王進(jìn)

新一輪課程改革正在深入推進(jìn)，筆者作為數(shù)學(xué)教師一直在研究新課標(biāo)（《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）、探索新課程、嘗試新教法。筆者嘗試將教學(xué)課題化、理論化、模式化，這期間遇到三個(gè)問題：一是數(shù)學(xué)課堂活動有關(guān)的探究問題針對性弱；二是數(shù)學(xué)課堂活動的知識內(nèi)在邏輯性弱；三是數(shù)學(xué)課堂活動對學(xué)生素養(yǎng)提升的實(shí)效性弱。筆者應(yīng)用“溯源式”教學(xué)模式和策略，教學(xué)效果有所提升，但在分層教學(xué)方面仍存在不足。為了全面優(yōu)化教學(xué)，筆者嘗試借助云課堂授課，利用云課堂不受時(shí)間、空間限制的優(yōu)勢，來解決分層教學(xué)中的諸多問題。經(jīng)過多年實(shí)踐和研究，筆者探索出“線下溯源+線上分層：初中數(shù)學(xué)雙線教學(xué)‘提質(zhì)增效’策略”，并取得較為理想的成效。

一、線下溯源，貫徹新課標(biāo)，聚焦素養(yǎng)

（一）線下溯源課堂教學(xué)策略

1.基于學(xué)情，深度學(xué)習(xí)，增強(qiáng)課堂活動中問題針對性

新課標(biāo)實(shí)施后，各地中小學(xué)紛紛開展數(shù)學(xué)課堂探究活動。很多教師在課堂上調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)主動性和能動性，充分尊重學(xué)生的主體地位，但數(shù)學(xué)探究課普遍缺少“數(shù)學(xué)味”，很多探究活動對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)價(jià)值不大。對學(xué)生而言，怎樣的探究活動是有效的？筆者以學(xué)生視角，在探究活動中進(jìn)行定性和定量評價(jià)。筆者通過學(xué)生的數(shù)學(xué)成長記錄、章節(jié)思維導(dǎo)圖、探究活動報(bào)告、成果自評和互評數(shù)據(jù)，掌握學(xué)情，研究教學(xué)，認(rèn)識到基于學(xué)生實(shí)際與深度學(xué)習(xí)需要優(yōu)化課堂教學(xué)是有價(jià)值的。

2.重視邏輯，關(guān)注本質(zhì)，明晰知識內(nèi)在聯(lián)系

在新課程教學(xué)中，筆者注意到幾種教學(xué)情況：數(shù)學(xué)課堂上教師提問顯得突兀；教師對于開展數(shù)學(xué)探究活動的必要性甚少關(guān)注；較少呈現(xiàn)知識形成過程的邏輯性。知識的發(fā)生、發(fā)展過程以及學(xué)生的思維活動過程大多是被教師安排和設(shè)計(jì)的，至于為什么以這樣的方式來研究、為什么以這樣的方式來思考，則較少在課堂上呈現(xiàn)。

筆者深入研究，認(rèn)識到“數(shù)學(xué)知識的成長和發(fā)展有其內(nèi)在邏輯。數(shù)學(xué)教師只有追尋、遵循數(shù)學(xué)問題提出的內(nèi)在邏輯、數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)在邏輯和數(shù)學(xué)問題拓展的內(nèi)在邏輯，才能有效引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)會理性地、有條理地思考”[1]。筆者開展“基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯的初中數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)研究”，構(gòu)建了基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯的“溯源式”課堂教學(xué)基本模型，即“理—聯(lián)—提—探”。理：理清邏輯與思路，即理清所講授知識點(diǎn)與前后知識點(diǎn)的聯(lián)系（知識點(diǎn)內(nèi)在邏輯）。聯(lián)：聯(lián)系實(shí)際與舊知，即聯(lián)系學(xué)生實(shí)際學(xué)情、已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、生活的實(shí)際背景。提：提出問題與途徑，即提出數(shù)學(xué)問題，在理清邏輯的前提下，嘗試讓學(xué)生提出問題。探：探索知識與方法。

3.注重文化，提升素養(yǎng)，注重課堂活動實(shí)效

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具體來講就是以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得“四基”（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)），發(fā)展“四能”（運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力）。但現(xiàn)階段大部分教師開展課堂教學(xué)，對“四基”中的基礎(chǔ)知識、基本技能相關(guān)教學(xué)要求落實(shí)得較好，對基本活動經(jīng)驗(yàn)、基本思想呈現(xiàn)不盡如人意；對“四能”中的“分析問題”和“解決問題”的能力培養(yǎng)要求落實(shí)得較好，對“發(fā)現(xiàn)問題”的能力培養(yǎng)要求落實(shí)不到位，對“提出問題”的能力培養(yǎng)要求幾乎沒有體現(xiàn)。

要解決上述問題，教師不僅要重視數(shù)學(xué)知識，而且要注重?cái)?shù)學(xué)文化。以“數(shù)學(xué)文化”為切入點(diǎn)，筆者引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)發(fā)展歷程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

基于以上研究，筆者構(gòu)建了“溯源式”教學(xué)模型，并進(jìn)行了歸納總結(jié)。①一個(gè)認(rèn)識：在數(shù)學(xué)教學(xué)中可適時(shí)開展探究活動，每節(jié)數(shù)學(xué)課由若干“微探究”活動組成。②一個(gè)模式：微探究活動中，基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯、數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)，結(jié)合學(xué)生實(shí)際和深度學(xué)習(xí)需要，開展“溯源式”教學(xué)，通過“理—聯(lián)—提—探”，有效提高學(xué)生核心素養(yǎng)、學(xué)業(yè)水平、思維能力。③一條路徑：教師開展“溯源式”教學(xué)，堅(jiān)持“一線二中心”。一條主線就是“基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯的教學(xué)”；兩個(gè)中心分別是“學(xué)生實(shí)際和深度學(xué)習(xí)需要”與“數(shù)學(xué)文化的滲透”（如圖1）。

（二）課例呈現(xiàn)：平行四邊形教學(xué)（節(jié)選）

1.模式

教師用“理—聯(lián)—提—探”模型教學(xué)。

（1）理（理清邏輯與思路）

人們認(rèn)識特殊圖形的邏輯往往是由“整體”到“局部”。以等腰三角形為例 ：按照從整體（軸對稱性）到局部（邊和角）的研究邏輯，借助于軸對稱發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)，掌握通過添加輔助線進(jìn)行證明的方法[2]。

（2）聯(lián)（聯(lián)系實(shí)際與舊知）

教師提問：此前，等腰三角形性質(zhì)是如何研究的？

學(xué)生回答：根據(jù)軸對稱性來研究等腰三角形邊和角的性質(zhì)。

教師點(diǎn)撥：對于等腰三角形，可按照從整體（軸對稱性）到局部（邊和角）的思路研究（如圖2）。

（3）提（提出問題與途徑）（可引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題）

教師提問：平行四邊形是特殊四邊形，具有對稱性（中心對稱），類比等腰三角形的研究思路，能否對平行四邊形提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題：能否按照從整體到局部（邊和角）的研究邏輯，用中心對稱性來研究平行四邊形邊和角的關(guān)系（如圖3）。

（4）探（探索知識與方法，如圖4所示）

2.路徑分析：“溯源式”教學(xué)活動中的“一線二中心”

（1）一條主線：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯

邏輯一：平行四邊形性質(zhì)的探索是通過中心對稱進(jìn)行的，借助中心對稱探究平行四邊形的性質(zhì)，是研究特殊圖形整體到局部的邏輯。

邏輯二：借助中心對稱探究得出平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生也掌握了通過添加輔助線來證明性質(zhì)的方法。

（2）二個(gè)中心：“學(xué)生實(shí)際和深度學(xué)習(xí)需要”“數(shù)學(xué)文化的滲透”

中心一“學(xué)生實(shí)際和深度學(xué)習(xí)需要”：學(xué)生已學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)的探索，借助于軸對稱探究得出等腰三角形的性質(zhì)，掌握了添加輔助線的證明方法——將欲證明相等的兩個(gè)角（或線段）置于兩個(gè)全等三角形之中。這是證明兩個(gè)角或兩條線段相等的基本策略之一。

中心二“數(shù)學(xué)文化的滲透”：平行四邊形性質(zhì)的探索與證明，體現(xiàn)了研究特殊圖形的方法，即從整體到局部進(jìn)行研究。全等三角形的構(gòu)建則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，也呈現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)問題的思想方法，即先觀察后猜想再論證。

二、線上分層，重視差異，追求實(shí)效

分層教學(xué)難在實(shí)施。教育主管部門要求“嚴(yán)格執(zhí)行均衡編班，不得以任何名義設(shè)置重點(diǎn)班；學(xué)校不得隨意提高難度、加快進(jìn)度等”。教師開展分層教學(xué)面臨新挑戰(zhàn)。初中數(shù)學(xué)分層教學(xué)難點(diǎn)有三。①學(xué)校使用同一素材，但學(xué)生能力不同：學(xué)生能力存在差異是不可避免的，學(xué)生在語言表達(dá)、形象思維、邏輯思維能力等方面都可能存在差異，但每所學(xué)校使用的是同一教材，甚至各班用的是同一課件和配套習(xí)題。②班級按同一進(jìn)度教學(xué)，但學(xué)生基礎(chǔ)不同：學(xué)生的差異是客觀存在的，但教師課時(shí)進(jìn)度是統(tǒng)一的，教師通常根據(jù)中等層次學(xué)生的接受情況把控進(jìn)度。③班級在同一環(huán)境，但學(xué)生品質(zhì)不同：同一個(gè)班級，同一個(gè)管理制度，同樣的教學(xué)管理力度，但有的學(xué)生學(xué)得高效而輕松，有的學(xué)生聽課不夠?qū)Ｗ?，對?shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心不足，這些現(xiàn)象都是客觀存在的[3]。

云課堂在新冠疫情初期大規(guī)模應(yīng)用，其優(yōu)點(diǎn)有三種。①時(shí)效性：云課堂環(huán)境下學(xué)生的學(xué)習(xí)不受時(shí)間限制，他們可以反復(fù)觀看教師錄制的視頻課程，遠(yuǎn)程接受指導(dǎo)。②無障礙性：在特殊情況下（如居家）學(xué)生也可以學(xué)習(xí)。③共融性：云課堂系統(tǒng)支持學(xué)校之間資源共享；支持一師帶多班[4]。

由于學(xué)生的基礎(chǔ)、能力存在差異，在單位時(shí)間內(nèi)、在固定的場室里、用同一素材，數(shù)學(xué)分層教學(xué)比較困難。教師如何利用云課堂不受時(shí)間、空間限制的優(yōu)勢，來解決分層教學(xué)中的諸多難于操作的問題呢？筆者經(jīng)過一年多的探索、實(shí)踐，總結(jié)出云課堂環(huán)境下初中數(shù)學(xué)分層教學(xué)策略：教師實(shí)施“分—調(diào)—備—學(xué)—饋”閉環(huán)式分層教學(xué)，對學(xué)生有效分層、對知識點(diǎn)針對性講訓(xùn)，讓各層次學(xué)生得到應(yīng)有的發(fā)展。

（一）分：自主分層，動態(tài)管理

筆者采用自主報(bào)名、參考學(xué)情、動態(tài)分組的方式，將學(xué)生分為A（優(yōu)秀）、B（中等）、C（較弱）3個(gè)組。分組原則：尊重學(xué)生實(shí)情、符合學(xué)生實(shí)際、調(diào)動學(xué)生積極性。

（二）調(diào)：分層調(diào)研，了解疑難

現(xiàn)有大部分云課堂資源存在針對性不夠強(qiáng)的問題。筆者以問卷調(diào)查方式了解學(xué)生的學(xué)習(xí)近況，了解3個(gè)層次學(xué)生的知識漏洞與能力缺陷，精選云課堂教學(xué)素材。筆者根據(jù)問卷反饋情況，結(jié)合平時(shí)學(xué)生課堂表現(xiàn)、作業(yè)反饋、訓(xùn)練程度，為各層次學(xué)生準(zhǔn)備相應(yīng)難度的素材。教師準(zhǔn)備素材應(yīng)明確兩個(gè)問題：①各層次學(xué)生的疑難點(diǎn)分別是什么？②若各層次薄弱處是同一知識點(diǎn)，不同層次學(xué)生素材難易度該如何區(qū)分？

教師要為不同層次的學(xué)生準(zhǔn)備不同難度的、有針對性的微課和習(xí)題。例如，A類學(xué)生反饋“一次函數(shù)的應(yīng)用”未掌握，C類學(xué)生反饋“一次函數(shù)與二元一次方程組”未掌握。筆者為A類學(xué)生準(zhǔn)備綜合性較強(qiáng)的、難度偏大的“一次函數(shù)的應(yīng)用”的學(xué)習(xí)素材，為C類學(xué)生準(zhǔn)備較為基礎(chǔ)的“一次函數(shù)與二元一次方程組”的學(xué)習(xí)素材。

（三）備：精準(zhǔn)備課，優(yōu)化素材

通過以上兩步，筆者了解學(xué)生有關(guān)章節(jié)的學(xué)習(xí)狀況，并準(zhǔn)確定位所需準(zhǔn)備的素材。每個(gè)知識點(diǎn)的素材由兩個(gè)部分構(gòu)成：①視頻素材，20分鐘的微課講解；②文本素材，10分鐘的對應(yīng)習(xí)題訓(xùn)練和微課課件（供學(xué)生查閱）。即便是同一知識點(diǎn)，由于學(xué)生層次不同，筆者準(zhǔn)備的素材也是不一樣的。筆者將素材準(zhǔn)備好后，上傳至平臺。

例如，A類、C類學(xué)生都反饋：“一次函數(shù)的應(yīng)用”掌握情況一般。

C類學(xué)生的學(xué)習(xí)素材（見問題1）如下：

1.如圖5是汽車行駛時(shí)，油箱內(nèi)的余油量Q（升）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象，試求行駛3小時(shí)后油箱還剩多少油。

A類學(xué)生的學(xué)習(xí)素材（見問題2）如下：

2.一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為y1（km），出租車離甲地的距離為y2（km），客車行駛時(shí)間為x（h），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖6所示：

（1）寫出y1與y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）設(shè)兩車間的距離為s（km），寫出s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

（3）甲、乙兩地間有A、B兩座加油站，相距200 km，若客車進(jìn)入A站加油時(shí)，出租車恰好進(jìn)入B站加油。求A加油站到甲地的距離。

A類學(xué)生的學(xué)習(xí)素材綜合性較強(qiáng)，側(cè)重于提高綜合解決數(shù)學(xué)問題的能力，對學(xué)生能力要求偏高；C類學(xué)生的學(xué)習(xí)素材較為基礎(chǔ)，他們通過對知識直接運(yùn)用的基礎(chǔ)練習(xí)，夯實(shí)基礎(chǔ)即可。

（四）學(xué)：在線學(xué)習(xí)，講練結(jié)合

學(xué)生借助在線學(xué)習(xí)平臺，輸入賬號進(jìn)入對應(yīng)界面，找到對應(yīng)層次的學(xué)習(xí)資源，在線學(xué)習(xí)云課堂上的素材，完成后面的10分鐘限時(shí)練習(xí)，并拍照上傳系統(tǒng)供教師批閱。

（五）饋：及時(shí)反饋，掌握學(xué)況

教師登錄系統(tǒng)批閱學(xué)生上傳的練習(xí)，掌握各層次學(xué)生的在線學(xué)習(xí)情況。如果學(xué)生對某方面掌握得較差，筆者就將該知識點(diǎn)放到下一個(gè)章節(jié)的分層學(xué)習(xí)任務(wù)中。學(xué)生對重點(diǎn)問題“反芻式”學(xué)習(xí)，達(dá)到“閉環(huán)式”正反饋的效果。

三、有機(jī)融合，閉合提質(zhì)

線下的日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者的課堂堅(jiān)持基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯、數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)，基于學(xué)生實(shí)際和深度學(xué)習(xí)需要，以培養(yǎng)學(xué)生思辨能力為宗旨，結(jié)合數(shù)學(xué)微探究活動開展“溯源式”教學(xué)，有效傳授了數(shù)學(xué)知識，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升了教學(xué)質(zhì)量。線上的云課堂分層教學(xué)是課堂教學(xué)的有效補(bǔ)充，筆者采用學(xué)生分層、資源分層、目標(biāo)分層、測評差異化、閉環(huán)管理方式教學(xué)，達(dá)到全面提質(zhì)的效果。這樣有機(jī)融合形成了有效的提質(zhì)增效模式——線下溯源+線上分層：初中數(shù)學(xué)雙線教學(xué)“提質(zhì)增效”模式（如圖7）。

（一）模式的主要價(jià)值

一是線上、線下有機(jī)整合。筆者結(jié)合十多年“溯源式”教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用云課堂實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)分層教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了二者有機(jī)整合、優(yōu)勢互補(bǔ)。

二是提出了兩個(gè)模式。①基于知識內(nèi)在邏輯的“溯源式”教學(xué)模式：“理—聯(lián)—提—探”。②云課堂環(huán)境下分層閉環(huán)教學(xué)模式：“分—調(diào)—備—學(xué)—饋”閉環(huán)式分層教學(xué)模式。

三是厘清“線下教學(xué)的三個(gè)維度”和“線上教學(xué)的四個(gè)策略”。教師開展“溯源式”教學(xué)要從三個(gè)維度去把握：基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在邏輯；基于基本的數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)；基于學(xué)生實(shí)際和學(xué)生深度學(xué)習(xí)需求。云課堂環(huán)境下初中數(shù)學(xué)分層教學(xué)的四個(gè)主要策略：用端口實(shí)現(xiàn)學(xué)生分組；通過資源分層達(dá)到目標(biāo)分層；差異化的測評使分層更有效；反芻訓(xùn)練下實(shí)現(xiàn)閉環(huán)管理。

四是搭建平臺、均衡教育。在線資源建設(shè)工作量大，后來成立了區(qū)級“初中數(shù)學(xué)分層教學(xué)合作社”，共同開發(fā)、分享資源。云課堂教學(xué)可作為常態(tài)課的有效補(bǔ)充，用以解決“城鄉(xiāng)差異”“師資水平不均”等眾多地域差異問題。

（二）創(chuàng)新點(diǎn)

一是方式創(chuàng)新?！熬€下溯源+線上分層”雙線教學(xué)是一種新方式，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效。新模式明確了線下“溯源式”教學(xué)的微探究路徑，而線上云課堂分層教學(xué)作為課堂教學(xué)的有效補(bǔ)充，既保證了常態(tài)課的實(shí)效性，又解決了常態(tài)課難于實(shí)施分層教學(xué)的難題。

二是策略創(chuàng)新。新模式給出了初中數(shù)學(xué)“溯源式”教學(xué)的“一線二中心”的策略。

三是分層創(chuàng)新。筆者創(chuàng)造性用云課堂分層教學(xué)，并設(shè)計(jì)了“分—調(diào)—備—學(xué)—饋”的具體流程。

四是管理創(chuàng)新。線下常態(tài)化管理外，在云課堂管理方面，筆者通過平臺開發(fā)，加強(qiáng)在線監(jiān)管，強(qiáng)化章節(jié)的分層教學(xué)的銜接，讓學(xué)生進(jìn)行“閉環(huán)式”反芻學(xué)習(xí)。

五是模式創(chuàng)新。筆者通過實(shí)踐，探索出可行的雙線教學(xué)“提質(zhì)增效”模式，既能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又能有針對性提高學(xué)生成績。

四、反思與建議

雙線教學(xué)中有以下問題值得思考和解決。

“溯源式”教學(xué)：①要求教師對于知識的本質(zhì)、內(nèi)在的邏輯、滲透的文化有比較深入的研究，對教師專業(yè)水平要求偏高；②對教師的駕馭課堂能力提出了挑戰(zhàn)；③在新授課中取得明顯效果，如何在復(fù)習(xí)課中應(yīng)用、如何針對大單元進(jìn)行設(shè)計(jì)，這些問題需要進(jìn)一步研究。

云課堂分層教學(xué)：①云課堂環(huán)境下學(xué)生在線學(xué)習(xí)難以現(xiàn)場監(jiān)督，筆者將進(jìn)一步完善管理機(jī)制和方式，通過教師網(wǎng)上監(jiān)督、家校合作共管、智慧平臺監(jiān)控等方式，以取得整體上更大的進(jìn)步；②分層資源建設(shè)工作量大，需要更多人參與建設(shè)，才能保證質(zhì)量；③學(xué)生的分層還不夠合理，要讓分層分得既有溫度又有尺度，真正做到新課標(biāo)要求的讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，堅(jiān)持分層教學(xué)的初衷。

筆者通過“問題驅(qū)動，逐步構(gòu)建”，最終構(gòu)建并應(yīng)用“線下溯源+線上分層”模式，取得以下主要成果：改變了教師教學(xué)行為，提高了教學(xué)質(zhì)量；促進(jìn)了專業(yè)發(fā)展，提升了業(yè)務(wù)水平；促進(jìn)了分層教學(xué)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)效率。當(dāng)然，很多地方仍需要完善和探索。筆者相信隨著新課標(biāo)的深入落實(shí)、教學(xué)實(shí)踐的不斷完善、信息技術(shù)的不斷更新，初中數(shù)學(xué)教學(xué)將會在信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的背景下不斷完善、不斷優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)

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（作者系廣東省廣州市花都區(qū)教育發(fā)展研究院教研員）

責(zé)任編輯：祝元志