孔原平

[摘? 要] 科學(xué)性是試題命制最基本的準(zhǔn)則. 本文提出在命制初中幾何試題時(shí)，要理清圖形結(jié)構(gòu)特征，關(guān)注幾何圖形的確定性;合理呈現(xiàn)表達(dá)形式，提高試題命制的科學(xué)性;加強(qiáng)一題多解研究，破除慣性思維的局限性.

[關(guān)鍵詞] 幾何圖形;確定性;科學(xué)性;命題思考

試題命制是教師專(zhuān)業(yè)化道路上不可或缺的一項(xiàng)重要的基本技能，它是日常教學(xué)工作的延伸. 一套高質(zhì)量的試題既能體現(xiàn)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，又能發(fā)揮教育教學(xué)作用，對(duì)教育教學(xué)效果做出客觀、科學(xué)的評(píng)價(jià). 然而，在初中數(shù)學(xué)試題命制的實(shí)踐過(guò)程中，題目設(shè)置不科學(xué)的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，尤其是初中幾何中的計(jì)算題，在命題中稍有疏忽，就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題. 文章中的例題是筆者在中考復(fù)習(xí)課堂上收集到的試題，試圖通過(guò)本文與初中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行溝通交流關(guān)于試題命制時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題.

真題再現(xiàn)

（2020年南充市第6題）如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（ ? ? ）

A.? ?B.

C. a-b ? ? ?D. b-a

試題分析

本題圖形簡(jiǎn)潔，條件清晰，問(wèn)題明確，是中考中一道非常普通和簡(jiǎn)單的幾何題. 命題人把這道題放到選擇題的第6題，顯然是把它看作是一道容易題，學(xué)生得分率也應(yīng)該較高.

試題是通過(guò)黃金三角形為背景，立足對(duì)三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，以及線段的和差等知識(shí)點(diǎn)的考查. 雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但都是較為容易掌握的基礎(chǔ)知識(shí). 學(xué)生只需通過(guò)觀察、猜想、演繹推理，將等腰三角形的底邊轉(zhuǎn)化到腰上，再通過(guò)線段的加減即可解決問(wèn)題. 本題考查了學(xué)生的識(shí)圖能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，簡(jiǎn)單中蘊(yùn)含了豐富的幾何知識(shí)以及對(duì)基本技能的考查.

解法探究

解法一? 因?yàn)椤螦=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°.

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36°，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°.

所以AD=BD，BC=BD，AD=BC=b.

又因?yàn)锳C=a，所以CD=a-b. 故選C.

解法一無(wú)懈可擊，命題人也應(yīng)該是這樣設(shè)想的，肯定大多數(shù)學(xué)生也能得到正確選項(xiàng)C. 可是，一個(gè)城市的中考考場(chǎng)上少則幾萬(wàn)，多則十多萬(wàn)學(xué)生在考試，難道他們的想法都會(huì)按照命題人的設(shè)想去思考嗎？我們不能排除學(xué)生可能會(huì)有以下解法.

解法二? 由解法一可得∠DBC=∠A=36°.

又因?yàn)椤螩=∠C，所以△BDC∽△ABC.

所以=，即=，所以CD=.

解法三? 利用角平分線和平行線組合，巧妙構(gòu)建新的等腰三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解答本題.

如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥/AB交BC于點(diǎn)E，所以△DEC∽△ABC，=.

由法一得∠ABC=∠C=72°，所以∠DEC=∠C=72°，所以DE=DC.

又因?yàn)椤螦BD=∠DBC=36°，所以∠ABD=∠BDE=36°，∠DBC=∠BDE，所以BE=DE，BE=DC，所以EC=b-CD ，即=.

所以CD=.

解法四? 如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE∥CB交AB于點(diǎn)E，

所以∠DBC=∠EDB，=.

因?yàn)椤螦=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°，AE=AD，所以BE=DC.

又因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠DBE=∠DBC，所以∠DBE=∠EDB，△EDB∽△DBA.

所以BE=ED，DC=ED，=，所以CD=.

解法二、解法三和解法四主要都是利用相似三角形的判定與性質(zhì)求CD的長(zhǎng). 這種解法在幾何學(xué)習(xí)中，對(duì)圖形的相似變換掌握較好的學(xué)生，往往能夠根據(jù)題目條件自然聯(lián)想到的方法.

解法五? 如圖4，作AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥DC于點(diǎn)F.

因?yàn)锳B=AC，所以CE=BC.

由法一得BD=BC，所以CF=DC.

在Rt△BFC中， cosC=;在Rt△AEC中，cosC=.

所以=，即=，所以CF=;

所以CD=2CF=.

解法五利用同一個(gè)角的三角函數(shù)值是定值建立等量關(guān)系，巧妙的求出CD的值. 雖然該方法也需要證明△ABD與△BDC是等腰三角形，與解法一比較明顯復(fù)雜得多，但解法一與解法五是從兩種不同的角度思考解決問(wèn)題的策略.

尋根解惑

五種解法得出三個(gè)不同的答案，筆者也感覺(jué)困惑，它們之間是否存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，是否可以統(tǒng)一為一個(gè)相同的結(jié)果？帶著這個(gè)疑問(wèn)，筆者繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)將a-b，，這三個(gè)式子中任意兩個(gè)相等，化簡(jiǎn)后均可得a2-ab-b2=0，解得a=b或b=a，將a=b或b=a分別代入三個(gè)不同的答案，最終都得到CD=b或CD=a這兩個(gè)相同的結(jié)果.

用正弦定理和倍角公式，也能說(shuō)明a與b之間的確存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián). 因?yàn)樵凇鰾DC中，=，即=，化簡(jiǎn)得DC=①;在△ABC中，=，化簡(jiǎn)得a=2bcos36°②.①÷②得DC=.

通過(guò)以上探究，說(shuō)明該三角形中a與b之間的確存在內(nèi)在的關(guān)系. 也正是這個(gè)原因，使我們?cè)诮獯疬@個(gè)題時(shí)，由于解題路徑不同導(dǎo)致呈現(xiàn)的結(jié)果不相同. 這種題目設(shè)置不科學(xué)的現(xiàn)象，導(dǎo)致試題對(duì)教育教學(xué)效果不能給出客觀、科學(xué)的評(píng)價(jià).

命題思考

1. 理清圖形結(jié)構(gòu)特征，關(guān)注幾何圖形的確定性

為什么會(huì)有上述情況發(fā)生？這就不得不說(shuō)到圖形的確定性——只要圖形的形狀確定了，那么該圖形的內(nèi)角度數(shù)，各邊長(zhǎng)度之間的比例關(guān)系就是確定的，由此得到的該幾何圖形的各種性質(zhì)也是確定的. 該例題圖形中由∠A=36°，AB=AC，就說(shuō)明△ABC的形狀已經(jīng)確定，只是大小不確定，但其腰長(zhǎng)與底邊的比==2cos36°是確定的值. 同樣根據(jù)題目條件可知△DBC與△ABD都是等腰三角形，他們的底角分別是72° 和36° ，它們的形狀也是確定的，那么它們腰長(zhǎng)與底邊的比也應(yīng)該是一個(gè)確定的值. 也正是這個(gè)原因，導(dǎo)致三種不同的計(jì)算結(jié)果，但經(jīng)驗(yàn)證它們都是正確的.

所以，編制一道幾何試題時(shí)，教師必須對(duì)問(wèn)題本質(zhì)、圖形結(jié)構(gòu)、相互之間數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系有充分的認(rèn)識(shí)，在給出數(shù)據(jù)時(shí)，要認(rèn)真思考圖形中是否存在“量”之間的制約關(guān)系，充分考慮各個(gè)條件是否具有相容性，以免出現(xiàn)試題不科學(xué)的現(xiàn)象.

2. 合理呈現(xiàn)表達(dá)形式，提高試題命制的科學(xué)性

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)》要求依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)命題，提高命題質(zhì)量，明確指出客觀性試題要有確定的答案. 科學(xué)性、正確性、邏輯性、規(guī)范性、層次性、創(chuàng)新性等是試題命制中必須遵守的原則. 從專(zhuān)業(yè)化的眼光來(lái)看，命題必須首要注重科學(xué)性[1]. 科學(xué)性是任何考試都必須遵循的基礎(chǔ)性原則[2]. 命制試題的過(guò)程中命題人必須用心思考，規(guī)避因題目的敘述或呈現(xiàn)形式的不科學(xué)所帶來(lái)的偏差或風(fēng)險(xiǎn)，更不能因?yàn)轭}目設(shè)置不科學(xué)給考生帶來(lái)心理恐慌. 如果將題目中的“CD=（ ? ? ）”改為“CD的長(zhǎng)可以表示為（? ?）” 這樣的敘述就比較科學(xué). 因?yàn)檫@樣的描述表示下面有一個(gè)代數(shù)式是正確的，但并不排除還有別的表達(dá)形式. 試題中“D選項(xiàng)”是一個(gè)無(wú)效選項(xiàng)，因?yàn)椤癰-a”明顯是一個(gè)負(fù)數(shù)，就相當(dāng)于自然去掉一個(gè)選項(xiàng). 如果改為設(shè)置更科學(xué)，更能體現(xiàn)題目的思維含量和知識(shí)的覆蓋面.

3. 加強(qiáng)一題多解研究，破除慣性思維的局限性

作為一名數(shù)學(xué)教師，尤其是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)教為豐富的教師，往往會(huì)憑經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)去思考問(wèn)題，導(dǎo)致教學(xué)行為和解決問(wèn)題方法單一化，模式化. 筆者在沒(méi)有任何暗示的情況下，讓八位數(shù)學(xué)教師各自做這道題，結(jié)果七位教師不到1分鐘都給出了答案C. 一位教師開(kāi)始得出了CD=，但一看選項(xiàng)中沒(méi)有這個(gè)答案，略加思考，改成了選C. 可惜！他沒(méi)有對(duì)本題提出質(zhì)疑. 8位教師給出了同一個(gè)答案，究其原因就是教師們有了固化的幾何模型或幾何自覺(jué)所導(dǎo)致. 所以，教師在日常教研中，要有意識(shí)地從多角度思考問(wèn)題，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，通過(guò)一題多解探尋直達(dá)思維本質(zhì)的自然解法[3]. 因此，破除慣性思維的局限性，加強(qiáng)一題多解研究，對(duì)試題命制的科學(xué)性和合理性有十分重要的作用.

中考是每個(gè)初中生學(xué)習(xí)生涯中重要的一次人生大考. 考場(chǎng)上任何情緒上的波動(dòng)都可能給考生造成一定的心理壓力. 試卷中的考題設(shè)置不科學(xué)，會(huì)給考生帶來(lái)較大的心理壓力，甚至?xí)斐奢^大的負(fù)面影響[4]. 再者，中考題對(duì)教師的教學(xué)也具有很強(qiáng)的導(dǎo)向作用. 所以中考命題，肩負(fù)著巨大的社會(huì)責(zé)任，容不得半點(diǎn)紕漏. 它既要關(guān)注知識(shí)、能力、素養(yǎng)的考查，又要注重適當(dāng)難度、有效信度和恰當(dāng)區(qū)分度的設(shè)置，還要關(guān)注試題的科學(xué)性、合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性[5].

總之，中考試題的命制工作是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，每一道中考試題都必須經(jīng)命題專(zhuān)家組反復(fù)論證、精雕細(xì)琢，才算交付了一份滿意的答卷. 一線教師在平常的試題命制中，同樣應(yīng)該加強(qiáng)研究，提升試題命制能力，在命題中提升自己的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]龐靈鋒. 從一道試題的改編談試題命制的科學(xué)性[J].? 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（18）：53-55.

[2]張會(huì)杰. 試題命制的科學(xué)性：結(jié)構(gòu)要素及其技術(shù)規(guī)范[J]. 考試研究，2019（01）：59-64.

[3]沈丹. 一道中考幾何題的解答探究與拓展思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：25-27.

[4]張寧. 中考命題中存在的問(wèn)題及建議——以2014年全國(guó)各地中考試題為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（02）：60-63.

[5]劉成龍. 中考數(shù)學(xué)命題錯(cuò)誤分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（14）：70-72.