申笑顏 孫慧哲

摘? 要：醫(yī)學領域的數(shù)學化發(fā)展推動教師對醫(yī)學生的數(shù)學教育模式進行創(chuàng)新性實踐與開拓性思考。文章基于復雜性科學中的非線性思維，在醫(yī)學高等數(shù)學的教育實踐中構建了一種全新的教材使用模式和教學過程模式，重構了各部分教學內容中傳統(tǒng)的講授順序，賦予教學活動中教師與學生主體角色新含義。實踐結果表明，針對醫(yī)學生的數(shù)學教育模式的構建不僅能夠促進醫(yī)學生的課堂思考，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)，有利于新時代對醫(yī)學生的未來發(fā)展要求，還能夠提高教師的教學能力，豐富教師的教學經驗，弘揚教師的奉獻精神，落實立德樹人根本任務。

關鍵詞：非線性思維；醫(yī)學生；數(shù)學教育模式

中圖分類號：G642? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2023）04-0079-05

隨著科學技術的數(shù)學化發(fā)展，現(xiàn)代醫(yī)學也加快了邁向數(shù)學化的步伐。數(shù)學思維的品質與醫(yī)學領域的研究水平密切相關，良好的數(shù)學教育有助于培養(yǎng)醫(yī)學生的數(shù)學素質。盡管國內醫(yī)學院校之間的數(shù)學教育情況各不相同，但是都會在第一學期開設醫(yī)學高等數(shù)學課程，并且大部分以微積分為主要教學內容，以幫助醫(yī)學生在后續(xù)課程的學習和未來職業(yè)發(fā)展中打下良好的數(shù)學基礎。目前，傳統(tǒng)數(shù)學教學對許多學生來講，無論是教學方法還是教室場合，都難以使他們集中注意力思考數(shù)學問題，一定意義上弱化了數(shù)學教育的實際效果。對醫(yī)學生的數(shù)學教育陷入了困境，數(shù)學教師應該想方法突破，而實際上，關于醫(yī)學生數(shù)學教育思維方式的轉換更應該引起我們的重視［1-2］。

線性思維是一種單向一維、直線機械的思維方式，而非線性思維是一種多向多維、曲線靈活的思維方式。對絕大多數(shù)的非數(shù)學類學生而言，他們學習數(shù)學的目的是為了應用數(shù)學知識（包括數(shù)學思想與方法）去理解和解決本領域內的實際問題，醫(yī)學生也不例外。雖然醫(yī)學生的未來工作主要是利用精湛的醫(yī)學技能救治病人，但是數(shù)學知識能助力醫(yī)學生提高醫(yī)療技能。數(shù)學教育本身具有實施的復雜性，而數(shù)學與醫(yī)學的結合又讓醫(yī)學生的數(shù)學教育具備了某些特殊性，面對復雜性和特殊性兼而有之的醫(yī)學生數(shù)學教育，基于復雜性科學中的非線性思維構建的醫(yī)學生數(shù)學教育模式，加強醫(yī)學生數(shù)學教育實踐意義深遠［1，3，4］。

一、基于非線性思維的醫(yī)學生數(shù)學教育模式的構建

醫(yī)學生對專業(yè)知識的憧憬、對職業(yè)生涯的期待，會隨著大一基礎課程的學習逐漸加深。大學的基礎課程尤其是高等數(shù)學，對學生的學習方式和研究范式的形成與固化、對學生成才與終身發(fā)展都具有不言而喻的重要作用。醫(yī)學生的數(shù)學教育始于大一上學期，基于非線性思維的醫(yī)學生數(shù)學教育可協(xié)助本身具備跨領域性質的教與學，避免在教與學的過程中陷入教材固有模式的局限，以培養(yǎng)師生開拓更寬廣的視野與格局［5］。

（一）教材使用模式的構建

我國的醫(yī)學高等數(shù)學教材大多以微積分知識體系為主要框架，然而在教學中，其應用廣度與理論深度相比，略顯遜色。微積分內容的知識點眾多，各知識點之間的聯(lián)系千絲萬縷［6］。醫(yī)學高等數(shù)學教材的章節(jié)架構大多數(shù)是按照函數(shù)、極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、不定積分、定積分再到微分方程的順序，而教材主體的寫作方式基本上是定義、定理、證明和例題四部曲［7］。然而，教材內容本身的線性穩(wěn)定性不代表教材內容線性使用的必然性，在教學過程中可以根據(jù)學生的實際情況，將具有靜態(tài)屬性的教材按照動態(tài)屬性進行應用處理，設計靈活多樣的教材使用模式，引領學生開放地使用教材。由于學生在高中學習數(shù)學時已經初步接觸到微積分中的導數(shù)和定積分，能夠保證基于非線性思維進行教材使用新模式構建的可行性。下文提出在教材使用中可采納的三種動態(tài)開啟模式。

1. 導數(shù)開啟模式的構建

一般而言，教師會按照醫(yī)學高等數(shù)學教材的章節(jié)順序，開篇回顧函數(shù)，通過介紹數(shù)列的極限引出函數(shù)的極限，借助前述極限的概念重新認識高中的導數(shù)。事實上，盡管學生在高中已經學習導數(shù)、導數(shù)的運算及其部分應用，對這部分內容比較熟悉，但高中數(shù)學中導數(shù)概念的介紹沒有過多地涉及極限的數(shù)學實質。因此，教師可以利用學生熟悉的導數(shù)的幾何意義（斜率）和物理意義（速率），來開啟對微積分知識的學習。在引例部分，除了斜率和速率之外，可加入醫(yī)學案例，激發(fā)學生的應用意識。

在導數(shù)開啟模式之后，可以有兩個學習分支：一是進行導數(shù)逆運算，即不定積分的學習；二是進行高中定積分的復習。這兩個分支的特點各不相同。延續(xù)數(shù)學互逆運算的慣性，反導數(shù)，即不定積分的出現(xiàn)自然而然，尤其是不定積分算法的多樣性和不確定性能夠加深學生對非線性思維的印象。同樣，在高中數(shù)學的定積分的幾何意義和物理意義的介紹中，沒有強調微積分中極限的定義對定積分的定義鼎力相助的作用，忽略了定積分具有和的極限的數(shù)學實質。教師可再次闡釋極限定義對微積分學科的意義，以體現(xiàn)出極限概念的重要性。

2. 積分開啟模式的構建

定積分也出現(xiàn)在高中數(shù)學教材中，其幾何意義（面積）和物理意義（路程）是必修知識點，但定積分的極限數(shù)學實質沒有作為主要內容加以研究。這為利用定積分開啟數(shù)學教育的模式奠定了基礎，并借此引入極限的概念。求解定積分的牛頓—萊布尼茨公式的出現(xiàn)是數(shù)學史上非常精彩的一筆，在此處可以加入兩位數(shù)學家的故事，以調動學生的學習興趣。從數(shù)學史的角度學習數(shù)學是一個很重要的環(huán)節(jié)，除了學習隱性的數(shù)學內涵，還可獲得顯性的人文外延。

顯然，在學習定積分計算時，反導數(shù)的求解必不可少，可回到中學就學習過的導數(shù)概念，借助導數(shù)引申出求反導數(shù)，即求不定積分的算法。同時，導數(shù)概念中極限的再次出現(xiàn)，同樣可以再次讓學生認識到極限在微積分中的重要作用。定積分和導數(shù)引出的極限及其運算，與導數(shù)應用中洛必達法則以及相關醫(yī)學題目相結合，可以很好地展示微積分在醫(yī)學領域的應用價值。

3. 微分方程開啟模式的構建

歷史上，微分方程雛形的出現(xiàn)甚至比微積分的發(fā)明還要早，牛頓和萊布尼茨從不同問題提出微分和積分的互逆運算時，實際上解決了一個微分方程的求解問題［8］。在國內，高等數(shù)學教材中一般都將微分方程安排在微積分內容后。由于有高中微積分基礎，學生在大學教學中，可以打破教材序貫常規(guī)，先介紹微分方程，在求解過程中涉及不定積分時，可以從簡單的反導數(shù)問題入手，逐漸引入導數(shù)、極限和定積分、極限的知識點。微分方程在醫(yī)藥學領域的應用相當廣泛，構造的數(shù)學模型可以反映醫(yī)學問題中各個變量之間的關系。

因此，給大一的醫(yī)學生講授高等數(shù)學時，完全可以從與微分方程相關的醫(yī)學案例入手，讓他們感受數(shù)學在醫(yī)藥學實踐中應用的力量。教材里陳述的是數(shù)學知識，但教師要通過數(shù)學教育，幫助學生透過教材看出它希望傳遞出什么樣的數(shù)學思想?？陀^世界在本質上就是復雜、非線性的，任何一個學科體系自身都是龐雜的，數(shù)學亦是如此。高等數(shù)學教材介紹的內容是從眾多知識點中選取的精華，教材內容安排也是線性的。教師需要在教導學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中，靈活地使用教材，而不是墨守成規(guī)，從一而終。

（二）教學過程模式的構建

數(shù)學教育是一個傳授思想的過程，在數(shù)學教學過程中，學生既是教學的客體，又是教學的主體，而對于選擇醫(yī)學專業(yè)的學生群體，他們對數(shù)學教育期望的獨特性更應該引起重視。實際上，無論是數(shù)學還是醫(yī)學，都屬于問題驅動型學科，解決問題是貫穿二者的共同主線。因此，醫(yī)學生數(shù)學教育效果對其后續(xù)課程學習思維的培養(yǎng)具有鋪墊作用。醫(yī)學生數(shù)學教育的不斷發(fā)展要求數(shù)學教師自覺克服專業(yè)的局限，這對教師的知識結構和教學方法都提出了巨大的挑戰(zhàn)。非線性思維能夠幫助數(shù)學教師在數(shù)學教育過程中，從整體布局和全景視野的角度，看待教學過程中各活動主客體之間的不同層次和不同因素之間的聯(lián)系，引領學生進行開放性思考和學習，走出慣性思維和方法的束縛。綜上，下文提出三種動態(tài)教學模式。

1. 引入學生參與數(shù)學教學的模式構建

當明確教材使用模式之后，教學實踐就是接下來應該考慮的問題。教學實踐是數(shù)學教學理論生成的邏輯起點，而引入學生進行數(shù)學教學的模式就是一種師生角色互換的教學模式，允許學生占據(jù)數(shù)學教學活動的主體地位。對于大一新生來說，站在大學課堂尤其是大型階梯教室的前面給同學講課，大多數(shù)同學都是第一次。緊張又興奮的心情會調動學生的興趣點和探索的積極性。

事實上，這種學生教學的模式操作起來難度很大，因為醫(yī)學生的數(shù)學教學多以大班型為主，學生多、學時少。要想實現(xiàn)引入學生進行數(shù)學教學的模式，可以利用課余時間，比如清晨或晚上進行全員試講。首先，讓全體同學分班級在教室進行第一輪試講，使其感受到真實的講臺鍛煉和真實的授課體驗；其次，教師根據(jù)學生的授課效果進行篩選，其中表現(xiàn)良好的學生再利用課余時間進行第二輪教室試講，錄好視頻后與同學和老師一起觀看，找出教學過程中的瑕疵并加以改進；最后，師生共同從第二輪試講中選出表現(xiàn)優(yōu)秀的同學在課堂上進行正式講課。當然，教師要根據(jù)實際授課時間和教學內容把握最終講課人數(shù)，這需要教師提前對各種制約教學的因素有充分的考慮，做好精心的設計和安排，并能夠隨時對學生教學的突發(fā)狀況進行調整。唯此才能取得良好的教學效果，否則本模式就容易演變成低效、無聊且又費時的行為藝術。

2. 激發(fā)學生參與數(shù)學思考的模式構建

非線性思維讓人們保持開放的心態(tài)以應對各種可能，在明確教材動態(tài)使用的前提下，教師啟發(fā)學生思考的方式也需要動態(tài)性。線上、線下授課過程中都離不開網絡，雨課堂、騰序會議等教學平臺的推廣也使得師生手機的使用常態(tài)化，借助移動終端可以調動學生參與教學思考。首先，利用雨課堂中學生彈幕的最高頻詞讓學生課前決定講授哪部分內容，并作預習；其次，讓學生課前在教材中或者通過其他途徑挑選對應知識點的醫(yī)學案例做深入的了解，選題活動人人都要參與；再次，在課上隨機挑選學號，用以確定選擇哪些醫(yī)學應用案例，并讓學生用彈幕發(fā)布與該題相關的知識點；最后，通過學生講課或者教師講課來介紹本部分的知識點。這種講課內容和講課模式的動態(tài)性可以將學生引入教學過程中，賦予他們思考的內容，啟發(fā)他們思考的方向，從而培養(yǎng)他們思考的能力。

學生參與教學的模式顯性體現(xiàn)出學生的學習行為和學習效果，背后數(shù)學思想的培養(yǎng)是隱性的但是可察覺的。然而，課堂上學生是參與思考還是偽裝思考，即學生與教師授課的互動究竟僅僅是對教師禮貌性地附和還是實際性的思考，都真正值得教師去認真思考。學生的投入與參與是課程取得良好效果的重要因素，與知識增長相比，知識增長的方式更重要，其增長速度又與思考方式息息相關。因此，教師在數(shù)學教育中對學生思考力的培養(yǎng)不僅理論意義重大，而且更需要有可行的實踐操作［9］。

3. 拓寬學生參與數(shù)學應用的模式構建

哈佛大學數(shù)學物理教授阿瑟·杰佛曾說數(shù)學不管怎么抽象，在自然界中最終必能得到實際的應用。觀察客觀世界的現(xiàn)象應抓住其主要特征，建立模型，進行分析和邏輯推理，揭示事物的內在規(guī)律，這是運用數(shù)學思維解決實踐應用的一種方式［10］。因此，應該為學生提供展現(xiàn)其應用能力的機會，而數(shù)學建模競賽就是一個很好的平臺。對醫(yī)學生而言，與解答出數(shù)學習題相比，應用數(shù)學知識去解決實際問題或許是更有成就感的事情，而參加數(shù)學建模競賽可以充分體驗這種成就感。目前我國針對大學生的各個級別的數(shù)學建模競賽較多，在大一高等數(shù)學的學習結束之后，可以組織學生參與此類競賽。盡管醫(yī)學生的數(shù)學知識無法與其他理工科學生相比，但實踐證明，具有良好數(shù)學思考力的低年級醫(yī)學生也可以獲得良好的成績。在備賽和競賽過程中，參賽學生的學習力、創(chuàng)造力和執(zhí)行力令人驚喜，充分體現(xiàn)了著名數(shù)學教育家哈爾莫斯所說的：“具備一定的數(shù)學修養(yǎng)比具備一定量的數(shù)學知識重要得多。”

當然，參加數(shù)學建模競賽只是部分對自身和數(shù)學要求高的學生的選擇，但教師不能因此就否定這類比賽對醫(yī)學生的數(shù)學應用價值。在數(shù)學教育中，教師不僅要注重教材這一貫穿教學雙方的課堂介質，而且也要倡導圖書館紙質資源和網絡資源的運用。實際上，對所有教學資源的了解，也是參與數(shù)學應用的一個過程。另外，實施學生全員參與自主命題應用的實踐過程在培養(yǎng)學生質疑意識、鼓勵質疑精神方面也取得了良好的效果。傳統(tǒng)的教育往往把數(shù)學當成一種純粹的知識與技能來傳授，如果學生修完數(shù)學課程后只能用數(shù)學來進行一些實際計算，不懂得如何運用數(shù)學的眼光去觀察、思考和解決問題，那也是數(shù)學教育的一種遺憾［2，7，10-12］。

二、基于非線性思維的醫(yī)學生數(shù)學教育實踐的思考

（一）學生層面的思考

目前，學生學習面臨的最大困惑已經不是如何獲取已有的知識，而是如何從知識的海洋中去偽存真，獲得有效的信息。在這樣的時代背景下，學生需要運用更加靈活的思維去判斷這種情況。學生是教學活動的焦點，如果他們不思考甚至不會思考，一切教學實踐就都失去了意義。是否會在課后進行數(shù)學思考，通過什么方法為沒有思考的學生注入思考的活力呢？相關研究表明分配檢查理解問題、促進自主學習、活躍課堂、回答需要思考的問題等方法能夠在較大程度上促進學生課堂上對數(shù)學問題進行深入思考［2］。

非線性思維具有開放性、動態(tài)性和整體性的特點，讓學生篩選整體性的教學內容，設置動態(tài)性的教學目標，啟發(fā)他們開放性的學習態(tài)度，引領他們逐步邁入數(shù)學思考的方向是非常有意義的。如果教師只教學生解答習題，學生則無法掌握真正的技能，醫(yī)生為患者提供服務時，對重要臨床問題如診斷、治療、預后和其他衛(wèi)生保健方面問題的認識都是終身的、自主的學習過程［13］。從發(fā)展的觀點來看，學生應時刻準備回答未來的問題，甚至在課堂上從未遇見的問題。而醫(yī)藥類專業(yè)大學數(shù)學課程的教學基本要求應具備一定的理論價值和實踐意義。只教他們已為人所知的東西是不夠的，他們必須知道如何去發(fā)現(xiàn)尚未被發(fā)現(xiàn)的東西［14-15］?；诜蔷€性思維的數(shù)學教育有利于醫(yī)學生未來的職業(yè)發(fā)展。

（二）教師層面的思考

數(shù)學教育要適應社會的需求，不僅學生要適應，教師同樣也要適應。教育的作用是要把自然的人培養(yǎng)成社會的人，使其成為社會生產力的組成部分。雖然數(shù)學教育看似一個單向的線性輸入輸出過程，但是顯性的明言知識和隱性的意會知識的交叉使得教學過程成為一個復雜的實踐系統(tǒng)。在傳統(tǒng)教學中，線性思維特點鮮明，教學過程要走出傳統(tǒng)模式，教師就要發(fā)揮主導作用，建立非線性思維意識，以更為開放的姿態(tài)為學生準備動態(tài)靈活的學習情境，以激發(fā)學生的積極性和創(chuàng)造力。教師既要完成規(guī)定的教學任務，又要在執(zhí)行過程中取得良好的教學效果，非線性教學實踐模式對教師提出了較高的全局掌控要求。教師需要充分考慮所有可能出現(xiàn)的情況，詳細設計相關教學環(huán)節(jié)，包括促進、制約、阻礙教學的各種因素，以及對應的補救措施。

在基于非線性思維的教學過程中，對教學任務的發(fā)放，對學生講課活動的陪伴，對學生確定的教學內容的講解，對學生數(shù)學應用的參與，都需要數(shù)學教師花費大量的業(yè)余時間無償?shù)馗冻?。知識或可言傳，德行需得身教，立德樹人是教育的根本任務。教書育人是一個廣義的教學活動，學生能夠在數(shù)學學習過程中感受到教師甘之如飴的奉獻。大一新生是一個特殊的群體，他們對所選大學的最初判斷來自教師群體。數(shù)學教師承載的敬業(yè)精神和職業(yè)素養(yǎng)可以通過教學行為傳遞給大一新生，對其未來學業(yè)規(guī)劃和職業(yè)操守都有著積極正面的影響。實際上，醫(yī)生這種行業(yè)和現(xiàn)實社會結合很深，常常不自覺地與社會既得利益集團掛鉤，因此，在培養(yǎng)未來醫(yī)生的教育過程中，更需要使學生成為敦品勵學的新知識青年［12，16］。可見，數(shù)學教育同樣可以作為思想品德教育的有效載體。

2019年7月26日，科技部、教育部、中科院、自然科學基金委聯(lián)合制定了《關于加強數(shù)學科學研究工作方案》（以下簡稱《方案》）。《方案》中提到，數(shù)學是自然科學的基礎，也是重大技術創(chuàng)新發(fā)展的基礎。數(shù)學不僅與醫(yī)學這門自然學科，而且在與其他學科的交叉融合成果中，同樣一直在展示其重要的價值。不斷發(fā)展的數(shù)學教育要求教育者自覺地克服專業(yè)視野的局限，跨領域的教與學的模式對教師的知識結構、理論視野及教學方法提出了巨大的挑戰(zhàn)?；诜蔷€性思維的醫(yī)學生數(shù)學教育不僅歷練著當代的醫(yī)學生，也考驗著當代的數(shù)學教師［3］。

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（責任編輯：羅欣）