孫福興 ，錢孟波 ，潘佳煊 ，虞 浪 ，陳 強(qiáng)

（浙江農(nóng)林大學(xué)光機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 311300）

0 引言

農(nóng)業(yè)領(lǐng)域中林果收集裝置多數(shù)是倒傘型林果收集機(jī)構(gòu)。徐道春等[1]發(fā)明一種倒傘型無患子果實(shí)收集裝置，該裝置主要包括倒傘機(jī)構(gòu)、收集箱和驅(qū)動(dòng)支撐機(jī)構(gòu)。牛長河等[2]提出一種可移動(dòng)式果實(shí)倒傘型收集裝備，該裝置工作過程：首先將其推向樹干，在導(dǎo)向桿的作用下，將樹干導(dǎo)向轉(zhuǎn)動(dòng)桿支架中心，人工拉動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)桿可帶著果實(shí)收集篷布以樹干為中心，從前往后展開形成一個(gè)V 形收集面，可將整個(gè)樹冠包圍起來，避免漏果。杜小強(qiáng)等[3]研究出一種自走式倒傘形果實(shí)收集裝置，該裝置由底盤、發(fā)動(dòng)機(jī)與倒傘形支撐架組成，自動(dòng)化程度高，能夠快速收集果實(shí)，并自動(dòng)進(jìn)行裝箱，防止果實(shí)掉落地面而破損。倒傘型裝置的傘骨主要是RRR-P 四桿折展機(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中，由于制造加工、摩擦磨損等多方面原因，致使運(yùn)動(dòng)鉸鏈中間隙是客觀存在的。鉸鏈間隙增加了機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的不穩(wěn)定性與工作失靈可能性[4]。國內(nèi)眾多學(xué)者對(duì)含間隙運(yùn)動(dòng)副展開了研究，如黃鐵球等[5]針對(duì)含間隙的平面旋轉(zhuǎn)副以及移動(dòng)副建立了有限元模型；張躍明等[6]對(duì)同時(shí)考慮構(gòu)件彈性和旋轉(zhuǎn)副間隙的空間機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究等。

實(shí)際工況下，由RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)為傘骨單元形成的倒傘型收集機(jī)構(gòu)，鉸鏈處的間隙數(shù)量往往不止一個(gè)，不同鉸鏈間隙位置之間的相互作用使機(jī)械系統(tǒng)變得更為復(fù)雜多變。鉸鏈間隙的存在不僅增加了RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的不確定性，而且鉸鏈處副元素的摩擦碰撞會(huì)導(dǎo)致該四桿折展單元之間的運(yùn)動(dòng)失衡，甚至造成機(jī)構(gòu)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)卡滯現(xiàn)象。因此，設(shè)計(jì)以RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)單元的倒傘型收集機(jī)構(gòu)必須考慮工作過程中鉸鏈間隙帶來的影響。本文基于ADAMS 動(dòng)力學(xué)仿真軟件，以RRR-P 四桿可展機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。結(jié)合ADAMS 二次開發(fā)功能讀取Fortran 語言編寫的間隙接觸力計(jì)算子程序，將間隙碰撞模型引入到仿真模型中。從不同間隙位置、不同間隙尺寸、不同間隙個(gè)數(shù)仿真分析含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，并結(jié)合MATLAB 利用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算其最大Lyapunov 指數(shù)，揭示含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力系統(tǒng)中存在的混沌現(xiàn)象。

1 間隙旋轉(zhuǎn)副動(dòng)力學(xué)模型的建立

等效間隙鉸鏈關(guān)節(jié)的放大表示如圖1 所示，關(guān)節(jié)間隙可以定義為軸銷和孔體半徑的差值c，間隙矢量的大小表示軸銷和孔體中心之間的相對(duì)位移r。在關(guān)節(jié)間隙運(yùn)動(dòng)過程中，可以觀察到軸銷與孔體之間的3種不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：自由飛行狀態(tài)，即軸銷與孔體不接觸，軸銷在孔體邊界內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，如圖1（a）所示；接觸碰撞狀態(tài)，即軸頸與軸承開始產(chǎn)生接觸，發(fā)生在自由飛行模型結(jié)束時(shí)，如圖1（b）所示；連續(xù)接觸狀態(tài)，該狀態(tài)即使軸銷和孔體之間存在相對(duì)穿透深度，但兩者仍保持一定的接觸，如圖1（c）所示。

圖1 等效間隙鉸鏈關(guān)節(jié)的放大表示

帶間隙的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)如圖2 所示，Gi表示為帶孔體連桿i的質(zhì)心位置，Gj表示為帶軸銷連桿j的質(zhì)心位置，這些點(diǎn)相對(duì)于全局坐標(biāo)位置分別表示為ei和ej。Qi和Qj分別為在軸銷與孔體上的接觸點(diǎn)，這些接觸點(diǎn)相對(duì)于全局坐標(biāo)位置分別表示為與。與分別表示副元素中心相對(duì)于連桿i與連桿j質(zhì)心的位置矢量。

圖2 帶間隙的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)

n是垂直于碰撞平面的單位向量，根據(jù)矢量三角形可得[7]：

由此，相對(duì)接觸速度可定義為：

當(dāng)兩者發(fā)生碰撞接觸時(shí)，法向力根據(jù)Lankarani等[8]提出的連續(xù)接觸力模型進(jìn)行建模，切向力利用Flores 等[9]提出的修正Coulomb 摩擦模型對(duì)接觸力進(jìn)行建模。接觸力可表示為：

式中，K為接觸剛度系數(shù)；δ為法向相對(duì)碰撞速度；ce為恢復(fù)系數(shù)；·δ(-)為撞擊點(diǎn)的初始相對(duì)速度。

切向摩擦力表示為：

式中，ud為滑動(dòng)摩擦系數(shù)；cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)；vt為相對(duì)切向速度。

2 含間隙RRR-P四桿機(jī)構(gòu)的仿真分析

2.1 不同間隙位置對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響

ADAMS 中含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)仿真如圖3 所示。分別在鉸鏈位置A、B、D 處添加間隙，進(jìn)行仿真試驗(yàn)，將間隙大小均設(shè)為0.2 mm，步長設(shè)為0.001，得出理想狀態(tài)與考慮間隙兩種情況下一個(gè)周期內(nèi)X方向位移隨時(shí)間變化曲線圖，如圖4所示。

圖3 含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)仿真圖

由圖4 可以得出，間隙的存在使RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)末端鉸鏈X 方向位移出現(xiàn)非線性抖動(dòng)，且不同位置間隙對(duì)末端鉸鏈軌跡產(chǎn)生的影響各不相同。理想狀態(tài)下，機(jī)構(gòu)上C 點(diǎn)的X 方向位移是規(guī)律且光滑的曲線。當(dāng)考慮機(jī)構(gòu)鉸鏈處間隙后，間隙的存在使得C 點(diǎn)的X 方向位移由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性變化，末端連接處軌跡的偏移會(huì)影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，甚至?xí)垢鱾€(gè)RRR-P 四桿折展單元出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不同步現(xiàn)象，導(dǎo)致可展機(jī)構(gòu)展開失敗。通過比較可以看出，當(dāng)間隙位置在圖3 中A 處時(shí)，X 方向位移波動(dòng)的幅值相對(duì)鉸鏈位置B、D 處較大，間隙鉸鏈位置B 處波動(dòng)的幅度與頻率相對(duì)最小。

圖4 不同間隙位置對(duì)機(jī)構(gòu)的影響

2.2 不同間隙尺寸對(duì)間隙鉸處接觸力的影響

將間隙尺寸分別設(shè)置為0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm和0.4 mm，選擇一個(gè)完整周期下的仿真結(jié)果，研究在Y 方向上不同間隙尺寸對(duì)接觸力的影響，不同間隙尺寸的接觸力曲線如圖5所示。

由圖5可以得出，c=0.4 mm時(shí)產(chǎn)生的最大接觸力約是c=0.1 mm 時(shí)的4 倍，且不同間隙下所產(chǎn)生的最大接觸力不同。這是由于不同間隙尺寸給銷軸在孔體中留有的運(yùn)動(dòng)空間不一樣，空間越大，副元素自由運(yùn)動(dòng)過程中累積的動(dòng)能就越多，導(dǎo)致碰撞引起的法向接觸力就越大；鉸鏈處間隙的存在對(duì)機(jī)構(gòu)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響也存在差異。展開過程產(chǎn)生的接觸力大于收攏過程，表現(xiàn)為收攏過程中波動(dòng)的頻次較多，但是波動(dòng)的幅度比較小；而展開過程中波動(dòng)的頻次較少，但每次波動(dòng)的幅度比較大?？梢缘贸鼋Y(jié)論：RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中副元素間碰撞磨損程度與間隙尺寸直接相關(guān)，間隙不宜過大。不同間隙尺寸下副元素間產(chǎn)生的接觸力大小對(duì)機(jī)構(gòu)的工作性能有著直接性影響，間隙的存在降低了該類可展機(jī)構(gòu)工作的穩(wěn)定性。

圖5 不同間隙尺寸的接觸力曲線

2.3 不同間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性影響

軸心軌跡能反映銷軸與孔體之間的碰撞與磨損情況，研究不同間隙個(gè)數(shù)對(duì)軸心軌跡的影響以及間隙之間的相互作用具有重要意義。在圖3 位置A、D 處添加間隙，將間隙值均設(shè)為0.2 mm，研究鉸鏈D 處間隙的存在對(duì)A 處軸心軌跡的影響。軸心軌跡圖如圖6所示。

圖6 軸心軌跡圖

由圖6 可以得出，當(dāng)僅考慮鉸鏈A 處間隙時(shí)，偏離理想間隙圓軌跡的部分表明在運(yùn)動(dòng)過程中副元素間接觸力的增加，使得銷軸在孔體中處于撞擊或自由飛行狀態(tài)；當(dāng)繼而考慮到圖3 中D 處間隙時(shí)，在D 處間隙作用下，間隙鉸鏈A 處的軸心軌跡如圖6（b）所示，比較可以看出鉸鏈D 處間隙的存在使得A 處的軸心軌跡更趨于理想狀態(tài)。這是因?yàn)殂q鏈A、D 屬于機(jī)構(gòu)不同桿件上的間隙鉸鏈，兩處間隙相互作用使得機(jī)構(gòu)處于一種相對(duì)平衡狀態(tài)，該狀態(tài)提高了A 處銷軸在孔體中的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。雙間隙三維圖相對(duì)于單雙間隙三維圖整體顯得比較均勻，這是由于D 處間隙的存在使得A 處銷軸與孔體保持連續(xù)接觸狀態(tài)，該狀態(tài)導(dǎo)致銷軸在Z 方向的偏移量比較穩(wěn)定且有規(guī)律。而僅考慮鉸鏈A 處運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí)，銷軸在Z 方向的偏移量不穩(wěn)定且無規(guī)律，如圖6（c）所示。該結(jié)果表明：鉸鏈間隙之間存在間隙耦合效應(yīng)，即間隙之間相互影響，相互作用。

2.4 小數(shù)據(jù)量法計(jì)算Lyapunov指數(shù)

混沌現(xiàn)象是指一個(gè)系統(tǒng)其行為表現(xiàn)為不可預(yù)測(cè)，看似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)[10]。本節(jié)將利用Lyapunov 指數(shù)法研究含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)非線性系統(tǒng)是否具有混沌特性。小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)的流程如圖7所示。

圖7 小數(shù)據(jù)量法計(jì)算流程

在MATLAB 中先通過C-C 方法可以得到時(shí)窗（tw）、時(shí)延（tau）以及嵌入維數(shù)（m），接著用FFT 方法可以得到平均周期（P）。設(shè)間隙尺寸為0.2 mm，數(shù)據(jù)量取1 000 個(gè)/s，以Y 方向接觸力數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，計(jì)算得：

將式（5）計(jì)算得出的數(shù)據(jù)代入到MATLAB 代碼中，計(jì)算結(jié)果如圖8 所示。框選矩形虛線邊框中顯示的線性區(qū)域，并使用最小二乘法擬合該區(qū)域中的直線，擬合直線的斜率為最大Lyapunov 指數(shù)。顯然擬合曲線斜率是大于零的，證明了含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)非線性系統(tǒng)中具有混沌特性。

圖8 最大Lyapunov指數(shù)的估計(jì)

3 結(jié)論

1）分析運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可知，當(dāng)鉸鏈有間隙時(shí)，消除了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，將軸銷中心相對(duì)于孔體中心的水平和垂直位移兩個(gè)自由度增加到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)中，這是導(dǎo)致RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不確定的根本原因。

2）不同鉸鏈位置間隙對(duì)機(jī)構(gòu)末端連接處軌跡的影響各不相同，副元素間的碰撞程度隨著間隙尺寸的增大越來越劇烈；鉸鏈雙間隙相比于單間隙增加了機(jī)構(gòu)的非線性程度，間隙關(guān)節(jié)之間存在著間隙耦合效應(yīng)，并驗(yàn)證了含間隙RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象。

3）考慮鉸鏈間隙的RRR-P 四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型真實(shí)地反映了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，可為以該單元為基礎(chǔ)組成的倒傘型林果采收機(jī)出現(xiàn)展開失敗情況提供理論參考。