劉姣 張旖澈

【摘要】折紙具有直觀性、探究性和應(yīng)用性特征，是開展初中數(shù)學(xué)課后拓展與跨學(xué)科活動的有效載體.初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程可兼顧社會情境與真實情境，注重跨學(xué)科的背景與知識，形成以數(shù)學(xué)為主線，融合科學(xué)、技術(shù)、藝術(shù)、工程等真實情境的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動.課程實施中可采用基于任務(wù)的問題驅(qū)動式教學(xué)策略，多元化評價方式，以及豐富的課程資源，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的探究精神和實踐能力.

【關(guān)鍵詞】折紙與數(shù)學(xué)；課后服務(wù)；跨學(xué)科；科學(xué)教育

折紙看似把簡單的紙折成不同的形狀，其實其中蘊含著無限的數(shù)學(xué)知識和原理.折紙讓數(shù)學(xué)變得直觀形象，而數(shù)學(xué)又為折紙?zhí)峁┝死碚撘罁?jù)，折紙與數(shù)學(xué)密不可分.已有多項研究證明“折紙活動”符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生在興趣驅(qū)動下探究數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)原理，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)理思維.早在20世紀(jì)初，折紙在西方國家就開始成為研究數(shù)學(xué)和科學(xué)的工具，20世紀(jì)晚期，“折紙科學(xué)、數(shù)學(xué)、教育國際會議”（the International Meeting on Origami in Science， Mathematics， and Education，簡稱“OSME”）成立，目的是深入探究折紙的科學(xué)意義與教育意義，“折紙與數(shù)學(xué)”是該會議的常設(shè)主題.1992年以色列開始推廣折紙項目，以拓展學(xué)生觀察技能、空間技能、邏輯思維能力等學(xué)習(xí)技能.在我國，利用折紙開展數(shù)學(xué)教學(xué)的方式在各版本教材中都有所體現(xiàn)，例如，北師大版初中數(shù)學(xué)教材在“展開與折疊”“利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計”兩節(jié)中將折紙活動貫穿始終.以CNKI數(shù)據(jù)庫收錄的以“折紙”“數(shù)學(xué)”為主題的研究數(shù)量近些年逐漸增多.但據(jù)筆者訪談了解，由于課內(nèi)課時限制和教學(xué)材料的匱乏，很多數(shù)學(xué)教師有折紙教數(shù)學(xué)的需求，卻很難開展相關(guān)實踐.

雙減政策背景下，學(xué)校成為課后服務(wù)的主渠道，課后服務(wù)的時間、資源、場地等得到了保障.這為引入折紙活動進(jìn)行數(shù)學(xué)課后拓展與跨學(xué)科活動提供了契機.因此，充分認(rèn)識折紙的數(shù)學(xué)教育價值并進(jìn)行活動課程，尤其是跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動的開發(fā)，對于豐富學(xué)校課后服務(wù)課程，滿足學(xué)生多樣化需求，發(fā)展學(xué)生實踐創(chuàng)新素養(yǎng)和問題解決能力都有非常重要的價值.

1折紙的數(shù)學(xué)教育價值

1.1折紙操作的直觀性利于促進(jìn)學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)語言的理解

初中階段，學(xué)生抽象思維還不成熟，思維活動更加需要具體、直觀、感性經(jīng)驗的支持.上海師范大學(xué)陸新生教授團隊的最新研究顯示：折紙?zhí)骄炕顒优c直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)有顯著的相關(guān)性[1].折紙作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動已經(jīng)在各個版本的數(shù)學(xué)教材中得到應(yīng)用.例如人教版初中數(shù)學(xué)教材有31處，北師大版初中數(shù)學(xué)教材有39處，主要分布在“圖形與幾何”領(lǐng)域的各章節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生通過折紙去觀察、探究、驗證幾何結(jié)論，體會幾何概念的形成過程.在折紙活動中，教師可借助數(shù)學(xué)語言來表達(dá)折紙操作，比如，兩點折線、兩線對折、過點對折、點折到線等.學(xué)生在形象化的圖形合成、圖形分解、圖形移動等操作中，對基本的幾何概念和公理的理解得以加深.也可引導(dǎo)學(xué)生通過折紙拼圖、折紙鑲嵌等活動，促進(jìn)對幾何圖形初步知識的直觀理解.

1.2折紙活動的探究性利于推動學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

折紙活動符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，直觀有趣，但又有一定的挑戰(zhàn)性.折紙活動中，學(xué)生做中思、玩中學(xué)，通過小小的一片紙?zhí)骄繑?shù)學(xué)原理與規(guī)律，提出和發(fā)現(xiàn)問題、分析并解決問題，經(jīng)歷思考、操作、觀察、歸納、概括、建模等探究性思維過程，鍛煉數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此折紙搭建了從折紙操作到科學(xué)思維、從直觀操作到抽象思維的橋梁.常文武博士致力于數(shù)學(xué)折紙的研究，他指出：通過數(shù)學(xué)折紙的任務(wù)驅(qū)動方式可以有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力，折紙對學(xué)生創(chuàng)造力的激發(fā)尤其在于通過操作和想象來促進(jìn)發(fā)散思維，加強知識、觀念的新聯(lián)結(jié)、新組合，這是創(chuàng)造性思維的重要體現(xiàn)[2].初中各版本教材中，都不同程度地將折紙引入到正文或課后探究等環(huán)節(jié)，利用折紙引入概念、性質(zhì)和定理，讓學(xué)生參與幾何結(jié)論的猜想與驗證過程（如圖1所示）.而教材習(xí)題中引入的折紙活動，往往為學(xué)生設(shè)置了一個問題情境，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用學(xué)到的數(shù)學(xué)概念、原理來分析問題、解決問題.

1.3折紙應(yīng)用的廣泛性利于落實新課標(biāo)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，要整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識，完成跨學(xué)科實踐活動，感悟數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)[3].現(xiàn)代折紙已經(jīng)從手工藝術(shù)擴展應(yīng)用到服裝設(shè)計、建筑設(shè)計、醫(yī)學(xué)、力學(xué)、材料學(xué)等領(lǐng)域，跨學(xué)科的廣度越來越大.這為開發(fā)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動提供了豐富的實際情景，是STEAM教育的良好載體，有利于促進(jìn)落實新課標(biāo)提倡的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí).相比于正式課程教材中的折紙活動側(cè)重于對數(shù)學(xué)知識的猜想發(fā)現(xiàn)與驗證，依托折紙開展跨學(xué)科的探究活動可以作為正式課程的有機補充，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與審美、數(shù)學(xué)與科學(xué)、工程、技術(shù)的緊密聯(lián)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、發(fā)展創(chuàng)新意識，拓展視野，豐富對數(shù)學(xué)的認(rèn)識.

總之，將成本低、易操作的折紙活動引入初中課后服務(wù)課程中，可以與正式課程中數(shù)學(xué)課上的抽象學(xué)習(xí)形成很好的鏈接，是對當(dāng)前數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)的一種改革性嘗試和補充.

2初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程開發(fā)與實施

2.1課程目標(biāo)的定位

“課后課程”供給區(qū)別于學(xué)校正式課程.在性質(zhì)上，“課后課程”供給是輔導(dǎo)性的教育活動，并非傳統(tǒng)課堂教學(xué)的變形，更不能等同于培優(yōu)班或補課班；在過程上，學(xué)校正式課程為學(xué)生認(rèn)知的形成與發(fā)展服務(wù)，“課后課程”供給則為學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用提供支撐[4].

因此，折紙與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)定位是以滿足學(xué)生的興趣與發(fā)展需要為價值起點，落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》綜合與實踐領(lǐng)域的要求.課程以紙為載體，通過折疊、裁剪等動手實踐，促進(jìn)學(xué)生在動手動腦中思考、體驗、探究、創(chuàng)造，理解數(shù)學(xué)知識和科學(xué)原理，使學(xué)生的動手能力、思維能力、想象力、審美能力、注意力和觀察力得到鍛煉.

2.2課程內(nèi)容的選擇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，綜合與實踐領(lǐng)域的教學(xué)活動，以解決實際問題為重點，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實問題為載體，適當(dāng)采取主題活動或項目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn)，通過綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力、社會擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì)[5].因此，基于現(xiàn)代折紙廣泛的跨學(xué)科應(yīng)用性，折紙與數(shù)學(xué)活動項目的選擇兼顧社會情境與真實情境，注重跨學(xué)科的背景與知識，形成了以數(shù)學(xué)為主線，融合科學(xué)、技術(shù)、藝術(shù)、工程等真實情境的一系列跨學(xué)科探究活動.這些活動單元使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的探究精神和實踐能力.表1呈現(xiàn)了部分跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動.

2.3課程實施的策略

課后服務(wù)課程往往具有課時間隔時間長的特點，容易導(dǎo)致課時不太連貫.基于此，折紙與數(shù)學(xué)活動課程整體采用項目式學(xué)習(xí)模式，每學(xué)期的課程由1—2課時可完成的若干短期項目構(gòu)成，每個項目采用基于任務(wù)的問題串推動教學(xué)進(jìn)程逐步深入.為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，課堂活動采用“問題情境引入—數(shù)學(xué)建?！Ｐ蛻?yīng)用—作品分析”的基本流程，將數(shù)學(xué)內(nèi)容作為解決問題的途徑嵌入到折紙任務(wù)中.

例如，在“玩轉(zhuǎn)變臉六邊形”項目活動中，學(xué)生要想實現(xiàn)一個圖2所示的變臉六邊形作品，首先需要解決變臉六邊形學(xué)生作品“如何折出一個等邊三角形”的問題.此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實的折紙問題帶入到已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗中.學(xué)生可以通過測量來實現(xiàn)，也可通過數(shù)學(xué)建模，用圖3那樣的折疊操作得到.學(xué)生由此初步建模，應(yīng)用自己所學(xué)的等邊三角形、四邊形等知識，獲得等邊三角形.

折“60°角”問題的數(shù)學(xué)建模完成作品后，可從跨學(xué)科角度拓展，對作品進(jìn)行美化與分析.比如，可布置個性化涂色的任務(wù)以及思考性任務(wù)：①找出變臉六邊形的所有面：如何判斷是否找全？②找出每個面的所有不同的圖案.③從一個菱形入手，思考這些圖案的變化規(guī)律.學(xué)生在任務(wù)性活動中，科學(xué)思維、藝術(shù)審美等素養(yǎng)得到發(fā)展.

2.4課程多元化評價

課程要堅持評價為學(xué)生發(fā)展服務(wù)的導(dǎo)向功能，制定多元化評價方案，兼顧過程和結(jié)果.

活動過程中的形成性評價，可以依托“學(xué)習(xí)任務(wù)單”，促進(jìn)學(xué)生思考、發(fā)言、匯報交流、合作學(xué)習(xí)等.基于折紙活動的特點，“學(xué)習(xí)任務(wù)單”可采用“看—試—想—做”四大任務(wù)驅(qū)動學(xué)生深入思考，主動探究.

“看”的環(huán)節(jié)主要呈現(xiàn)折紙作品的折痕圖.學(xué)生觀察教師提前準(zhǔn)備的作品成品，用數(shù)學(xué)知識去分析，并猜想其折疊程序.“試”的環(huán)節(jié)，設(shè)置具有沖突性的問題或者操作指導(dǎo)，讓學(xué)生在動手過程中體會折紙作品的功用特點.“想”的環(huán)節(jié)，提供折紙應(yīng)用于工程、科學(xué)、醫(yī)療、航天等領(lǐng)域的真實性情境素材，激發(fā)學(xué)生聯(lián)系實際生活，創(chuàng)造性地應(yīng)用折紙.最后，通過“做一做”，引導(dǎo)學(xué)生自己對作品進(jìn)行創(chuàng)意加工、改造和應(yīng)用.這是折紙活動最容易激發(fā)學(xué)生興趣的環(huán)節(jié).學(xué)生在學(xué)以致用的過程中，熟悉折紙操作，進(jìn)行個性化藝術(shù)呈現(xiàn).在探究與創(chuàng)造過程中，提升思維認(rèn)知和問題解決能力.

例如，“一張紙能折多小”項目中，學(xué)生在“看一看”的任務(wù)中，先通過觀察三浦折疊作品和折痕圖，分析里面的幾何信息，猜想并嘗試折疊.通過“想一想”的現(xiàn)實情景設(shè)計，猜想或者創(chuàng)造性提出折紙結(jié)構(gòu)的應(yīng)用場景（如表2所示）.在“做一做”的環(huán)節(jié)中，與同伴討論，設(shè)計一個可行的三浦折疊應(yīng)用場景，并一起動手實現(xiàn)這一作品.

此外，還要重視終結(jié)性評價的作用，設(shè)置一定學(xué)習(xí)成果要求，以驅(qū)動學(xué)生基于任務(wù)來進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)，形式上可以是隨堂作品、期末作品、課后探究等，如圖4.

2.5課程資源的開發(fā)

保障課程資源的豐富性、精品性，對于折紙與數(shù)學(xué)這類兼顧動手操作和動腦思考的實踐活動課程尤為重要.豐富的課程資源可以更好地支持教與學(xué)的高效進(jìn)行，滿足學(xué)生多元化學(xué)習(xí)需求，解決活動課中學(xué)生節(jié)奏速度不一導(dǎo)致教師指導(dǎo)不過來的問題.

導(dǎo)學(xué)案（“學(xué)習(xí)任務(wù)單”）、折紙步驟圖、拓展閱讀材料等是非常必要的紙質(zhì)資源，是推動活動環(huán)節(jié)、輔助學(xué)生操作、滿足學(xué)生探究需求的重要載體.數(shù)字化資源除了課件之外，還可以利用折紙動態(tài)演示軟件/網(wǎng)頁、現(xiàn)代折紙科普視頻等來輔助呈現(xiàn)現(xiàn)實情境、折紙與數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用等，拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、建立模型、解決問題的興趣.

3思考與展望

初中折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程開展了多項以數(shù)學(xué)為主線，依托折紙的跨學(xué)科主題項目活動，學(xué)生總體好評率95%.學(xué)生不僅積極參與課堂任務(wù)，還主動利用班級微信公眾號等途徑，分享探究歷程，向其他同學(xué)共享挑戰(zhàn)任務(wù).可見該課程是符合初中生興趣與需求的.

不過，折紙看似簡單，但實際過程有一定挑戰(zhàn).在實施過程中，一節(jié)課40分鐘，學(xué)生往往饒有興致地花了大量時間進(jìn)行折疊，但還沒深入探討數(shù)學(xué)問題就下課了.這反映了課時短、課時之間不連貫導(dǎo)致探究性思考無法足夠深入的問題，這也是活動類課程在“做”和“思”中難以把握的平衡點.筆者認(rèn)為，在課時無法調(diào)整的情況下，可以回歸到項目設(shè)計本身進(jìn)行調(diào)整：增加課程內(nèi)容設(shè)計時的連貫性原則，以此為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步刪減或調(diào)整各項目，使項目之間有連貫性、聯(lián)系性、遞進(jìn)性，以便將共同的思想方法貫穿到多個項目中.通過梳理設(shè)置項目關(guān)鍵驅(qū)動問題來推動探究活動的逐步深入，不僅節(jié)約了時間，還加強了各項目的整體性.此外，建立活動小組微信群，保持持續(xù)交流，通過課下非正式交流拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、科學(xué)思考，一定程度上解決兩次課間隔時間較長導(dǎo)致的學(xué)習(xí)內(nèi)容遺忘及缺乏深入思考的現(xiàn)狀問題.

2023年2月21日，習(xí)近平總書記在主持中共中央政治局第三次集體學(xué)習(xí)中指出，要在教育“雙減”中做好科學(xué)教育加法，激發(fā)青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)的青少年群體[6].這為本課程以數(shù)學(xué)為載體發(fā)展學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)提供了價值導(dǎo)向和時代意義.未來，折紙與數(shù)學(xué)課后服務(wù)課程將基于現(xiàn)有的課程開發(fā)經(jīng)驗和成果，結(jié)合STEAM理念進(jìn)一步優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，并加強課程的項目與實施的系統(tǒng)化設(shè)計，探索課后服務(wù)課程模式下項目式學(xué)習(xí)的高效教學(xué)實施策略，促進(jìn)學(xué)生充分利用課上、課下時間，在“做”和“學(xué)”的過程中激發(fā)科學(xué)興趣，發(fā)展科學(xué)思維，提升科學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]陳靜穎.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中折紙?zhí)骄拷虒W(xué)研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2022：1.

[2]常文武.運用數(shù)學(xué)折紙培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力[J].教育視界，2021（17）：4-8.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：78.

[4]熊晴，朱德全.學(xué)?！罢n后課程”供給體系建設(shè)：邏輯框架與推進(jìn)機制[J].中國教育學(xué)刊，2022（03）：29-34.

[5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：87.

[6]新華社.習(xí)近平主持中共中央政治局第三次集體學(xué)習(xí)并發(fā)表重要講話[EB/OL].https：//www.mca.gov.cn/article/xw/szyw/202302/20230200046282.shtml，2023-2-22/2023-2-24.

作者簡介劉姣（1991—），女，河南焦作人，中學(xué)一級教師；西城區(qū)科研學(xué)科帶頭人；主要研究中學(xué)教育科研、初中數(shù)學(xué)教育.

張旖澈（1991—），女，黑龍江哈爾濱人，中學(xué)一級教師；西城區(qū)骨干教師；獲北京市教學(xué)設(shè)計評比一等獎;主要研究初中數(shù)學(xué)課程與教學(xué).