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        關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應(yīng)用

        2023-05-30 13:11:20付華芝
        家長·中 2023年1期
        關(guān)鍵詞:數(shù)形直觀圖形

        付華芝

        數(shù)學(xué)問題的思維方式是解決數(shù)學(xué)問題的方法路徑,數(shù)學(xué)教學(xué)旨在通過對不同數(shù)學(xué)問題的解題方式,拓寬學(xué)生思路,培養(yǎng)多維思維方式。小學(xué)生處于數(shù)學(xué)的啟蒙時期,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,如何對學(xué)生滲透更為靈活、更為直觀的數(shù)學(xué)思維解題方式是教學(xué)研究的一項重點問題。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一種常見的數(shù)學(xué)思維方式,本文聯(lián)系筆者自身的教學(xué)實踐經(jīng)驗,研究和探討了小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用方面的問題及思路。

        一、數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)實踐中的滲透與應(yīng)用

        對于小學(xué)生來說,數(shù)形結(jié)合思維的形成是一個感性認(rèn)識階段,通過反復(fù)認(rèn)知、體驗才能循序漸進(jìn)升華到理性層面的過程。以小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版本為例,教材的特點是從小學(xué)生容易認(rèn)知的圖形的具體形象逐漸過渡、逐步深入到數(shù)量的抽象層面。在教材中不難發(fā)現(xiàn),許多數(shù)學(xué)概念的提出,都從圖形的具象到數(shù)量的抽象,體現(xiàn)了數(shù)形二者的有機(jī)結(jié)合,從而逐步幫助學(xué)生建立其基本的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思考模式。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)對象的特點,決定了教師應(yīng)采取循循善誘、因勢利導(dǎo)的教學(xué)方式,因此在教材數(shù)形結(jié)合的基本框架下,逐步向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思維方式,從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解以及促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題思維的形成。

        (一)善用數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生理解最基本的數(shù)學(xué)概念

        小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,有許多數(shù)的意義認(rèn)識方面的內(nèi)容就結(jié)合了數(shù)形結(jié)合的思想。小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于“數(shù)”的基本概念,是一種比較抽象的概念,但是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,就可以是此種抽象概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的十五,從而使小學(xué)生更容易理解“數(shù)”的意義。

        在一年級上冊中,在學(xué)生對于“數(shù)”的啟蒙階段,教材利用圖形(實物)與數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系,引出“數(shù)”的概念,從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識“數(shù)”,乃至進(jìn)行簡單的加減運(yùn)算。例如,在學(xué)習(xí)10以內(nèi)的數(shù)字時,教材將數(shù)字與具體實物個數(shù)相匹配,以連線的方式來促進(jìn)學(xué)生對數(shù)字概念的具體化。之后,教材中對于多少、長短、高矮等抽象的概念用具體的圖形表示,使學(xué)生更容易理解。在三年級下冊中,教材通過用人民幣購物入手,讓學(xué)生在了解整數(shù)的基礎(chǔ)上,引入小數(shù)的概念,從而使學(xué)生更容易理解小數(shù)這一相對小學(xué)生來說更為復(fù)雜的數(shù)字概念。在負(fù)數(shù)的教學(xué)過程中,教材利用溫度計的零上溫度和零下溫度,來為學(xué)生引入正負(fù)數(shù)的概念,從而使學(xué)生認(rèn)識正數(shù)以外負(fù)數(shù)的概念。如此等等,教材在編寫過程中,無時無刻不在通過數(shù)形結(jié)合的基本形式,為學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)理念,從而使處于啟蒙階段的小學(xué)生在概念上更加容易接受不容易理解的概念。數(shù)形結(jié)合思想在教材中的滲透,更容易將學(xué)生帶入相關(guān)情境中,適應(yīng)了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識較為困難的需求。同理,在更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算中,利用數(shù)形結(jié)合的方式,可以引導(dǎo)學(xué)生更加容易把握運(yùn)算的核心和規(guī)律,從而深化華羅庚先生說的“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”的數(shù)形結(jié)合的思想。

        在三年級數(shù)學(xué)下冊的認(rèn)識分?jǐn)?shù)的部分,教材中指出“把一件物品或某個圖形平均分成兩份,表示其中的一份,就是二分之一”。如果教師平時在教學(xué)過程中,僅僅在語言上進(jìn)行強(qiáng)調(diào),空洞地給學(xué)生講解,學(xué)生會陷入抽象的概念中而導(dǎo)致對分?jǐn)?shù)的理解不夠深入,在自我敘述時會造成遺漏的現(xiàn)象。因此教師在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行用圖形表示數(shù)字的體驗,通過畫一畫、涂一涂的方式來體驗直觀的分?jǐn)?shù)“二分之一”,就可以比較更好地通過圖形的方式理解“平均分”的含義,從而掌握了分?jǐn)?shù)的概念和定義。通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)實踐,學(xué)生對于分?jǐn)?shù)這一教學(xué)概念從具象的概念層層遞進(jìn)到抽象的概念,從而將分?jǐn)?shù)這個概念固化在頭腦當(dāng)中,形成了最簡單、最基本的分?jǐn)?shù)概念,達(dá)到了良好的教學(xué)效果。

        (二)活用數(shù)形結(jié)合思想,加深學(xué)生對圖形的數(shù)學(xué)理解

        圖形雖然具有簡單直觀的優(yōu)勢,可以在一定程度上幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念,降低學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的難度,但是也有概念泛化、表達(dá)不精準(zhǔn)的劣勢。一些小學(xué)數(shù)學(xué)的幾何概念諸如直線、線段、射線、角、三角形、正方形、長方形等幾何圖形,都有其各自的特性。在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些幾何問題中,如果不進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想,那么將無法使學(xué)生更好地理解圖形的特點和內(nèi)涵。因此,通過數(shù)來解釋“形”的簡略性,將數(shù)與行有機(jī)地統(tǒng)一起來,以精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言和形式化的數(shù)學(xué)模型來描述圖形、解釋圖形的特性特點,才能更好地突出圖形的特點特性,從而幫助學(xué)生加深對圖形的數(shù)學(xué)理解。

        例一:幾何圖形計算公式的表示。

        在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,周長、面積、體積等幾何圖形的計算方式,都有特定的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推算和解決,學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)公式將有助于學(xué)生更好地理解其特性。如在“長方形與正方形”特性的學(xué)習(xí)時,長方形與正方形的區(qū)別為正方形四個邊長相等,而長方形相對的兩個邊相等,計算長方形與正方形的周長,則需要根據(jù)長方形與正方形的特性運(yùn)用到長方形與正方形的計算公式,即正方形周長=邊長×4,長方形周長=(長+寬)×2,這樣從周長計算,使學(xué)生更好地理解長方形與正方形的特性。

        又如對于圖形面積的認(rèn)知中,從小學(xué)生最開始的數(shù)方格的過程就已經(jīng)開始了。通過數(shù)方格的方法,得出圖形面積的數(shù)學(xué)模型公式,從而使學(xué)生在更深的層次上去認(rèn)識模型。只有熟練掌握了圖形的面積公式,才能更深入地了解圖形的性質(zhì),從而在計算中才能夠得出最正確的結(jié)論。

        例二:角的大小的比較。

        運(yùn)用形數(shù)變換的思維,可以將圖形更好的分解,這就要求小學(xué)生不僅要通過直觀的圖形來進(jìn)行引導(dǎo),而且要將圖形轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)字來指代圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,角的定義為“從一個點引出的兩條射線所組成的圖形”,角的大小與邊長無關(guān),但是同兩條射線的夾角有著一定的關(guān)系。在具體的教學(xué)實踐中,角的大小的比較,可以通過直觀的圖形比較,也可以對應(yīng)到相應(yīng)的數(shù)字上來。在本質(zhì)上,角的大小是由它在單位圓中所對應(yīng)的弦長或者弧長來決定的。通過兩個大小不同的角的圖形表示以及數(shù)字表示,學(xué)生可以更好地將數(shù)形轉(zhuǎn)換的思維運(yùn)用在對幾何概念的理解上,從而更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的問題。

        例三:通過數(shù)字來幫助學(xué)生建立一定幾何概念。

        小學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何與數(shù)字之間聯(lián)系的過程中,一般來說是從直觀到抽象,由分散到概括,由表象的認(rèn)知,再到深入抓住幾何和數(shù)字之間的聯(lián)結(jié)點。在由表及里的中間環(huán)節(jié),啟發(fā)學(xué)生勤于思考,勤于聯(lián)想,從而形成一定的幾何概念乃至空間概念,是十分有必要的。例如,在教學(xué)過程中,提出數(shù)字“3”會想到什么?學(xué)生可能會想到三個點、三角形等。而給出一個“4×5”,學(xué)生可能會想到一個長為5米、寬為4米的長方形。而給出“5、5、1”,“5、5、2”,“5、5、5”,“5、5、6”,“5、5、7”等幾組數(shù)字,學(xué)生可能會想到一系列等腰但底長依次變化的三角形。

        通過以上案例可以看出,數(shù)字的變化伴隨著圖形特點的變化。在這一過程即是對數(shù)形結(jié)合思想的有效滲透,可以有效拓展學(xué)生的發(fā)散思維,增強(qiáng)其對于圖形幾何特性的認(rèn)識,從而提高了學(xué)生的幾何想象能力,更有利于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。

        (三)巧用數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生解決實際計算問題

        小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計算能力的重要階段,是學(xué)生形成一定計算能力的關(guān)鍵期。畫圖是一種最簡單的數(shù)學(xué)語言,是一種數(shù)學(xué)語境下簡約、直觀、生動的信息表示,在教學(xué)過程中,當(dāng)題目難以理解時,試著對學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想,通過畫出圖形的方法,引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)用圖形這一簡單的數(shù)學(xué)語言,讓學(xué)生在“情景化”的氛圍下體會解題思路和解題方法。這樣就可以恰如其分地利用數(shù)形結(jié)合思想,更好地輔助學(xué)生的思維,讓學(xué)生自主、自發(fā)、自覺地理解其中的算理,從而為提升學(xué)生計算能力打下良好的基礎(chǔ)。下面舉例說明利用數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的滲透,來促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)計算能力的提高和數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。

        例一:差倍問題。

        有兩根同樣長的繩子,第一根用掉47米,第二根用掉38米后,剩余長度是第一根的4倍。求兩根繩子原來每根多少米?

        如題所示,如果單審題,小學(xué)生會陷入抽象的概念中無法迅速理清其中的數(shù)量關(guān)系。因此,在解題中引入一定的圖形,來對其中的關(guān)系進(jìn)行分析,則可達(dá)到直觀的作用。

        首先畫示意圖如下:

        在圖中可以看到,第二根繩子比第一根繩子多出來的3倍為:

        47-38=9(米)

        因此第一根繩子所剩下的長度為9÷(4-1)=3(米)

        故第一根繩子原有長度為47+3=50(米)

        兩根繩子長度相等,根據(jù)圖中標(biāo)識,第二根繩子原有長度可計算為:38+9+3=50(米)

        如此一來,依靠圖形的表示,可以直觀地表示出兩根繩子的關(guān)系,從而更好地啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行計算,從而得出相應(yīng)的計算結(jié)果。

        例二:年齡問題。

        老張和小明聊天,老張說:“當(dāng)你和我一樣大的時候,我已經(jīng)54歲了,當(dāng)我像你這么大的時候,你才3歲?!鼻罄蠌埡托∶鞣謩e幾歲。

        類似年齡問題,對于缺乏抽象思維的小學(xué)生來說具有一定的難度,然后利用數(shù)形結(jié)合思想,結(jié)合圖形的標(biāo)識,就可以直觀地畫出老張和小明的年齡關(guān)系,從而使小學(xué)生理解年齡問題的算理,提高其數(shù)學(xué)思維能力。

        首先已知老張與小明的年齡差值是不變的,根據(jù)題意,可以利用相等的線段來表示老張和小明的年齡關(guān)系。

        從3歲到54歲,可以分成三個年齡差值,因此計算小明和老張年齡差值的算法就為:

        (54-3)÷3=17(歲)

        那么老張年齡計算方法為:

        3+(17×2)=37(歲)

        小明年齡及計算方法為:

        3+17=20(歲)

        如上所示,使用等分線段來表示年齡問題中的年齡差值,可以用線性方式讓學(xué)生更好地理解年齡這一抽象的數(shù)學(xué)概念,從而更好地分析、計算,熟悉算理,達(dá)到事半功倍的目的。

        例三:還原問題。

        開學(xué)了,李明的媽媽給了李明一筆零花錢購置開學(xué)用品,李明先是花了10元買了一個水杯,又用剩下的零花錢的一半買了一個書包,最后買了一本課外輔導(dǎo)書,花掉了第二次剩下的錢的一半還要多2元,最后零花錢還剩5元。問:買書包及課外輔導(dǎo)書分別用去多少錢?李明媽媽一共給了李明多少零花錢?

        類似問題,利用線段進(jìn)行表示解題將變得非常直觀,更加容易進(jìn)行計算。

        畫圖如下:

        如圖所示,書包價格等于課外輔導(dǎo)書外加5元,而課外5+2=7(元)則為書包一半的價格,因此書包的價格為:

        (5+2)×2=14(元)

        而課外輔導(dǎo)書的價格為:

        14-5=9(元)

        那么李明媽媽一共給李明的零花錢為,買水杯、書包及課外輔導(dǎo)書的總和及剩下的5元:

        10+14+9+5=38(元)

        例四:行程問題。

        有A、B、C三人,A騎自行車每分鐘200米,B騎車每分160米,C騎車每分鐘150米。A從甲地,B、C從乙地同時出發(fā),相向而行,途中A、B相遇后3分鐘又與C相遇。求甲乙兩地之間的距離。

        根據(jù)題意,A、B相遇后三分鐘,A、C才相遇。那么根據(jù)A、B相遇時C的位置以及A、C相遇的位置,可以確定A、B相遇位置與A、B相遇時C的位置的距離,此距離為A、B相遇時,B比C多走的距離。計算方式為:

        (200+150)×3=1050(米)

        B、C速度差為:160-150=10米/分

        那么根據(jù)B比C多走的路程以及B與C的速度差,可以計算出A、B相遇時,B所用的時間為:

        1050÷10=105分鐘

        那么如圖所示,甲乙兩地的距離為A、B相遇時,A、B所走路程的總和:

        (200+160)×105=37800(米)

        綜上所示,教師在教學(xué)過程中,利用數(shù)形結(jié)合的方式開拓學(xué)生思路,為他們提供更加直觀的解題路徑,將抽象的數(shù)量關(guān)系明朗化,將復(fù)雜的解題思路形象化,降低了復(fù)雜題型對于學(xué)生的不友好度,便于學(xué)生高效率地掌握數(shù)學(xué)知識,最快弄懂?dāng)?shù)學(xué)問題背后的算理,同時也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)智力的挖掘和開發(fā),從而使小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂趣,收到事半功倍的教學(xué)效果。

        二、結(jié)語

        總之,“數(shù)形結(jié)合”思想是一種行之有效的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法,具有可以使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化的優(yōu)點。數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生在小學(xué)階段培養(yǎng)對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以為學(xué)生提供高效率的數(shù)學(xué)解題方法。華羅庚說:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事休?!币虼耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)熟練理解、掌握、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思維,并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與滲透,使數(shù)形結(jié)合思想成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)常識概念、升華數(shù)學(xué)解題思維的有力工具,達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

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