王道成，李唯真

（長安大學 汽車學院，陜西 西安 710064）

隨著我國新能源汽車行業(yè)的快速發(fā)展，混合動力汽車、燃料電池汽車、純電動汽車等新能源汽車所占市場份額不斷增加，新能源汽車相關可靠性問題逐漸成為研究熱點[1-2]。

驅動電機作為新能源汽車的一個重要總成，其能否長時間可靠工作對新能源汽車的安全性、經濟性和動力性具有重要影響[3]。針對新能源汽車驅動電機的可靠性分析方法，目前國內外學者研究方法可主要分為基于故障數(shù)據(jù)的可靠性分析和基于故障物理的可靠性分析方法[4-8]。SHU[6]基于電機控制器中各組件的故障率，分析各部件電機控制器的可靠性指標對電動汽車使用壽命的影響趨勢，從而發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，有利于對驅動電機做進一步設計和維護。嚴婷婷[7]基于電機失效模式，分析電機失效對電機性能的影響，并以此建立了相關可靠性分析模型。陳詩怡[8]針對某驅動電機典型失效模式，基于驅動電機故障物理方法，進行多失效模式的可靠性建模，并以此進行可靠性分析和相關優(yōu)化設計。

由于受試驗時間和人力、物力成本的影響，驅動電機試驗壽命數(shù)據(jù)通常具有小樣本量的特點，增加其分布類型參數(shù)估計的難度。為此，本文針對具有小樣本量特點的驅動電機故障時間數(shù)據(jù)，利用灰色模型GM(1,1)進行灰生成，充分挖掘數(shù)據(jù)信息，對驅動電機故障數(shù)據(jù)進行三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計，并根據(jù)參數(shù)估計結果完成驅動電機壽命可靠性分析。

1 可靠性分析流程

針對完全故障樣本的驅動電機試驗壽命數(shù)據(jù)的可靠性分析流程如圖1 所示。

圖1 可靠性分析流程

1）可靠性數(shù)據(jù)收集與整理：整理驅動電機故障時間數(shù)據(jù)，并按其數(shù)值大小進行升序排序。

2）經驗分布函數(shù)計算：判斷驅動電機故障時間數(shù)據(jù)數(shù)量，采用相應的計算公式計算其經驗分布函數(shù)。

3）假設樣本的分布類型：本文采用三參數(shù)威布爾分布模型。

4）參數(shù)估計：對原始故障時間序列作灰生成，建立灰色模型GM(1,1)，完成位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的參數(shù)估計。

5）擬合效果評價指標計算：本文采用均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）和相對均方根誤差（Normalized Root Mean Square Error,NRMSE）對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果進行評價。

6）可靠性指標計算：主要為驅動電機平均壽命。

2 理論算法模型

2.1 經驗分布函數(shù)計算模型

故障樣本對應的經驗分布函數(shù)計算，是進行分布類型參數(shù)估計和可靠性分析的前提和基礎。當樣本量較大時，可直接采用經驗分布函數(shù)定義公式計算，而對于小樣本量完全故障樣本，直接采用經驗分布函數(shù)定義公式計算時，會產生較大的誤差。為此，常采用海森公式、數(shù)學期望公式和近似中位秩公式等，其中，如式（1）所示的近似中位秩公式最為常用。

式中，i為失效樣本的序號；n為樣本總量；Fn(ti)為第i個失效樣本對應的經驗分布函數(shù)。

2.2 三參數(shù)威布爾分布模型

在威布爾分布研究方面[9-13]，三參數(shù)威布爾分布相比于兩參數(shù)威布爾分布，引入了位置參數(shù)，更能充分和靈活地描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，因此，也廣泛應用于各領域故障數(shù)據(jù)可靠性分析工作中，但位置參數(shù)的引入也同時加重了參數(shù)估計的復雜程度。三參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)F(t)、概率密度函數(shù)f(t)和可靠度函數(shù)R(t)分別為

式中，γ為位置參數(shù)；m為形狀參數(shù)；δ為尺度參數(shù)。

2.3 基于灰色模型 GM(1,1)的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計方法

針對威布爾分布模型，常見的參數(shù)估計方法有相關系數(shù)優(yōu)化法、矩法、回歸估計法和灰色估計法。其中，灰色模型GM(1,1)在分析小樣本量數(shù)據(jù)時，具良好的參數(shù)估計性能。參考文獻[14]中提出的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計方法，通過求解反函數(shù)可將式（2）中的F(t)變換為

若t1,t2,…,tn是所有樣本按照升序排序的故障時間，則Fn(ti)是各樣本故障時間按照式（1）計算得到的對應的經驗分布函數(shù)，對于式（5）令：

將式（6）中的xi代入到式（5）可得：

此時，式（8）與灰色模型GM(1,1)的時間響應函數(shù)的關系為

式中，a，b為待估參數(shù)。采用最小二乘估計方法的思路，令：

則三參數(shù)威布爾分布中位置參數(shù)γ和形狀參數(shù)m的估計結果為

同理，對于三參數(shù)威布爾分布中的尺度參數(shù)δ，令：

則最小二乘估計結果為

此時，三參數(shù)威布爾分布中尺度參數(shù)δ的估計結果為

2.4 參數(shù)估計效果評價

在分布類型參數(shù)估計效果評價指標方面，如式（19）和式（20）所示，均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 都可以對參數(shù)估計結果進行較好的衡量，均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 越小，表明參數(shù)估計效果越好。

式中，F(xiàn)n(ti)為根據(jù)參數(shù)估計結果計算得出ti經驗分布函數(shù)。

3 案例應用

如表1 所示，為某型號驅動電機的試驗故障時間數(shù)據(jù)，其中的經驗分布函數(shù)采用式（1）所示的近似中位秩公式求得。

表1 驅動電機故障時間信息

利用前述三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計計算方法，得出過程矩陣B、Y和M的計算結果為

從而得到位置參數(shù)γ、形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)δ的估計結果分別為γ=414.407 0、m=3.074 5、δ=862.000 6。

此時，該型號批次驅動電機試驗故障時間數(shù)據(jù)三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計結果分別如圖2 和圖3 所示。

根據(jù)估計結果，計算均方根誤差RMSE 和相對均方根誤差NRMSE 的數(shù)值為0.018 99 和0.033 51。

結合均方根誤差、相對均方根誤差和圖2、圖3 所示的驅動電機故障概率分布函數(shù)估計結果和故障概率密度函數(shù)估計結果，可以看出三參數(shù)威布爾分布估計結果與原始數(shù)據(jù)擬合效果較好，可有效描述驅動電機故障時間分布趨勢。最終可得到該型號批次驅動電機的平均試驗壽命θ為

圖2 故障概率分布函數(shù)估計結果

圖3 故障概率密度函數(shù)估計結果

4 結論

本文在完全故障樣本數(shù)據(jù)可靠性分析體系的基礎上，利用灰色模型GM(1,1)對某型號驅動電機小樣本量實驗故障數(shù)據(jù)建立三參數(shù)威布爾分布模型并完成相關可靠性分析，得出其平均故障壽命θ為1 185.005 7 h。同時，誤差分析結果表明，三參數(shù)威布爾分布模型的擬合精度高，可靠性評估結果也可進一步支撐驅動電機后續(xù)使用維護，保證產品質量。