文／江美紅

同學(xué)們，當(dāng)你遇到坐標(biāo)系中的“旋轉(zhuǎn)”變換問題時(shí)，是否感到“無從下手”或者“困難重重”？此類問題是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。想要破解它，我們需結(jié)合圖形自身的特點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到旋轉(zhuǎn)過程中的“變化量”和“不變量”，構(gòu)造“K 字型”，利用三角形全等或相似的知識(shí)來解決。下面，讓我們一起來看看“K字型”的魔力吧！

一、旋轉(zhuǎn)角度為直角

1.定點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

例1 如圖1，直線y=x+1 與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，在旋轉(zhuǎn)后的直線上截取BC=2BA，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______。

圖1

圖2

【思路分析】如圖2 所示，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，構(gòu)造“K 字型”。由BC=2BA，OA=1，根據(jù)△BCD∽△ABO，可得CD=BD=2，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，3）。

【反思?xì)w納】解決本題的關(guān)鍵是求出線段CD、BD的長(zhǎng)度。根據(jù)∠ABC=∠AOB=90°，且BC=2BA，作CD⊥y軸構(gòu)造“K 字型”，利用相似三角形的知識(shí)直接求出線段的長(zhǎng)度，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)。

2.動(dòng)點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-+2 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P（1，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q′，連接OQ′，則OQ′的最小值為。

圖3

圖4

【反思?xì)w納】解決本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)。題中點(diǎn)Q是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q′隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。解決此類問題的策略是以“靜”制“動(dòng)”，將直線上的動(dòng)點(diǎn)Q看作一個(gè)定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的含參坐標(biāo)，根據(jù)PQ=PQ′，∠QPQ′=90°，構(gòu)造“K 字型”，利用三角形全等的知識(shí)得出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)，再構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求出最值。

3.定點(diǎn)繞動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3），將點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B。若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，-1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________。

【思路分析】先畫出如圖5 所示的圖形，再構(gòu)造如圖6所示“K字型”。設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，則DC=a+2，CE=5-a。根據(jù)△ADC≌△CEB，可得BE=a+2，AD=5-a，列出方程a+2+4=5-a，解得a=-，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-）。

圖5

圖6

【反思?xì)w納】解決本題的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)中心的位置，畫出圖形，再構(gòu)造“K 字型”，然后設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，利用三角形全等的知識(shí)，列出方程，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)。

二、旋轉(zhuǎn)角度為非直角

例4 如圖7，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（3，0），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α得到線段AC。若tanα=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________。

圖7

圖8

【反思?xì)w納】解決旋轉(zhuǎn)角度為非直角問題的策略是通過添加輔助線，將旋轉(zhuǎn)角置于直角三角形中，再構(gòu)造“K 字型”來解決問題。這里也可過點(diǎn)C作AC的垂線，但因點(diǎn)C坐標(biāo)未知，所以在點(diǎn)C處構(gòu)造“K 字型”解決問題較上面方法會(huì)煩瑣一些。

通過以上四道例題的分析，同學(xué)們是否找到了破解坐標(biāo)系中“旋轉(zhuǎn)”變換問題的妙招？構(gòu)造“K 字型”是快速攻破此類問題的關(guān)鍵。若旋轉(zhuǎn)角度為直角，則可直接構(gòu)造“K 字型”，利用三角形全等或相似的知識(shí)解決問題；若旋轉(zhuǎn)角度為非直角，則先作出直角，轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)角度為直角的問題。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要善于總結(jié)解題策略，做到“會(huì)一道，通一類”，提升學(xué)習(xí)效果。