周恒宇，周建星，金鵬程，余鵬飛，劉國(guó)春

(新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

圓柱滾子軸承作為應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)零部件具有承載能力大、啟動(dòng)快等優(yōu)點(diǎn)，但也是整機(jī)系統(tǒng)中最容易失效的零部件之一.軸承外圈承載頻率高、應(yīng)力值大，其過早失效是軸承失效的主要原因[1].外圈載荷分布不僅會(huì)直接影響軸承壽命，還會(huì)影響設(shè)備運(yùn)行的平穩(wěn)性.因此，研究軸承外圈的載荷分布具有重要的工程意義.

針對(duì)滾動(dòng)軸承外圈載荷的分布規(guī)律，國(guó)內(nèi)外學(xué)者作出了一系列研究.Harris[2]基于剛性支撐理論，求解了不同徑向游隙下軸承內(nèi)部載荷的分布形式.查浩等[3]建立了包含軸承的車輛軌道動(dòng)力學(xué)模型，考慮軸承內(nèi)部元件之間的相互作用，分析了在軌道載荷激勵(lì)和列車運(yùn)行速度下軸承滾子與外圈滾道接觸載荷的變化規(guī)律.姚廷強(qiáng)等[4]在前者基礎(chǔ)上，采用廣義有限元法計(jì)入外圈柔性求解并分析軸承的靜態(tài)載荷分布半角以及不同轉(zhuǎn)速下接觸力波動(dòng)情況.然而，以往學(xué)者的研究中對(duì)柔性套圈下外圈載荷的分布規(guī)律研究較少.因此，本文首先求解套圈為柔性和剛性時(shí)不同徑向載荷下承載半角的變化.其次，建立剛體動(dòng)力學(xué)和有限元模型，分析不同轉(zhuǎn)速及載荷對(duì)外圈承載區(qū)域的影響.最后，探討了計(jì)入套圈柔性時(shí)軸承振動(dòng)特性、接觸應(yīng)力應(yīng)變的變化規(guī)律.基于上述內(nèi)容，本文的研究路線如圖1所示.

圖1 套圈柔性下外圈承載區(qū)域流程圖

1 有限元模型

1.1 軸承幾何參數(shù)

本文以NU205EM型圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，其主要的幾何參數(shù)如表1所示.

表1 圓柱滾子軸承基本參數(shù)

1.2 材料參數(shù)及邊界條件設(shè)置

圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)上呈對(duì)稱性，因軸承內(nèi)部運(yùn)動(dòng)關(guān)系復(fù)雜且具有強(qiáng)非線性，為減小計(jì)算規(guī)模，在滿足計(jì)算精度的前提下采用二維平面單元建立有限元模型[5].內(nèi)外圈材料均選為軸承鋼，其材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3.保持架材料為黃銅，其材料密度為8 050 kg/m3，彈性模量為105 GPa，泊松比為0.32.

為避免軸承在較大載荷時(shí)出現(xiàn)穿透現(xiàn)象，使用罰函數(shù)作為接觸算法.滾動(dòng)體為接觸面，內(nèi)外圈滾道及保持架為目標(biāo)面，采用自動(dòng)面對(duì)面接觸類型，共建立39組接觸對(duì).滾子與保持架之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0.05，滾子與內(nèi)外圈滾道之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0.07.外圈與滾子接觸區(qū)域網(wǎng)格進(jìn)行局部加密，以此提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

邊界條件的設(shè)置：考慮到軸承的實(shí)際工作情況，因軸承外圈與軸承座為過盈配合，故軸承外圈節(jié)點(diǎn)采用固定約束.內(nèi)圈繞Z軸旋轉(zhuǎn)的同時(shí)受到一定的徑向載荷Fr作用，在內(nèi)圈內(nèi)表面節(jié)點(diǎn)上沿Y 軸負(fù)方向上施加不同載荷[6].建立計(jì)入轉(zhuǎn)速條件下的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，內(nèi)圈施加繞Z軸的逆時(shí)針轉(zhuǎn)速.有限元模型及邊界條件如圖2所示.

圖2 有限元模型及邊界條件

1.3 理論驗(yàn)證

靜力學(xué)模型驗(yàn)證：根據(jù)文獻(xiàn)[2]計(jì)算軸承在不同徑向載荷時(shí)滾子的最大接觸力，計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 不同徑向載荷下最大接觸力

動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證：根據(jù)文獻(xiàn)[2]給出的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，假設(shè)滾動(dòng)體和套圈之間的關(guān)系為純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)上不存在滑動(dòng)現(xiàn)象.計(jì)算軸承在轉(zhuǎn)速為1 300 r/min、徑向載荷為1 500 N時(shí)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的解析解與數(shù)值解并進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示.

表3 軸承運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)比

由表2與表3可知，兩種模型的解析解與數(shù)值解的最大誤差均不超過7%，說明了本文所建立有限元模型的正確性.

2 基于剛體套圈理論模型

2.1 靜力學(xué)模型

徑向載荷下剛性支撐軸承，任意角度ψ上的變形量與載荷分布系數(shù)為[2]：

式中：δr為ψ0°處套圈徑向位移量，Pd為徑向游隙.

受力平衡方程為：

式中：Z為滾子個(gè)數(shù)，Jr(ε)為徑向積分，Kn為載荷-位移系數(shù).

承載區(qū)域判定式為：

利用控制誤差法求解式（2），首先假定δr的值由式（1）計(jì)算ε，參考文獻(xiàn)[2]由ε計(jì)算Jr(ε)，如若不能滿足式（3）則重復(fù)上述過程.根據(jù)式（1）計(jì)算各位置處的變形量，依據(jù)式（3）判定外圈承載區(qū)域.

2.2 動(dòng)力學(xué)模型

基于剛體套圈理論和接觸剛度建立二自由度的剛體動(dòng)力學(xué)模型[7]，首先作出以下假設(shè)：1）軸承外圈固定在剛性支撐上，內(nèi)圈固定在旋轉(zhuǎn)軸上受到徑向載荷；2）滾動(dòng)體置于套圈之間作等間距排列，滾動(dòng)體與滾道之間為純滾動(dòng).如圖3所示.

圖3 滾動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)示意圖

基于以上假設(shè)，滾動(dòng)體與內(nèi)外接觸點(diǎn)之間的線速度vi和vo分別為：

式中：r和R分別為軸承內(nèi)外圈的半徑；wi和wo分別為軸承內(nèi)外圈的角速度.

基于上述假設(shè)滾動(dòng)體之間為純滾動(dòng)，保持架的角速度等于滾動(dòng)體的公轉(zhuǎn)速度，則有：

外圈的角速度為0，則有：

保持架的角速度為：

設(shè)第j個(gè)滾動(dòng)體的位置為：

設(shè)內(nèi)圈中心在X軸Y 軸的振動(dòng)位移為x和y，假設(shè)軸承的游隙為r0，則第j個(gè)滾子與內(nèi)圈滾道法向接觸量為：

根據(jù)赫茲接觸理論，第j個(gè)滾子產(chǎn)生的壓力為Pj，在接觸時(shí)只會(huì)產(chǎn)生正壓力并且只有δj＞0才會(huì)產(chǎn)生作用力.

式中：Cb為赫茲接觸剛度；H(x)為赫維賽德函數(shù)，當(dāng)δj＞0時(shí)，函數(shù)值為1；當(dāng)δj＜0時(shí)，函數(shù)值為0.

Pj在X軸Y 軸產(chǎn)生的分量分別為：

內(nèi)圈受力平衡表達(dá)式為：

式中：fx與fy分別為滾動(dòng)體與內(nèi)外圈的接觸力合力在X軸方向與Y 軸方向的分量.

圖4為根據(jù)式（12）建立的彈簧-質(zhì)量模型；式（13）為根據(jù)彈簧-質(zhì)量模型建立的二自由度動(dòng)力學(xué)方程：

圖4 滾動(dòng)軸承彈簧-質(zhì)量模型

式中：Fx和Fy分別為軸承內(nèi)圈在X軸方向和Y 軸方向上的徑向力.

3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比與分析

3.1 靜力學(xué)模型下外圈承載區(qū)域判定

當(dāng)有限元模型承載區(qū)內(nèi)滾子個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，施加不同的徑向載荷作用于軸承的內(nèi)圈內(nèi)表面上.由圖5可知，在較小的徑向載荷下，承載個(gè)數(shù)為四滾子承載，隨著載荷的增加，軸承的承載個(gè)數(shù)由4個(gè)增加到6個(gè).這說明：在相同的承載位置上，軸承的承載狀況也會(huì)因工況的改變而發(fā)生變化，承載個(gè)數(shù)會(huì)大于剛體套圈下的理論承載個(gè)數(shù)，滾子在承載區(qū)域內(nèi)承載時(shí)會(huì)出現(xiàn)“提前承載、滯后退出”的現(xiàn)象.

圖5 六滾子承載狀態(tài)

不同徑向載荷下柔性套圈和剛性套圈的承載半角如圖6所示.由圖6可知，計(jì)入套圈柔性時(shí)，隨著徑向載荷的增加，外圈的承載半角呈增加趨勢(shì)，但受接觸剛度的影響其增加趨勢(shì)逐漸減緩.

圖6 不同徑向載荷下的承載半角

3.2 不同轉(zhuǎn)速及載荷對(duì)六滾子承載區(qū)域的影響

軸承內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)六滾子承載區(qū)域（以下簡(jiǎn)稱承載區(qū)域）產(chǎn)生較大影響.根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，隨著載荷的增加，內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)軌跡在載荷方向移動(dòng)一定距離但移動(dòng)幅度隨載荷增加而減緩；隨著轉(zhuǎn)速增加，內(nèi)圈運(yùn)動(dòng)軌跡隨旋轉(zhuǎn)方向向左偏移一定距離.

圖7為滾子12在內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為2 000 r/min以及3 000 r/min下動(dòng)態(tài)接觸力沿外圈分布曲線，最值點(diǎn)1為轉(zhuǎn)速2 000 r/min時(shí)動(dòng)態(tài)接觸力最大值點(diǎn)，最值點(diǎn)2為轉(zhuǎn)速在3 000 r/min時(shí)動(dòng)態(tài)接觸力最大值點(diǎn).由圖7可知，隨著轉(zhuǎn)速的增加，動(dòng)態(tài)接觸力最大值略微增加且向左偏移一定角度；當(dāng)滾子離開承載區(qū)域時(shí)與外圈碰撞增加，導(dǎo)致滾子與外圈碰撞力和承載區(qū)域皆增加.

圖7 2 000 r/min以及3 000 r/min動(dòng)態(tài)接觸力分布

圖8為徑向載荷1 500 N、轉(zhuǎn)速1 000～4 000 r/min時(shí)軸承外圈的承載區(qū)域.由圖8可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速由1 000 r/min增加到2 000 r/min時(shí)，外圈承載區(qū)域由146.50°增加到158.12°；當(dāng)轉(zhuǎn)速由3 000 r/min增加到4 000 r/min時(shí)，外圈承載區(qū)域由171.55°增加到182.32°，外圈承載區(qū)域向左偏移.這說明：轉(zhuǎn)速增大對(duì)承載區(qū)域造成的變化受軸承接觸剛度的影響較小，轉(zhuǎn)速與承載區(qū)域之間呈線性關(guān)系.隨著轉(zhuǎn)速增加，非承載區(qū)將出現(xiàn)受力現(xiàn)象.

圖8 不同轉(zhuǎn)速下六滾子承載區(qū)域

圖9為徑向載荷1 000～4 000 N、轉(zhuǎn)速1 300 r/min時(shí)軸承外圈的承載區(qū)域.由圖9可知，當(dāng)徑向載荷由2 000 N增加到3 000 N時(shí)，其外圈的承載區(qū)域由148.50°增加到164.88°；當(dāng)徑向載荷由3 000 N增加到4 000 N時(shí)，其外圈承載區(qū)域由164.88°增加到167.40°.這是因?yàn)槌休d區(qū)域受軸承接觸剛度的影響，隨著載荷的增加而增加，但增加趨勢(shì)逐漸減小，并且隨著載荷的增加外圈的承載區(qū)域趨向于對(duì)稱分布.

圖9 不同徑向載荷下六滾子承載區(qū)域

3.3 加速度及應(yīng)變變化規(guī)律

由3.1節(jié)及3.2節(jié)可知，不同載荷及轉(zhuǎn)速導(dǎo)致軸承外圈承載區(qū)域發(fā)生一定的變化，分析承載區(qū)域的變化對(duì)外圈應(yīng)變及加速度的影響將具有重要的工程意義.在軸承外圈不同位置采集信號(hào)，其中：點(diǎn)1位于徑向載荷作用線Y 軸正下方，點(diǎn)2及點(diǎn)3分別位于六滾子載荷作用線上.本文以點(diǎn)1處的振動(dòng)加速度級(jí)進(jìn)行分析，得出不同載荷和轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)加速度級(jí)曲線如圖10所示.

圖10 不同載荷及轉(zhuǎn)速下剛性與柔性加速度級(jí)變化

《滾動(dòng)軸承振動(dòng)（加速度）測(cè)量方法》（JB/T 5314―2002）規(guī)定采用分貝（dB）作為軸承的振動(dòng)量值單位，稱為軸承振動(dòng)加速度級(jí)[9]，其表達(dá)式為：

式中：a為某一頻帶范圍內(nèi)的均方根，a0為參考加速度9.81×10－3m/s2.

分析圖10中的振動(dòng)加速度級(jí)曲線可知，計(jì)入套圈柔性時(shí)，軸承的振動(dòng)加速度級(jí)大于剛性條件下的振動(dòng)加速度級(jí)，當(dāng)載荷由1 000 N增加至4 000 N時(shí)，其加速度級(jí)由20.3 dB增加至31.2 dB，變化趨勢(shì)與接觸剛度的變化趨勢(shì)保持一致，即隨著載荷增加軸承的振動(dòng)加速度級(jí)增加，但增加趨勢(shì)減緩；當(dāng)轉(zhuǎn)速由1 000 r/min增加至4 000 r/min時(shí)，其振動(dòng)加速度級(jí)由26.5 dB增加至27.8 dB，軸承的振動(dòng)加速度級(jí)呈線性增加趨勢(shì)，但增加幅值較小.綜上所述，載荷是影響軸承振動(dòng)的主要因素.

本文以點(diǎn)2以及點(diǎn)3處時(shí)域歷程的應(yīng)變均值作為應(yīng)變值進(jìn)行分析，得出應(yīng)變曲線如圖11所示.由圖11可知，隨著轉(zhuǎn)速的增加外圈的承載區(qū)域向左偏移，導(dǎo)致點(diǎn)2處的應(yīng)變幅值逐漸增加，點(diǎn)3處的應(yīng)變幅值逐漸減小.這說明：隨著內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的增加，軸承承載區(qū)內(nèi)左半部分振動(dòng)值大于右半部分振動(dòng)值.

圖11 不同轉(zhuǎn)速下點(diǎn)2及點(diǎn)3處的應(yīng)變值

3.4 承載數(shù)目改變對(duì)外圈接觸應(yīng)力的影響

圖12為轉(zhuǎn)速1 300 r/min、徑向載荷1 000～3 000 N時(shí)，軸承外圈點(diǎn)1處的接觸應(yīng)力值.由圖12可知，當(dāng)內(nèi)圈受到1 500～3 000 N的徑向載荷時(shí)，柔性套圈下承載區(qū)內(nèi)滾子承載數(shù)目增加導(dǎo)致其外圈的接觸應(yīng)力小于理論數(shù)目支撐下外圈的接觸應(yīng)力，并且隨著載荷增加仿真接觸應(yīng)力與理論接觸應(yīng)力的差值逐漸變大[10].

圖12 不同承載數(shù)目外圈接觸應(yīng)力對(duì)比

4 結(jié)論

本文以NU205EM型圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，探究了計(jì)入套圈柔性條件下，軸承在變轉(zhuǎn)速及變載荷工況下的外圈承載區(qū)域、應(yīng)力應(yīng)變、振動(dòng)加速度級(jí)的變化規(guī)律，所得主要結(jié)論如下：

1）在計(jì)入套圈柔性條件下，隨著載荷的增加，滾子承載數(shù)目大于剛體套圈下的承載數(shù)目，承載數(shù)目由四滾子承載增加到六滾子承載，外圈的接觸應(yīng)力值小于相同時(shí)刻只計(jì)入四滾子承載時(shí)的接觸應(yīng)力值，軸承外圈的載荷分布趨向于對(duì)稱分布，其分布區(qū)域增加趨勢(shì)與接觸剛度的增加趨勢(shì)保持一致.

2）在計(jì)入套圈柔性條件下，隨著轉(zhuǎn)速的增加，外圈承載區(qū)域增加，并且承載區(qū)域受旋轉(zhuǎn)方向影響向左偏移；承載區(qū)域左半部分振動(dòng)值大于右半部分振動(dòng)值.

3）在計(jì)入套圈柔性條件下，軸承振動(dòng)加速度級(jí)大于剛性條件下的振動(dòng)加速度級(jí)；隨著載荷的增加，軸承振動(dòng)加速度級(jí)的增加趨勢(shì)與接觸剛度的增加趨勢(shì)保持一致；隨著轉(zhuǎn)速的增加，軸承的振動(dòng)加速度級(jí)線性增加，但增加幅值較??；其中，載荷是影響軸承振動(dòng)加速度級(jí)的主要因素.