韓 夢(mèng),李 宏,張斯淇,趙東旭,劉曉靜,吳向堯

(1.吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院,吉林 四平 136000; 2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 量子信息技術(shù)交叉學(xué)科研究院,吉林省量子信息技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)春 130052)

光子晶體是一種折射率周期變化的人工微結(jié)構(gòu)材料[1-3],光子晶體應(yīng)用廣泛,其帶隙和折射率等可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)控,從而實(shí)現(xiàn)光的傳輸、控制和放大等,如基于光子禁帶中禁止光傳播的特性制備反射鏡,通過(guò)控制光子禁帶的范圍,即可控制反射的頻率范圍.由于光子晶體具有光子帶隙和光子局域特性,使其可精確控制光子運(yùn)動(dòng),因此光子晶體將成為光電集成和光子集成的一種關(guān)鍵性基礎(chǔ)材料[4].隨著拓?fù)湮锢韺W(xué)的發(fā)展[5-6],界面態(tài)已成為光子晶體領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)[7-8].文獻(xiàn)[9-10]研究了光子晶體界面態(tài),并給出2個(gè)反轉(zhuǎn)對(duì)稱光子晶體結(jié)構(gòu)(PC)組合產(chǎn)生界面態(tài)的條件; 文獻(xiàn)[11-12] 利用電子束蒸鍍技術(shù)制備了具有反轉(zhuǎn)對(duì)稱特征的光子結(jié)構(gòu),通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了界面態(tài)的存在.一維光子結(jié)構(gòu)的界面態(tài)類似帶隙中的透射模,在一維反轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)構(gòu)成的組合結(jié)構(gòu)中,其界面態(tài)受拓?fù)涮卣鞅Ｗo(hù),即對(duì)各類噪聲具有很強(qiáng)的魯棒性[13].文獻(xiàn)[14]研究了具有反轉(zhuǎn)對(duì)稱特征的一維層狀光子晶體結(jié)構(gòu),對(duì)光子晶體組合結(jié)構(gòu)的阻抗虛部進(jìn)行了計(jì)算,分析了組合結(jié)構(gòu)中存在多個(gè)界面態(tài)的條件以及多界面態(tài)的位置和數(shù)目,并對(duì)組合結(jié)構(gòu)內(nèi)的電場(chǎng)分布進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果表明,在界面態(tài)頻率處的光波存在明顯的光子局域.通過(guò)改變?cè)麛?shù)目可調(diào)控界面態(tài)的位置,并滿足對(duì)界面態(tài)不同的應(yīng)用需求.但上述研究的光子晶體均為常規(guī)型,即折射率為常數(shù).本文利用傳輸矩陣法給出一維組合函數(shù)型光子晶體的匹配矩陣和傳輸矩陣,在此基礎(chǔ)上研究一維函數(shù)光子晶體的界面態(tài),并研究折射率端點(diǎn)值、介質(zhì)厚度和入射角對(duì)界面態(tài)位置的影響,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)界面態(tài)位置的調(diào)節(jié).

1 一維函數(shù)光子晶體的匹配矩陣和傳輸矩陣

傳輸矩陣法是分析計(jì)算一維光子結(jié)構(gòu)常用的方法,利用匹配矩陣和傳輸矩陣可逐層描述光波在層狀光子結(jié)構(gòu)的界面處以及在介質(zhì)中的傳輸規(guī)律.光波在入射角為θj、厚度為dj的第j層常規(guī)介質(zhì)中傳輸?shù)膫鬏斁仃嘝(kj,dj)[14]為

(1)

其中

(2)

對(duì)于函數(shù)介質(zhì)B,其折射率為線性函數(shù)型

(3)

在光子晶體函數(shù)介質(zhì)B中選取微元Δx,其對(duì)應(yīng)的相位為

(4)

則厚度為b的函數(shù)介質(zhì)B的相位為

(5)

將式(5)代入式(2)中,可得函數(shù)型介質(zhì)B的傳輸矩陣

(6)

光波從第j層到第(j+1)層的電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系[14]為

(7)

其中匹配矩陣

(8)

nj和nj+1分別為第j層和第(j+1)層介質(zhì)折射率,函數(shù)型介質(zhì)匹配矩陣在形式上與常規(guī)型介質(zhì)匹配矩陣相同,但nj和nj+1對(duì)應(yīng)函數(shù)型介質(zhì)折射率的端點(diǎn)值.

光波在PCⅠ和PCⅡ結(jié)構(gòu)中一個(gè)周期的傳輸矩陣TPCⅠ和TPCⅡ分別為

TPCⅠ=Pa·Mab·Pb·Mba·Pa,

(9)

TPCⅡ=Pb·Mba·Pa·Mab·Pb.

(10)

對(duì)于具有N個(gè)周期單元的一維反轉(zhuǎn)對(duì)稱光子結(jié)構(gòu)PCⅠ+PCⅡ,當(dāng)處在空氣中時(shí),入射光波從空氣射入該結(jié)構(gòu)后,在光子結(jié)構(gòu)中傳輸后射入空氣,此時(shí)總傳輸矩陣為

(11)

通過(guò)計(jì)算可得

(12)

(13)

其中r為反射系數(shù),t為透射系數(shù),R和T分別為反射率和透射率.

光學(xué)結(jié)構(gòu)的表面阻抗與反射系數(shù)的關(guān)系為

(14)

其中Z為光學(xué)結(jié)構(gòu)表面阻抗,Z0為真空中的阻抗,rR和rI分別為反射系數(shù)的實(shí)部和虛部.由此可分別計(jì)算光子晶體阻抗的實(shí)部和虛部.

2 數(shù)值結(jié)果

PCⅠ,PCⅡ及組合結(jié)構(gòu)的反射率和阻抗虛部如圖2所示.由圖2(A)可見(jiàn),PCⅠ在第1個(gè)帶隙內(nèi)阻抗虛部為負(fù)數(shù).由圖2(B)可見(jiàn),PCⅡ在第1個(gè)帶隙內(nèi)阻抗虛部為正數(shù),在第2個(gè)帶隙內(nèi)PCⅠ和PCⅡ均為負(fù)數(shù).圖2(C)給出了組合結(jié)構(gòu)的反射率及PCⅠ和PCⅡ阻抗虛部求和的結(jié)果.由圖2(C)可見(jiàn),在第1個(gè)帶隙內(nèi),Im(ZPCⅠ)+Im(ZPCⅡ)=0,且在第1個(gè)帶隙內(nèi)阻抗虛部之和為0的位置出現(xiàn)了界面態(tài),而在第2個(gè)帶隙內(nèi)阻抗虛部之和不為0,未出現(xiàn)界面態(tài).若增大計(jì)算波數(shù)范圍,則由計(jì)算結(jié)果可知,在1,3,5等奇數(shù)帶隙內(nèi)PCⅠ和PCⅡ的阻抗虛部符號(hào)相反,在2,4,6等偶數(shù)帶隙內(nèi)PCⅠ和PCⅡ的阻抗虛部符號(hào)相同.因此,一維函數(shù)型反轉(zhuǎn)對(duì)稱組合結(jié)構(gòu)的光子晶體僅奇數(shù)帶隙存在界面態(tài),偶數(shù)帶隙不存在界面態(tài).

圖2 PCⅠ(A),PCⅡ(B)及組合結(jié)構(gòu)(C)的反射率和阻抗虛部Fig.2 Reflectance and imaginary part of impedance of PCⅠ(A),PCⅡ(B) and composite structure (C)

由于函數(shù)光子晶體具有起始值和終點(diǎn)值可調(diào)的特性,因此調(diào)節(jié)函數(shù)光子晶體端點(diǎn)值即可調(diào)節(jié)界面態(tài)的位置.當(dāng)函數(shù)型介質(zhì)B的折射率起始值分別為nb(0)=1.23,1.25,1.27時(shí),組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)如圖3所示.由圖3可見(jiàn),當(dāng)起始值逐漸增大時(shí),在第3個(gè)帶隙中禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移.當(dāng)函數(shù)型介質(zhì)B折射率終點(diǎn)值分別為nb(b)=1.30,1.32,1.34時(shí),組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)如圖4所示.由圖4可見(jiàn),當(dāng)終點(diǎn)值逐漸增大時(shí),在第3個(gè)帶隙中禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移.

圖3 介質(zhì)B折射率起始值為1.23(A),1.25(B),1.27(C)時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)Fig.3 Reflectance and interface states of composite structure when initial point values of refractive indexes of medium B are 1.23 (A),1.25 (B) and 1.27 (C)

圖4 介質(zhì)B折射率終點(diǎn)值為1.30(A),1.32(B),1.34(C)時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)Fig.4 Reflectance and interface states of composite structure when endpoint values of refractive indexes of medium B are 1.30 (A),1.32 (B) and 1.34 (C)

介質(zhì)A厚度為585,615,665 nm時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)如圖5所示.由圖5可見(jiàn),隨著介質(zhì)A厚度的增大,禁帶紅移,禁帶寬度減小,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移.介質(zhì)B厚度為355,385,405 nm時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)如圖6所示.由圖6可見(jiàn),隨著介質(zhì)B厚度的增大,禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移.

圖5 介質(zhì)A厚度為585(A),615(B),665 nm(C)時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)Fig.5 Reflectance and interface states of composite structure when thicknesses of medium A are 585 (A),615 (B) and 665 nm (C)

圖6 介質(zhì)B厚度為355(A),385(B),405 nm(C)時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)Fig.6 Reflectance and interface states of composite structure when thicknesses of medium B are 355 (A),385 (B) and 405 nm (C)

圖7 入射角θ=0(A),π/36(B),π/18(C)時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)Fig.7 Reflectance and interface states of composite structure whenincident angles of θ=0 (A),π/36 (B) and π/18 (C)

入射角θ=0,π/36,π/18時(shí)組合結(jié)構(gòu)的反射率和界面態(tài)如圖7所示.由圖7可見(jiàn),隨著入射角的增大,禁帶藍(lán)移,但寬度不變,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而藍(lán)移.計(jì)算結(jié)果表明,當(dāng)θ≥π/8時(shí),界面態(tài)消失.

綜上,本文研究了一維反轉(zhuǎn)對(duì)稱型函數(shù)光子晶體界面態(tài),計(jì)算結(jié)果表明: 在總阻抗虛部為0的位置出現(xiàn)界面態(tài); 對(duì)函數(shù)介質(zhì),當(dāng)折射率的起始端點(diǎn)值增加時(shí),帶隙位置紅移,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移,當(dāng)折射率的終點(diǎn)值增加時(shí),帶隙位置紅移,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移; 當(dāng)常規(guī)介質(zhì)A厚度增大時(shí),禁帶紅移,禁帶寬度減小,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移; 當(dāng)函數(shù)介質(zhì)B厚度增大時(shí),禁帶紅移,禁帶寬度增大,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而紅移; 當(dāng)入射角增加時(shí),帶隙位置藍(lán)移,界面態(tài)位置隨帶隙移動(dòng)而藍(lán)移.因此,對(duì)反轉(zhuǎn)對(duì)稱型函數(shù)光子晶體,通過(guò)改變函數(shù)介質(zhì)折射率端點(diǎn)值即可改變界面態(tài)位置,即反轉(zhuǎn)對(duì)稱型函數(shù)光子晶體的界面態(tài)具有可調(diào)節(jié)性.