劉濤，張勇

（1. 煙臺(tái)南山學(xué)院 智能科學(xué)與工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 265713；2. 河南省計(jì)量科學(xué)研究院，鄭州 450008）

路面不平度、車輛速度及懸架系統(tǒng)性能會(huì)影響汽車振動(dòng)情況，汽車振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響汽車平順性和操縱穩(wěn)定性等性能[1]。平順性是衡量汽車舒適性的重要指標(biāo)之一，汽車平順性可以用車身振動(dòng)加速度來(lái)評(píng)價(jià)[2]。

路面狀況、汽車速度硬性條件下，懸架系統(tǒng)振動(dòng)性能優(yōu)良可有效改善汽車平順性。目前普通轎車多采用線性被動(dòng)懸架系統(tǒng)，線性被動(dòng)懸架有性能可靠、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低等優(yōu)點(diǎn)[3]。此種懸架只能對(duì)固有頻率段減振效果明顯，如何設(shè)計(jì)懸架結(jié)構(gòu)、調(diào)整參數(shù)來(lái)改善汽車平順性是被動(dòng)懸架參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題。

Gourdon 等[4]指出非線性懸架具有優(yōu)越的寬頻減振特性,并能提高減振效率。非線性懸架的振動(dòng)抑制機(jī)理是靶能量傳遞（Targeted energy transfer,TET），TET 在振動(dòng)抑制中應(yīng)用非常廣泛[5]。文獻(xiàn)[6]研究了外界激勵(lì)下，非線性懸架不同的參數(shù)對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制效果的影響；文獻(xiàn)[7]證明了非線性減振器可有效吸收結(jié)構(gòu)振動(dòng)。研究表明，在設(shè)計(jì)得當(dāng)?shù)那疤嵯?，非線性懸架具有良好的減振效果。

本文提出一種非線性懸架的設(shè)計(jì)方法，利用普通線性彈簧的空間組合構(gòu)建Duffing 振子；建立含立方剛度的二自由度非線性懸架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，利用增維精細(xì)積分法求解非線性懸架的數(shù)學(xué)模型，利用遺傳算法找出某段速度范圍內(nèi)，懸架的最優(yōu)參數(shù)，通過(guò)Simulink 對(duì)比仿真，確定非線性懸架的優(yōu)越性，通過(guò)運(yùn)算仿真表明，所構(gòu)建的非線性懸架系統(tǒng)具有良好的寬頻特性，并取得明顯的減振效果。

1 非線性減振懸架系統(tǒng)

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

將整車系統(tǒng)的1/4 簡(jiǎn)化成一個(gè)汽車振動(dòng)模型，需要做如下假設(shè)[8-9]：

1）總質(zhì)量不變，質(zhì)心位置不變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變；

2）懸掛質(zhì)量分配系數(shù)為1，汽車前、后懸架振動(dòng)彼此沒(méi)有聯(lián)系，不考慮車身的俯仰、前后軸的垂向跳動(dòng)；

3）車輛幾何尺寸和質(zhì)量近似認(rèn)為左右對(duì)稱；

4）在低頻路面激勵(lì)下，車輛的左右兩個(gè)車輪軌跡輸入具有較高的相關(guān)性，認(rèn)為左右兩側(cè)以完全相同的方式運(yùn)動(dòng)。在高頻路面激勵(lì)下，認(rèn)為激勵(lì)只涉及到車輪跳動(dòng)，對(duì)車身運(yùn)動(dòng)影響甚微，車身左右兩邊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)就可忽略。

利用兩個(gè)普通的線性彈簧空間組合構(gòu)建Duffing振子，建立如圖1 所示的二自由度非線性懸架系統(tǒng)。其中，非簧載質(zhì)量為m1， 簧載質(zhì)量為m2，輪胎剛度為k1， 懸架彈簧剛度為k2，懸架阻尼系數(shù)為c，非簧載質(zhì)量位移為x1， 簧載質(zhì)量位移為x2，路面不平度函數(shù)為q，彈簧自由長(zhǎng)度l。

圖1 二自由度非線性懸架系統(tǒng)

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，非線性懸架系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程為：

令：

則動(dòng)力方程可化為

1.2 數(shù)學(xué)模型求解

非線性懸架構(gòu)成的非線性力學(xué)系統(tǒng)是復(fù)雜的，求多自由度非線性振動(dòng)的高精度解是困難的，精細(xì)積分法[10-13]在求解線性定常振動(dòng)方程時(shí)，可得到較高精度的解。利用增維精細(xì)積分法化非線性動(dòng)力方程為形式上的齊次方程再求解，使高精度的計(jì)算多自由度非線性方程得以實(shí)現(xiàn)。

利用增維精細(xì)積分法求上述方程，令x2=y，x˙2=y1，x1=z，x˙1=z1，x5≡1 ,可轉(zhuǎn)化為

其中：

式（3）在形式上已化為線性非齊次方程，記時(shí)間步長(zhǎng)τ，在很小的時(shí)間間隙內(nèi)，則可以用精細(xì)積分法，式中通解為齊次解vh與特解vp之和，即

在t∈[tk,tk+1]積分區(qū)間內(nèi)，齊次解為

式中： [T(τ)]=exp(Hτ)， τ=t-tk；{c}為由初始狀態(tài)tk決定的積分常向量。假定特解已求出，可以求出{c}=v(tk)-vp(tk)，則

令t=tk+1，可得到積分公式為

當(dāng)積分區(qū)間足夠小時(shí)，認(rèn)為外載是線性變化的，可采用線性插值的方法求解，r(t)=rk+r1(t-tk)，rk是在該步內(nèi)給定的向量，

則相應(yīng)的解為

T(τ)利用指數(shù)函數(shù)的加法定理，則

式中：m為任意正整數(shù)，m=2N；由于τ 是一個(gè)很小的時(shí)間區(qū)段。則η =τ/m是 一個(gè)非常小的時(shí)間區(qū)段，對(duì)于η，有可寫為：

式中Ta為 一個(gè)小量矩陣，當(dāng)它與單位陣In相加時(shí)，去前四項(xiàng)的結(jié)果即可滿足要求。

為了計(jì)算T有

由式（12）相當(dāng)于執(zhí)行語(yǔ)句

當(dāng)循環(huán)結(jié)構(gòu)結(jié)束時(shí)，有

式（14）構(gòu)成了T（τ）計(jì)算表達(dá)式，可得到高精度解。

為提高精度，當(dāng)計(jì)算出v(tk+1)后，對(duì)H進(jìn)行修正，則

將修正后的H重新代入式（9）知道滿足下列條件

式中： ε為設(shè)定的閾值；j為迭代次數(shù)。當(dāng)式（16）成立時(shí)，認(rèn)為v(tk+1)是所求解。

1.3 路面激勵(lì)模型

路面粗糙程度的不同決定了路面等級(jí)不同，路面粗糙程度可用路面不平度系數(shù)G0表示，根據(jù)不同路面粗糙程度建立含有速度參數(shù)的積分白噪聲路面激勵(lì)模型時(shí)域模型。

式中：u為汽車車速；w為單位強(qiáng)度為1 的隨機(jī)白噪聲。

2 非線性懸架優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計(jì)變量

在汽車其他參數(shù)一定下，根據(jù)建立的非線性懸架，在懸架參數(shù)設(shè)計(jì)可行域內(nèi)，選取合適的彈簧剛度和阻尼器阻尼，使得懸架系統(tǒng)的減振性能最優(yōu)。將非線性懸架的彈簧剛度和阻尼系數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，即

2.2 約束條件

為保證設(shè)計(jì)懸架的合理性，需要添加所設(shè)計(jì)參數(shù)的約束條件，使懸架系統(tǒng)性能指標(biāo)符合設(shè)計(jì)要求，本優(yōu)化模型的約束條件包括偏頻和阻尼系數(shù)的取值范圍。

汽車偏頻的取值對(duì)汽車行駛平順性影響較大。一般推薦偏頻的取值范圍如表1 所示；阻尼系數(shù)的范圍受到減振器設(shè)計(jì)參數(shù)的影響。

表1 轎車偏頻取值范圍[14]

2.3 目標(biāo)函數(shù)

路面輸入模型采用白噪聲型式，垂直軸向頻率加權(quán)函數(shù)的頻率范圍廣，已失去討論意義。用加權(quán)峰值系數(shù)表征汽車平順性，當(dāng)加權(quán)峰值系數(shù)<9 時(shí)，可直接用車身總加權(quán)加速度均方根值來(lái)評(píng)價(jià)振動(dòng)對(duì)人體舒適性和健康的影響。本文以車身總加權(quán)加速度均方根值最小值作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

式中：awu(t)為某一車速下加權(quán)加速度時(shí)間歷程；awu為某一車速下加權(quán)加速度方均根值。

某一汽車行駛周期內(nèi)車身總加權(quán)加速度方均根值aw，可表示為不同車速下加權(quán)加速度方均根值awu與 此車速所占時(shí)間比例fn的和。

式中f1+f2+···+fn=1。

綜上，可表示為在線性懸架的彈簧剛度和阻尼系數(shù)限制條件下，找到合適的彈簧剛度和阻尼系數(shù)，使得總加權(quán)加速度均方根值最小。即：

式中：k2′、k2′′為 彈簧剛度的上下限；c′、c′′為阻尼系數(shù)的上下限。

2.4 遺傳算法仿真分析

遺傳算法是一種全局優(yōu)化概率搜索算法，因其操作簡(jiǎn)單、適用性廣、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。其基本原理仿效生物界中的“物競(jìng)天擇、適者生存”的演化法則。通過(guò)把問(wèn)題編碼為染色體，選擇合適的適應(yīng)度函數(shù)，先產(chǎn)生初始種群，仿照自然界的淘汰機(jī)制對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇、交叉和變異等操作。最終生成符合優(yōu)化目標(biāo)的染色體，再進(jìn)行反編碼得到最優(yōu)解[15-17]。

本次設(shè)計(jì)建立如圖2 所示算法分析路線，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時(shí)，調(diào)用1/4 車輛模型控制方程，遺傳算法程序進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，求得最優(yōu)解。

圖2 遺傳算法仿真路線

3 案例分析

3.1 算法仿真

以某轎車參數(shù)為例，車輛模型參數(shù)如表2 所示，遺傳算法程序中：種群大小為40，遺傳代數(shù)為200，代溝為0.95，交叉概率為0.7，變異概率為0.01，15 000≤k2≤25 000 N/m， 1 000 ≤c≤2 000 N·s/m，1 ≤u≤20m/s，取l= 0.3 m，并假設(shè)不同車速所占時(shí)間比列相同，按所述方法進(jìn)行仿真。

表2 車輛模型參數(shù)

如圖3 所示，遺傳代數(shù)增加到30 代左右后，解不再發(fā)生變化，此時(shí)所求的解為最優(yōu)，最優(yōu)解為k2=19 482.3，c=1 235.3，aw=0.73。圖4 為在此總體最優(yōu)條件下，不同車速awu的變化，可見(jiàn)總體而言awu數(shù)值較小，變化較小，可認(rèn)為取得了較為良好的減振效果，當(dāng)車速為16 m/s 時(shí)，awu數(shù)值較大，針對(duì)這一數(shù)據(jù)引入Simulink 仿真，進(jìn)一步分析、評(píng)估此時(shí)的減振效果。

圖3 遺傳代數(shù)及解的變化曲線

圖4 不同車速下加速度方均根值

3.2 Simulink 仿真分析

在Simulink 中建立如圖5 所示的非線性懸架仿真模型，路面激勵(lì)模型選用車速為16 m/s 時(shí)的時(shí)域輸入模型，線性懸架仿真模型可參考文獻(xiàn)[10]中的模型建立方法，設(shè)定已知參數(shù)和計(jì)算出的參數(shù)，設(shè)定仿真時(shí)間為10 s，進(jìn)行仿真。

圖5 Simulink 仿真模型

圖6為路面時(shí)域輸入模型。線性懸架車身與非線性懸架車身位移如圖7、圖8 所示。圖7 可看出，普通線性懸架減振效果已比較優(yōu)秀，對(duì)比圖7、圖8可發(fā)現(xiàn)，在車速為16 m/s 時(shí)，awu數(shù)值較大條件下，非線性懸架系統(tǒng)減振效果要好于普通線性懸架。

圖6 路面不平度輸入模型

圖7 線性懸架車身位移

圖8 非線性懸架車身位移

4 結(jié)論

1）本文通過(guò)利用線性減振彈簧空間的改變，提出一種切實(shí)可行的非線性懸架減振系統(tǒng)構(gòu)建方法。

2）構(gòu)建1/4 汽車的非線性懸架減振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用增維精細(xì)積分法得到非線性懸架動(dòng)力學(xué)模型的高精度解。

3）以車身總加權(quán)加速度均方根值最小值作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法求解限制條件下，非線性懸架系統(tǒng)的彈簧剛度和阻尼系數(shù)，并利用Simulink仿真，對(duì)比非線性懸架與線性懸架，進(jìn)一步確定所建立非線性懸架系統(tǒng)的可行性和優(yōu)越性。

4）路面激勵(lì)模型時(shí)域模型采用積分白噪聲，使得計(jì)算結(jié)果存在較小出入，應(yīng)繼續(xù)對(duì)此討論研究。