú)刷直流電機(jī)(BLDCM)、諧波減速器、彈性元件以及與肘關(guān)節(jié)相連接的小臂連桿.假定小臂繞連桿一端的軸旋轉(zhuǎn),且運(yùn)動(dòng)平面與電機(jī)輸出軸方向垂直.圖中,θ1為柔性關(guān)節(jié)的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角;θ為手臂連桿的輸出轉(zhuǎn)角;n為減速器的減速比;k為關(guān)節(jié)剛度系數(shù);Δx為彈簧旋進(jìn)量;Jn為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ml為手臂端負(fù)載質(zhì)量;I為手臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;l、ρ和A分別為手臂連桿的長(zhǎng)度、材料密度和橫截面積.

圖1 仿人柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的肘關(guān)節(jié)物理模型Fig.1 Physical model of elbow joint of humanoid flexible joint robotic arm

表1 廣義坐標(biāo)定義Tab.1 Definition of generalized coordinates

Lagrange-Maxwell方程的廣義坐標(biāo)形式[11, 24]如下:

(1)

j=1, 2, 3, 4, 5

式中:L為L(zhǎng)agrange-Maxwell算子;H為系統(tǒng)耗散函數(shù).算子L的一般形式可以表示為

L=T+Wm-Ep

(2)

式中:T為系統(tǒng)動(dòng)能;Wm為驅(qū)動(dòng)電機(jī)磁場(chǎng)能;Ep為系統(tǒng)勢(shì)能.

驅(qū)動(dòng)與傳動(dòng)部分的動(dòng)能Tdt主要包括電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)能、減速器和輸出軸動(dòng)能;手臂端的動(dòng)能Tarm主要包括連桿動(dòng)能和負(fù)載動(dòng)能.系統(tǒng)的勢(shì)能Ep主要包括彈簧的彈性勢(shì)能和關(guān)節(jié)及負(fù)載的重力勢(shì)能,由于重力勢(shì)能只改變關(guān)節(jié)的最終平衡位置,對(duì)關(guān)節(jié)的振動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有主動(dòng)影響,所以重力勢(shì)能可忽略.系統(tǒng)的電磁能Wm主要包括BLDCM的定子電流產(chǎn)生的磁能Wm1以及轉(zhuǎn)子磁鏈與定子電流相互作用產(chǎn)生的磁能Wm2.式(2)中的各項(xiàng)可以表示為

Miaib+Miaic+Mibic+iaψr(θ1)+

(3)

其中:Jr為減速器及輸出軸慣量;La、Lb和Lc為電機(jī)三相繞組自感;M為三相繞組互感;ψr隨永磁體磁場(chǎng)在氣隙中的分布而變化.BLDCM的轉(zhuǎn)子氣隙磁場(chǎng)在定子表面呈梯形分布,當(dāng)轉(zhuǎn)子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),以a相為基準(zhǔn),假設(shè)轉(zhuǎn)子與a相夾角為β,則a相磁鏈可以表示為

其中:B(θ1)為轉(zhuǎn)子磁體在氣隙徑向的磁密分布;N為繞組匝數(shù);S為定子內(nèi)表面繞組面積.a相磁鏈ψr(β)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)即可得到a相繞組反電動(dòng)勢(shì)ea,同理可得b、c相繞組反電動(dòng)勢(shì)eb、ec.

系統(tǒng)耗散能函數(shù)H主要包括電機(jī)繞組發(fā)熱產(chǎn)生的耗散能He、轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)摩擦耗散能Hθ1和手臂連桿末端旋轉(zhuǎn)摩擦產(chǎn)生的耗散能Hθ:

H=He+Hθ1+Hθ=

(4)

式中:Ra、Rb和Rc為電樞繞組的等效電阻;Bv為電機(jī)電磁阻尼系數(shù);Df為關(guān)節(jié)機(jī)械阻尼系數(shù).

根據(jù)式(3),算子L可表示為

(5)

由式(5)求解式(1)各項(xiàng),取廣義坐標(biāo)為a相定子電量,即A1=qa,則有:

(6)

對(duì)電機(jī)而言,非保守廣義力分別對(duì)應(yīng)電機(jī)三相電壓ua、ub和uc,即F1對(duì)應(yīng)ua,F2對(duì)應(yīng)ub,F3對(duì)應(yīng)uc.所以將式(6)寫作式(1)的形式,即可表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)a相繞組電壓方程,取廣義坐標(biāo)為b和c相的定子電量時(shí),同理可得b和c相的電壓方程:

(7)

與式(6)的推導(dǎo)過(guò)程相同,當(dāng)廣義坐標(biāo)取電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角θ1時(shí),可以得到柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)與傳動(dòng)部分的轉(zhuǎn)矩方程:

(8)

當(dāng)廣義坐標(biāo)取手臂轉(zhuǎn)角θ時(shí),同理可得手臂部分的運(yùn)動(dòng)方程:

(9)

(10)

該模型包括輸入電流建立的磁場(chǎng)電氣方程以及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩帶動(dòng)手臂運(yùn)動(dòng)的機(jī)械方程,完整描述了關(guān)節(jié)系統(tǒng)機(jī)電耦合過(guò)程.模型式(10)中第4和第5個(gè)方程描述了柔性關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)特性.用τe等效替換模型中的驅(qū)動(dòng)電機(jī)電磁力項(xiàng),可以得到簡(jiǎn)化的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程:

(11)

根據(jù)模型式(11)可以得出:

(1) 彈性元件的引入使手臂轉(zhuǎn)角滯后于減速器輸出轉(zhuǎn)角,電機(jī)的輸出動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能,且這部分能量在為手臂連桿提供驅(qū)動(dòng)力矩的同時(shí),減緩了手臂對(duì)電機(jī)輸出的響應(yīng)速度,實(shí)現(xiàn)了近似柔性.

(2) 手臂的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同時(shí)受到負(fù)載重力矩和關(guān)節(jié)彈性力矩的影響,負(fù)載力矩的變化將使關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生加速力矩,同時(shí)受運(yùn)動(dòng)慣性影響,關(guān)節(jié)的加速運(yùn)動(dòng)又將進(jìn)一步改變關(guān)節(jié)彈性力矩,進(jìn)而引起系統(tǒng)振動(dòng).如果此時(shí)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩不能主動(dòng)調(diào)整關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),手臂將呈現(xiàn)出與彈性元件相似的二階振蕩狀態(tài).

綜上所述,在負(fù)載力矩變化打破系統(tǒng)力矩平衡狀態(tài)后,所引起的關(guān)節(jié)加速運(yùn)動(dòng)與關(guān)節(jié)彈性的相互作用是導(dǎo)致關(guān)節(jié)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象的主要原因.

2 基于狀態(tài)觀測(cè)器的負(fù)載轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制

關(guān)節(jié)彈性力矩對(duì)負(fù)載力矩變化的被動(dòng)適應(yīng)過(guò)程是造成關(guān)節(jié)振動(dòng)的核心原因.提出一種負(fù)載力矩補(bǔ)償控制方法,通過(guò)電動(dòng)機(jī)輸出與負(fù)載力矩變化量等值的轉(zhuǎn)矩增量,實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)彈性力矩的主動(dòng)調(diào)節(jié),使關(guān)節(jié)力矩能夠快速平衡變化后的負(fù)載力矩,縮短振動(dòng)過(guò)程.

2.1 控制方程設(shè)計(jì)

(12)

(13)

式中:Δτk為應(yīng)對(duì)負(fù)載變化而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩彈簧彈性力矩增量.式(13)表明,負(fù)載變化后在系統(tǒng)新的力矩平衡過(guò)程中,彈簧的彈性力矩變化量可直接抵消負(fù)載力矩的變化,從而避免由負(fù)載力矩變化導(dǎo)致的連桿加速力矩的動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程,實(shí)現(xiàn)避免手臂抖動(dòng)的目的.

由式(11)已知,彈簧彈性力矩同時(shí)受手臂末端負(fù)載和電機(jī)輸出端的影響,若令Δθ=0,則Δτk完全由電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角增量提供,表示為

(14)

式中:Δθ1為驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角的增量;Δθ1/n為電機(jī)經(jīng)減速器后的輸出轉(zhuǎn)角增量.

將式(14)帶入式(13),可得:

(15)

根據(jù)式(15),已知負(fù)載轉(zhuǎn)矩增量Δτml,即可得到能夠補(bǔ)償負(fù)載力矩增量的電機(jī)期望轉(zhuǎn)角增量Δθ1,并將其作為給定信號(hào)控制驅(qū)動(dòng)電機(jī).當(dāng)關(guān)節(jié)負(fù)載發(fā)生突變時(shí),電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)角增量Δθ1能夠使關(guān)節(jié)產(chǎn)生彈性力矩增量Δτk,而根據(jù)式(14)已知,Δτk與Δτml大小相等、方向相反,能夠快速?gòu)浹a(bǔ)負(fù)載突變后關(guān)節(jié)彈性力矩與負(fù)載力矩之間的差值.這表明,在不改變關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ的情況下,驅(qū)動(dòng)電機(jī)通過(guò)主動(dòng)輸出Δθ1,實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)力矩的調(diào)整,使關(guān)節(jié)力矩能夠快速平衡變化后的負(fù)載力矩.

該方法理論上可以在維持手臂連桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度和角加速度不變的情況下,使變負(fù)載系統(tǒng)達(dá)到新的平衡,并且在負(fù)載突變引起的手臂穩(wěn)態(tài)情況下,避免角加速度的突變和轉(zhuǎn)矩彈簧不可控的阻尼振蕩,進(jìn)而抑制負(fù)載突變時(shí)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的振動(dòng)問(wèn)題.

2.2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)方程式(15)可知,為了計(jì)算期望的電機(jī)轉(zhuǎn)角增量Δθ1,需要在負(fù)載突變后獲取準(zhǔn)確的電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩值和實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速值.設(shè)計(jì)合理的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器能夠有效避免因關(guān)節(jié)內(nèi)部空間小而導(dǎo)致的檢測(cè)困難、檢測(cè)精度低的問(wèn)題.

已知BLDCM運(yùn)動(dòng)方程為

(16)

式中:τL為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩;ω為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速.

取ω和τL為狀態(tài)變量,將式(16)寫作矩陣形式:

(17)

構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器為

(18)

(19)

根據(jù)式(17)和(19),觀測(cè)器方程式(18)可以改寫為

(20)

圖2 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of state observer

(21)

定義Lyapunov函數(shù)為

(22)

式中:P為對(duì)稱正定矩陣,則有

(23)

(A-ZC)TP+P(A-ZC)=-Q

(24)

(A-ZC)TP+P(A-ZC)=

(25)

其中:

所以有

P=

(26)

2.3 轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

圖3 PI-IP控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of PI-IP controller

根據(jù)圖3,輸出轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)為

(27)

將圖3做等效替換可以得到圖4.根據(jù)圖4,給定轉(zhuǎn)速信號(hào)在經(jīng)過(guò)低通濾波環(huán)節(jié)的優(yōu)化后輸入到閉環(huán)調(diào)節(jié)器,而負(fù)載轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)通過(guò)閉環(huán)調(diào)節(jié)器得到調(diào)節(jié).因此,PI-IP控制器可以同時(shí)提高信號(hào)的跟蹤能力和抗干擾能力.

圖4 PI-IP控制器的等效結(jié)構(gòu)Fig.4 Equivalent structure of PI-IP controller

綜上所述,混合因數(shù)α的引入使控制系統(tǒng)更靈活應(yīng)對(duì)仿人柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)復(fù)雜的控制要求,通過(guò)選擇合適的α值可以調(diào)節(jié)PI和IP控制器的占比,進(jìn)而獲得期望的動(dòng)態(tài)性能.而且,PI-IP控制器抗干擾能力強(qiáng)、跟蹤精度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單穩(wěn)定性好,不會(huì)給控制系統(tǒng)帶來(lái)額外的不利因素,適用于仿人柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng).

2.4 控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖5 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制框圖Fig.5 Control block diagram of joint drive system

圖5所示的控制器結(jié)構(gòu)由PI-IP轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)電機(jī)調(diào)速;由狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速及電機(jī)負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行估計(jì),并將轉(zhuǎn)矩估計(jì)值代入到方程式(15)中,計(jì)算負(fù)載變化后的期望轉(zhuǎn)角增量;計(jì)算得到的期望轉(zhuǎn)速先與觀測(cè)器得到的轉(zhuǎn)速估計(jì)值進(jìn)行比較,再將比較值經(jīng)過(guò)低通濾波器處理后與轉(zhuǎn)速實(shí)際值進(jìn)行比較,有助于提高轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)精度.同時(shí),將觀測(cè)得到的擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩估計(jì)值反饋到轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器中,有助于提高系統(tǒng)的抗干擾能力.此外,圖5中的式11(2)指式(11)中的第二個(gè)方程,其為手臂連桿的運(yùn)動(dòng)方程.

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提方法的有效性,根據(jù)圖5所示控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)搭建仿真模型,分別對(duì)觀測(cè)器的跟蹤效果、控制器的調(diào)節(jié)能力進(jìn)行仿真驗(yàn)證.關(guān)節(jié)硬件參數(shù)如表2所示.

表2 柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 System parameters of flexible joint drive system

3.1 擾動(dòng)觀測(cè)器仿真

擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩和電機(jī)轉(zhuǎn)速的跟蹤效果決定了期望轉(zhuǎn)角增量計(jì)算的準(zhǔn)確性.在圖5控制器結(jié)構(gòu)的模型基礎(chǔ)上去掉閉環(huán)反饋,以凸顯負(fù)載變化時(shí)觀測(cè)器對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速變化的跟蹤效果.將電機(jī)端負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化量看作擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩,定義與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)方向相反的負(fù)載力矩為正,與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)方向相同的負(fù)載力矩為負(fù),輸出觀測(cè)器估計(jì)轉(zhuǎn)矩值和估計(jì)轉(zhuǎn)速值.取觀測(cè)器增益矩陣為Z=[56.8-55.8]T,并設(shè)定仿真場(chǎng)景:驅(qū)動(dòng)電機(jī)從啟動(dòng)加速到額定轉(zhuǎn)速,在0.5 s時(shí),負(fù)載轉(zhuǎn)矩由0上升至1 N·m,1.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩下降至-1 N·m,2.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩上升至2 N·m,3.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩取幅值為0.2 N·m,周期為0.2π的正弦擾動(dòng)信號(hào).

圖6為擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值與轉(zhuǎn)矩觀測(cè)誤差值曲線.當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生階躍變化時(shí),觀測(cè)器估計(jì)轉(zhuǎn)矩值可在0.035 s內(nèi)完成對(duì)轉(zhuǎn)矩變化的跟蹤,觀測(cè)誤差在短暫的增大后迅速收斂到0;當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生周期性正弦波動(dòng)時(shí),觀測(cè)輸出與實(shí)際變化之間存在最大約0.01 s的延時(shí),最大觀測(cè)誤差出現(xiàn)在擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩突變的瞬間,約為-0.075 N·m,隨后觀測(cè)誤差迅速衰減并保持在 ±0.02 N·m左右.圖7為負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)相應(yīng)的電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)曲線與轉(zhuǎn)速觀測(cè)誤差曲線,縱坐標(biāo)換算為電機(jī)角速度.在開環(huán)控制下,當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí),電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速隨之發(fā)生變化.當(dāng)負(fù)載呈現(xiàn)階躍變化時(shí),觀測(cè)器對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的觀測(cè)誤差可在0.08 s內(nèi)收斂到0,實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)速實(shí)際值的跟蹤;當(dāng)負(fù)載呈現(xiàn)正弦趨勢(shì)變化時(shí),實(shí)際轉(zhuǎn)速值周期性波動(dòng),觀測(cè)器輸出轉(zhuǎn)速估計(jì)值與實(shí)際輸出轉(zhuǎn)速之間存在最大約0.04 s的延遲時(shí)間,且觀測(cè)誤差保持在 ±1 rad·s-1左右. 仿真結(jié)果表明, 觀測(cè)器具有快速跟蹤擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩值和電機(jī)轉(zhuǎn)速值的能力.

圖6 擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值及觀測(cè)誤差Fig.6 Observed value and observation error of disturbance torque

圖7 電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)值及觀測(cè)誤差Fig.7 Observed value and observation error of motor speed

3.2 轉(zhuǎn)矩增量補(bǔ)償控制方法仿真

PID控制器參數(shù)取比例系數(shù)為10,積分系數(shù)為0.1,微分系數(shù)為0.5;PD控制器參數(shù)取比例系數(shù)和開環(huán)增益均為10;PI-IP調(diào)節(jié)器參數(shù)取比例系數(shù)為10,積分系數(shù)為0.1,α=0.5;觀測(cè)器增益矩陣取Z=[56.8 -55.8]T.設(shè)定仿真場(chǎng)景:電機(jī)初始負(fù)載力矩為0.5 N·m,在4 s時(shí)增大至1.5 N·m,在8 s時(shí)減小至1 N·m.容許誤差為2%,觀察電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩以及關(guān)節(jié)軌跡的變化趨勢(shì).

電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩曲線如圖8所示.由圖8(a)可知,當(dāng)負(fù)載力矩發(fā)生變化時(shí),傳統(tǒng)PID控制下的電機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生了最大約100 r/min的波動(dòng),并在約2.3 s內(nèi)恢復(fù)對(duì)給定轉(zhuǎn)速的跟蹤;力反饋PD控制下的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速,在負(fù)載力矩發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生了最大約130 r/min的波動(dòng),并在約1.45 s內(nèi)恢復(fù)對(duì)給定轉(zhuǎn)速的跟蹤;轉(zhuǎn)矩觀測(cè)補(bǔ)償控制下的電機(jī)轉(zhuǎn)速,在負(fù)載力矩變化時(shí)產(chǎn)生了最大約65 r/min的轉(zhuǎn)速波動(dòng),并在約0.6 s內(nèi)恢復(fù)對(duì)給定轉(zhuǎn)速的跟蹤.相比之下,轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制下的電機(jī)輸出具有更短的轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時(shí)間和更小的轉(zhuǎn)速波動(dòng).由圖8(b)可知,3種控制方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)載力矩變化的跟蹤,PID控制和力反饋PD控制下的系統(tǒng)力矩調(diào)節(jié)時(shí)間分別約為1.7 s 和1.5 s,而轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制下的力矩調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.5 s,因此轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制具有更快跟蹤負(fù)載力矩的能力.同時(shí),在電機(jī)啟動(dòng)過(guò)程中,若忽略觀測(cè)器的延遲時(shí)間,觀測(cè)器觀測(cè)到的初始擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩等于負(fù)載力矩本身,啟動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的期望轉(zhuǎn)角值,進(jìn)而產(chǎn)生較大的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩超調(diào)量.

圖8 驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出曲線Fig.8 Output curve of drive motor

關(guān)節(jié)角速度曲線如圖9所示.對(duì)比圖8(a),由于彈性元件將部分電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能,所以關(guān)節(jié)的響應(yīng)速度略滯后于電機(jī)的響應(yīng)速度,驗(yàn)證了前文模型對(duì)關(guān)節(jié)柔性的描述.當(dāng)負(fù)載力矩發(fā)生變化時(shí),PID控制下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時(shí)間約為2.8 s,力反饋PD控制下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時(shí)間約為1.9 s,轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時(shí)間約為1 s.相比之下,本文提出的控制方法可以有效抑制因負(fù)載變化引起的關(guān)節(jié)振動(dòng),并且具有更短的調(diào)節(jié)時(shí)間.

圖9 關(guān)節(jié)角速度曲線Fig.9 Curve of joint angular velocity

3.3 轉(zhuǎn)矩增量補(bǔ)償方法實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證所提負(fù)載轉(zhuǎn)矩增量補(bǔ)償控制方法在實(shí)際柔性關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制中的有效性,在含有一體化柔性關(guān)節(jié)的測(cè)試平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn).一體化柔性關(guān)節(jié)的硬件結(jié)構(gòu)如圖10(a)所示,實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)如圖10(b)所示.

圖10 實(shí)驗(yàn)設(shè)備現(xiàn)場(chǎng)Fig.10 Site of experimental equipment

在圖10(a)中,關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)采用額定電壓為48 V、額定輸出轉(zhuǎn)矩為0.3 N·m、額定轉(zhuǎn)速為 1 000 r/min、額定功率為100 W的永磁無(wú)刷直流電機(jī);減速器采用減速比為100∶1的諧波減速器;磁編碼器采集關(guān)節(jié)及電機(jī)轉(zhuǎn)子的位置信號(hào);運(yùn)動(dòng)控制板根據(jù)反饋信號(hào)計(jì)算電機(jī)期望轉(zhuǎn)角和估計(jì)負(fù)載擾動(dòng)力矩值,并輸出電機(jī)驅(qū)動(dòng)信號(hào).

在圖10(b)中,實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)左側(cè)為安裝了固定外殼和固定支架的一體化柔性關(guān)節(jié),右側(cè)采用松下 1 000 W 低慣量伺服電機(jī)MSMF作為負(fù)載電機(jī),并采用配套的A6SE系列的MFDLNB3SE伺服驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行驅(qū)動(dòng)控制.實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)調(diào)節(jié)負(fù)載側(cè)伺服電機(jī)模擬柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的負(fù)載力矩突變.柔性關(guān)節(jié)與負(fù)載電機(jī)之間安裝有0～100 N·m的應(yīng)變片式力矩傳感器,其輸出的關(guān)節(jié)力矩信號(hào)通過(guò)PCI1780數(shù)據(jù)采集卡傳輸至計(jì)算機(jī)端,觀測(cè)關(guān)節(jié)輸出轉(zhuǎn)矩跟隨負(fù)載力矩變化的調(diào)節(jié)過(guò)程.圖11所示為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)示意圖.

圖11 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.11 Schematic diagram of experimental platform

測(cè)試時(shí)關(guān)節(jié)電機(jī)經(jīng)啟動(dòng)達(dá)到額定轉(zhuǎn)速,負(fù)載電機(jī)初始輸出力矩為10 N·m,在10 s時(shí)將負(fù)載電機(jī)輸出力矩調(diào)整為30 N·m,在20 s時(shí)將負(fù)載電機(jī)輸出力矩調(diào)整為20 N·m.

圖12為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速、關(guān)節(jié)輸出端角速度和關(guān)節(jié)輸出力矩曲線.圖12(a)和12(b)表明,在額定情況下,驅(qū)動(dòng)電機(jī)和關(guān)節(jié)輸出角速度可以有效跟蹤給定信號(hào);隨著在10 s和20 s處的負(fù)載力矩發(fā)生變化,關(guān)節(jié)角速度和電機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生波動(dòng),但可以看出負(fù)載變化并沒(méi)有引起系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間振動(dòng),電機(jī)轉(zhuǎn)速在0.8 s內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定,而關(guān)節(jié)角速度的波動(dòng)在1.4 s內(nèi)得到有效抑制.圖12(c)表明,在轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制的作用下,關(guān)節(jié)輸出轉(zhuǎn)矩可以在1 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)載力矩的有效跟蹤,且調(diào)節(jié)過(guò)程中振動(dòng)幅度小、跟蹤精度高.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明所提出的轉(zhuǎn)矩觀測(cè)補(bǔ)償控制方法能夠有效應(yīng)對(duì)負(fù)載突變引起的關(guān)節(jié)振動(dòng)問(wèn)題,且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果具有一致性.

圖12 負(fù)載力矩變化時(shí)的轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.12 Experimental results of torque compensation control method at variation in load torque

4 結(jié)論

研究仿人柔性關(guān)節(jié)變負(fù)載情況下的振動(dòng)問(wèn)題,主要結(jié)論如下:

(1) 基于Lagrange-Maxwell方程構(gòu)建了仿人柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的機(jī)電耦合模型.該模型通過(guò)定義驅(qū)動(dòng)電機(jī)電磁項(xiàng)為系統(tǒng)廣義坐標(biāo),解決了傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模只能將電機(jī)電磁力矩作為外力矩引入模型的問(wèn)題.基于模型分析了關(guān)節(jié)柔性機(jī)理與負(fù)載變化后的關(guān)節(jié)振動(dòng)機(jī)理.分析認(rèn)為,負(fù)載力矩的突變會(huì)導(dǎo)致關(guān)節(jié)產(chǎn)生加速力矩并進(jìn)一步改變關(guān)節(jié)彈性力矩,而彈性力矩對(duì)負(fù)載力矩的被動(dòng)適應(yīng)過(guò)程是引發(fā)關(guān)節(jié)振動(dòng)的核心原因.

(2) 針對(duì)負(fù)載變化導(dǎo)致關(guān)節(jié)振動(dòng)的問(wèn)題,提出一種基于觀測(cè)器的轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償控制方法.該方法以負(fù)載變化后手臂零加速度、零轉(zhuǎn)角增量為期望控制目標(biāo),構(gòu)建驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)角增量控制方程,并通過(guò)控制驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角增量來(lái)主動(dòng)調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)彈性力矩,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)振蕩過(guò)程的主動(dòng)抑制.為了準(zhǔn)確計(jì)算負(fù)載轉(zhuǎn)矩增量所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)角增量,設(shè)計(jì)了用于估計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩增量和電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速的狀態(tài)觀測(cè)器,并利用Lyapunov穩(wěn)定性原理給出了觀測(cè)器增益矩陣的整定方法;設(shè)計(jì)了基于PI-IP調(diào)節(jié)器的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)閉環(huán)控制結(jié)構(gòu),并將擾動(dòng)力矩的觀測(cè)結(jié)果前饋輸入到驅(qū)動(dòng)電機(jī)的參考轉(zhuǎn)矩中,以提高系統(tǒng)控制精度和抗干擾能力.

(3) 仿真結(jié)果表明,本文設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器能夠快速有效跟蹤負(fù)載力矩變化引起的系統(tǒng)狀態(tài)變化,與定值PID控制和關(guān)節(jié)力反饋PD控制相比,轉(zhuǎn)矩觀測(cè)補(bǔ)償控制下的電機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時(shí)間分別降低了1.7、0.85 s,關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的調(diào)節(jié)時(shí)間分別降低了約1.8、0.9 s,關(guān)節(jié)振動(dòng)在1 s內(nèi)得到有效抑制,提高了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)能力.最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在實(shí)際柔性關(guān)節(jié)中的控制效果,結(jié)果表明轉(zhuǎn)矩觀測(cè)補(bǔ)償控制方法能夠有效應(yīng)對(duì)負(fù)載變化時(shí)引起的關(guān)節(jié)振動(dòng)問(wèn)題.