江蘇省揚(yáng)中市教師發(fā)展中心 陳榮芳

江蘇省揚(yáng)中市豐裕中心小學(xué) 盧 敏

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的“四能”要求：體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題；鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情景中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。

歷次的PISA測(cè)試結(jié)果顯示，中國(guó)學(xué)生在通過實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)算法就能解決的問題上表現(xiàn)良好，但通常在不能通過一種算法解決而是需要對(duì)問題情境進(jìn)行新的探索的問題中表現(xiàn)得不足。這說明在數(shù)學(xué)問題解決中的多元問題表征，利用多種方法解決問題、創(chuàng)造性解決問題是中國(guó)中小學(xué)的薄弱點(diǎn)，是未來數(shù)學(xué)教育要思考的內(nèi)容。

二、多元表征與數(shù)學(xué)問題解決

《辭?！穼?duì)“表征”一詞的解釋為“揭示；闡明；也指事物顯露在外的征象”，這意味著表征有兩層含義：一是事物的外在征象；二是對(duì)事物內(nèi)在本質(zhì)的揭示表征。在認(rèn)知科學(xué)、教育心理學(xué)等領(lǐng)域中，“表征”則是指把一種事、物、想法或知識(shí)用某一種物理的或心理的形式重新表示出來，因此事物的“多元表征”便是指同一事物的多種不同表征形式。

關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的研究，早期階段關(guān)注點(diǎn)是數(shù)學(xué)問題解決的過程、模式建構(gòu)和應(yīng)用技能三個(gè)外在的層面。隨著認(rèn)知心理學(xué)和腦科學(xué)的發(fā)展，近年來越來越多的學(xué)者將問題解決研究的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到其內(nèi)在機(jī)制上，尤其是側(cè)重問題解決階段的表征、解決過程中的表征多元化以及元認(rèn)知分析等。

（一）多元表征貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)問題解決的過程

數(shù)學(xué)家波利亞將問題解決分為四個(gè)環(huán)節(jié)：一是理解題目，二是制訂計(jì)劃，三是執(zhí)行計(jì)劃，四是回顧反思。在每個(gè)問題解決的環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了多元表征理論：理解題目就是了解題意的過程，也是對(duì)問題進(jìn)行多元表征的過程；制訂計(jì)劃則是將外在的多元表征轉(zhuǎn)化為內(nèi)在表征，通過個(gè)體主觀能動(dòng)，從而形成解題計(jì)劃；執(zhí)行計(jì)劃便是再將內(nèi)在表征外化，通過“數(shù)”與“形”的多種表征形式將計(jì)劃具體呈現(xiàn)，從而解決問題；而在最后一個(gè)環(huán)節(jié)，除去對(duì)解題過程的再次檢查，同樣可以采取另一種表征方式重新解題并通過檢驗(yàn)來回顧反思（見圖1）。并且，在多元表征的理論指導(dǎo)下，學(xué)生在學(xué)會(huì)解題的同時(shí)，不僅能做到充分利用題目的信息、多元化表達(dá)，還能夠在內(nèi)外化表征的轉(zhuǎn)化中學(xué)會(huì)思考，掌握解決問題的技能技巧，獲得更深層的思維體驗(yàn)。

圖1

（二）多元外在表征的運(yùn)用有助于發(fā)掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)本身是抽象的，只有當(dāng)其具體化為幾何與代數(shù)或是圖像與符號(hào)時(shí)，它才能夠被理解，被后人學(xué)習(xí)并傳承。數(shù)學(xué)問題也是如此，只有當(dāng)其被表征、被具體可視化時(shí)才可能被解決。因此，對(duì)于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題而言，只有恰當(dāng)?shù)膯栴}表征才能在已知條件和最終目標(biāo)之間形成正確的問題情境表征，從而順利解決數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先要對(duì)問題進(jìn)行合理的外部表征，將其化整為零，而后轉(zhuǎn)化成已學(xué)的內(nèi)容，在不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間建立聯(lián)系，從而將問題解決。因此，有效的外部表征是成功解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生對(duì)給定的問題進(jìn)行理解、掌握、轉(zhuǎn)化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。對(duì)于學(xué)生而言，是否能夠揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的關(guān)鍵就在于他們選擇問題表征的方式或問題表征的能力。

（三）多元內(nèi)在表征活化學(xué)生解決問題的思維方式

問題解決是一種高級(jí)形式的學(xué)習(xí)，通過解決問題這一復(fù)雜的思維過程，學(xué)生能夠利用學(xué)過的知識(shí)和規(guī)則的聯(lián)合或重組來解決新問題。所以說問題解決是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和提高學(xué)生實(shí)踐能力的有效途徑之一，這也是問題解決的最高階段。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決，都需要對(duì)復(fù)雜的材料進(jìn)行信息解碼和編碼，以此獲得豐富多樣的信息，而后通過語(yǔ)言、文字、數(shù)字、圖像、符號(hào)等多元表征完整呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的過程。在每個(gè)過程中，表征都作為問題解決的重要策略，而問題的內(nèi)部表征代表了問題在學(xué)生頭腦中的呈現(xiàn)方式，對(duì)問題的解決起著關(guān)鍵作用。但由于每個(gè)學(xué)生長(zhǎng)期以來形成的認(rèn)知風(fēng)格、思維方式存在差異，其對(duì)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在表征形式不一，有人偏愛直觀想象，有人偏向抽象演繹，如若一直采用單一表征形式，久而久之，學(xué)生的思維必將模式化。

三、強(qiáng)化多元表征，提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力

（一）關(guān)注個(gè)體差異，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)共同體

學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知風(fēng)格等存在差異，面對(duì)同一個(gè)問題，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)不同的想法，進(jìn)而外化為不同的表征。教師要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，尊重學(xué)生對(duì)知識(shí)多元化的理解，允許學(xué)生有不恰當(dāng)?shù)睦斫?，鼓?lì)學(xué)生表達(dá)對(duì)材料信息的不同認(rèn)知和態(tài)度，關(guān)注他們學(xué)習(xí)過程的獨(dú)特感受。

例如，研究“搭配的規(guī)律”中的一道題目：小紅有3件不同的上衣和2件不同的褲子，搭配起來有多少種不同的穿法呢？學(xué)生解答過程中用的表征圖式多樣化，采用了不同方法來理解問題并解決。（見圖2）

圖2

針對(duì)圖2方法1中學(xué)生用畫實(shí)物圖來表征問題的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)這種方法你有什么建議？有學(xué)生說：“畫圖很形象，但畫起來比較麻煩，可以用文字來表示（方法2）?！庇袑W(xué)生說：“我是用符號(hào)來表示褲子和衣服的（方法3），不需要一個(gè)一個(gè)寫下來，連成線就可以看出有6種不同的搭配方法?！?/p>

教學(xué)中，教師首先要深入了解學(xué)生解決問題的表征方式，提高他們的問題表征能力。同時(shí)需要構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體，引領(lǐng)學(xué)生互相傾聽，理解別人表征的需要，對(duì)于多樣化的表征方式，進(jìn)一步辨析表征異同，溝通表征之間的聯(lián)系，抽象不同表征的共同點(diǎn)，成為引發(fā)深度學(xué)習(xí)的資源，最終發(fā)展和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）有效表征數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的深刻理解

在解決問題的過程中，學(xué)生需要有效表征數(shù)學(xué)問題，包括對(duì)字面的理解以及問題的深層理解，即學(xué)生頭腦中對(duì)數(shù)學(xué)問題的重述，對(duì)給定的問題進(jìn)行理解、掌握、轉(zhuǎn)化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。教師需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際需要，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉且易于理解的教學(xué)情境，幫助學(xué)生進(jìn)行有效表征，理解數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題。

1.教學(xué)表征手段多樣化

表征應(yīng)該是數(shù)學(xué)教師具備的專業(yè)技能之一，教師的表征手段越豐富，操作越嫻熟，就越能夠了解學(xué)生的需要，并據(jù)此選擇合適的方法，通過比較、類比、舉例、暗喻、提問、演示等，引導(dǎo)學(xué)生深入了解問題情境，鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，并運(yùn)用多樣化、個(gè)性化的方法來解決問題，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的提升。

2.學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)多維化

有效的表征要與對(duì)應(yīng)的教學(xué)情境相適應(yīng)，教學(xué)中教師選擇的學(xué)習(xí)材料要體現(xiàn)不同情境、不同表征方式的需求，這樣便于引導(dǎo)學(xué)生理解表征方法的多元化，能夠溝通不同表征方法之間的聯(lián)系。例如，人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的“數(shù)與形”，就是引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律，建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，借助幾何直觀解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

教材中的兩道例題有不同的設(shè)計(jì)意圖：例1（題略）先給圖形再給算式，借助圖形解決抽象的問題；例2（題略）是先給算式再給圖形。教師需要深入發(fā)掘例題的編排意圖，教會(huì)學(xué)生將數(shù)學(xué)的規(guī)律用簡(jiǎn)單、直觀的圖形呈現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生能夠 “由形感數(shù)”，也能“以數(shù)悟形”，從而學(xué)會(huì)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”方法解決問題。

3.學(xué)習(xí)過程呈現(xiàn)可視化

學(xué)生的內(nèi)在表征是問題在學(xué)生頭腦中的思考，或者說是學(xué)生的內(nèi)部心理符號(hào)，需要通過外在表征將其具體化和外顯化。教師引導(dǎo)學(xué)生將問題解決的過程以適當(dāng)?shù)姆绞角逦乇磉_(dá)出來，由此幫助學(xué)生聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，完成知識(shí)建構(gòu)，能使學(xué)生更容易地理解問題的本質(zhì)，更好地解決問題。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)教材中一道題目：小猴幫媽媽摘桃，第一天摘了30個(gè)，以后每一天都比前一天多摘5個(gè)。小猴第三天摘了多少個(gè)？第五天呢？“以后每天都比前一天多摘5個(gè)”這一條件比較抽象，教師需要引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與方法，借助圖形、表格、示意圖等不同方式進(jìn)行表征，表達(dá)其思考過程，讓思考的過程清晰可見。

（三）靈活數(shù)學(xué)表征運(yùn)用，提高學(xué)生問題解決能力

1.豐富感知，啟發(fā)學(xué)生思維的發(fā)散性

問題解決教學(xué)的主要目標(biāo)之一是幫助學(xué)生從多種不同的視角、運(yùn)用多種方式進(jìn)行表征運(yùn)用，采用不同的策略解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

例如，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)：采一片樹葉，算一算樹葉面積大約是多少。有的學(xué)生在方格紙上描出樹葉的輪廓線，再估計(jì)面積；有的學(xué)生用1平方厘米的紙片去鋪一鋪；還有的學(xué)生將樹葉剪一剪、拼一拼，拼成近似的長(zhǎng)方形，再量一量長(zhǎng)和寬，估算出面積。在探索過程中，學(xué)生體會(huì)到了面積計(jì)算和測(cè)量與實(shí)際生活的聯(lián)系，體會(huì)到了可以通過多種方法估算不規(guī)則圖形的面積，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅提高了動(dòng)手實(shí)踐能力、問題解決能力，同時(shí)啟發(fā)了思維的發(fā)散性。

2.溝通聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生思維的整合性

有研究指出，在解決問題的過程中，數(shù)式所體現(xiàn)的代數(shù)表征和圖形所體現(xiàn)的幾何表征的選擇與應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)生邏輯思維和直覺思維兩類不同的數(shù)學(xué)思維方式。教學(xué)中教師既要重視學(xué)生的抽象、形式化的代數(shù)表征，也要重視操作、直觀的幾何表征，將多種表征方式融合運(yùn)用，溝通不同表征方式之間的聯(lián)系，助推學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的整體把握。

例如，探索“和的奇偶性”規(guī)律：奇數(shù)+奇數(shù)=？學(xué)生一般先會(huì)采用舉例驗(yàn)證的方法：5+3=8，5+11=16，……找出兩個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)的規(guī)律。但教學(xué)不能僅僅停留于此，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：為什么兩個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)？是不是所有的奇數(shù)相加的和都是偶數(shù)？再引導(dǎo)學(xué)生用圖式表征5+3（見圖3），3塊積木加上5塊積木，每2塊一組，多余的2塊又可以組成一組，進(jìn)一步驗(yàn)證兩個(gè)奇數(shù)相加的和為偶數(shù)。教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)，偶數(shù)可以表示為2n（n為自然數(shù)），奇數(shù)可以表示為2n+1，也就是偶數(shù)+1，兩個(gè)奇數(shù)相加，可以想成（偶數(shù)+1）+（偶數(shù)+1），偶數(shù)+偶數(shù)還是偶數(shù)，1+1=2也是偶數(shù)，所以奇數(shù)+奇數(shù)的和肯定為偶數(shù)了。學(xué)生能夠從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面進(jìn)行理解，知道不同表征方式內(nèi)在一致性，建立“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，就能深刻理解知識(shí)本質(zhì)，也就增強(qiáng)了思維的整合性，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

圖3

3.雙向轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

在解決問題教學(xué)中，教師如果只關(guān)注直觀表征運(yùn)用，學(xué)生就會(huì)停留在具體化階段；如果只關(guān)注抽象符號(hào)表征，忽視直觀形象表征，學(xué)生解決問題過程的體驗(yàn)就不深刻?；诙嘣碚鞯慕虒W(xué)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩類不同表征方式的相互轉(zhuǎn)換和結(jié)合，建構(gòu)數(shù)學(xué)表征的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問題的深度理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

以上述探索和的奇偶性為例，學(xué)生不僅需要借助實(shí)例表征，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也需要通過圖形表征，進(jìn)一步理解規(guī)律的本質(zhì)含義。教師還要引導(dǎo)學(xué)生用文字表征的方式對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，在不同的表征方式之間靈活地轉(zhuǎn)換。教師通過恰當(dāng)?shù)慕M織與引導(dǎo)，讓外在表征有序并整體地內(nèi)化為學(xué)生的內(nèi)在表征，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的層次性、靈活性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

四、結(jié)語(yǔ)

多元表征理論下的數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)，應(yīng)該基于學(xué)生的不同自身經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景，采用多元表征解決數(shù)學(xué)問題，由此讓學(xué)生明白自我體驗(yàn)材料的意義，在較為復(fù)雜的問題情境中能夠理解和轉(zhuǎn)換，較好地解決問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力和問題解決能力。