孫 鳳 琪

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,吉林 四平 136000)

控制理論在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3].在控制系統(tǒng)中,輸出測(cè)量只能局部反應(yīng)受控系統(tǒng)信息而不能全局實(shí)施系統(tǒng)鎮(zhèn)定,從而影響實(shí)際控制效果,利用靜態(tài)和動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制可有效解決該問(wèn)題,對(duì)時(shí)滯、奇異攝動(dòng)和不確定性綜合存在的系統(tǒng)性輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)已引起人們廣泛關(guān)注[4-5].輸出反饋H∞控制是在H∞空間通過(guò)某些性能指標(biāo)的無(wú)窮范數(shù)優(yōu)化而獲得控制器的一種控制方法,廣泛應(yīng)用于控制工程等領(lǐng)域[6-8].文獻(xiàn)[7-9]設(shè)計(jì)了帶有記憶的動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器以及新的切換規(guī)則,為不確定多時(shí)滯線性切換系統(tǒng)的理論研究提供了更多可能性,但未考慮奇異攝動(dòng)性; 文獻(xiàn)[10-11]設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋非脆弱H∞控制器,設(shè)計(jì)方法復(fù)雜,該方法需引入較多的矩陣變量,使計(jì)算量較大,推理過(guò)程繁瑣,且未引入矩陣工具箱手段,不便于實(shí)際應(yīng)用; 文獻(xiàn)[12-13]研究了廣義系統(tǒng)以及時(shí)變時(shí)滯狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題,但僅針對(duì)時(shí)滯控制系統(tǒng),所得的結(jié)果受限.

本文在此基礎(chǔ)上,對(duì)具有奇異攝動(dòng)、不確定性和時(shí)變時(shí)滯的綜合控制系統(tǒng)進(jìn)行輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì),運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和矩陣分析理論,選取適當(dāng)?shù)慕徊骓?xiàng)界定法,推出滿足H∞性能指標(biāo)的動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)新方法,所得結(jié)果具有較低的保守性.最后用數(shù)值算例驗(yàn)證結(jié)論的可行性.

1 無(wú)記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

考慮如下具有控制輸入和干擾輸入的不確定性時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)

(1)

(2)

τ,μ為已知的實(shí)常數(shù),F(t)∈i×j為具有Lebesgue可測(cè)元的適當(dāng)維數(shù)的不確定矩陣,其不確定性滿足范數(shù)有界條件

FTF≤I.

(3)

設(shè)計(jì)無(wú)記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器

(4)

其中xk∈nk為控制器狀態(tài),nk為控制器階數(shù),r≤nk≤n,K1,K2,K3,K4為待確定控制器的參數(shù)矩陣,則閉環(huán)系統(tǒng)為

(5)

其中M1=A+DF(t)E1+B1K4C2,M2=Ad+DF(t)Ed,M3=C1+B2K4C2.

下面在時(shí)滯依賴情形下,設(shè)計(jì)無(wú)記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器(4),即對(duì)給定的性能指標(biāo)γ>0,若閉環(huán)系統(tǒng)(5)滿足如下條件:

1) 當(dāng)w(t)=0時(shí),系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

2) 在零初始條件下,?w(t)∈L2[0,∞)從外部干擾w(t)到被調(diào)輸出z(t)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)滿足Gzw(s)<γ,即‖z(t)‖2<γ‖w(t)‖2,則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的,且滿足給定的H∞性能指標(biāo).

本文所有定理均在滿足文獻(xiàn)[14]的引理2.1條件下成立.

(6)

(7)

(8)

(9)

其中

證明: 不妨假設(shè)w(t)=0,構(gòu)造新的依賴控制器狀態(tài)的Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t))+V4(x(t)),

其中

Q,M,H為待定適當(dāng)維數(shù)的正定對(duì)稱矩陣,則V(x(t))>0.

將V(x(t))沿系統(tǒng)(1)的任意軌跡進(jìn)行微分,由文獻(xiàn)[14]引理2.5可知,存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P,對(duì)稱陣N和R,使得

由于

其中

當(dāng)w(t)≠0時(shí),同理可證

其中

其中

故

其中

(10)

矩陣不等式(10)<0關(guān)于未知變量γ,Ak,Bk,Ck,Dk,H,Q,M,N,P,R和Z(ε)是非線性的,進(jìn)行線性化處理后,可得如下線性化定理.

其中

Ω11(0)=ZT(0)AT+(B1K4)T+AZ(0)+B1K4+Q-N+ηDDT,

Ω15(0)=ZT(0)AT+(B1K4)T+ηDDT,

注1定理2是在構(gòu)造新的Lyapunov泛函基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的,考慮的系統(tǒng)是綜合控制系統(tǒng),可采用不同的交叉項(xiàng)界定,進(jìn)而推出更優(yōu)越的穩(wěn)定性判據(jù).

2 記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器為

其中xk∈nk為控制器狀態(tài),nk為控制器階數(shù),r≤nk≤n,Ak,Bk,Ck1,Ck2,Dk1,Dk2為待確定控制器的參數(shù)矩陣,則閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)?/p>

(11)

其中M1=A+DF(t)E1+B1Dk1C2,M2=Ad+DF(t)Ed+B1Dk2C2,M3=C1+B2Dk1C2.

其中

類似于定理2的證明過(guò)程,故略.

3 算 例

考慮文獻(xiàn)[15]中的數(shù)值算例

其中

取H∞性能指標(biāo)γ=1.1,小于文獻(xiàn)[15]中的H∞性能指標(biāo)γ=1.561 7.為與文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比,考慮系統(tǒng)不含輸出的情形.在奇異攝動(dòng)系統(tǒng)(1)中,令

對(duì)于時(shí)滯,假設(shè)其滿足

Z1=0.326 9,Z2=0.223 7,Z3=0.014 7,Z4=0.005 9,Z5=-0.038 8,η=0.172 4,

綜上,本文對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯、魯棒性和奇異攝動(dòng)的綜合控制系統(tǒng)進(jìn)行輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì),在構(gòu)造含有攝動(dòng)相關(guān)的L-K泛函基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了新的無(wú)記憶和記憶動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器.通過(guò)對(duì)比現(xiàn)有文獻(xiàn),所得的結(jié)果具有較低的保守性[15-17],適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形,可為H2/H∞控制、H∞濾波以及電力系統(tǒng)等領(lǐng)域的控制問(wèn)題提供理論參考[18-20].