鄭田澤，李超，朱駿，劉偉平，徐逸宇，趙倩，袁靜

（1.上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093；2.上海無線電設(shè)備研究所，上海 201109）

0 引言

導(dǎo)引頭伺服機構(gòu)作為導(dǎo)彈伺服系統(tǒng)的核心部件之一，主要為微波及光學(xué)探測器提供慣性穩(wěn)定平臺，其性能優(yōu)劣直接影響制導(dǎo)武器的命中精度［1-4］。由于復(fù)雜服役環(huán)境下對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、耐久性和傳動精度要求較高，常采用雙片消隙齒輪［5-7］的方式消除回程誤差。由于其在工作過程中，受到時變嚙合剛度、傳動誤差等內(nèi)部激勵的影響，對伺服機構(gòu)的目標(biāo)搜索、跟蹤精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生較大影響。

目前，國內(nèi)外已有較多學(xué)者針對消隙齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性 展開研究［8-11］。KWON等［12］以消隙齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，考慮摩擦等因素，利用數(shù)值方法對其進(jìn)行了動力學(xué)分析。楊政等［13］以消隙齒輪系統(tǒng)為研究對象，建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，利用數(shù)值仿真的方法，分析了軸承預(yù)緊力等對系統(tǒng)頻率特性的影響。廖洪波等［14］建立了消隙齒輪伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型，利用數(shù)值仿真的方法分析了靜態(tài)間隙等因素對系統(tǒng)諧振頻率的影響。劉偉平等［15］以消隙齒輪系統(tǒng)為研究對象，建立了考慮時變嚙合剛度等因素的動力學(xué)模型，利用數(shù)值積分的方法分析了扭簧預(yù)緊力等參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。

上述研究中，學(xué)者們大多采用數(shù)值方法進(jìn)行系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的分析求解，但數(shù)值方法在求解此類含時變嚙合剛度和間隙的強非線性系統(tǒng)時，存在耗時長的問題［16-18］。相較于數(shù)值求解方法，增量諧波平衡（IHB）法［19］作為一種半解析半數(shù)值方法，可以在保證計算精度的前提下，進(jìn)一步提高計算效率。目前，利用IHB 法進(jìn)行直齒輪、行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)分析的研究較多［20-25］，但尚無學(xué)者將其應(yīng)用于消隙齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究中。因此，本文以消隙齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立包含時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和嚙合誤差的系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，采用IHB 法對其進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)求解，并用四階Runge-Kutta 法進(jìn)行方法有效性驗證，研究了扭簧剛度、內(nèi)部激勵、齒輪阻尼比、軸承阻尼比等系統(tǒng)參數(shù)對消隙齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 消隙齒輪動力學(xué)建模

1.1 消隙齒輪傳動系統(tǒng)工作原理

彈簧加載雙片消隙齒輪結(jié)構(gòu)如圖1 所示。兩齒輪消隙由一個固定齒輪和一個浮動齒輪同時與主動齒輪嚙合傳動，而且固定齒輪和浮動齒輪與主動齒輪在不同齒側(cè)接觸，達(dá)到消除齒輪反轉(zhuǎn)過程中的齒隙。消隙齒輪應(yīng)用過程中，為了確保齒輪嚙合副能緊密貼合，通常在固定齒輪和浮動齒輪上施加預(yù)緊力，使得固定齒輪和浮動齒輪同時與主動齒輪兩個不同齒側(cè)方向的面貼合。

圖1 彈簧加載雙片消隙齒輪結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of double spring-loaded anti-backlash gears

1.2 齒輪傳動系統(tǒng)嚙合剛度

根據(jù)消隙齒輪傳動系統(tǒng)工作原理，建立如圖2所示的等效剛度模型，其中，km1為主動輪和固定輪的等效嚙合剛度，km2為主動輪和活動輪的等效嚙合剛度，km為消隙彈簧的剛度，假設(shè)km1=km2。

圖2 消隙齒輪等效剛度模型Fig.2 Equivalent stiffness model of anti-backlash gears

間隙存在時，消隙齒輪傳動系統(tǒng)中主動輪與固定齒輪處于分離狀態(tài)，即兩個齒輪之間不存在嚙合剛度，此時系統(tǒng)僅有主動輪和活動齒輪接觸，則系統(tǒng)的等效剛度為

間隙不存在時，消隙齒輪傳動系統(tǒng)的主動輪同時與固定齒輪和活動齒輪接觸，此時系統(tǒng)中固定齒輪、活動齒輪與主動齒輪之間均有嚙合剛度的存在，則系統(tǒng)的等效剛度為

特別地，當(dāng)km=0 時，消隙彈簧的作用消失，消隙齒輪傳動系統(tǒng)變成普通的直齒輪傳動系統(tǒng)。將式（1）和式（2）進(jìn)行整理得：

1.3 模型的建立

為避免建模過程過于復(fù)雜，又能保證建模的精確性和分析精度，做如下假設(shè)：①將固定齒輪和活動齒輪作為一個整體；② 消隙齒輪傳動過程中輪齒之間正常嚙合，因此齒輪在反轉(zhuǎn)運行的過程中，不存在回程誤差；③不考慮軸承間隙的影響；④ 齒輪副嚙合力的方向與嚙合線方向相同?；谝陨霞僭O(shè)，結(jié)合牛頓第二定律，采用集中質(zhì)量法建立消隙齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖3 所示，關(guān)系如下：

圖3 消隙齒輪副等效模型Fig.3 Equivalent model of anti-backlash gear pair

圖4 間隙非線性函數(shù)Fig.4 Nonlinear function of backlash

對式（4）進(jìn)行簡化可得：

2 動力學(xué)響應(yīng)求解方法

2.1 IHB 法推導(dǎo)

系統(tǒng)中含有非線性項，因此，需要對其做如下處理：

將式（18）和式（19）帶入到式（17），在[0 2π]上進(jìn)行分段積分、累加求和進(jìn)行求解分析。

2.2 數(shù)值驗證

為了驗證本文方法的正確性，采用四階Runge-Kutta 法進(jìn)行方法驗證。在齒輪嚙合過程中，剛度的變化會使系統(tǒng)產(chǎn)生動態(tài)激勵，是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要參數(shù)之一。因此，分析扭簧剛度對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，仿真參數(shù)取b=1，ξ11=ξ22=0，k11=k22=0，ξ33=0.06，ξ13=ξ23=0，km=1.3，F(xiàn)rp=Frq=0，F(xiàn)a=0.6，F(xiàn)pma=0.08，F(xiàn)pqe=0.03，ε=0.15，ω取［0，2.2］，得到如圖5 所示的不同扭簧剛度的幅頻響應(yīng)?？梢姡S著扭簧剛度的增加，諧振頻率也提高，且共振幅值呈降低趨勢。系統(tǒng)在1.25ω處產(chǎn)生共振響應(yīng)。如圖5 所示。因此取km=2.6，分析系統(tǒng)在ω=1.25 的動態(tài)特性響應(yīng)。在圖5 和圖6 中，“°”為Runge-Kutta 法，“-”為IHB 法。通過對比可以看出，2 種方法所求結(jié)果相吻合，如圖6 所示。

圖5 不同扭簧剛度的幅頻曲線Fig.5 Amplitude-frequency curves of different torsion spring stiffness

圖6 扭簧剛度km為2.6 時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.6 Dynamic response curves when km=2.6

3 消隙齒輪動力學(xué)特性分析

采用上述IHB 法求解系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，通過數(shù)值仿真分析得到系統(tǒng)的時域曲線、頻譜圖、相平面圖、龐加萊截面圖、分岔圖等，研究消隙齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性，分別研究了內(nèi)部激勵、齒輪阻尼比、軸承阻尼比等參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

3.1 內(nèi)部激勵

齒輪系統(tǒng)在運動過程中，由于制造裝配、剛度的不斷變化，導(dǎo)致齒輪嚙合副產(chǎn)生內(nèi)部激勵。即使外部激勵是常值，也會因輪齒嚙合位置及齒數(shù)的周期性變化使系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生動態(tài)激勵，甚至產(chǎn)生共振現(xiàn)象。因此，采用控制單一變量的方法，控制其他參數(shù)不變，取b=1，ξ11=ξ22=0，ξ13=ξ23=0.01，ξ33=0.06，k11=k22=1.05，km=1.3，F(xiàn)rp=Frq=0，F(xiàn)a=0.6，F(xiàn)pma=0.08，ε=0.15，ω=0.8，通過改變內(nèi)部激勵的大小，分析其對齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，得到如圖7 所示的基于內(nèi)部激勵Fpqe在區(qū)間［0，0.8］的分岔圖。由圖7 可以看出，隨著內(nèi)部激勵的增加，系統(tǒng)由倍周期運動逐漸變?yōu)榛煦邕\動。

圖7 基于內(nèi)部激勵的Fpqe的u 向分岔Fig.7 Bifurcation of Fpqe based on internal excitation in the u-direction

為了進(jìn)一步分析內(nèi)部激勵對系統(tǒng)周期運動動態(tài)響應(yīng)的影響，分別取內(nèi)部激勵Fpqe為0.038、0.058、0.078 和0.098 幾種情況進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的相平面圖、龐加萊截面圖、時域曲線和頻譜圖等，分別如圖8～圖11 所示。

圖9 內(nèi)部激勵Fpqe為0.058 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.9 Dynamic response curves when Fpqe=0.058

圖10 內(nèi)部激勵Fpqe為0.078 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.10 Dynamic response curves when Fpqe=0.078

圖11 內(nèi)部激勵Fpqe為0.098 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.11 Dynamic response curves when Fpqe=0.098

由圖8～圖11 可以看出，隨著內(nèi)部激勵的增加，系統(tǒng)由倍周期運動變?yōu)榛煦邕\動，且共振幅值呈增大趨勢?？梢姡绻X輪內(nèi)部激勵比較大，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，此時齒輪嚙合容易出現(xiàn)撞擊，甚至脫齒的現(xiàn)象，當(dāng)齒輪內(nèi)部激勵比較小時，系統(tǒng)處于收斂狀態(tài)，此時系統(tǒng)僅有齒面激勵。

3.2 齒輪嚙合副阻尼比

研究齒輪嚙合阻尼比對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，分別取b=1，ξ11=ξ22=0，ξ13=ξ23=0.01，k11=k22=1.05，km=1.3，F(xiàn)rp=Frq=0，F(xiàn)a=0.6，F(xiàn)pma=0.08，F(xiàn)pqe=0.08，ε=0.15，ω=0.8，齒輪嚙合副阻尼比ξ33在［0，0.1］之間的動態(tài)響應(yīng)。如圖12 所示，通過分岔圖分析齒輪嚙合阻尼比在一定范圍內(nèi)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。通過圖12 可以看出，隨著齒輪嚙合阻尼比的不斷增大，齒輪傳動系統(tǒng)由混沌運動逐漸變?yōu)? 倍周期、2 倍周期，直至最后變?yōu)? 倍周期運動。

為分析齒輪嚙合阻尼比對系統(tǒng)周期運動動態(tài)響應(yīng)的影響，控制其他參數(shù)不變，僅改變齒輪傳動系統(tǒng)的齒輪嚙合阻尼比，分別取ξ33為0.02、0.04、0.06 和0.08 幾種情況進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的相平面圖、龐加萊截面圖、時域曲線和頻譜圖等，分別如圖13～圖16 所示。

圖13 齒輪嚙合阻尼比ξ33為0.02 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.13 Dynamic response curves when ξ33=0.02

圖14 齒輪嚙合阻尼比ξ33為0.04 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.14 Dynamic response curves when ξ33=0.04

圖15 齒輪嚙合阻尼比ξ33為0.06 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.15 Dynamic response curves when ξ33=0.06

圖16 齒輪嚙合阻尼比ξ33為0.08 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.16 Dynamic response curves when ξ33=0.08

由圖13～圖16 可知，隨著阻尼比的增加，系統(tǒng)由混沌運動逐漸變?yōu)楸吨芷谶\動，且振動幅值減小?？梢?，如果齒輪嚙合阻尼比較小，系統(tǒng)會出現(xiàn)齒背激勵，當(dāng)嚙合阻尼比較大時，系統(tǒng)逐漸收斂，齒背激勵逐漸消失，僅有齒面激勵。因此，通過改變阻尼比的大小，對減少系統(tǒng)的沖擊和降低振動幅值具有重要的影響。

3.3 軸承阻尼比

進(jìn)一步分析軸承阻尼比對系統(tǒng)的動態(tài)特性的影響，改變軸承阻尼比的大小，控制其他參數(shù)不變，取b=1，ξ11=ξ22=0.01，ξ13=ξ23=0.01，ξ33=0.06，k11=k22=1.05，km=1.3，F(xiàn)rp=Frq=0，F(xiàn)a=0.6，F(xiàn)pma=0.08，ε=0.15，ω=0.8，通過分岔圖分析軸承阻尼比在一定范圍內(nèi)對系統(tǒng)動態(tài)特性影響。軸承阻尼比ξ11=ξ22在［0，0.05］之間的動態(tài)響應(yīng)，如圖17 所示。

圖17 基于軸承支承阻尼比ξ11和ξ22的u 向分岔Fig.17 Bifurcation based on ξ11 and ξ22 in the u-direction

通過圖17 可以看出，隨著軸承阻尼比的增大，齒輪傳動系統(tǒng)由混沌運動變?yōu)? 倍周期、2 倍周期，1 倍周期運動。為了進(jìn)一步分析軸承阻尼比對系統(tǒng)周期運動動態(tài)響應(yīng)的影響，分別取ξ11=ξ22為0、0.065、0.018 5 和0.030 5 幾種情況進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的相平面圖、龐加萊截面圖、時域曲線和頻譜圖，分別如圖18～圖21 所示。

圖18 軸承支承阻尼比ξ11和ξ22為0 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.18 Dynamic response curves when ξ11=ξ22=0

圖19 軸承支承阻尼比ξ11=ξ22=0.065 時動態(tài)特性曲線Fig.19 Dynamic response curves when ξ11=ξ22=0.065

圖20 軸承支承阻尼比ξ11和ξ22為0.018 5 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.20 Dynamic response curves when ξ11=ξ22=0.018 5

圖21 軸承支承阻尼比ξ11和ξ22為0.030 5 時動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.21 Dynamic response curves when ξ11=ξ22=0.030 5

圖18 中，當(dāng)ξ11=ξ22=0 時，此 時系統(tǒng)為 混沌運動，u向具有明顯的基頻和倍頻。通過對比圖18～圖21 的動態(tài)響應(yīng)曲線，從相平面圖和龐加萊截面圖中可以看出，軸承阻尼比與齒輪嚙合阻尼比對系統(tǒng)的影響規(guī)律類似，即隨著軸承阻尼比的增大，系統(tǒng)由混沌運動逐漸變?yōu)? 周期運動、2 周期運動，直至1 周期運動，且振動幅值減小。因此，如果軸承阻尼比較小，系統(tǒng)容易出現(xiàn)輪齒嚙合之間的碰撞等現(xiàn)象，隨著軸承阻尼比的不斷增大，系統(tǒng)逐漸由混沌變?yōu)槭諗俊氖諗繒r間來看，隨著軸承阻尼比的增加，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\動時間減小，即收斂速度變快。其次，從時域圖和頻譜圖中可以看出，隨著軸承阻尼比的增加，系統(tǒng)的共振幅值減小，均有基頻和倍頻出現(xiàn)。綜上可知，阻尼比的不斷降低，會造成系統(tǒng)倍周期分岔，最后使齒輪系統(tǒng)進(jìn)入混沌運動。因此，通過改變軸承阻尼比的大小，對提高系統(tǒng)收斂速度、減少系統(tǒng)沖擊和降低共振幅值具有較為重要的影響。

4 結(jié)束語

本文以消隙齒輪系統(tǒng)為研究對象，建立考慮時變嚙合剛度的歸一化動力學(xué)模型；采用IHB 法進(jìn)行系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)求解，并利用四階Runge-Kutta 法進(jìn)行驗證，研究了扭簧剛度、內(nèi)部激勵、阻尼比等參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律，所得結(jié)論如下：

1）分析扭簧剛度對諧振頻率和系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，隨著扭簧剛度的提高，系統(tǒng)諧振頻率也提高，且共振幅值降低；

2）分析內(nèi)部激勵、齒輪嚙合阻尼比、軸承阻尼比等參數(shù)對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，隨著內(nèi)部激勵的增加，系統(tǒng)由周期運動逐漸變?yōu)榛煦邕\動，且振幅隨著激勵的增加而增加；隨著阻尼比的增大，系統(tǒng)由混沌運動逐漸變?yōu)橹芷谶\動，且振幅減小。

3）在實際工程應(yīng)用中，通過提高扭簧剛度、阻尼比，降低內(nèi)部激勵幅值等參數(shù)，對提高系統(tǒng)穩(wěn)定性、減少沖擊和降低共振幅值具有一定的指導(dǎo)作用。