廣東省廣州市第二中學(510000) 孫曉榮

1 問題的提出

代數模塊的學習始終貫穿小學—初中—高中三個學段,它是研究數、數量、關系、結構與代數方程(組)的通用解法及其性質的數學分支.中學數學以及現代數學中很多問題需要借助代數,如函數,方程與不等式等為工具來解決,其成為培養(yǎng)學生數學運算,抽象概括,邏輯推理,數學建模以及問題解決等核心素養(yǎng)的重要載體.

2019年2月18日黨中央、國務院同意正式公開發(fā)布《粵港澳大灣區(qū)發(fā)展規(guī)劃綱要》[1],這份綱領性文件中提出要打造粵港澳大灣區(qū)教育和人才高地.關于基礎教育方面,提出要加強基礎教育交流合作.基于這樣的現實需要,現以粵港澳三地最新的高中數學課程標準為研究對象,針對“數與代數”模塊為主題,主要從學習要求方面進行比較研究,以期在對比中得到一些啟示,從而對我們正在進行的課程改革提供一定的參考.

2 研究對象與方法

2.1 研究地區(qū)和數學課程標準版本的選擇

廣東地區(qū)是基礎教育改革的重要地區(qū), 目前采用的是2020年6月發(fā)布的《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標準》),該版本是在《普通高中數學課程標準(2017年版)》的基礎上,基于2018年9月全國教育大會和2019年10月十九屆四中全會對教育改革的體系建設和目標方向提出的新要求而修訂的.我國香港特區(qū)采用的是香港課程發(fā)展議會與香港考試及評核局于2018年3月修訂的《數學課程及評估指引(中四至中六)》(以下簡稱《指引》).我國澳門特區(qū)采用的是澳門教育青年局在2014年公布, 并于17-18 學年實行的《澳門高中數學學力基本要求》(以下簡稱《要求》).

2.2 研究內容與方法

針對三地課標中對高中數學課程內容的描述,我們主要對“函數”,“數與數系”,“代數式,方程與不等式”與“數列”四大知識單元的內容進行比較研究.通過梳理共同點與差異,為“新課標”的實施提供思考和啟示.研究主要采用比較、內容分析等研究方法.

3 高中數學課程標準中“數與代數”模塊的比較與分析

3.1 粵港澳三地“函數”部分的比較

粵港澳三地的課程標準中,函數內容發(fā)展的主線基本相同: 定義—性質—基本初等函數,其中基本初等函數包括指數函數、對數函數、冪函數、三角函數.

表1 必修課程中函數單元的結構比較

(1)粵港澳三地分別從運動變化觀點,用集合語言與對應關系刻畫函數,建立完整的函數概念,體會集合語言與對應關系在刻畫函數概念的作用,了解構成函數的三要素.粵澳兩地均強調在實際情境和具體實例中,會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數.粵地區(qū)則更強調數學建模的觀點,能用函數構建模型,解決問題.

對于分段函數, 粵澳兩地均提出了解簡單的分段函數,并能直接應用,而香港地區(qū)對分段函數無具體要求.

關于反函數,澳門要求學生理解反函數的概念,并理解指數函數y=ax(a ＞0,a≠ 1)與對數函數y= logax(a ＞0,a≠ 1)互為反函數,而粵港兩地對反函數的要求不高,廣東只要求學生知道指數函數y=ax(a ＞0,a≠ 1)與對數函數y= logax(a ＞0,a≠ 1)互為反函數,不要求一般地討論反函數的形式化定義.香港則未提“反函數”的概念,但有明確要求學生知道y=ax與y= logax對稱于y=x.顯然,澳門對“反函數”的學習要求更高,注重強調反函數的定義域和值域正好是原函數的值域與定義域.

(2)粵《標準》更注重學生掌握運用函數性質求解方程近似解的基本方法(二分法),理解函數構建數學模型的過程,和運用模型思想發(fā)展和提出問題,分析和解決問題.香港在“續(xù)函數圖像”明確把“從表列、符號和圖像的角度理解函數的平移和伸縮變換”作為學習重點,粵澳兩地均無明確要求.

(3)粵港澳三地都要求學生重點認識二次函數,指數函數,對數函數,理解并認識以上各類函數的定義,性質及圖像.香港地區(qū)只要求學生理解二次函數的圖像特征,對一般冪函數的的學習無具體要求.廣東地區(qū)的要求也只是了解冪函數,結合的圖像,理解它們的變化規(guī)律.而澳門對冪函數的概念及上述函數圖像的圖像和性質均為理解,要求比粵港兩地要高.

結合《標準》對教學內容要求層次的劃分方式,并參考布盧姆教育目標分類學,本文按認知要求維度的分類為: 了解、理解、掌握與靈活運用,并在統(tǒng)計時規(guī)定水平權重分別為1、2、3、4.在香港《指引》中出現“欣賞”的認知要求,在記錄時劃分為“了解”層次.下面著重對指數函數以及對數函數的內容做一個比較分析:

表2 粵港澳三地指數函數的知識點及認知要求的統(tǒng)計

粵港澳三地對指數函數部分設計的知識點數差不多,但還是存在一些小差別.一是粵港兩地在課程設置時均是遵從“指數冪—指數函數”,“對數—對數函數”,而澳門是在“學習組別A-2: 數與式”中統(tǒng)一學習了“指數冪、根式和對數”的概念,并充分理解其運算后,才在“學習組別A-5: 函數”中依次進行“指數函數和對數函數”的學習.二是澳門比粵港兩地多了“根式的性質”及“根式的運算”的學習,澳門要求能對含有無理數的分式進行化簡,能用公式進行無理數和根式之間的四則運算,能對分母中含有的式子進行化簡,可見澳門更重視代數的恒等變換;三是粵澳兩地都提出結合實例了解指數函數的實際背景,體會指數函數是一種重要的數學模型,而廣東更重視指數函數圖像的發(fā)展態(tài)勢,要求能結合現實情境中的具體問題,理解“指數爆炸”的現實含義,如人口增長問題等.而香港則在高中必修課程延伸部分的單元一(微積分與統(tǒng)計)中把“指數函數的應用”列為重點學習內容,還提出學生須解包括復利息、人口增長和放射性元素的衰變有關的應用題.

表3 粵港澳三地對數函數的知識點及認知要求的統(tǒng)計

不難發(fā)現,粵澳兩地對數函數的學習要求均低于指數函數,而香港對兩者的學習要求維持穩(wěn)定,而澳門在“學習組別A-2: 數與式”中明確要求理解對數概念與指數概念的對應關系,掌握兩者的相互轉化,這也為澳門對“反函數”較高的認知要求做了鋪墊.

(4)從課程標準上看,粵港兩地均把三角函數部分納入代數范疇去討論, 用函數觀點處理三角函數, 借助正弦、余弦、正切等三角函數圖像,了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性,而澳門把三角函數放在幾何范疇,作為學習組別的“B-5 三角”系統(tǒng)的某一部分,這樣的設置更加系統(tǒng),突出三角學自身的內在聯系和性質,把三角和它的幾何應用聯系起來,而廣東則是把正,余弦定理設置在平面向量的章節(jié).香港其實把正余弦函數和正切函數放在必修的“續(xù)三角學”部分,并同時設置了利用代數方法和圖解法解三角方程,以作為三角函數的應用,而粵澳兩地在必修中設置的復角公式等內容,香港則把它放在了選修課程單元二的基礎知識中的“續(xù)三角函數”部分.

從下表可以看出, 香港在三角部分的知識點涉及更多,深度更大,一旦學生選擇了延伸課程單元二的學習,則必須要掌握余割、正割和余切函數,那么相對應的同角三角函數關系就多了1+tan2θ= sec2θ和1+cot2θ= csc2θ,同時還需要理解正、余弦函數的和積互化,而粵澳兩地均未涉及這些知識點的教學.但香港地區(qū)對知識點y=Asin(ωx+φ)的圖像及性質并不涉及.

表4 粵港澳三地三角函數的知識點及認知要求的統(tǒng)計

澳門比粵港兩地更注重公式的推導和熟練運用,對兩角和差的正余弦公式和倍角公式更是要求“掌握”并能“熟練應用”,而廣東明顯對三角函數部分做了精簡,無反三角函數和三角方程的學習,只在同角三角函數關系處要求理解,而在誘導公式及三角恒等變換處只要求經歷推導過程,知道公式并明確不要求記憶.

在應用層面,粵《標準》更注重利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型,而港澳更側重于三角學的幾何應用.

3.2 粵港澳三地“數與數系”部分的比較

在“數與數系”部分,我們主要比較三地對“復數”內容學習深度,其中香港要求最低,只需學生“欣賞復數系的發(fā)展,進行復數的加、減、乘和除運算”;廣東要求稍高,除對復數代數表示式的四則運算有要求外,還需要學生理解復數和復數加減運算的幾何意義和兩個復數相等的含義;澳門是從復平面的構造出發(fā)引出復數,要求學生從不同角度理解復數,如復數的向量形式和三角形式,還要求學生認識復數的三角形式以及復數的乘除、乘方和開方運算,體會其帶來的方便.

3.3 粵港澳三地“式”、“方程”與“不等式”部分的比較

香港在必修課程中“數與代數范疇”有專門的學習單位“續(xù)多項式”,要求“進行多項式除法”,“理解余式定理和因式定理”,“理解最大公因式和最小公倍式的概念”“進行有理函數(代數分式)的加減乘除”.澳門在必修“學習組別A-2數與式”部分對“式”的要求更加系統(tǒng),除了“理解多項式的概念,了解綜合除法,理解余式定理”,還要“了解多項式的基本定理”,“運用數值代入法和比較系數法求待定系數”,“了解立方和與差的公式”及“體會多項式知識在求解方程的根中的應用”,并且澳門把“指數冪,根式與對數”的學習統(tǒng)一在該組別學習.而廣東在高中課程中沒有單獨的模塊學習“式”.

三地在“方程”部分的差異主要是內容的廣度,因為廣東主要在初中安排“方程”的學習, 特別是一元二次方程的解法, 二次方程根與系數的關系以及由已知根建立二次方程,而香港則是在高中加強了這一塊;廣東高中階段方程的學習主要是在初高中銜接內容中出現,主要是復習和熟練一元二次方程的解法,著重于從函數觀點理解,其他方程如指對方程,三角方程也都是在對應函數的學習下,結合函數去理解,在《標準》中除了對一元二方程有要求,對其它方程并無具體要求.而港澳地區(qū)對方程的學習更加系統(tǒng),香港有專門的“續(xù)方程”模塊,澳門有專門的“學習組別A-3 方程”,兩地涉及方程的類型的學習更多,廣度更大,如下表所示:

表5 粵港澳三地方程類型的統(tǒng)計

廣東把“不等式”部分的內容安排在“主題一預備知識”中,很明顯是作為銜接課程的一部分,只要求學生“從函數觀點看一元二次不等式”“理解不等式的概念”,“掌握不等式的性質”,“掌握基本不等式及能用基本不等式解決簡單的最大或最小值問題”,而香港的學習重點是方程的解法的學習,澳門在“學習組別A-4: 不等式”部分涉及的不等式類型更多,如下表所示:

粵澳兩地都設置了“基本不等式”的知識點,澳門從基本不等式本身的“證明過程”到基本不等式的應用于其他題目的證明和求解都有較高的要求;三地都很重視“一元二次不等式”,因為“一元二次不等式”是廣東初中階段的重點學習內容,解法已經學習過,在高中階段更側重于從函數觀點看一元二次不等式.港澳則側重于解法的學習(判別式法,因式分解法),而澳門和廣東都注重三個“二次”的聯系; 三地只有澳門設置了含有絕對值不等式和一元高次不等式的學習,但要求較低,只需求解簡單的含有絕對值不等式和了解可用“數軸”求解已進行因式分解的一元高次不等式;港澳對二元一次不等式(組)及線性規(guī)劃都有要求,而廣東則刪減了這部分內容的學習.

表6 粵港澳三地不等式類型的統(tǒng)計

3.4 粵港澳三地“數列”部分的比較

粵澳兩地都強調了解數列的概念及以列表、圖像、通項公式的表示方法,注重從函數觀點處理數列,粵《標準》更是把數列放在選擇性必修的“主題一函數”,目的就是希望學生認識到數列是一種特殊的函數,并“體會等差數列與一次函數,等比數列與指數函數的關系”,澳門更明確要求“理解數列的遞推公式,能根據遞推公式寫出數列的前幾項,并能歸納猜想除某些數列的通項公式”,而廣東在《標準》并未有此要求;三地都著重于“等差數列與等比數列”的學習,對其“概念,性質,通項,求和”都需要理解并應用,粵澳兩地更重視利用數列模型解決實際問題,在公式的學習上,廣東更注重等差、等比通項公式和前項和公式的探索過程.

4 參考與啟示

4.1 學考統(tǒng)一,要求明確

香港《指引》是香港課程發(fā)展議會與香港考試及評核局聯合制定的法定文件, 利于執(zhí)行上的學考一致, 同時港《指引》中有對“學習重點”的“詮釋”,對難易和復雜性作了控制,要求明確,比如會使用一些限定性的語句“只修讀基礎課題的學生不須簡化諸如的根式”,也會提示“解諸如等較復雜方程的應用題屬非基礎課題,并在學習重點5.4 中處理”等等.而粵《標準》由課程中心研制,廣東參加的高等學校招生全國統(tǒng)一考試則由考試院負責,比如“三角恒等變換”部分,《標準》明確指出積化和差、和差化積與半角公式不要求記憶,但學生面臨的問題就是,不記憶公式,看似降低了學習難度,實際上更讓他們感到困惑,因為考試要求在這一部分并不低.同樣有此問題的還有“不等式”部分,《標準》對“基本不等式”地要求是“能解決簡單的最大或最小值問題”,但實際學生遇到的問題并不簡單,甚至很難.如何使得“學”和“考”統(tǒng)一協(xié)調? 還是有值得改進的地方.

4.2 重視銜接課程,體現連貫性

粵港澳三地都很重視初高中的銜接,澳門的銜接課程比較注重基礎計算能力的訓練,澳門對高中涉及的“數與式”做了統(tǒng)一的學習組別,為后續(xù)的運算做準備;香港《指引》在基礎課程部分由淺入深,邏輯聯系和整體性較強,比如學生熟悉的“一元二次方程”,從“因式法解方程”開始,到通過“判別式”的研究,直接引入復數,對數系進行擴充;而粵《標準》則把“數系的擴充”放在“主題三”中作為單獨的模塊,但實際的課程引入仍然是通過方程的解;再比如通過對一元二次方程根的幾何意義入手,進而研究一元二次函數的圖像特征,并在此處提出重點要求學生會“代數方法求二次函數的極大和極小值”,而“極大(小)值”的概念在《標準》中是在選擇性必修“一元函數的導數”部分才提及,如果在前面學生熟悉的函數的學習中先接觸此類容易理解的高等數學的部分概念,學生是否在建立知識框架的時候更為連貫與清晰?

4.3 評估“代數力”,提高運算要求

廣東高中學生的知識儲備和計算能力參差不齊,“根式運算”“立方和差公式”“綜合除法”等在實際學習過程其實都需要,但這些知識點在有些初中并未涉及,就會導致學生的學習障礙,粵《標準》并未在這一塊做明確要求,而澳門一直重視“代數力”的培養(yǎng),統(tǒng)一在《要求》中對“數與式”做了具體的學習要求,這是值得我們參考的.