周子琪, 查文舒, 李道倫, 劉旭亮

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230601)

油藏反演,即油藏歷史擬合[1-3],是油藏工作人員和地質工程師進一步了解油藏地下流體特征、預測油田生產(chǎn)動態(tài)、制定油田開發(fā)方案的重要手段之一[4-6]。為了使預測結果盡可能接近油藏的實際情況,需要進行油藏歷史擬合,即根據(jù)現(xiàn)場實測的實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對油藏參數(shù)進行反演和修改。油藏歷史擬合是獲得多種可靠的油藏模型并進行預測的有效途徑。油藏反演是指獲得一組油藏參數(shù),如孔隙度、滲透率等,使模擬油藏模型計算的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)相符。油藏歷史擬合有助于發(fā)現(xiàn)和修正油藏描述數(shù)據(jù)中的誤差,改進模型以及驗證油藏描述的可靠性。因此,需要花費時間和精力評估擬合結果,確定其是否符合預期。

根據(jù)開發(fā)過程和實現(xiàn)方法,油藏歷史擬合可被分為人工歷史擬合和自動歷史擬合2類。人工歷史擬合采用“試錯法”,即油藏工程師根據(jù)數(shù)值模擬計算值與油藏實際觀測值之間的偏差,對1個或多個油藏參數(shù)進行人工分析和修改,以減少歷史擬合誤差[7-8]。實際油藏一般有很多參數(shù),而高精度油藏模型有大量網(wǎng)格。人工歷史擬合法主觀性強,耗時長,效率低。因此,計算機和優(yōu)化算法被引入到油藏歷史擬合中,完成自動調整油藏參數(shù)的工作,形成了自動歷史擬合技術[9-10]。

油藏自動歷史擬合始于20世紀60年代。文獻[11]首次使用回歸分析代替“試錯法”,由此開創(chuàng)了自動歷史擬合的研究。1973—1992年是自動歷史擬合研究的形成階段,該階段引入了非線性回歸方法、梯度算法和最優(yōu)控制理論[12-13]。1993—2002年是自動歷史擬合研究的發(fā)展階段。自動歷史擬合的基本方法已經(jīng)從直接法、梯度法發(fā)展到隨機法、智能算法,逐步形成了一系列啟發(fā)式的自動歷史擬合方法[14-16]。近年來,集合卡爾曼濾波被用于油藏歷史擬合[17-19]。集合卡爾曼濾波是一種遞歸過濾器,適用于有大量參數(shù)的問題。

自動歷史擬合方法主要包括目標函數(shù)[20]和優(yōu)化算法2個部分。目標函數(shù)定義為模型的計算值與觀測值之間的偏差,可以通過響應面模型、樣條法、克里金法或基于克里金法的多項式加擾動的組合得到[21-22]。響應面法[23]出現(xiàn)于20世紀90年代初。它的基本思想是通過構造一個具有明確表達式的多項式來近似真實的函數(shù)關系,通過對多項式的分析,尋求最優(yōu)工藝參數(shù),解決多變量問題。20世紀90年代,響應面法被引入油藏工程[24]。在響應面問題中,通常采用多項式函數(shù)進行逼近。由于響應變量與解釋變量之間是非線性關系,用高階多項式模型近似可能會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,并且隨著變量數(shù)量的增加,計算成本也會以幾何級數(shù)增長。

徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)以空間距離為自變量。由于它的簡單性和各向同性,近年來得到了迅速的發(fā)展,并在分散數(shù)據(jù)處理、微分方程求解等領域得到了廣泛的應用。對于多元問題甚至高維問題,它比其他類型的基函數(shù)具有明顯的優(yōu)勢。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡最初是由Moody和Darken在1989年提出的[25]。它屬于前向神經(jīng)網(wǎng)絡類型,能夠以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù),處理系統(tǒng)中難以處理的分析規(guī)律。此外,該方法具有較好的泛化能力,學習收斂速度較快。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡已成功應用于非線性函數(shù)的逼近等問題。雖然有一些類似于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡技術的方法,如支持向量回歸[26],但這些方法復雜、計算成本高。

優(yōu)化算法主要分為2大類:基于梯度的優(yōu)化算法和進化類算法。梯度算法通過對目標函數(shù)中的未知參數(shù)進行微分來尋找最優(yōu)值[27-30]。進化算法是一種基于種群的優(yōu)化算法,如模擬退火算法[31]、神經(jīng)網(wǎng)絡算法[32]、粒子群(particle swarm optimization,PSO)算法[33]和遺傳算法[34]。相對于基于梯度的算法容易陷入局部極小值,進化算法是一種更穩(wěn)定、適用性更廣的全局優(yōu)化算法。

本文提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡和PSO算法的油藏反演方法。首先比較多項式擬合方法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法在相同試算次數(shù)下的擬合結果;然后減少試算次數(shù)再次比較;最后通過實例驗證了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的有效性。

1 油藏反演方法

1.1 多項式擬合

多項式擬合的原理是找到近似的多項式曲線y=φ(x),使其與y=f(x)的偏差最小,其中f(x)經(jīng)過給定數(shù)據(jù)點pi(xi,yi),i=1,2,…,m。近似曲線在點pi處的偏差為δi=φ(xi)-yi,i=1,2,…,m。最小二乘法是最常用的方法,是根據(jù)偏差的最小二乘原則選擇擬合曲線,即

(1)

多項式擬合通常用二次多項式擬合。給定數(shù)據(jù)點(xi,yi),i=1,2,…,m,用二次多項式φ(x)=a0+a1x+a2x2作為近似曲線,均方誤差為:

(2)

通過求極值得到擬合曲線的正規(guī)矩陣方程:

(3)

1.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡

RBF的基本思想是將低維線性不可分數(shù)據(jù)映射到高維空間,使其在高維空間中線性可分。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡算法不同的是,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡不需要訓練全局連接權值,只調整影響輸出值的一些重要權值,提高了訓練速度。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的結構是一種3層前饋網(wǎng)絡。第1層為輸入層,包括信號源節(jié)點;第2層為隱含層,隱含層單元的轉換函數(shù)為RBF,是對中心點徑向對稱、衰減的非負非線性函數(shù);第3層為輸出層,是對輸入模式做出的響應。輸入層空間到隱含層空間的變換是非線性的,而隱含層空間到輸出層的空間變換是線性的。

在大多數(shù)情況下,高斯函數(shù)被設為RBF,具體表達式為:

G(x)=exp(-d2/2σ2)

(4)

其中:d為矢量到各隱含層中心的距離,距離節(jié)點越近,對節(jié)點輸出的影響越大;σ為控制高斯函數(shù)平滑度的平滑因子。

網(wǎng)絡的輸出層對RBF作用的結果采用線性加權和的形式。最后高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出為:

(5)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的總體結構如圖1所示。

圖1 典型的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡結構

神經(jīng)網(wǎng)絡訓練包括2個階段:無監(jiān)督學習和監(jiān)督學習。利用無監(jiān)督學習方法得到高斯RBF的中心和方差,利用監(jiān)督學習方法(即最小均方誤差)得到隱含層對輸出層的權值。具體內容如下。

(1) 選取訓練樣本集中的m個樣本作為m個RBF的中心。

(2) 求解方差,公式如下:

(6)

其中:dmax為所選中心之間的最大距離;m為隱含層節(jié)點數(shù)。

(3) 用最小均方誤差計算隱含層與輸出層之間神經(jīng)元的連接權值。計算公式如下:

W=Φ+d

(7)

Φ+=(ΦTΦ)-1ΦT

(8)

其中,d為期望的輸出值。

1.3 目標函數(shù)

在油藏反演中,地層和井筒參數(shù)未知,而壓力已知。油藏反演的目標是找到一組地層和井筒參數(shù),使在這組合適的地層和井筒參數(shù)下,模擬的壓力數(shù)據(jù)等于或接近實測的壓力數(shù)據(jù)。因此定義1個目標函數(shù)反映模擬值和實際測量值之間的誤差。

目標函數(shù)通常以加權平方和的形式表示,具體表達式為:

(9)

1.4 優(yōu)化算法

因為油藏反演問題最初被考慮為最優(yōu)控制問題[27],所以一系列優(yōu)化算法被應用到油藏反演中,包括基于梯度的算法、進化類算法等;不同的優(yōu)化算法適用于不同的油藏。本文將PSO算法應用于油藏反演中。

PSO算法是一種隨機搜索方法,它來自于對鳥類狩獵行為的研究。在PSO優(yōu)化算法中,每個優(yōu)化問題的解都像搜索空間中的1只鳥,稱之為粒子。每個粒子都有1個由優(yōu)化函數(shù)決定的適應度值,每個粒子都有1個速度,這個速度決定了它們飛行的方向和距離;然后粒子跟隨當前的最優(yōu)粒子搜索解空間。

PSO優(yōu)化算法從一組隨機粒子(隨機解)出發(fā),通過迭代得到最優(yōu)解。在每次迭代中,粒子通過跟蹤2個“極端”來更新自身。第1個是粒子自身找到的最優(yōu)解,稱為個體極值pbest;另一個極值是目前為止所有粒子中的最優(yōu)解,這個極值是全局極值gbest。用變量pbest來記錄個體搜索的最優(yōu)解,用gbest記錄整個群體在一次迭代中搜索的最優(yōu)解。粒子速度和位置的更新公式如下:

vi+1=ωvi+c1rand()[pbest(i)-

zi+c2rand()(gbest-zi)]

(10)

zi+1=zi+vi+1

(11)

其中:vi為第i個粒子的速度;ω為慣性權重;c1和c2為學習參數(shù);rand()為0～1之間的隨機數(shù);pbest(i)為第i個粒子搜索的最優(yōu)值;gbest為搜索整個集群的最優(yōu)值;zi為第i個粒子的當前位置。

標準PSO算法的步驟如下。

(1) 初始化PSO,包括種群大小N,每個粒子的位置xi和速度vi。

(2) 計算每個粒子的適應度值fi。

(3) 對每個粒子的適應度值fi與個體極值pbest(i)進行比較。若fi>pbest(i),則將pbest(i)替換為fi。

(4) 對于每個粒子,將其適應度值fi與全局極值gbest進行比較。若fi>gbest,則將gbest替換為fi。

(5) 根據(jù)(10)式和(11)式更新粒子的速度和位置。

(6) 若滿足結束條件(誤差足夠小或達到最大循環(huán)次數(shù)),則退出算法;否則返回步驟(2)。

1.5 油藏反演方法步驟

油藏反演方法的步驟如下。

(1) 確定油藏反演的不確定參數(shù)及其范圍。

(2) 用拉丁超立方抽樣法確定試算算例。

(3) 利用油藏數(shù)值模擬軟件計算井底壓力、壓力變化及壓力導數(shù)。

(4) 利用步驟(3)中的數(shù)據(jù)構造高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡,并定義目標函數(shù)。

(5) 利用PSO算法最小化目標函數(shù),得到1組不確定參數(shù)值。

(6) 利用步驟(5)中獲得的不確定參數(shù)值,計算井底壓力、壓力變化和壓力變化導數(shù);然后將計算數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)進行比較。

2 油藏反演方法對比實驗

本節(jié)對多項式擬合方法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法進行比較。

2.1 模型描述

矩形油藏中心為一口直井,如圖2所示,其中存在5個不確定參數(shù):油藏滲透率K、區(qū)域滲透率K1、井筒儲量C、井表皮系數(shù)S和復合半徑R。

圖2 矩形油藏模型

2.2 相同試算算例數(shù)的擬合結果對比

首先,采用拉丁超立方抽樣法確定120組試算算例;然后,將每組試算算例帶入油藏數(shù)值模擬軟件中,計算相應的井底壓力值;最后,根據(jù)井底壓力值可以計算壓力變化和壓力導數(shù)數(shù)據(jù)。

將120組試算算例的第1組算例作為實際值。分別進行多項式擬合和運用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法。

多項式擬合采用最小二乘法對其余119組試算算例進行擬合,構造多項式函數(shù);RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法將RBF的中心距離值d設為1,利用其余119組試算算例構建有10個隱含層的高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡。利用實際數(shù)據(jù)值和多項式函數(shù)或高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡定義目標函數(shù);在得到目標函數(shù)后,利用PSO算法獲得不確定參數(shù)的最優(yōu)值;最后將估計的不確定參數(shù)輸入到油藏數(shù)值模擬軟件中,產(chǎn)生井底壓力、壓力變化和壓力導數(shù)數(shù)據(jù)。

基于多項式的擬合結果如圖3所示, 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的擬合結果如圖4所示。從圖3、圖4可以看出,基于多項式擬合的壓力導數(shù)在0.5～1.0 d之間擬合效果不佳,而基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的擬合結果較好。結果表明,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法優(yōu)于多項式擬合方法。

圖3 基于多項式的自動擬合結果

圖4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自動擬合結果

2.3 減少試算算例數(shù)的擬合結果對比

在最小二乘多項式擬合中,為了使得到的多項式具有唯一性,需要保證試算算例數(shù)大于等于多項式項數(shù);否則最小二乘多項式擬合方法將失效。然而用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法可以解決多項式擬合方法的這個缺點,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法只需要較少的試算算例。為了驗證這一點,逐漸減少試算算例數(shù),分別分析最小二乘多項式擬合和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的擬合結果。本文考慮2種情況:① 將試算算例數(shù)減少1/2;② 將試算算例數(shù)減少至20組。

為了將試算算例數(shù)減少1/2,采用拉丁超立方抽樣生成了60組試算算例數(shù)。同樣將第1組作為實際值,分別用最小二乘多項式擬合和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法反求不確定參數(shù)。對應的井底壓力、壓力變化及壓力導數(shù)擬合結果如圖5和圖6所示。

圖5 算例數(shù)為60時基于多項式的自動擬合結果

圖6 算例數(shù)為60時基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自動擬合結果

從圖5、圖6可以看出,最小二乘多項式擬合的壓力導數(shù)在0.1～2.0 d之間擬合得不好,而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法擬合結果較好。結果表明,當樣本數(shù)據(jù)減少1/2時,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法仍然可以得到很好的結果,而最小二乘多項式擬合得到的結果不好。

當試算算例數(shù)減少到20時,最小二乘多項式擬合失效。然而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法仍然可以得到很好的結果,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的結果如圖7所示。這說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法是一種高效的油藏反演方法。

圖7 算例數(shù)為20時基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自動擬合結果

3 實際案例研究

3.1 油藏模型描述

在大慶油田某區(qū)塊中選擇1組井群進行油藏反演。大慶油田是我國最大的油田,也是世界上為數(shù)不多的特大砂巖油田之一。它由52個油氣田組成,含油面積約為6 000 km2,自開發(fā)以來,取得了良好的開發(fā)效果。

該區(qū)塊從1965年開始開發(fā),成為大慶地區(qū)的主要油藏[35]。井群如圖8所示,其中共有7口井,平均厚度5.8 m。需要反求的不確定參數(shù)為:層滲透率K、紅色標記區(qū)域的滲透率K1和水飽和度sw、生產(chǎn)井7井的井筒儲量C和井表皮系數(shù)S。它們的取值范圍分別為[500 mD,2 000 mD]、[1 000 mD,3 000 mD]、[0.5,0.8]、[0.1 m3/MPa,1.0 m3/MPa]和[0,3]。

3.2 擬合結果

根據(jù)1.5節(jié)中的步驟,由拉丁超立方體抽樣生產(chǎn)120組試算算例,然后反求不確定參數(shù)值,不確定參數(shù)值的反求結果被代入油藏數(shù)值模擬軟件中擬合得到壓力、壓力變化和壓力導數(shù),如圖9所示。

圖9 實際案例的自動擬合結果對比

由圖9可知,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法在該實際案例中得到的曲線擬合結果良好,由此驗證了該方法的有效性。

4 結 論

本文提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的油藏反演方法。首先確定不確定參數(shù),將拉丁超立方抽樣生成的試算算例輸入到油藏數(shù)值模擬軟件中生成井底壓力數(shù)據(jù);然后建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡,擬合壓力變化和壓力導數(shù);在此基礎上定義了表示計算值與實際觀測值之間偏差的目標函數(shù);最后采用PSO優(yōu)化算法對目標函數(shù)進行優(yōu)化,得到不確定參數(shù)的最優(yōu)解。本文還對設計的油藏模型進行了模擬,比較了最小二乘多項式擬合和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法,并將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法應用于油藏反演,得到了較好的擬合結果。與最小二乘多項式擬合相比,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法具有更高的精度且不需要較多的試算算例數(shù)。在相同試算算例數(shù)下,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法的擬合結果一般優(yōu)于最小二乘多項式擬合。當試算算例數(shù)減少到最小二乘多項式擬合失效的數(shù)目時,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法仍能得到很好的擬合結果。通過實際案例驗證了本文方法的有效性,且精度高,所需試算算例數(shù)少,具有比較廣闊的應用前景。