付華芝

數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法路徑，數(shù)學(xué)教學(xué)旨在通過(guò)對(duì)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方式，拓寬學(xué)生思路，培養(yǎng)多維思維方式。小學(xué)生處于數(shù)學(xué)的啟蒙時(shí)期，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如何對(duì)學(xué)生滲透更為靈活、更為直觀的數(shù)學(xué)思維解題方式是教學(xué)研究的一項(xiàng)重點(diǎn)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思維方式，本文聯(lián)系筆者自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，研究和探討了小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用方面的問(wèn)題及思路。

一、數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)實(shí)踐中的滲透與應(yīng)用

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合思維的形成是一個(gè)感性認(rèn)識(shí)階段，通過(guò)反復(fù)認(rèn)知、體驗(yàn)才能循序漸進(jìn)升華到理性層面的過(guò)程。以小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版本為例，教材的特點(diǎn)是從小學(xué)生容易認(rèn)知的圖形的具體形象逐漸過(guò)渡、逐步深入到數(shù)量的抽象層面。在教材中不難發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學(xué)概念的提出，都從圖形的具象到數(shù)量的抽象，體現(xiàn)了數(shù)形二者的有機(jī)結(jié)合，從而逐步幫助學(xué)生建立其基本的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思考模式。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)，決定了教師應(yīng)采取循循善誘、因勢(shì)利導(dǎo)的教學(xué)方式，因此在教材數(shù)形結(jié)合的基本框架下，逐步向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思維方式，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解以及促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題思維的形成。

（一）善用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解最基本的數(shù)學(xué)概念

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有許多數(shù)的意義認(rèn)識(shí)方面的內(nèi)容就結(jié)合了數(shù)形結(jié)合的思想。小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于“數(shù)”的基本概念，是一種比較抽象的概念，但是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，就可以是此種抽象概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的十五，從而使小學(xué)生更容易理解“數(shù)”的意義。

在一年級(jí)上冊(cè)中，在學(xué)生對(duì)于“數(shù)”的啟蒙階段，教材利用圖形（實(shí)物）與數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引出“數(shù)”的概念，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)“數(shù)”，乃至進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算。例如，在學(xué)習(xí)10以內(nèi)的數(shù)字時(shí)，教材將數(shù)字與具體實(shí)物個(gè)數(shù)相匹配，以連線的方式來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)字概念的具體化。之后，教材中對(duì)于多少、長(zhǎng)短、高矮等抽象的概念用具體的圖形表示，使學(xué)生更容易理解。在三年級(jí)下冊(cè)中，教材通過(guò)用人民幣購(gòu)物入手，讓學(xué)生在了解整數(shù)的基礎(chǔ)上，引入小數(shù)的概念，從而使學(xué)生更容易理解小數(shù)這一相對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)更為復(fù)雜的數(shù)字概念。在負(fù)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教材利用溫度計(jì)的零上溫度和零下溫度，來(lái)為學(xué)生引入正負(fù)數(shù)的概念，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)正數(shù)以外負(fù)數(shù)的概念。如此等等，教材在編寫(xiě)過(guò)程中，無(wú)時(shí)無(wú)刻不在通過(guò)數(shù)形結(jié)合的基本形式，為學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)理念，從而使處于啟蒙階段的小學(xué)生在概念上更加容易接受不容易理解的概念。數(shù)形結(jié)合思想在教材中的滲透，更容易將學(xué)生帶入相關(guān)情境中，適應(yīng)了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)較為困難的需求。同理，在更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算中，利用數(shù)形結(jié)合的方式，可以引導(dǎo)學(xué)生更加容易把握運(yùn)算的核心和規(guī)律，從而深化華羅庚先生說(shuō)的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的數(shù)形結(jié)合的思想。

在三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的部分，教材中指出“把一件物品或某個(gè)圖形平均分成兩份，表示其中的一份，就是二分之一”。如果教師平時(shí)在教學(xué)過(guò)程中，僅僅在語(yǔ)言上進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，空洞地給學(xué)生講解，學(xué)生會(huì)陷入抽象的概念中而導(dǎo)致對(duì)分?jǐn)?shù)的理解不夠深入，在自我敘述時(shí)會(huì)造成遺漏的現(xiàn)象。因此教師在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行用圖形表示數(shù)字的體驗(yàn)，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、涂一涂的方式來(lái)體驗(yàn)直觀的分?jǐn)?shù)“二分之一”，就可以比較更好地通過(guò)圖形的方式理解“平均分”的含義，從而掌握了分?jǐn)?shù)的概念和定義。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)這一教學(xué)概念從具象的概念層層遞進(jìn)到抽象的概念，從而將分?jǐn)?shù)這個(gè)概念固化在頭腦當(dāng)中，形成了最簡(jiǎn)單、最基本的分?jǐn)?shù)概念，達(dá)到了良好的教學(xué)效果。

（二）活用數(shù)形結(jié)合思想，加深學(xué)生對(duì)圖形的數(shù)學(xué)理解

圖形雖然具有簡(jiǎn)單直觀的優(yōu)勢(shì)，可以在一定程度上幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，降低學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度，但是也有概念泛化、表達(dá)不精準(zhǔn)的劣勢(shì)。一些小學(xué)數(shù)學(xué)的幾何概念諸如直線、線段、射線、角、三角形、正方形、長(zhǎng)方形等幾何圖形，都有其各自的特性。在小學(xué)數(shù)學(xué)的一些幾何問(wèn)題中，如果不進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想，那么將無(wú)法使學(xué)生更好地理解圖形的特點(diǎn)和內(nèi)涵。因此，通過(guò)數(shù)來(lái)解釋“形”的簡(jiǎn)略性，將數(shù)與行有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)，以精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和形式化的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述圖形、解釋圖形的特性特點(diǎn)，才能更好地突出圖形的特點(diǎn)特性，從而幫助學(xué)生加深對(duì)圖形的數(shù)學(xué)理解。

例一：幾何圖形計(jì)算公式的表示。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，周長(zhǎng)、面積、體積等幾何圖形的計(jì)算方式，都有特定的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推算和解決，學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)公式將有助于學(xué)生更好地理解其特性。如在“長(zhǎng)方形與正方形”特性的學(xué)習(xí)時(shí)，長(zhǎng)方形與正方形的區(qū)別為正方形四個(gè)邊長(zhǎng)相等，而長(zhǎng)方形相對(duì)的兩個(gè)邊相等，計(jì)算長(zhǎng)方形與正方形的周長(zhǎng)，則需要根據(jù)長(zhǎng)方形與正方形的特性運(yùn)用到長(zhǎng)方形與正方形的計(jì)算公式，即正方形周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，這樣從周長(zhǎng)計(jì)算，使學(xué)生更好地理解長(zhǎng)方形與正方形的特性。

又如對(duì)于圖形面積的認(rèn)知中，從小學(xué)生最開(kāi)始的數(shù)方格的過(guò)程就已經(jīng)開(kāi)始了。通過(guò)數(shù)方格的方法，得出圖形面積的數(shù)學(xué)模型公式，從而使學(xué)生在更深的層次上去認(rèn)識(shí)模型。只有熟練掌握了圖形的面積公式，才能更深入地了解圖形的性質(zhì)，從而在計(jì)算中才能夠得出最正確的結(jié)論。

例二：角的大小的比較。

運(yùn)用形數(shù)變換的思維，可以將圖形更好的分解，這就要求小學(xué)生不僅要通過(guò)直觀的圖形來(lái)進(jìn)行引導(dǎo)，而且要將圖形轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)字來(lái)指代圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，角的定義為“從一個(gè)點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形”，角的大小與邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，但是同兩條射線的夾角有著一定的關(guān)系。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，角的大小的比較，可以通過(guò)直觀的圖形比較，也可以對(duì)應(yīng)到相應(yīng)的數(shù)字上來(lái)。在本質(zhì)上，角的大小是由它在單位圓中所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)或者弧長(zhǎng)來(lái)決定的。通過(guò)兩個(gè)大小不同的角的圖形表示以及數(shù)字表示，學(xué)生可以更好地將數(shù)形轉(zhuǎn)換的思維運(yùn)用在對(duì)幾何概念的理解上，從而更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。

例三：通過(guò)數(shù)字來(lái)幫助學(xué)生建立一定幾何概念。

小學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何與數(shù)字之間聯(lián)系的過(guò)程中，一般來(lái)說(shuō)是從直觀到抽象，由分散到概括，由表象的認(rèn)知，再到深入抓住幾何和數(shù)字之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。在由表及里的中間環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生勤于思考，勤于聯(lián)想，從而形成一定的幾何概念乃至空間概念，是十分有必要的。例如，在教學(xué)過(guò)程中，提出數(shù)字“3”會(huì)想到什么？學(xué)生可能會(huì)想到三個(gè)點(diǎn)、三角形等。而給出一個(gè)“4×5”，學(xué)生可能會(huì)想到一個(gè)長(zhǎng)為5米、寬為4米的長(zhǎng)方形。而給出“5、5、1”，“5、5、2”，“5、5、5”，“5、5、6”，“5、5、7”等幾組數(shù)字，學(xué)生可能會(huì)想到一系列等腰但底長(zhǎng)依次變化的三角形。

通過(guò)以上案例可以看出，數(shù)字的變化伴隨著圖形特點(diǎn)的變化。在這一過(guò)程即是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的有效滲透，可以有效拓展學(xué)生的發(fā)散思維，增強(qiáng)其對(duì)于圖形幾何特性的認(rèn)識(shí)，從而提高了學(xué)生的幾何想象能力，更有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

（三）巧用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題

小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的重要階段，是學(xué)生形成一定計(jì)算能力的關(guān)鍵期。畫(huà)圖是一種最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)境下簡(jiǎn)約、直觀、生動(dòng)的信息表示，在教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)題目難以理解時(shí)，試著對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)畫(huà)出圖形的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)用圖形這一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，讓學(xué)生在“情景化”的氛圍下體會(huì)解題思路和解題方法。這樣就可以恰如其分地利用數(shù)形結(jié)合思想，更好地輔助學(xué)生的思維，讓學(xué)生自主、自發(fā)、自覺(jué)地理解其中的算理，從而為提升學(xué)生計(jì)算能力打下良好的基礎(chǔ)。下面舉例說(shuō)明利用數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的滲透，來(lái)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的提高和數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。

例一：差倍問(wèn)題。

有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根用掉47米，第二根用掉38米后，剩余長(zhǎng)度是第一根的4倍。求兩根繩子原來(lái)每根多少米？

如題所示，如果單審題，小學(xué)生會(huì)陷入抽象的概念中無(wú)法迅速理清其中的數(shù)量關(guān)系。因此，在解題中引入一定的圖形，來(lái)對(duì)其中的關(guān)系進(jìn)行分析，則可達(dá)到直觀的作用。

首先畫(huà)示意圖如下：

在圖中可以看到，第二根繩子比第一根繩子多出來(lái)的3倍為：

47-38=9（米）

因此第一根繩子所剩下的長(zhǎng)度為9÷（4-1）=3（米）

故第一根繩子原有長(zhǎng)度為47+3=50（米）

兩根繩子長(zhǎng)度相等，根據(jù)圖中標(biāo)識(shí)，第二根繩子原有長(zhǎng)度可計(jì)算為：38+9+3=50（米）

如此一來(lái)，依靠圖形的表示，可以直觀地表示出兩根繩子的關(guān)系，從而更好地啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，從而得出相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

例二：年齡問(wèn)題。

老張和小明聊天，老張說(shuō)：“當(dāng)你和我一樣大的時(shí)候，我已經(jīng)54歲了，當(dāng)我像你這么大的時(shí)候，你才3歲。”求老張和小明分別幾歲。

類(lèi)似年齡問(wèn)題，對(duì)于缺乏抽象思維的小學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度，然后利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖形的標(biāo)識(shí)，就可以直觀地畫(huà)出老張和小明的年齡關(guān)系，從而使小學(xué)生理解年齡問(wèn)題的算理，提高其數(shù)學(xué)思維能力。

首先已知老張與小明的年齡差值是不變的，根據(jù)題意，可以利用相等的線段來(lái)表示老張和小明的年齡關(guān)系。

從3歲到54歲，可以分成三個(gè)年齡差值，因此計(jì)算小明和老張年齡差值的算法就為：

（54-3）÷3=17（歲）

那么老張年齡計(jì)算方法為：

3+（17×2）=37（歲）

小明年齡及計(jì)算方法為：

3+17=20（歲）

如上所示，使用等分線段來(lái)表示年齡問(wèn)題中的年齡差值，可以用線性方式讓學(xué)生更好地理解年齡這一抽象的數(shù)學(xué)概念，從而更好地分析、計(jì)算，熟悉算理，達(dá)到事半功倍的目的。

例三：還原問(wèn)題。

開(kāi)學(xué)了，李明的媽媽給了李明一筆零花錢(qián)購(gòu)置開(kāi)學(xué)用品，李明先是花了10元買(mǎi)了一個(gè)水杯，又用剩下的零花錢(qián)的一半買(mǎi)了一個(gè)書(shū)包，最后買(mǎi)了一本課外輔導(dǎo)書(shū)，花掉了第二次剩下的錢(qián)的一半還要多2元，最后零花錢(qián)還剩5元。問(wèn)：買(mǎi)書(shū)包及課外輔導(dǎo)書(shū)分別用去多少錢(qián)？李明媽媽一共給了李明多少零花錢(qián)？

類(lèi)似問(wèn)題，利用線段進(jìn)行表示解題將變得非常直觀，更加容易進(jìn)行計(jì)算。

畫(huà)圖如下：

如圖所示，書(shū)包價(jià)格等于課外輔導(dǎo)書(shū)外加5元，而課外5+2=7（元）則為書(shū)包一半的價(jià)格，因此書(shū)包的價(jià)格為：

（5+2）×2=14（元）

而課外輔導(dǎo)書(shū)的價(jià)格為：

14-5=9（元）

那么李明媽媽一共給李明的零花錢(qián)為，買(mǎi)水杯、書(shū)包及課外輔導(dǎo)書(shū)的總和及剩下的5元：

10+14+9+5=38（元）

例四：行程問(wèn)題。

有A、B、C三人，A騎自行車(chē)每分鐘200米，B騎車(chē)每分160米，C騎車(chē)每分鐘150米。A從甲地，B、C從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，途中A、B相遇后3分鐘又與C相遇。求甲乙兩地之間的距離。

根據(jù)題意，A、B相遇后三分鐘，A、C才相遇。那么根據(jù)A、B相遇時(shí)C的位置以及A、C相遇的位置，可以確定A、B相遇位置與A、B相遇時(shí)C的位置的距離，此距離為A、B相遇時(shí)，B比C多走的距離。計(jì)算方式為：

（200+150）×3=1050（米）

B、C速度差為：160-150=10米/分

那么根據(jù)B比C多走的路程以及B與C的速度差，可以計(jì)算出A、B相遇時(shí)，B所用的時(shí)間為：

1050÷10=105分鐘

那么如圖所示，甲乙兩地的距離為A、B相遇時(shí)，A、B所走路程的總和：

（200+160）×105=37800（米）

綜上所示，教師在教學(xué)過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合的方式開(kāi)拓學(xué)生思路，為他們提供更加直觀的解題路徑，將抽象的數(shù)量關(guān)系明朗化，將復(fù)雜的解題思路形象化，降低了復(fù)雜題型對(duì)于學(xué)生的不友好度，便于學(xué)生高效率地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，最快弄懂?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題背后的算理，同時(shí)也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)智力的挖掘和開(kāi)發(fā)，從而使小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂(lè)趣，收到事半功倍的教學(xué)效果。

二、結(jié)語(yǔ)

總之，“數(shù)形結(jié)合”思想是一種行之有效的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法，具有可以使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化的優(yōu)點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生在小學(xué)階段培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以為學(xué)生提供高效率的數(shù)學(xué)解題方法。華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休?！币虼?，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)熟練理解、掌握、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思維，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與滲透，使數(shù)形結(jié)合思想成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)常識(shí)概念、升華數(shù)學(xué)解題思維的有力工具，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。