楊小艷 洪 旭 周建斌 廖光輝 曹 彧 嚴大順

（成都理工大學 核技術與自動化工程學院 成都 610059）

在實際核輻射測量中，探測器輸出信號經過前置放大電路和整形電路后，信號具有較快的上升沿和緩慢的下降沿，即具有雙指數形式［1-2］。數字脈沖成形算法是核輻射測量系統(tǒng)數字化的關鍵。目前，常用的數字脈沖成形算法包括梯形脈沖成形算法和高斯脈沖成形算法。梯形脈沖成形算法在高計數率和能量分辨率上有良好的綜合能力［3-4］。根據最佳濾波器理論，當成形脈沖的峰頂部分比較平坦時，可以減少探測器電荷收集時間變化對能量分辨率產生的影響；當成形脈沖的寬度盡量窄時，可以減少核脈沖信號堆積［5］。高斯波形類似無限寬尖頂脈沖，脈沖頂部比較平坦，具有信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）高、彈道虧損小的優(yōu)點，因此，常將探測器輸出信號成形為高斯波形［6-7］。

許多學者以模擬Sallen-Key濾波器為基礎，開展數字高斯脈沖成形算法研究。周建斌等［8-9］采用數值微分方法建立Sallen-Key濾波器的數學模型，實現核脈沖信號數字類高斯成形；在此基礎上，洪旭等［10-11］引入了截止頻率和品質因子兩個參數，提出了雙參數類高斯脈沖成形算法，采用模擬核脈沖信號，證明在相同達峰時間條件下類高斯脈沖成形算法較梯形脈沖成形算法具有更好噪聲抑制能力，但成形脈沖寬度較梯形脈沖大。葛青等［12］利用z變換方法建立了數字Sallen-Key濾波器的沖激響應，再通過卷積運算將雙指數信號成形為類高斯信號，進而提出基于雙線性變換法的高斯脈沖成形算法。此外，張懷強等［13-14］以Si-PIN探測器和碘化鈉探測器實測核脈沖信號研究了類高斯脈沖成形算法的最優(yōu)成形參數和頻率特性，證明在相同達峰時間條件下類高斯脈沖成形算法較梯形脈沖成形算法和三角脈沖成形算法具有更好的能量分辨率。

在模擬核電子學中，CR-（RC）n濾波器也能夠將核脈沖信號成形為類高斯波形。Nakhostin采用z變換方法，建立了CR-（RC）n濾波器的遞推模型，證明在相同達峰時間條件下CR-（RC）n濾波器對并行噪聲的抑制能力較梯形脈沖成形算法強［15］。劉寅宇等［16-17］在CR電路和RC電路的數學模型基礎上，提出了數字 CR-（RC）n濾波器，并以 PZC（Pole-zero Cancellation）濾波器代替CR濾波器，建立了數字CRPZC-RCn濾波器，解決了類高斯脈沖成形后輸出信號存在的下沖問題。同時，洪旭等［18］提出在CR-（RC）n濾波器級聯（n+1）級PZC濾波器的方法，解決了類高斯脈沖成形后輸出信號存在的拖尾問題。

基于Sallen-Key濾波器和CR-（RC）n濾波器可實現核脈沖信號類高斯脈沖成形，當CR-（RC）n濾波器中RC濾波器的級數和Sallen-Key濾波器的級數增加時，成形脈沖趨于高斯波形。陳世國等［19-20］采用小波變換方法，以高斯函數的一階導數作為小波函數，通過尺度參數推導出小波基函數和尺度基函數，分別與輸入信號進行卷積，再對卷積結果進行線性組合，最終實現指數衰減信號高斯脈沖成形。同理，覃章健等［21］以墨西哥草帽小波信號的一階導數作為小波函數，將指數衰減信號成形為類似于雙極性的高斯信號。此外，Kantor等［22-23］提出一種基于傅里葉變換的高斯脈沖成形濾波器，利用成形脈沖寬度有效分辨高計數率下的嚴重脈沖堆積事件，并對成形脈沖的噪聲抑制能力、死時間以及振幅有無偏置進行了分析。

本文將核輻射探測器輸出的核脈沖信號等效為雙指數信號，以小波變換為基礎，利用卷積運算的微分特性，提出了雙指數信號高斯脈沖成形算法。

1 高斯脈沖成形原理

高斯函數具有時頻局部性和帶通性，其各階導數都是理想的小波函數［19］。高斯函數的表達式可寫為：

其中：A為高斯函數的幅值；tpeak為高斯函數最大幅值對應時刻；σ與高斯函數的半高寬（Full Width at Half Maximum，FWHM）有關，即FWHM=2.35σ。

設ψ(t)=g＇(t)，φ(t)=g″(t)，即：

φ（t）的傅里葉變換為：

因為：

所以，Ф（ω）滿足小波函數的可容許性條件，則φ（t）可以作為小波母函數。φ（t）的小波基函數為：

式中：s為小波變換的尺度因子。

同理，g（t）的小波基函數可寫為：

通過式（6）的一階導數和二階導數可寫為：

由式（5）和式（7）可以得到式（8）：

設前置放大電路輸出的信號為理想的雙指數信號，如式（9）所示。

式中：B為雙指數信號的幅值；τ1為雙指數信號的下降時間；τ2為雙指數信號的上升時間。

通過式（9）可以求得f（t）的一階導數和二階導數，結果如式（10）所示。

由式（9）和式（10）可得到式（11）：f

（t）的小波變換為：

其中：δ（t）為單位沖激函數。

由式（12）可以得：

由式（13）可以看出，雙指數信號及其一階導數和二階導數與高斯函數卷積的線性組合即可得到高斯輸出。

根據式（9）模擬雙指數信號作為輸入，并疊加白噪聲，使得SNR=50 dB，60 dB，70 dB。其中，B=1，τ1=60Ts，τ2=10Ts，模 數 轉 換 器（Analog-to-Digital Converter，ADC）采樣周期Ts=50 ns。根據式（6）模擬高斯信號，其中A=1，tpeak=200Ts，σ=20Ts，s=1；利用式（13）將雙指數信號進行高斯脈沖成形處理，結果如圖1所示。

圖1 存在假信號的高斯脈沖成形Fig.1 Gaussian pulse shaping in the presence of false signal

由圖1可以看出，對帶噪聲的雙指數信號進行高斯脈沖成形處理后，輸出高斯信號的幅度等于輸入信號真實幅度；當SNR=70 dB時成形脈沖中無假信號，當SNR=60 dB時成形脈沖中存在一個假信號，隨著信噪比減小，假信號越明顯。

式（13）的實質是通過輸入信號的一階導數、二階導數以及輸入信號本身的線性組合將輸入信號成形為沖激信號，然后利用沖激信號與高斯信號卷積實現輸入信號高斯脈沖成形。但是輸入信號中通常具有一定的噪聲，將其成形為沖激信號后，信號的信噪比降低，再與高斯信號進行卷積時就會產生假信號。因此，為消除成形脈沖中的假信號，應避免對輸入信號進行求導處理。利用卷積運算的微分特性，式（13）可寫為式（14）。

采用圖1中SNR=50 dB的雙指數信號作為輸入，利用式（14）進行高斯脈沖成形處理，結果如圖2所示。由圖2可以看出，成形脈沖中無假信號。

圖2 消除假信號后的高斯脈沖成形Fig.2 Gaussian pulse shaping when false signal is eliminated

式（14）所示高斯脈沖成形算法的硬件實現流程如圖3所示。首先，在FPGA（Field Programmable Gate Array）中存入離散的高斯信號序列g1［n］以及它對應的一階導數、二階導數序列，即g2［n］，g3［n］；然后，將采集到的離散信號序列分別與g1［n］、g2［n］、g3［n］進行卷積，再進行幅度放大，放大參數分別為m1、m2、m3；最后進入加法器，得到高斯信號。

圖3 高斯脈沖成形算法實現框圖Fig.3 Block diagram of implementation of Gaussian pulse shaping algorithm

由式（6）、（7）和（14）可得，雙指數信號高斯脈沖成形系統(tǒng)的沖激響應h（t），如式（15）所示。

根據式（15）模擬雙指數信號高斯脈沖成形系統(tǒng)的沖激響應，結果如圖4所示。其中τ1=60Ts，τ2=10Ts，tpeak=200Ts，σ=10Ts，s=2，Ts=50 ns。

圖4 雙指數信號高斯脈沖成形系統(tǒng)的沖激響應Fig.4 Impulse response of Gaussian pulse shaping system for double exponential signal

式（14）中，當τ2=0時，可得到指數衰減信號fexp（t）的高斯脈沖成形的卷積形式，即：

式（16）中，當τ1→∞時，可得到階躍信號fstep（t）高斯脈沖成形的卷積形式，即：

2 成形參數研究

2.1 時域特性

利用式（9）模擬雙指數信號作為輸入，其中，B=1，τ1=60Ts，τ2=10Ts，Ts=50 ns，信 號 起 始 時 間 為100Ts；根據式（6）模擬高斯信號，其中，A=1，σ=30Ts，s=1，tpeak=200Ts，300Ts，400Ts；利用式（14）對雙指數信號進行高斯脈沖成形處理，結果如圖5所示。

圖5 不同tpeak的高斯脈沖成形Fig.5 Gaussian pulse shaping with different tpeak

由圖5可以看出，隨著tpeak增大，成形脈沖峰值延時；成形脈沖峰值對應時間等于輸入信號起始時間與tpeak之和。成形脈沖峰值對應時間與tpeak具有線性關系，其函數關系式如式（18）所示。

式中：Y為成形脈沖峰值對應時間；X為輸入信號起始時間。

采用圖5中相同雙指數信號，根據式（6）模擬高斯信號，其中A=1，s=1，tpeak=300Ts，Ts=50 ns，σ=20Ts，30Ts，40Ts；利用式（14）對雙指數信號進行高斯脈沖成形處理，結果如圖6所示。

圖6 不同σ的高斯脈沖成形Fig.6 Gaussian pulse shaping with different σ

由圖6可以看出，隨著σ增大，成形脈沖寬度增大，即達峰時間增大，而成形脈沖幅度不變。成形脈沖為高斯脈沖，其表達式與正態(tài)分布表達式相同。在誤差理論中，對于正態(tài)分布的樣本數據，根據拉依達準則認為測量值與平均值之差超過±3倍標準偏差時則應剔除。同理，對于高斯脈沖成形算法，可認為成形脈沖寬度為6σ，達峰時間為3σ。因此，圖6中成形脈沖的達峰時間分別為3 μs、4.5 μs、6 μs。

采用相同雙指數信號作為輸入，高斯信號中取A=1，tpeak=300Ts，σ=20Ts，Ts=50 ns，s=1，2，3；利用式（14）進行高斯脈沖成形，結果如圖7所示。

圖7 不同s的高斯脈沖成形Fig.7 Gaussian pulse shaping with different s

由圖7可以看出，隨著s增大，成形脈沖寬度增大，即達峰時間增大，同時成形脈沖幅度減小。s作為小波變換的尺度因子，當s=1時剛好得到幅度與輸入信號相同的輸出，所以實際成形時s取1，此時成形脈沖的達峰時間由成形參數σ決定。

2.2 頻率特性

根據式（9）模擬帶噪聲的雙指數信號，其中，B=1，τ1=60Ts，τ2=10Ts，SNR=50 dB，信號起始時間為100Ts，Ts=50 ns；高斯信 號 中A=1，tpeak=200Ts，s=1，σ=20Ts，30Ts，40Ts；利用式（14）進行高斯脈沖成形得到高斯信號，然后，再對所得高斯信號進行傅里葉變換。結果如圖8所示。

圖8 不同σ對頻率特性的影響Fig.8 Impact on frequency characteristics corresponding to different σ

由圖8可以看出，提出的雙指數信號高斯脈沖成形算法的頻率特性具有低通濾波器的特性；隨著σ增大，頻譜范圍越窄，濾波性能變好。

調整高斯脈沖成形算法中的成形參數，其中，A=1，tpeak=200Ts，σ=20Ts，s=1，2，3，采用與圖8相同的雙指數信號作為輸入，得到的輸出信號再進行傅里葉變換，結果如圖9所示。

圖9 不同s對頻率特性的影響Fig.9 Impact on frequency characteristics corresponding to different s

由圖9可以看出，隨著s增大，頻譜范圍變窄，濾波性能變好。由此可見，σ和s都影響濾波器特性，原因是兩者都與成形脈沖寬度有關。由于s還與成形脈沖幅度有關，為使成形脈沖幅度與輸入信號相同，s應取1，此時頻率特性僅與σ有關。

以帶噪聲的雙指數信號作為輸入，分別進行高斯脈沖成形和梯形脈沖成形處理，取相同達峰時間，對比研究兩種成形算法的濾波性能。雙指數信號梯形脈沖成形算法的時域表達式如式（19）所示［24］。

其中：n=t/Ts（n取整數）；νi［n］為輸入序列，表示離散的雙指數信號；νo［n］為輸出序列，表示成形后的梯形脈沖；na為梯形脈沖的達峰時間；nb為梯形脈沖的達峰時間與平頂寬度之和；nc為梯形脈沖的寬度；

設帶噪聲的雙指數信號起始時間為100Ts，SNR=35 dB；高斯脈沖成形算法的成形參數取A=1，B=1，τ1=60Ts，τ2=10Ts，tpeak=100Ts，σ=20Ts，s=1；梯形脈沖成形算法的成形參數取na=60Ts，nb=80Ts。其中，Ts=50 ns。兩種成形算法所得成形脈沖的達峰時間均為3 μs。不同成形算法所得成形脈沖在時域、頻域的結果如圖10所示。

圖10 不同成形算法所得成形脈沖在時域、頻域的結果Fig.10 Results of shaped pulses in time domain and frequency domain

由圖10可以看出，在時域結果中高斯脈沖的基線在0附近，而梯形脈沖含有部分噪聲；在頻域中，高斯脈沖的高頻部分較梯形脈沖更光滑，抖動更小。

3 實驗測試

為了研究高斯脈沖成形算法對實測核脈沖信號的處理效果，搭建了X射線熒光測量系統(tǒng)實驗平臺。選用科頤維的KYW2000A型號X光管，W靶，額定管壓、管流分別為50 kV和1 mA［25］。實驗時，設置X光管的管壓為15.7 kV，管流分別為7.8 μA、39.2 μA、98.0 μA和156.9 μA，模擬不同計數率環(huán)境；X光管出射X射線經組合濾片（0.5 mm Ag+0.5 mm Ag+0.2 mm Cu）后照射標準Mn樣品；采用AMPTEK公司的FAST-SDD探測器探測樣品產生的5.89 keV和6.49 keV特征X射線［26］；探測器輸出的核脈沖信號采用文獻［18］中的采集板收集，其中ADC采樣率為10 MSPS，即Ts=100 ns。

3.1 堆積脈沖分離

堆積脈沖分離直接影響信號幅度的有效提取和能譜形狀。在核脈沖信號的獲取中，需要對堆積脈沖進行識別。選取實測核脈沖信號的一部分進行高斯脈沖成形和梯形脈沖成形的對比，實測核脈沖信號中有3組不同時間間隔的堆積脈沖，如圖11所示。其中，第1組堆積脈沖時間間隔小，第2組堆積脈沖時間間隔大，第3組堆積脈沖時間間隔較大。

圖11 不同成形算法在相同達峰時間條件下的堆積脈沖分離Fig.11 Pile-up pulse separation performance of different pulse shaping algorithms

高斯脈沖成形算法的成形參數取τ1=26Ts，τ2=1Ts，tpeak=19Ts，σ=16/（3Ts），s=1；梯形脈沖成形算法的成形參數取na=16Ts、nb=16Ts。此時，成形脈沖的達峰時間為1.6 μs，成形結果如圖11所示。

由圖11可以看出，第1組堆積脈沖經高斯脈沖成形后，成形脈沖寬度更窄，且可判斷原始信號為堆積脈沖；但是相同達峰時間條件下，所得梯形脈沖寬度較寬，形成了一個脈沖，若不剔除則會造成能譜中特征峰展寬。第2組堆積脈沖經兩種成形算法處理后，均能得到原始信號的真實幅度。在第3組堆積脈沖處理中，兩種成形算法所得成形脈沖仍為堆積脈沖，但所得高斯脈沖寬度更窄，更容易被識別。

3.2 能譜分析

為對比研究高斯脈沖成形算法和梯形脈沖成形算法在能量分辨率、堆積脈沖分離方面的性能，對實測核脈沖信號分別進行高斯脈沖成形和梯形脈沖成形（此時梯形脈沖的平頂為0）處理，對比相同達峰時間條件下兩種成形算法所得能譜的能量分辨率和5.89 keV特征峰峰面積。

選取管流為7.8 μA時的實測核脈沖信號。高斯脈沖成形算法的成形 參 數 取τ1=26Ts，τ2=1Ts，tpeak=200Ts，σ=64/（3Ts），s=1；梯形脈沖成形算法的成形參數取na=64Ts，nb=64Ts。兩種成形算法對應能譜如圖12所示。其中，高斯脈沖成形算法所得能譜的能量分辨率FWHM=128 eV@5.89 keV，5.89 keV特征峰峰面積為40 451；梯形脈沖成形算法所得能譜的能量分辨率FWHM=127 eV@5.89 keV，5.89 keV特征峰峰面積為39 523。

圖12 不同脈沖成形算法在相同達峰時間條件下對應能譜圖Fig.12 Energy spectra obtained by different pulse shaping algorithms

不同脈沖成形算法在不同管流條件下所得能譜的能量分辨率與達峰時間的關系如圖13所示。

圖13 不同管流條件下能量分辨率與達峰時間的關系Fig.13 Relationship between energy resolution and peaking time under different tube current conditions

由圖13可以看出，隨著達峰時間增大，兩種成形算法的能量分辨率先提高后再損失；當高斯脈沖成形算法和梯形脈沖成形算法所取達峰時間在3.2~6.4 μs時，所得能譜的能量分辨率均最佳，且兩種成形方法對應能量分辨率之差小于5 eV。

統(tǒng)計相同達峰時間，不同管流條件下，兩種成形算法所得能譜中的5.89 keV特征峰峰面積與達峰時間的關系，結果如圖14所示。

由圖14可以看出，隨著達峰時間增大，兩種成形算法所得能譜中5.89 keV特征峰峰面積均下降。這是由于隨著達峰時間的增加，成形脈沖寬度增大，堆積脈沖增多。但是采用高斯脈沖成形算法所得能譜中的5.89 keV特征峰峰面積始終高于梯形脈沖成形算法。因此，在相同達峰時間條件下，高斯脈沖成形算法較梯形脈沖成形算法具有更好的堆積脈沖分離能力。

4 結語

以小波變換為基礎，利用卷積運算的微分特性，提出了雙指數信號高斯脈沖成形算法，解決了成形脈沖中存在假信號的問題。論文采用模擬核脈沖信號研究了高斯脈沖成形算法中成形參數對成形脈沖的時域、頻域特性的影響規(guī)律；同時，搭建了X射線熒光測量系統(tǒng)實驗平臺，利用實測核脈沖信號對比研究高斯脈沖成形算法和梯形脈沖成形算法在能量分辨率、堆積脈沖分離方面的性能。結果表明：1）高斯脈沖成形算法所得成形脈沖峰值對應時間等于輸入信號起始時間與tpeak之和；2）σ和s都與成形脈沖寬度有關，它們的值越大，成形脈沖寬度越寬，濾波效果越好；成形脈沖的幅度隨s增加而減小；當s取1，成形脈沖幅度與輸入信號幅度相同，此時濾波器的頻率特性僅與σ有關；3）達峰時間為3.2~6.4 μs時，高斯脈沖成形算法與梯形脈沖成形算法所得能譜的能量分辨率最佳，且兩者之差小于5 eV；4）在相同達峰時間條件下，高斯脈沖成形算法在堆積脈沖分離方面均優(yōu)于梯形脈沖成形算法。

作者貢獻說明楊小艷負責研究的提出和設計、算法的可行性實驗驗證、文章的起草和最終版本的修訂；洪旭負責實驗數據的收集和整理、項目的監(jiān)督和管理；周建斌負責測量系統(tǒng)實驗平臺的搭建；廖光輝負責測量系統(tǒng)的實驗測試；曹彧負責實驗數據的收集；嚴大順負責實驗數據的整理、項目的監(jiān)督。