王麗梅

（廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

變點問題因其具有廣泛應(yīng)用性，比如在金融、經(jīng)濟、計算機等都有大量的應(yīng)用，所以在統(tǒng)計學中一直是研究的熱門課題。變點指的是在模型或者分布中，在某個未知的時刻，模型或者分布的某些特征發(fā)生改變，則把這個未知的時刻稱為變點。

目前，對變點問題研究的文獻有很多。如譚智平等人［1］利用非參數(shù)方法構(gòu)建Kolmogorov 型統(tǒng)計量對分布變點的檢測和估計進行研究；Guan［2］通過似然比方法研究半?yún)?shù)模型的變點問題；張軍艦等人［3］通過構(gòu)造截斷經(jīng)驗歐氏似然比檢驗函數(shù)對均值單變點模型的變點位置進行估計；Bai［4］利用殘差的經(jīng)驗分布函數(shù)對線性模型的結(jié)構(gòu)變點進行研究；Harachaoui 和Levy-Leduce［5］首次將變點的估計問題轉(zhuǎn)換為基于LASSO 方法的線性回歸中的變量選擇問題。自從Koenker 和Bassett［6］提出分位數(shù)回歸的思想，就有許多學者將分位數(shù)回歸與變點結(jié)合起來，如Qu［7］基于子樣本的次梯度構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量和Wald 型統(tǒng)計量討論了線性分位數(shù)回歸模型的結(jié)構(gòu)變點檢測問題；Li［8］討論了折線分位數(shù)回歸模型的變點估計問題；張立文［9］研究了在數(shù)據(jù)存在刪失的情況下線性分位數(shù)回歸模型的變點檢測問題；Zhou［10］的第二章是基于次梯度的思想構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量檢測線性分位數(shù)回歸模型的實時變點。但是，目前存在的變點研究文獻中，對于廣義線性模型的分位數(shù)回歸變點研究還較少，如Xia［11］利用加權(quán)殘差來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量研究了廣義線性模型的實時變點；但是由于在小樣本情況下，此文章提出的方法犯第一輪錯誤效果不好，所以Zhou［10］的第三章利用Bootstrap 方法改進了Xia［11］中存在的問題。

本文在Qu［7］的基礎(chǔ)上，利用子樣本的次梯度構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量檢測廣義線性模型是否存在變點。第二節(jié)主要介紹模型及其檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造，第三節(jié)為數(shù)值模擬，第四節(jié)證明相關(guān)引理和定理，第五節(jié)是本文的總結(jié)。

1 模型與主要結(jié)果

{(yi，xi)，i= 1，…，n} 是一列來自總體(Y，X) 的獨立同分布隨機樣本，yi是一維響應(yīng)變量，xi是一個p×1維的協(xié)變量。考慮如下的廣義線性模型：

假設(shè)yi的條件密度函數(shù)服從指數(shù)族分布，即

其中a(·)，b(·)，c(·)是已知函數(shù)，φ是離散參數(shù)，代表尺度；θ稱為規(guī)范參數(shù)，代表位置。且yi的條件均值為

其中，βi是p維未知參數(shù)，g-1( ? )是一個已知的合適的連接函數(shù)。則

εi是模型的隨機誤差，對于給定的分位數(shù)水平τ∈( 0，1 )，滿足p(εi＜0|xi)=τ。所以對于給定的xi，yi的條件τ分位數(shù)為：

這里Qy(τ|x)= inf {t：Fy(t|x)≥τ}是給定x的情況下y的條件分位數(shù)。

本文感興趣的是對于給定的分位數(shù)τ，在連接函數(shù)g-1( ? )不變的情況下檢驗參數(shù)β是否發(fā)生改變，也即考慮如下的檢驗：

其中，β0，τ為未知的真實參數(shù)，β1，τ≠β2，τ，n1為未知的變點，β1，τ，β2，τ分別是變點前后的未知參數(shù)。β0，τ的估計可以由下式得到

其中ρτ(u)=u(1 -I(u＜0 ))，I(u＜0 )是示性函數(shù)。

基于文獻［7］構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量的思想，本文利用子樣本來計算次梯度。定義：

其中g(shù)′( ? )是函數(shù)g( ? )的一階導數(shù)，0 ≤λ≤1，[x]為取整函數(shù)以及ψτ(u)=τ-I(u＜0 )。

由于變點的位置未知，所以需要搜索所有可能的點。基于此，給出本文的檢驗統(tǒng)計量：

其中，|| ?||∞表示上確界函數(shù)，例如a=(a1，a2，…，ap)，||a||∞= max (|a1|，|a2|，…，|ap|)，

當在原假設(shè)下即變點不存在時，ψτ(u)=τ-I(u＜0 )是一個均值為0 方差為τ(1 -τ)的二元獨立隨機變量序列，所以會收斂到一個均值為0 的高斯過程；而在備擇假設(shè)下即存在一個變點時，因為與變點前后的真實參數(shù)有較大的差異，如果仍然使用來代替變點前后的真實參數(shù)就會使得估計的模型殘差一致低于或者高于真實的分位數(shù)，從而使得統(tǒng)計量取得較大的值。

定義f( ? |X)和F( ? |X)分別是給定X條件下Y的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)。為書寫簡便，記f( ? |xi)和F( ? |x i)分別為fi( ? )和Fi( ? )。為了得到檢驗統(tǒng)計量的漸進性質(zhì)，本文給出了如下的假設(shè)：

假設(shè)1條件密度函數(shù)fi( ? )在點處一致遠離0 和∞。

假設(shè)2函數(shù)g( ? )是單調(diào)連續(xù)且二階可微的，g′( ? )有界，g″( ? )有界。

假設(shè)3，對任意的

假設(shè)4是一個p×p維非隨機有限正定矩陣

其中假設(shè)1 是分位數(shù)回歸中的一般假設(shè)，假設(shè)2 和假設(shè)3 保證了目標函數(shù)（1）有唯一解，且由假設(shè)3 可以得到

引理1在假設(shè)1～4 下，當原假設(shè)H0成立時，有

引理2在假設(shè)1～4 下，當原假設(shè)H0成立時，對任意的緊集D∈Rp，有

定理1在假設(shè)1～4 下，當原假設(shè)H0成立時，有其中，Bp(λ)是一個p維獨立布朗橋。

2 數(shù)值模擬

本文在備擇假設(shè)H1即模型存在變點時模擬檢驗統(tǒng)計量的功效，數(shù)據(jù)來自于下面的泊松回歸模型：

xi～U( 0，1 )，d表示斜率參數(shù)改變的大小，d= 0 代表泊松回歸模型不存在變點，d模擬時分別取1，2，3；分位數(shù)τ分別取0.25，0.5，0.75，分別對應(yīng)低分位數(shù)、中分位數(shù)和高分位數(shù)；顯著性水平α為0.05；樣本量設(shè)為n=100 和300；變點位置分別設(shè)為n1=n/4，n/2，3n/4。在所有的模擬過程中模擬重復1000 次。模擬效果如表1所示。

表1 有限樣本在名義水平為0.05 的功效

對照n= 100 和300，可看出隨著樣本容量的增加，各分位數(shù)下的檢驗統(tǒng)計量功效都更加接近1；同樣當斜率參數(shù)d變化幅度變大時，也逐漸趨于1，這表明檢驗效果也更好。對應(yīng)低分位數(shù)SQ0.25來說，變點位置越靠前其檢驗效果越好；反之，對于高分位數(shù)SQ0.75來說，變點位置越靠后其檢驗效果越好。總體來看，檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效良好。

3 理論證明

3.1 證明引理1

又因為Z0(ξ)是一個凸函數(shù)，所以存在唯一最小值為，故所以

3.2 證明引理2

不失一般性，假設(shè)xi的元素都是非負的，函數(shù)g( ? ) 是單調(diào)遞增函數(shù)是非負的，則是關(guān)于ξ的非降函數(shù)。由于D是緊集，所以對于任意的δ＞0，D可以分割為n(δ) 個直徑小于等于δ的有限個子集D1，…，Dn(δ)。對于任意的ξ∈Dh，h∈{ 1，…，n(δ) }，存在Dh中的兩點ξh，1和ξh，2使得由的單調(diào)性，有

同理可得

根據(jù)（10）式和（11）式得

對于(b)項，將在點處一階泰勒展開，由假設(shè)1～3 得(b)=δOp(1 )，當δ充分小時

對于(a)項，只需證因為

是一個鞅差序列，所以利用Doob 不等式和Rosenthal 不等式，存在常數(shù)M1和M2，對任意的λ＞1，根據(jù)假設(shè)1～3 有

所以(a)=op(1 )，根據(jù)（13）～（15）式引理2 證明完畢。

證明定理1：

由引理2 得

所以

其中，Wp( ? )是一個p維獨立維納過程，所以定理1 證明完畢。

4 總結(jié)

本文結(jié)合分位數(shù)回歸的思想，將文獻［7］的線性模型擴展到使用范圍更加廣泛的廣義線性模型，考慮在其連接函數(shù)不變的情況下參數(shù)是否發(fā)生改變，利用子樣本的次梯度來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，并且找到了在原假設(shè)下檢驗統(tǒng)計量的漸進分布，并通過數(shù)值模擬證明了該檢驗的有效性。