陳禮軍

(福建技術(shù)師范學(xué)院附屬中學(xué),福建 福州 350301)

在科教興邦的教育大環(huán)境下,檢驗(yàn)一個(gè)人才的標(biāo)準(zhǔn)不只是高分,更重要的是能力和素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出更是引發(fā)了人們的熱議,時(shí)至今日仍舊是一個(gè)十分值得關(guān)注的話題.2022年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中,進(jìn)一步明確要求教師要注重培養(yǎng)學(xué)生形成推理能力,還在“數(shù)與代數(shù)”部分凸顯了推理能力的培養(yǎng).提倡教師結(jié)合學(xué)生的推理能力發(fā)展現(xiàn)狀,建立有效的教學(xué)策略,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維及數(shù)學(xué)推理能力,形成數(shù)學(xué)推理素養(yǎng),這既是落實(shí)核心素養(yǎng)育人目標(biāo)的需要,也是促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的需求.

1 推理能力概述

在《辭海》中對(duì)“推理”一詞進(jìn)行了解釋,其指出推理是推理思考方式之一,由已知推斷結(jié)論,或由結(jié)果反向地推導(dǎo)出已知的理由,是人們?cè)诮忉屢蚬P(guān)系、說明現(xiàn)象過程中經(jīng)歷了演繹、歸納、類比等思考活動(dòng)[1].從解釋中可以看到推理能力是依靠學(xué)者敏銳的分析思考,而后快速判斷并明白問題的核心,達(dá)到在比較短的時(shí)間內(nèi)做出合理選擇的思維能力表現(xiàn).推理能力的表現(xiàn)有以下幾種形式:第一,演繹推理.數(shù)學(xué)的演繹推理是數(shù)學(xué)界公認(rèn)的一種絕對(duì)準(zhǔn)確的判斷過程,它從一般到特殊的推理方式,如,A是B,C是A,所以B是C.在演繹推理的過程中學(xué)生一般會(huì)經(jīng)歷分析、綜合、抽象、概括等過程,這是科學(xué)論證的一個(gè)基本組成形式,同時(shí)也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性特征的體現(xiàn).第二,類比推理[2].崔清田認(rèn)為類比推理就是依據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)象,其某些屬性上存在相同點(diǎn),推理出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤?可見,類比推理的過程就是從兩個(gè)或兩類及其以上的對(duì)象研究中,發(fā)現(xiàn)它們存在著相同點(diǎn)或相似性,進(jìn)而根據(jù)已知特征提出另一個(gè)或另一類對(duì)象也具備這個(gè)特征的推理過程.第三,歸納能力.波利亞曾指出,歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發(fā)現(xiàn)普遍現(xiàn)象的過程,是從特殊到一般的升華,需要從經(jīng)驗(yàn)和概念出發(fā),按照某種法則進(jìn)行了前提與結(jié)論之間的關(guān)系推理.

2 核心素養(yǎng)視域下的初中數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)策略

2.1 大膽推理小心驗(yàn)證,培養(yǎng)演繹推理能力

數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求教師要讓學(xué)生具備分析與解決問題的能力,教師就要著重培養(yǎng)學(xué)生提出問題與發(fā)現(xiàn)問題的能力,鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決和分析問題與已有知識(shí)的聯(lián)系.就是說發(fā)現(xiàn)與提出問題比成功解決一個(gè)問題更為重要.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題以及解決問題的全過程,促使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程,參與到完整論證的探索活動(dòng)之中,學(xué)會(huì)猜想,敢于創(chuàng)造,在猜想與驗(yàn)證中獲得演繹推理能力的鍛煉[3].

以《平行四邊形的性質(zhì)》一課教學(xué)為例,在教學(xué)初始環(huán)節(jié)教師先讓學(xué)生回顧了平行四邊形的定義,緊接著提出問題:根據(jù)平行四邊形的定義,我們可以知道平行四邊形有著兩組對(duì)邊平行的特點(diǎn),那么除此之外其還會(huì)有其他的性質(zhì)嗎?問題的提出,可以推動(dòng)學(xué)生大膽猜想,一些學(xué)生開始猜想:兩組對(duì)角分別相等.這就是一種大膽的猜想,是建立在“兩組對(duì)邊平行”性質(zhì)基礎(chǔ)上對(duì)了另一種性質(zhì)的合理推斷,為了驗(yàn)證這一猜想是否正確,教師可以與學(xué)生們共同用工具(如量角器)實(shí)踐測(cè)量,在多次測(cè)量中驗(yàn)證猜想,最終得出結(jié)論:平行四邊形的對(duì)角相等.在得出結(jié)論后,教師應(yīng)繼續(xù)要求學(xué)生通過畫圖的方式,進(jìn)一步證明結(jié)論的正確性,如畫出圖1,ABCD,已知這個(gè)四邊形是平行四邊形,那么根據(jù)“對(duì)邊平行”的定義,即可得出AB∥CD,AD∥BC,由AB∥CD,可以證出∠A+∠D=180°,相同原理的可以證出∠C+∠D=180°,根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”,得出∠A=∠C,同理得到∠B=∠D,證得平行四邊形的對(duì)角相等.在這個(gè)過程中,學(xué)生們大膽地提出了猜想,在經(jīng)過小心的論證之后,探索出了平行四邊形的又一個(gè)性質(zhì),接著思考還有別的方法推導(dǎo)對(duì)角相等嗎?可以帶領(lǐng)學(xué)生在驗(yàn)證與證明中,獲得演繹推理能力的發(fā)展.

圖1 平行四邊形ABCD

2.2 聯(lián)系已知找到共性,培養(yǎng)類比推理能力

類比推理是數(shù)學(xué)推理能力的重要組成,通過對(duì)現(xiàn)階段的初中生推理能力發(fā)展情況分析,發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)知識(shí)的橫向?qū)Ρ榷计?推理能力的類比可見一般,也就是說學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難以從一類事物的研究中所獲得的經(jīng)驗(yàn)總結(jié),去推導(dǎo)出其他相似的事物也應(yīng)該存在的相近特性.究根到底學(xué)生在研究推理中經(jīng)常忘記已知條件和已掌握的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的條件之間的相似之處.在建構(gòu)主義理論中指出,人不斷將剛接觸的新知識(shí)整合到自己舊知識(shí)體系中,才會(huì)逐步完整的知識(shí)體系,弄清楚新舊知的共性,如此學(xué)生的新知學(xué)習(xí)就會(huì)建立在類比舊知識(shí)基礎(chǔ)上,學(xué)生的類比推理就可以自然而然地建立起來了[4].

如在《角的比較與運(yùn)算》的這部分內(nèi)容教學(xué)中,需要學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)主要有角的大小比較、角的和差以及角的平分線,這三個(gè)關(guān)于角的新知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)與線段的大小比較、線段的和差以及線段的中點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.實(shí)際上,從圖形上看,線段與角之間存在著一定的幾何相似之處,例如線段和角都可以度量,線段和角都可以疊合,還都是軸對(duì)稱圖形,因此通過線段與角的性質(zhì)和共同點(diǎn)研究,推斷出二者的研究方法或一致不無道理,那么此時(shí)引領(lǐng)學(xué)生從研究線段的方法入手,進(jìn)行角的比較與運(yùn)算新知的研究也就順理成章了.在這個(gè)過程中,教師可以通過提問的方式,引發(fā)學(xué)生的類比推理,如:(1)在線段的學(xué)習(xí)中,我們都研究了線段的哪幾個(gè)方面內(nèi)容?(2)線段與角都是初中最基本的軸對(duì)稱圖形,你能否從線段的研究中得到啟示,思考我們應(yīng)該從哪幾個(gè)方面去考慮角的有關(guān)問題的研究?(3)能不能從線段大小的比較方法類比角的大小的比較?(4)線段的中點(diǎn)與角的平分線研究有什么相似之處?

利用已知的線段研究方法推理出角的新知,可以保障學(xué)生在數(shù)學(xué)新知推理中做到思維有序、條理清晰,引領(lǐng)學(xué)生從中找到線段與角在研究方法上的共性,進(jìn)而類比得出的三等分線的定義.

2.3 細(xì)化概念融會(huì)貫通,培養(yǎng)歸納推理能力

數(shù)學(xué)概念的理解是初中生學(xué)好數(shù)學(xué)的根本,所以一線教學(xué)的教師應(yīng)始終都要非常重視數(shù)學(xué)概念的剖析,弄清數(shù)學(xué)概念對(duì)于學(xué)生其他部分的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)以及知識(shí)運(yùn)用能力發(fā)展是至關(guān)重要的.正確地處理好概念教學(xué)的講解,離不開設(shè)計(jì)能夠引發(fā)學(xué)生推理的數(shù)學(xué)情境,巧妙地引入概念,不僅能夠降低學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念本身的理解難度,還有助于學(xué)生探索與分析數(shù)學(xué)概念知識(shí)的延伸,從中總結(jié)的知識(shí),將形成重要的歸納推理能力和數(shù)學(xué)抽象能力.

以《有理數(shù)的乘方》的概念教學(xué)為例,教師可以創(chuàng)設(shè)情境引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的主題,將“3×3”“3×3×3”分別寫成“32”“33”,提出問題:那么,3×3×3×3×3要怎樣表示更為簡(jiǎn)潔呢?學(xué)生們從給出的案例中寫出:35,教師追問:這里面的3和5分別代表什么?接著我們還可以提出a·a·a·a·a要如何表示呢?如果是m個(gè)a相乘,又該如何表示呢?在整個(gè)教學(xué)過程中,教師從學(xué)生熟悉的圖形面積與體積計(jì)算問題出發(fā),引領(lǐng)學(xué)生在列出式子、觀察式子尋找規(guī)律中,讓學(xué)生初步地掌握相同因數(shù)連續(xù)相乘的簡(jiǎn)單表示方法.認(rèn)識(shí)到“3”是因數(shù),“5”表示的是相同因數(shù)的個(gè)數(shù),進(jìn)而推理出將“3”“5”分別換成“a”“m”,即得出am.為了對(duì)底數(shù),指數(shù)更加清楚地認(rèn)識(shí),比如對(duì)于-14與(-1)4又有什么區(qū)別,看似很簡(jiǎn)單,可是學(xué)生在練習(xí)中極容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的問題.因此在教學(xué)中,老師應(yīng)進(jìn)一步細(xì)化概念,思考算式-(1×1×1×1)與(-1)×(-1)×(-1)×(-1)用乘方如何表示,它們計(jì)算結(jié)果一樣嗎?這樣思考對(duì)底數(shù),指數(shù)將會(huì)有清晰的思維,再給出計(jì)算-23與(-2)3,-12021與(-1)2021,-12022與(-1)2022,-12n與(-1)2n,-12n+1與(-1)2n+1些題目給學(xué)生思考,所得到結(jié)果又怎樣?促使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中,經(jīng)過從特殊到一般的歸納過程,學(xué)生的歸納推理能力無形之中得到了鍛煉.

2.4 開展變式練習(xí)活動(dòng),提升推理應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)推理應(yīng)用能力的培養(yǎng),其關(guān)鍵在于學(xué)以致用,促使學(xué)生運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)、靈活的思維解決問題,促使學(xué)生從某一個(gè)問題分析推理以及解決中,掌握同一類問題的解決方法,當(dāng)學(xué)生再次遇到此類數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,就可以迎刃而解了.數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)有著“換湯不換藥”的特點(diǎn),一些看似復(fù)雜的情境,看似困難的問題,實(shí)際上都是從簡(jiǎn)單的情境、簡(jiǎn)單的問題中升級(jí)變化而來的,只要學(xué)生掌握了其中的核心知識(shí)點(diǎn),就能夠從復(fù)雜的問題中推理出本質(zhì),進(jìn)而靈活地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)公式定理,輕松地解答問題,促使學(xué)生在變式訓(xùn)練中獲得數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升,升華推理能力培養(yǎng)的教學(xué)價(jià)值[5].

如圖2,平行四邊形ABCD所示,在平行四邊形ABCD中,AD=AB,∠BAD=60°,邊CB、DC上分別有點(diǎn)E、F,且∠EAF=60°,(1)求證:∠BAE=∠CEF;(2)若邊CB、DC的延長線上分別有點(diǎn)E、F,其他條件不變,如圖3,四邊形ADFE,讓學(xué)生猜想∠BAE與∠CEF的數(shù)量關(guān)系如何?證明你的猜想. 在這道題目中第一個(gè)問題讓學(xué)生求證∠BAE和∠CEF兩個(gè)角是相等的,第二個(gè)問題是在其他條件不變的情況下,點(diǎn)E、F在ABCD的邊的外延長線上,進(jìn)而說明∠BAE與∠CEF的關(guān)系,學(xué)生在第一問的解答時(shí)可以獲得提示,很容易猜到∠BAE與∠CEF相等,促使學(xué)生在推理與驗(yàn)證中強(qiáng)化了問題解答能力,能夠由此及彼地解答問題,尋找解決問題的方法,這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力以及應(yīng)用能力都得到了一定程度上的進(jìn)步.

圖2 平行四邊形ABCD 圖3 平行四邊形ADFE

總之,推理能力是初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成中的主要組成部分,教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重推理能力的培養(yǎng),為學(xué)生提供更多參與推理驗(yàn)證的機(jī)會(huì),能夠結(jié)合初中生的思維發(fā)展規(guī)律以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,總結(jié)出一套行之有效的教學(xué)方案,為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)提供助力,以促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.