王超隆 楊熙鑫 官源林

摘要：針對(duì)介電高彈聚合物的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，本文提出自適應(yīng)徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂疲╯liding mode control，SMC）算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)介電高彈聚合物運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤控制。首先考慮超彈性和粘黏性等引起動(dòng)力學(xué)模型中的未知項(xiàng)，外界干擾導(dǎo)致模型的不確定性，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的任意逼近連續(xù)函數(shù)特性、滑模控制的魯棒性和自適應(yīng)控制在線調(diào)整控制率設(shè)計(jì)控制器，并構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，證明控制器的穩(wěn)定性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)介電聚合物軌跡跟蹤控制，結(jié)果顯示聚合物的位置跟蹤極值誤差小于1%，響應(yīng)時(shí)間約為0.7 s，表明系統(tǒng)具有較高的動(dòng)態(tài)性能，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的線性運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤。同時(shí)，分析了激勵(lì)頻率和寬度預(yù)拉伸比對(duì)結(jié)構(gòu)跟蹤軌跡的影響規(guī)律，設(shè)計(jì)了系數(shù)參數(shù)的優(yōu)化方法。研究結(jié)果表明，該控制器提高了軌跡跟蹤的精確度，驗(yàn)證了所提控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性、穩(wěn)定性及優(yōu)化方法的有效性。該研究為軟體機(jī)器人的仿生驅(qū)動(dòng)與軌跡跟蹤控制提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：介電高彈聚合物； 超彈性； 粘彈性； RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 滑?？刂?/p>

中圖分類號(hào)： TP13; TP183

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-9798（2023）02-0046-07； DOI：10.13306/j.1006-9798.2023.02.007

基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（ZR2019PEE018，ZR2020QE158）；山東省科技型中小企業(yè)創(chuàng)新能力提升資助項(xiàng)目（2021TSGC1063）

作者簡(jiǎn)介：王超?。?990-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榻殡姼邚椌酆衔锏尿?qū)動(dòng)與控制。

通信作者：楊熙鑫（1984-），女，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榻殡姼邚椌酆衔锏姆律?qū)動(dòng)與控制。 Email：yangxixin@qdu.edu.cn

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，智能軟體材料得到了廣泛應(yīng)用?；谥悄苘涹w材料的軟體機(jī)器人引起人們關(guān)注，與傳統(tǒng)剛性機(jī)器人相比，它具有更好的靈活性、生物親和性及環(huán)境適應(yīng)性。介電高彈聚合物作為軟體機(jī)器人常用的驅(qū)動(dòng)材料之一，具有響應(yīng)速度快、驅(qū)動(dòng)位移大和能量密度高等特點(diǎn)，在軟體機(jī)器人領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1-3］。然而其超彈和粘彈等特點(diǎn)可導(dǎo)致介電高彈聚合物數(shù)學(xué)模型的非線性強(qiáng)，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的線性跟蹤控制研究極具挑戰(zhàn)。近年來(lái)，許多研究者從材料［4-6］和力學(xué)分析［7-8］方面，對(duì)介電高彈聚合物開(kāi)展了相關(guān)研究，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，但通過(guò)模型獲得材料的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)存在強(qiáng)非線性，其運(yùn)動(dòng)控制理論引起廣泛關(guān)注。ZHANG R等人［9］提出標(biāo)準(zhǔn)的閉環(huán)比例、積分和微分（proportional，integral and differential，PID）控制；王紅紅等人［10］提出了模糊控制和滑?？刂品椒ǎ@些控制方法在控制介電高彈聚合物的非線性動(dòng)態(tài)方面效果較差。為克服PID固有的局限性，G.RIZZELLO等人［11-12］提出了PID和非線性補(bǔ)償?shù)恼戏椒?，?shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)軌跡控制，但該方法未考慮粘彈性。針對(duì)材料的粘彈性，徐健等人［13］提出了天牛須搜索（beetle antennae search，BAS）算法，優(yōu)化PID的控制方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)軟體機(jī)器人的精準(zhǔn)控制，但該算法未考慮抗干擾能力，跟蹤誤差較大；CHEN H Q等人［14］針對(duì)介電彈性體致動(dòng)器具有較大的變形能力和環(huán)境兼容性，建立了有界和無(wú)界最優(yōu)控制策略，通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)施加的電壓，抑制平衡位置周圍的隨機(jī)振動(dòng)；程林云等人［15］提出一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制方法，提高了跟蹤精度、抗干擾能力和魯棒性，然而運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，增加了運(yùn)動(dòng)軌跡的響應(yīng)時(shí)間；王亞午等人［16］提出擾動(dòng)抑制的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制策略，實(shí)現(xiàn)介電高彈聚合物的跟蹤控制目標(biāo)，但未考慮粘黏性對(duì)運(yùn)動(dòng)跟蹤軌跡的影響；JIANG Z等人［17］考慮彈性體固有的粘彈性和非線性，設(shè)計(jì)了基于相對(duì)蠕變模型的蠕變補(bǔ)償器以消除蠕變，開(kāi)發(fā)了一種基于零振動(dòng)輸入整形技術(shù)的振動(dòng)補(bǔ)償器，以抑制蠕變補(bǔ)償彈性體的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)；LI Y L等人［18］基于搭建的動(dòng)態(tài)方程，提出閉環(huán)反饋控制算法，但未考慮頻率變化的影響；樊亞玲等人［19］結(jié)合等雙軸預(yù)拉伸情況下系統(tǒng)的狀態(tài)方程，分析不同預(yù)拉伸比下極限電致應(yīng)變、電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移等參數(shù)關(guān)系，獲取該介電高彈聚合物的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)工作區(qū)間。基于此，本文結(jié)合介電高彈聚合物粘彈性的非線性動(dòng)力學(xué)模型，提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模控制方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)介電高彈聚合物線性運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤控制。該研究為實(shí)現(xiàn)介電高彈聚合物驅(qū)動(dòng)軟體機(jī)器人的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

1 問(wèn)題描述

1.1 動(dòng)態(tài)模型

為研究介電高彈聚合物的非線性運(yùn)動(dòng)與主動(dòng)控制，本文設(shè)計(jì)了基于軟體與剛性材料相結(jié)合的介電高彈結(jié)構(gòu)［20］。介電高彈聚合物結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

由圖1a可知，介電高彈聚合物具有不可壓縮性，設(shè)L1、L2 和L3分別為初始狀態(tài)下材料的長(zhǎng)度、寬度和厚度，ρ為密度，材料因超彈性具有電致大變形的優(yōu)良性。為提高材料的運(yùn)動(dòng)性能，需對(duì)材料進(jìn)行預(yù)拉伸。圖1b中，λ1～λ3為聚合物在方向1～3上預(yù)拉伸長(zhǎng)度、寬度和厚度的變形比，獲得拉伸后，長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為λ1L1 、λ2L2 和λ3L3 。為了確保材料處于純剪切狀態(tài)，利用剛性框架限制2個(gè)方向變形。假設(shè)結(jié)構(gòu)彈簧剛度為k，棒子質(zhì)量為m，電位移表示為

2 介電高彈聚合物運(yùn)動(dòng)軌跡控制方法

基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)如圖2所示。

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器設(shè)計(jì)

為了研究介電高彈結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤，針對(duì)聚合物狀態(tài)空間方程中f（x）和g（x）中許多參數(shù)未知或無(wú)法測(cè)量的問(wèn)題，本文提出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來(lái)逼近未知非線性函數(shù)。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 聚合物非線性運(yùn)動(dòng)軌跡

為了驗(yàn)證所提自適應(yīng)控制方法的有效性和穩(wěn)定性，本研究在Maltab上對(duì)控制模型進(jìn)行仿真分析。設(shè)計(jì)初始條件x0=［pi/600］，目標(biāo)軌跡為標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)，滑模面系數(shù)c=14，介電高彈結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)如表1所示。

在1 Hz標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)頻率下，給出介電高彈結(jié)構(gòu)的期望軌跡與未加控制的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，聚合物位置軌跡跟蹤隨時(shí)間變化曲線如圖4所示。圖中，紅色曲線為介電高彈聚合物的目標(biāo)軌跡，黑色虛線為系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)曲線。由圖4可以看出，因聚合物具有超彈性，使其運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出非線性和不可控性，實(shí)際軌跡上、下波動(dòng)較大，實(shí)際運(yùn)動(dòng)頻率與目標(biāo)頻率不一致，與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡差距較大。為了更好的跟蹤目標(biāo)軌跡，需要引入控制器來(lái)消除或減少系統(tǒng)的超彈性影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)介電高彈聚合物的運(yùn)動(dòng)軌跡高精度跟蹤。

3.2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制聚合物運(yùn)動(dòng)軌跡

在1 Hz標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)頻率下，介電高彈結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤響應(yīng)誤差，聚合物誤差隨時(shí)間變化曲線如圖5所示。圖中，紅色曲線為期望運(yùn)動(dòng)軌跡，黑色虛線為實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，圖5a為兩者軌跡之差。

由圖5可以看出，該控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)介電高彈結(jié)構(gòu)按照期望的漸進(jìn)跟蹤，文獻(xiàn)［17］中極值誤差為1.76%，響應(yīng)時(shí)間為1.2 s（跟蹤誤差達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間），與其相比，本文方法所得極值誤差約為1%，響應(yīng)時(shí)間約為0.7 s，具有更好的動(dòng)態(tài)特性。該研究提高了軌跡跟蹤的精確度，無(wú)需設(shè)計(jì)觀測(cè)器，避免了計(jì)算量，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

3.3 不同運(yùn)動(dòng)頻率下軌跡跟蹤控制

為了研究運(yùn)動(dòng)頻率對(duì)介電高彈結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡影響，結(jié)合上述參數(shù)，選用5種不同的低頻激勵(lì)信號(hào)（頻率分別為1 ，1.5，2 ，2.5和3 Hz），分析結(jié)構(gòu)軌跡運(yùn)動(dòng)曲線及其誤差，在不同頻率下，聚合物位置跟蹤和誤差隨時(shí)間變化曲線如圖6所示。由圖6可以看出，該控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)的線性運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤，但隨著頻率的線性增大，運(yùn)動(dòng)軌跡極值誤差逐漸增加，由0.01～0.15，響應(yīng)時(shí)間逐漸變長(zhǎng)，由0.7～4.7 s。

為了減少頻率變化對(duì)極值誤差和響應(yīng)時(shí)間的影響，研究滑模系數(shù)c對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤的影響規(guī)律?；Ｏ禂?shù)調(diào)節(jié)前后極值誤差與響應(yīng)時(shí)間如表2所示。由表2可以看出，隨著頻率的線性增加，調(diào)整滑模系數(shù)也線性增加，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的極值誤差和響應(yīng)時(shí)間大幅度降低，動(dòng)態(tài)性能獲得極大的改善。調(diào)整后，在運(yùn)動(dòng)頻率為3.0 Hz時(shí)，最大誤差較調(diào)整前減少92.7%，調(diào)整時(shí)間減少了80.9%。說(shuō)明通過(guò)改變滑模系數(shù)，能夠有效調(diào)節(jié)聚合物運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能，提高控制方法的魯棒性。

為了更直觀地觀察調(diào)整滑模系數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響結(jié)果，本研究通過(guò)柱狀圖進(jìn)行分析，滑模系數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的極值誤差與響應(yīng)時(shí)間影響結(jié)果如圖7所示。在其他條件不變及激勵(lì)頻率小范圍線性增加下，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)逐漸增大，調(diào)整滑模系數(shù)c之后，系統(tǒng)的極值誤差和響應(yīng)時(shí)間大幅度減小，證明參數(shù)優(yōu)化能夠改善結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能，提高聚合物軌跡跟蹤的精準(zhǔn)性。

3.4 不同寬度伸縮比下運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤控制

為了研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡控制方法的穩(wěn)定性影響，分析不同寬度伸縮比λ2對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的影響。在λ2線性變化下，不同寬度伸縮比的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線和誤差如圖8所示。由圖8可以看出，所有曲線的最大誤差約為0.01，調(diào)整時(shí)間均接近0.7 s，說(shuō)明改變寬度伸縮比λ2對(duì)聚合物運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤控制沒(méi)有太大影響，證明控制方法具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)聚合物軌跡跟蹤控制。仿真結(jié)果表明，在標(biāo)準(zhǔn)激勵(lì)頻率下，跟蹤曲線具有較好的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，驗(yàn)證了所提方法的簡(jiǎn)潔性和有效性。在不同激勵(lì)頻率下，隨著頻率的增大，動(dòng)態(tài)性能逐漸變差，運(yùn)用所提參數(shù)的優(yōu)化方法，能夠大幅度提高結(jié)構(gòu)的性能。不同寬度預(yù)拉伸比下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡表明，系統(tǒng)不受寬度預(yù)拉伸比變化的影響，說(shuō)明所提方法具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性和魯棒性。本文控制方法為聚合物廣泛應(yīng)用提供了思路和方法，為軟體機(jī)器人的仿生驅(qū)動(dòng)與控制研究提供理論依據(jù)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。由于所提控制器的趨近律為一般趨近律，會(huì)造成運(yùn)動(dòng)曲線在平衡點(diǎn)附近發(fā)生抖震現(xiàn)象，后續(xù)會(huì)繼續(xù)研究減少或消除該現(xiàn)象，由于線性滑模面收斂較緩慢，增加了響應(yīng)時(shí)間，接下來(lái)會(huì)考慮用其他滑模面進(jìn)行仿真探究。

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Abstract：This paper proposes an adaptive Radial Basis Function （RBF） neural network sliding mode control （SMC） algorithm for the trajectory tracking control of dielectric high-elasticity polymers. Firstly，the unknown terms in the kinetic model caused by hyperelasticity and viscosity，and the uncertainty of the model caused by external disturbance are considered. The controller is designed by using the arbitrary approximation of continuous function property of RBF neural network，the robustness of sliding mode control，and the online adjustment of control rate by adaptive control. The Lyapunov function is then constructed to demonstrate the stability of the controller as a means of achieving tracking control of the dielectric polymer trajectory. The results show that the extreme value error of the polymer position tracking is less than 1% and the response time is 0.7 s，indicating that the system has high dynamic performance and achieves linear motion trajectory tracking of the structure. Finally，the influence of excitation frequency and width pre-stretch ratio on the tracking trajectory of the structure is analysed，and an optimisation method of the coefficient parameters is designed. The results show that the effectiveness of the optimisation method improves the accuracy of the trajectory tracking，and also verifies that the proposed control system has strong self-adaptability and stability，which provides a theoretical basis for the research of bionic drive and trajectory tracking control of soft robots.

Key words：dielectric high-elastic polymer； hyperelasticity； viscoelasticity； radial basis function neural network； sliding mode control