李明蔚,呂 艷

(南京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京 210094)

Lévy過(guò)程表示一類樣本路徑右連續(xù)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng),包含布朗運(yùn)動(dòng)、Poisson過(guò)程等一系列重要隨機(jī)過(guò)程,因其增量獨(dú)立且平穩(wěn)以及其良好的應(yīng)用前景,一類由Lévy過(guò)程驅(qū)使的隨機(jī)微分方程得到廣泛關(guān)注.目前對(duì)于驅(qū)動(dòng)噪聲為布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程,其線性及非線性情形下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題均已取得一系列研究成果[1-5].對(duì)于其他類型的Lévy過(guò)程,Hu等[6]將軌跡擬合方法和最小二乘技術(shù)相結(jié)合,研究了連續(xù)時(shí)間觀測(cè)下由α平穩(wěn)Lévy運(yùn)動(dòng)驅(qū)使的Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題; Masuda[7]提出了由對(duì)稱Lévy過(guò)程驅(qū)使的Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程在離散觀測(cè)點(diǎn)下的一種自加權(quán)最小絕對(duì)偏差估計(jì)量; Long等[8]提出了通過(guò)設(shè)置對(duì)比函數(shù)建立適用于普遍L(zhǎng)évy過(guò)程的最小二乘估計(jì)量方法,該方法雖允許漂移函數(shù)非線性,但要滿足Lipschitz條件; Mai[9]削弱了文獻(xiàn)[8]中漂移項(xiàng)的條件,提出了在局部Lipschitz條件下隨機(jī)微分方程的似然函數(shù),并利用指數(shù)族的方法對(duì)Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程、平方根過(guò)程給出其強(qiáng)一致及在Hajek-LeCam意義上漸近有效的估計(jì)量.

基于此,本文考慮漂移項(xiàng)含有高次冪的多項(xiàng)式型非線性隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題,并對(duì)所提出的極大似然估計(jì)量的漸近性質(zhì)進(jìn)行討論.最后,通過(guò)模擬樣本軌道驗(yàn)證方法的有效性和估計(jì)量的性質(zhì).

1 連續(xù)時(shí)間觀測(cè)下的極大似然估計(jì)量

設(shè)(Ω,F,(Ft)t≥0,P)是一個(gè)概率空間,L是一個(gè)Lévy過(guò)程,其特征值為(b,σ2,μ),根據(jù)Lévy-It分解可知,

其中Bt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程,N是+×(d-{0})上的一個(gè)獨(dú)立Poisson隨機(jī)測(cè)度,是一個(gè)鞅測(cè)度,且設(shè)m為取值于+的常數(shù),σ2>0,考慮隨機(jī)微分方程

(1)

取Cn=|θ+3n2|,Dn=||θ|+n2|,使得對(duì)所有的t,當(dāng)|x|,|y|≤n時(shí),有

|θx-x3-θy+y3|=|θ(x-y)+(y-x)(x2+xy+y2)|≤Cn|x-y|,

|θx-x3|=|x(θ-x3)|≤||θ|+n2||x|≤Dn(1+|x|).

(2)

其中Xc是X在P0下的連續(xù)鞅部分.對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)并求導(dǎo),可得

因此θ的極大似然估計(jì)量為

(3)

證明: 首先討論在P0下Xc的表示.由Lévy-It分解可知,其中Wt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程,

因此可從X中分解出一個(gè)局部P0鞅Mt,

所以在P0下,Xc=mσW.

所以可將極大似然估計(jì)表示為真實(shí)參數(shù)θ與一個(gè)由Pθ-Wiener過(guò)程驅(qū)動(dòng)的偏差之和,即

證明: 記對(duì)數(shù)似然函數(shù)為RT(θ),對(duì)任意的|λ|≥0,有

證明: 將對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)θ求導(dǎo)得

2 離散時(shí)間觀測(cè)下有限活躍條件的極大似然估計(jì)

(5)

其中ΔiX=Xti+1-Xti,Δi=ti+1-ti,vn>0.

證明: 不失一般性,假設(shè)σ=1,則

(6)

其次考慮不等式(6)右邊第二項(xiàng),由Jensen不等式可知,

所以有

由Markov不等式得

從而結(jié)論得證.

而

對(duì)式(1)兩邊在[ti,ti+1]上做積分,可得ΔiX=ΔiD+mΔiL,又因?yàn)長(zhǎng)t=Wt+Jt,所以ΔiX=ΔiD+mΔiW+mΔiJ.由引理1得

綜上可知,

從而

引理3若假設(shè)(H1)成立,則當(dāng)n→∞時(shí),有

(7)

證明: 由引理2知,

只有在該時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生跳躍,式(7)右邊的增量差值才不為0,即

由于ΔiXc=mΔiW+ΔiD,因此有

再利用H?lder不等式得

綜上結(jié)論得證.

證明: 推導(dǎo)可得

由引理3知,在Pθ下,當(dāng)n→∞時(shí),有

證明: 由引理3知,在Pθ下,當(dāng)n→∞時(shí),有

3 數(shù)值模擬

下面對(duì)有限活躍情形下隨機(jī)微分方程進(jìn)行仿真模擬.取初值x0=1,對(duì)方程(1)進(jìn)行Euler離散化可得:

表1 不同真實(shí)值下的均值及識(shí)別到的跳躍數(shù)結(jié)果

圖的誤差分布直方圖(A)和的正態(tài)QQ圖(B)Fig.1 Error distribution histogram of (B)

綜上所述,本文在漂移項(xiàng)為局部Lipschitz以及驅(qū)動(dòng)噪聲為L(zhǎng)évy過(guò)程的條件下,討論了非線性隨機(jī)微分方程(1)的參數(shù)估計(jì),通過(guò)設(shè)置閾值的方法過(guò)濾過(guò)程中的跳躍,從而近似連續(xù)鞅部分,分別在連續(xù)時(shí)間觀測(cè)和離散高頻觀測(cè)下給出了參數(shù)θ的估計(jì)量及其漸近性質(zhì).最后,將估計(jì)量代入數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性,該方法有助于非線性隨機(jī)系統(tǒng)的拓展與應(yīng)用.