韓世川,林翠平,陳婷婷,雷 霆,卜繼軍

(1.中國電子科技集團公司 第二十六研究所,重慶 400060;2.固態(tài)慣性技術(shù)重慶市工程實驗室,重慶 401332;3.重慶市固態(tài)慣性技術(shù)企業(yè)工程技術(shù)研究中心, 重慶 401332)

0 引言

半球諧振陀螺(HRG)是基于哥氏效應(yīng)的振動陀螺,通過檢測諧振子振型的變化來測量載體的角速率和角度。當(dāng)一個振動的軸對稱殼體繞其對稱中心軸旋轉(zhuǎn)時,環(huán)向振型相對殼體呈比例進動,這種現(xiàn)象稱為布萊恩(Bryan)效應(yīng)。

工作于全角模式的半球陀螺,激勵諧振子處于四波腹駐波振動狀態(tài),當(dāng)外界載體帶動陀螺基座旋轉(zhuǎn)時,受哥式力的作用,駐波角位置相對于基座將發(fā)生進動。通過檢測駐波進動角度實現(xiàn)載體轉(zhuǎn)動角度的測量,駐波進動角度與外界載體轉(zhuǎn)動角度之比稱為進動因子α,α僅與諧振子物理形狀相關(guān)。實際工作中,半球諧振陀螺由于電極間隙誤差、電路增益誤差及電極非正交耦合誤差等檢測誤差的存在,將導(dǎo)致進動因子的周向一致性退化。電極間隙誤差與前級電路增益誤差統(tǒng)稱為增益誤差,電極非正交耦合誤差統(tǒng)稱為耦合誤差。本文通過理論推導(dǎo)了增益誤差和耦合誤差對進動因子的影響,并提出了校正這兩類誤差的方法,通過實驗結(jié)果證明了該方法的有效性。

1 理想半球陀螺進動因子推導(dǎo)

理想半球諧振子以基爾霍夫-李雅夫假設(shè)為基礎(chǔ)[1-2],建立理想諧振子殼體動力學(xué)模型,即諧振子的密度、厚度、半徑、彈性模量和泊松比都是常數(shù),與圓周角無關(guān),求解薄殼表面任意質(zhì)點的運動方程。

如圖1所示(圖中θ,β,R為球形坐標),半球諧振子以角速度Ω繞對稱軸旋轉(zhuǎn),R為諧振子曲面上任一質(zhì)點A的中曲面半徑,假設(shè)諧振子壁厚均勻不變,只有沿對稱軸z軸有輸入角速度,即Ωx=Ωy=0。

圖1 薄殼諧振子球面坐標示意圖

對于理想系統(tǒng),內(nèi)力和科里奧利力均不做功,系統(tǒng)能量保持不變,利用布勃諾夫-伽遼金法對理想半球諧振子的任意質(zhì)點運動方程進行求解,得到理想諧振子二階固有振型的動力學(xué)方程為

(1)

式中:m0為等效質(zhì)量;p1(t)、p2(t)是諧振子質(zhì)點位移在Ln[cos(nβ),sin(nβ)]空間的正交分解;c0為等效剛度;b為等效阻尼。且:

(2)

(3)

(4)

(5)

式中U(θ),W(θ)為不可拉伸薄殼n階固有振型的瑞利函數(shù)。

式(1)是一個典型的二階彈性系統(tǒng)運動方程,忽略了外力和系統(tǒng)阻尼的存在,且認為彈性系統(tǒng)完全對稱,其動力學(xué)方程為

(6)

根據(jù)式(2)、(4)可得到陀螺進動因子的理論式為

0.277

(7)

式(1)、(7)是針對理想型諧振子,其進動因子僅與球殼形狀有關(guān),當(dāng)諧振子材料為熔融石英玻璃材料時,具有很好的穩(wěn)定性,可用駐波的進動信息得到外界載體的角速率。

2 全角模式下進動因子的影響因素

為方便計算,可將半球陀螺的振動方程表示為向量形式,不考慮阻尼和頻差的周向不均勻,即:

(8)

(9)

(10)

式(8)的解可表示為

(11)

式中:a(t)為主振動幅度;q(t)為正交振動的幅值;θ(t)為主振動波腹與p1方向的夾角,即駐波方位角。

將式(11)代入式(8)可得:

(12)

(13)

式中A為2×2的增益矩陣[3]。檢測誤差包括增益誤差和耦合誤差,分別對應(yīng)矩陣Ad和矩陣Ae,則矩陣A可表示為兩者的乘積:

(14)

式中:a11,a22分別為x、y軸的檢測增益誤差;a12、a21為x、y軸檢測信號間的通道耦合誤差。

將式13代入式(8)有:

(15)

陀螺實際工作過程中,a為主振動幅度,正交振動通過施加與主振動相位一致的正交控制力得到了有效的抑制,q=0,陀螺的振動位移可表示為

p(t)=av(t)cos(ωnt)

(16)

將式(16)代入式(15)可得:

(17)

(18)

通過式(17)、(18)可知,進動因子隨駐波方位角的變化將會影響半球陀螺的性能,同時也會造成幅度、正交控制施力的角度誤差。

3 全角模式控制電路與算法

基于現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)+數(shù)字信號處理(DSP)+模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)+數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)全角模式控制電路[5]主要包括緩沖放大電路、兩路模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)采樣、輸入解調(diào)、數(shù)字濾波、數(shù)字直接數(shù)字頻率合成器(DDS)、輸出調(diào)制、兩路數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)控制等功能模塊,其功能模塊如圖2所示。

圖2 全角模式控制電路框圖

根據(jù)Lynch給出的廣義振動陀螺模型[6]可知,理想振動陀螺無外部輸入時,90°和45°電極作為檢測電極,探測到的信號分別表示為

x=acos(2θ)cos(ωτ+φ′)-

qsin(2θ)sin(ωτ+φ′)

(19)

y=asin(2θ)cos(ωτ+φ′)+

qcos(2θ)sin(ωτ+φ′)

(20)

式中:a為陀螺的主振動幅度;q為陀螺的正交振動幅度;ω為陀螺振動頻率;φ′為振動的初始相位。

通過在FPGA內(nèi)部生成DDS,跟蹤陀螺的振動頻率與相位構(gòu)成數(shù)字鎖相環(huán),設(shè)DDS信號幅值為A,則DDS的輸出為

vrc=Acos(ωτ+φ)

(21)

vrs=Asin(ωτ+φ)

(22)

同時用作輸入解調(diào)和輸出調(diào)制信號[4]。通過在FPGA內(nèi)部IQ解調(diào),然后進行數(shù)字濾波得到cx、cy、sx、sy,δφ為陀螺初始相位φ′與本地同步信號相位φ的相位差:

(23)

在DSP內(nèi)進行一系列浮點計算可得:

(24)

式中:E為幅度控制;Q為正交控制;Ls為數(shù)字鎖相環(huán)輸入;S為駐波的正弦分量;M為駐波的余弦分量;tan-1(S/M)計算得到駐波角度θ。

4 全角模式下進動因子校正與驗證

為了減小檢測誤差對進動因子的影響,需要在駐波方位角解算過程中進行補償,引入校正矩陣Ac,使得A′近似為單位矩陣,即:

A′=Ac×Ad×Ae≈I

(25)

若要得到校正矩陣Ac,則需測試檢測通道X、Y的增益之比,以及通道之間的耦合系數(shù),可在靜態(tài)條件下分別對電路增益及通道耦合Ae和讀出電極間隙Ad進行標定[8-9],但靜態(tài)標定過程中引入的分布電容等因數(shù)對Ae、Ad的測試準確性有較大的誤差,所以本文根據(jù)檢測誤差對進動因子的影響分析,提出了一種更準確的測試標定方法。陀螺加工、裝配過程中產(chǎn)生的增益誤差和耦合誤差,統(tǒng)一考慮為x、y軸的檢測誤差。以通道x軸為基準,a11=1,a22=g(g為增益失配系數(shù)),a12=0,a21=δ。 由于阻尼和頻差的周向分布不均勻帶來的系統(tǒng)漂移每小時約為幾十度,遠小于轉(zhuǎn)臺的測試激勵角速率為100 (°)/s,此項誤差可忽略。

工作于全角模式下的半球諧振陀螺,陀螺駐波角度θ=α×h,h為外界載體旋轉(zhuǎn)角度。為了測試全角模式下半球陀螺駐波的進動因子,將陀螺放置在速率轉(zhuǎn)臺上,輸入軸朝上,以100 (°)/s勻速旋轉(zhuǎn)。陀螺駐波角度θ以0.1 s采樣。根據(jù)式(12) 可得:

(26)

根據(jù)式(18)在轉(zhuǎn)速100 (°)/s下實測的進動因子隨駐波角度的變化進行曲線擬合,結(jié)果如圖3所示,然后求解得到增益失配系數(shù)g,以及通道耦合系數(shù)δ,最后進行參數(shù)校正。

圖3 校正前進動因子隨駐波角度的周向分布

圖4為檢測誤差校正前進動因子隨時間變化。由圖3、4可看出,檢測誤差校正前,進動因子隨駐波角度和時間的周期性變化峰-峰值約為0.18,進動因子最大與最小比約為1.063。圖5為檢測誤差校正后進動因子隨駐波角度的周向分布。圖6為檢測誤差校正后進動因子隨時間變化。由圖5、6可看出,檢測誤差校正后,隨駐波角度及時間的周期性變化,進動因子峰-峰值降低到0.000 2,對比校正前的0.18,提升了約2個數(shù)量級,且進動因子與理論值(0.277)相符。進一步分析圖5、6可知,檢測誤差校正后,進動因子還有約0.000 2的殘余誤差,且呈周期性變化,說明還有其他殘余系統(tǒng)誤差存在,如讀出與驅(qū)動過程中的非線性等[10],還需進一步研究。

圖4 校正前進動因子隨時間變化

圖5 校正后進動因子隨駐波角度的周向分布

5 結(jié)束語

本文以基爾霍夫-李雅夫假設(shè)為基礎(chǔ),建立理想諧振子殼體動力學(xué)模型,求解薄殼表面任意質(zhì)點運動方程,從機理上推導(dǎo)出理想諧振子進動因子只與其物理形狀尺寸相關(guān),具有較好的一致性。結(jié)合實際的諧振子與全角模式控制電路,由于讀出電極間隙誤差和檢測電路的增益失配等檢測誤差,推導(dǎo)出進動因子不再為常數(shù),而為駐波方位角θ的函數(shù)α′(θ)。然后給出了具體的校正方法。經(jīng)實驗驗證,進動因子的周向一致性提升了約2個數(shù)量級。實際的半球陀螺檢測電路還有一定的非線性,將對進動因子的穩(wěn)定性及其測試精度造成影響。后續(xù)研究可在此基礎(chǔ)上擴展,進一步提升進動因子的周向一致性。